資源簡介

數形結合思想
一．知識探究：
數形結合作為一種重要的數學思想方法歷年來一直是高考考察的重點之一。數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。
這種思想方法體現在解題中，就是指在處理數學問題時，能夠將抽象的數學語言與直觀的幾何圖象有機結合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復合，通過對規范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。
1．數形結合的途徑
（1）通過坐標系形題數解
借助于建立直角坐標系、復平面可以將圖形問題代數化。這一方法在解析幾何中體現的相當充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考察的）；值得強調的是，形題數解時，通過輔助角引入三角函數也是常常運用的技巧（這是因為三角公式的使用，可以大大縮短代數推理）
實現數形結合，常與以下內容有關：①實數與數軸上的點的對應關系；②函數與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數、三角函數等；⑤所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。
（2）通過轉化構造數題形解
許多代數結構都有著對應的幾何意義，據此，可以將數與形進行巧妙地轉化.例如，將a＞0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b2－2與余弦定理溝通，將a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序實數對（或復數）和點溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應的圓錐曲線對應等等.這種代數結構向幾何結構的轉化常常表現為構造一個圖形（平面的或立體的）。另外，函數的圖象也是實現數形轉化的有效工具之一，正是基于此，函數思想和數形結合思想經常借助于相伴而充分地發揮作用。
2．數形結合的原則
（1）等價性原則
在數形結合時，代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現數的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導。
（2）雙向性原則
在數形結合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數問題進行幾何分析（或僅對幾何問題進行代數分析）在許多時候是很難行得通的。
例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復雜的問題簡單化。
（3）簡單性原則
就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單.而不是去刻意追求一種流性的模式——代數問題運用幾何方法，幾何問題尋找代數方法。
二．命題趨勢
縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。
數形結合是每年高考必考的內容，選擇題可采用的簡易解法，還有函數問題對應圖形性質等，尤其關注三個“二次”的互相轉化。
三．例題點評
題型1：利用數軸、韋恩圖解決集合與函數問題
例1．（1）（2007年湖南理3）設是兩個集合，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
（2）（1999全國，1）如圖所示，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
A.（M∩P）∩S B.（M∩P）∪S
C.（M∩P）∩IS D.（M∩P）∪IS
解析：（1）B；由韋恩圖知;反之，
（2）Ｃ；由圖知陰影部分表示的集合是M∩P的子集且是IS的子集，故答案為Ｃ。
點評：本題主要利用數軸、韋恩圖考查集合的概念和集合的關系。
例2．（1）（06重慶卷）如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的２倍，則函數y=f(x)的圖象是（ ）
（2）（06浙江卷）對a,bR,記max|a,b|=函數f（x）＝max||x+1|,|x－2||(xR)的最小值是　　 　。
解析：（1）如圖所示，單位圓中的長為，與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，當的長小于半圓時，函數的值增加的越來越快，當的長大于半圓時，函數的值增加的越來越慢，所以函數的圖像是D。
（2）由，
故，其圖象如右，
則。
點評：數學中考查創新思維，要求必須要有良好的數學素養，考查新定義函數的理解、解絕對值不等式，中檔題，借形言數。
題型2：解決方程、不等式問題
例3．若方程在內有唯一解，求實數m的取值范圍。
解析：（1）原方程可化為
設
在同一坐標系中畫出它們的圖象（如圖）。由原方程在（0，3）內有唯一解，知的圖象只有一個公共點，可見m的取值范圍是或。
例4．已知且，求的最大值和最小值。
解析：令，
則已知式可化為 ，
再設，由圖3可見，則當線段 與圓弧相切時，截距t取最大值（如圖3中CD位置）；當線段端點是圓弧端點時，t取最小值（如圖中AB位置）。因此的最大值是，最小值是。
點評：數形結合的思想方法，是研究數學問題的一個基本方法。深刻理解這一觀點，有利于提高我們發現問題、分析問題和解決問題的能力。
題型3：解決三角函數、平面向量問題
例5．（1）（07年北京理13）2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值等于 。
