資源簡介

章建躍文集
（熊裕歡編輯）
目 錄
教師做教科研要“小中見大”……………………………………………………………………1
數(shù)學(xué)教學(xué)要“準(zhǔn)”“精”“簡” ………………………………………………………………2
“增效、減負(fù)”──數(shù)學(xué)教師的責(zé)任與使命…………………………………………………3
關(guān)注學(xué)生的感受最重要…………………………………………………………………………4
思想決定行為　細(xì)節(jié)決定成敗………………………………………………… ………………5
聞思修　得智慧…………………………………………………………………………………6
回歸基礎(chǔ)…………………………………………………………………………………………7
探究式學(xué)習(xí)的天時地利人和………………………………………………………… …………8
高分是怎樣得到的………………………………………………………………………………9
沒有“過程”＝?jīng)]有“思想” ……………………………………………… ………………10
課堂教學(xué)的兩個關(guān)鍵……………………………………………………………………………11
數(shù)學(xué)教學(xué)的首要問題是“教什么” ……………………………………………………………12
教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造能力……………………………………………………………………………13
概括──概念教學(xué)的核心……………………………………………… ……………………14
“創(chuàng)造性使用教材”≠“脫離教材” …………………………………… …………………15
在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的思想方法上下功夫……………………………………………………16
要把精力集中在核心知識的研究上……………………………………………………………17
必須關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的變革………………………………………………………… …………18
改變習(xí)慣從加深理解內(nèi)容開始…………………………………………………………………19
改進(jìn)教學(xué)從加深理解內(nèi)容入手…………………………………………………………………20
過程自然才能使學(xué)生“會” ……………………………………………… …………………21
核心概念最有力量……………………………………………………………………… ……23
時代發(fā)展與數(shù)學(xué)課程改革………………………………………………………………………24
“題型+技巧”的危害……………………………………………………… ………………25
我講了n遍了你怎么還不會……………………………………………………………………26
為什么學(xué)生聽懂了卻不會用……………………………………………………………………27
從整體性上把握好數(shù)學(xué)內(nèi)容……………………………………………………………………28
以課本為本才是好數(shù)學(xué)教學(xué)……………………………………………………………………29
與大師為伍………………………………………………………………………………………30
怎樣使高考復(fù)習(xí)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)………………………………………………………………31
知識能力與素質(zhì)…………………………………………………………………………………33
注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)…………………………………………………………………34
追求本質(zhì)、簡單、自然的數(shù)學(xué)教學(xué)……………………………………………………………36
做題目為什么？…………………………………………………………………………………