（2）（2007年陜西15）如圖，平面內有三個向量、、,其中與的夾角為120°，與的夾角為30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,則λ+μ的值為 。
解析：（1）；注意圖形是正方體，充分利用全等及直角三角形的性質處理問題；
（2）6；解析：（）2＝（λ+μ）2=λ2OA2+μ2OB2+2λμ=12；注意與的夾角為30°，與的夾角為120°，結合圖形容易得到與的夾角為90°，得μ=0；這樣就得到答案。
點評：綜合近幾年的高考命題，平面向量單純只靠運算解題是不夠的，需要結合幾何特征。
例6．（2007山東20）如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于處時,乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達處時,乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,問乙船每小時航行多少海里
解：如圖，連結，，，
是等邊三角形，，
在中，由余弦定理得
，
因此乙船的速度的大小為
答：乙船每小時航行海里。
點評：三角形經常和正余弦定理結合到一塊，利用平面圖形的幾何意義以及具有幾何性質的處理實際問題，注意對解的存在性的討論。
題型4：解析幾何問題
例7．（1）（06湖南卷）已知則的最小值是 ；
（2）（06全國II）過點（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝ 。
解析：（1）由，畫出可行域，得交點A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是5。
（2）（數形結合）由圖形可知點A在圓的內部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小，只能是直線，所以。
點評：線性規劃是借助平面區域表示直線、不等式等代數表達式，最終借助圖形的性質解決問題；對于直線與圓的位置關系以及一些相關的夾角、弦長問題，往往要轉化為點到線的距離問題來解決。
例8．（1）(06上海卷)若曲線＝||＋1與直線＝＋沒有公共點，則、分別應滿足的條件是 。
解析：作出函數的圖象，如右圖所示：所以，；
（2）（06江西卷）如圖，橢圓的右焦點為，過點的一動直線繞點轉動，并且交橢圓于
兩點，為線段的中點．
（1）求點的軌跡的方程；
（2）若在的方程中，令，，設軌跡的最高點和最低點分別為和，當tan為何值時，為一個正三角形？
解析：如圖，（1）設橢圓Q：（ab0）上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），
又設P點坐標為P（x，y），則
1當AB不垂直x軸時，x1x2，
由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0，
，
b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3），
2當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3），
故所求點P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0，
（2）因為軌跡H的方程可化為：，
M（，），N（ ，－），F（c，0），使△MNF為一個正三角形時，
則tan＝＝，即a2＝3b2，由于，
，則1＋cos＋sin＝3 sin，得tan＝。
點評：對于直線與圓錐曲線的相交及相關問題，借數言形是常用的方法，可以通過斜率處理垂直、夾角等問題，等等。
題型5：導數問題
例9．（06天津卷）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（　 ）
A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個
解析：函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，函數在開區間內有極小值的點即函數由減函數變為增函數的點，其導數值為由負到正的點，只有1個，選A。
點評：通過函數圖像分解導函數的正負，對應好原函數的單調遞增、單調遞減。
例10．（06浙江卷）已知函數f(x)=x+ x，數列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）
求證：當n時，
(Ⅰ)x（Ⅱ）。
證明：（I）因為所以曲線在處的切線斜率
因為過和兩點的直線斜率是所以.
（II）因為函數當時單調遞增，
而，
所以，即因此
又因為令則
因為所以
因此故
點評：切線方程的斜率與函數的導數對應，建立了幾何圖形與函數值的對應。
題型6：平面幾何問題
例11．已知三頂點是，求的平分線的長。
解析：第一步，簡單數形結合，在直角坐標系下，描出已知點，畫出的邊及其的平分線。（如圖）
第二步，觀察圖形，挖掘圖形的特性（一般性或特殊性），通過數量關系證明（肯定或否定）觀察、挖掘出來的特性。特性有：
（1）；（2）；
（3），（4）等等。
證明：∵∴,
∵
∴（1），∵是的平分線；
∴（2），∵(角平分線定理) ；
∴（3），∵，
∴（4）不正確，
第三步，充分利用圖形的屬性，創造性地數形結合，完成解題。過點作，交于點，則有∽或等等。又在中，（可以口答出）。
點評：數形結合的基礎是作圖要基本準確，切忌隨手作圖！數形結合的關鍵是挖掘圖形的幾何屬性，切忌只重數量關系忽視位置關系！如果把本題的圖形隨手作成如下一般平面圖形，則失去了數形結合的基礎，很難挖掘出圖形的幾何屬性，是很失敗的。
例12．已知A=｛(x,y)||x|≤1,|y|≤1｝,B=｛(x,y)|(x –)2+(y –)2≤1，∈R｝,若A∩B≠，則的取值范圍是　　 　　。
解析：如圖，集合A所表示的點為正方形PQRS的內部及其邊界，集合B所表示的點為以C(,)為圓心，以1為半徑的圓的內部及其邊界．而圓心C(,)在直線y=x上，故要使A∩B≠，
則為所求。
點評：應用幾何圖象解決問題時，尤其要注意特殊點（或位置）的情況，本題就是按照這樣的思路直接求出實數的取值范圍。
四．思維總結
從目前高考“注重通法，淡化特技”的命題原則來看，對于數形結合的數學思想方法，我們在復習時，應將重點置于解析幾何中圖象的幾何意義的重視與挖掘以及函數圖象的充分利用之上即可。
數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域，最值問題中，在求復數和三角函數問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。
O
x
P
x
Q
S
R
x
1.3.5
1.3.5分類討論思想
【思想介紹】
分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答。它是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想對于簡化研究對象，發展人的思維有著重要幫助，因此，有關分類討論的數學命題在高考試題中占有重要位置。
分類討論的思想方法，實質上是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略。對問題實行分類與整合，確定分類標準后等于增加了一個已知條件，實現了有效增設，將大問題（或綜合性問題）分解為小問題（或基礎性問題），優化解題思路，降低問題難度。應用分類討論的思想對問題求解， 首先要明確討論對象，確定對象的全體；其次是確定分類標準，分層次，不重復，不遺漏，達到互斥、無漏、最簡的原則；最后還要反思其過程，從中發現“分”與“合”，“局部”與“整體”之間的辨證統一關系，充分挖掘求解問題中潛在的特殊性與簡單性，盡可能地簡化或避免分類討論；使解題思想得到進一步升華，使解題的途徑更加合理簡捷。
【考題展示】
1.（2010年山東卷理)
2.（2009年廣東卷理10)若平面向量滿足，平行于軸，
，則 ． 【答案】或
3.（2008年廣東卷理18) 設，橢圓方程為，
拋物線方程為．如圖4所示，過點作
軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線
在點的切線經過橢圓的右焦點．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．
【答案】和；存在四個點
4.（2009年廣東卷理20) 已知二次函數的導函數的圖像與直線平行，
且在處取得極小值．設．
（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；
（2）如何取值時，函數存在零點，并求出零點．
【答案】， 當時， ； 當時，；
若，當時，；時，無零點；
若，當時，無零點； 時，；
【命題預測】
縱觀近幾年的高考試題可以看出，分類討論的思想在高考中占有非常重要的地位，應用它求解能減少思維時間、提高書寫的邏輯性和條理性的試題在高考試卷中的比例，總體上有逐年增加的趨勢，這種趨勢產生的根本原因是：分類討論題往往覆蓋知識點較多，有利于考查學生掌握的知識面；解分類討論題需要學生有一定的分析能力，具有一定的邏輯劃分思想和技巧，及較好的思維概括性，有利于對學生能力的考查；含參數的問題和分類思想與現實生活、高等數學有著密切的聯系，試卷中占有一定比例的分類討論題，有利于拉開考生得分的距離，實現高考的選拔的目標。因此，分類討論思想也仍然是高考命題的熱點思想，在客觀題中會有簡單的體現，解答題中將有中檔或中檔偏上的試題，其求解思路直接依賴于分類討論。
【解題策略】
在高考中，應用分類討論思想解題時要明確引起討論的原因，歸納起來一般有：
（1）概念型：涉及的數學概念是分類討論的，如絕對值、直線的斜率等；
（2）性質型：運用的數學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；如等比數列的前n項和的公式、數列的前n項和與通項的關系式；
（3）運算型：涉及的數學運算要求分類討論，如除法中的除數、不等號的方向等；
（4）幾何型：涉及的圖形具有不確定性，如形狀、位置等；
（5）含參型：求解的數學問題中含有參變量，如含參函數、方程、不等式等；
（6）化歸型：有的數學問題較復雜或非常規，分類解決簡捷，如排列、組合實際問題等；
運用分類討論思想解題的基本步驟：
（1）明確討論的對象和討論的范圍（全域）；
（2）確定統一的分類標準，進行合理的分類；
（3）逐步討論（必要時還得進行多級分類）；
（4）總結概括，得出結論；
由于分類討論一般過程較為冗長，敘述較為煩瑣，且極易在完備上造成失誤，因此它并非一定是解決問題的上策或良策，希望同學們在熟悉和掌握分類思想的同時，要注意克服思維定勢，充分挖掘求解問題中潛在的特殊性與簡單性，盡可能地簡化或避免分類討論。簡化分類討論的常用策略：消去參數、整體換元、反客為主、補集分析、整體變形、借助圖解。這是分類討論思想應用的更高境界。
【類題示例】
一.集合與常用邏輯用語
1.設，
求實數的取值范圍. 【答案】
二．函數與導數、方程、不等式
1.（2010年江蘇卷理11)已知函數,則滿足不等式的x的范圍是__▲___。 【答案】
2.（2010年山東卷理22) 已知函數.
(Ⅰ)當時，討論的單調性；
（Ⅱ）設當時，若對任意，存在，
使，求實數取值范圍.
【答案】當時，函數在單調遞減，單調遞增；
當時，恒成立，此時，函數在單調遞減；
當時，函數在單調遞減，單調遞增，單調遞減.
3.（2008年全國一19）已知函數，．
（Ⅰ）討論函數的單調區間；
（Ⅱ）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍．
【答案】時，為上的增函數
時，在遞增，遞減，
遞增
三、三角函數、平面向量
1．（2009年浙江卷理8) 已知是實數，則函數的圖象不可能是 ( )
( http: / / www. )
【答案】D
2．（2008年四川卷理5)若，則的取值范圍是
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
【答案】C
四、數列
1.（2010天津文數22）在數列中，=0，且對任意k，成等差數列， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網 )其公差為2k.
（Ⅰ）證明成等比數列； （Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）記， 證明
【答案】 或
2.（2010湖南理數21）數列中，
是函數的極小值點
（Ⅰ）當a=0時，求通項；
（Ⅱ）是否存在a，使數列是等比數列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。
【答案】 ，
五、立體幾何
1．（2010年遼寧卷理12) 有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是
(A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,）
【答案】A
2．若3個平面將空間分成部分，則的所有取值的集合是______. 【答案】
六、解析幾何
1．（2009年廣東卷文19)已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點
分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12. 圓:
的圓心為點.
(1)求橢圓G的方程， (2)求的面積，
(3)問是否存在圓包圍橢圓G 請說明理由. 【答案】，，不存在
2．（2009年寧夏海南卷理20) 已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，
它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=λ，
求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
【答案】，，，
當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；
當時，點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；
3．(2009湖南卷理21)在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到
直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和
（Ⅰ）求點P的軌跡C；
（Ⅱ）設過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。
【答案】點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，MN長度的最大值為；
七、排列、組合與概率
1．（2010年湖北卷理8) 現安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是
A．152 B.126 C.90 D.54
【答案】B
2．（2009年江西卷文10)甲、乙、丙、丁個足球隊參加比賽，假設每場比賽各隊取勝的概率相等，現任意將這個隊分成兩個組（每組兩個隊）進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為
A． B． C． D．
【答案】D
3．（2010年全國卷理II20)
如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9．電流能否通過各元件相互獨立．已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999．
（Ⅰ）求p；
（Ⅱ）求電流能在M與N之間通過的概率；
（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通過電流的元件個數，求的期望．
【答案】0.9, 0.9891, 3.6；
【強化練習】
1．（2009年福建卷文9)在平面直角坐標系中，若不等式組（為常數）所表示的平面區域內的面積等于2，則的值為
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3【答案】2．（2010年山東卷文10) 設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為 【答案】B
A. B. C. D.
3．（2010年遼寧卷理13)的展開式中的常數項為_________. 【答案】-5
4. 已知圓柱的側面展開圖是邊長為2與4的矩形，。則圓柱的體積為_________. 【答案】
5.（2009天津卷文16）若關于x 的不等式的解集中的整數恰有3個，
則實數的取值范圍是_______.
6．（2010北京理數14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動。設頂點p（x，y）的
軌跡方程是，則的最小正周期為 ；在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區域的面積為 【答案】4
說明：“正方形PABC沿軸滾動”包括沿HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 軸正方向和沿軸
負方向滾動。沿軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針
旋轉，當頂點B落在軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，
如此繼續。類似地，正方形PABC可以沿HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 軸負方向滾動。
7.已知函數 (1)求f(x)的值域;
(2)設函數g(x)=ax-2,x∈［-2,2］,若對于任意x1∈［-2,2］,總存在x0,使得g(x0)=f(x1)成立,求實數a 的取值范圍. 【答案】
8．（2009全國卷Ⅱ文20）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人。現采用分層抽樣（層內采用不放回簡單隨即抽樣）從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核。
（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數； （Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
【答案】各抽取2名，，
9.（2010四川文數20）已知等差數列的前3項和為6，前8項和為-4。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前n項和
【答案】
10.(2008廣東卷19）設，函數，，，
試討論函數的單調性．
【答案】當時，在與上是增函數，在上是減函數；
當時，在上是增函數,在上是減函數；
當時，在與上是減函數，在上是增函數；
11.（2008湖南18）數列
(Ⅰ)求并求數列的通項公式；
(Ⅱ)設證明：當
【答案】
12.（2010年江蘇卷理20) 設是定義在區間上的函數，其導函數為。如果存在實數和函數，其中對任意的都有>0，
使得，則稱函數具有性質。
(1)設函數，其中為實數。
(i)求證：函數具有性質； (ii)求函數的單調區間。
(2)已知函數具有性質。給定設為實數，
，，且，
若||<||，求的取值范圍。
【答案】當時，在區間上遞增；
當時，在上遞減；在上遞增，；
A
y
x
O
B
G
F
F1
圖4

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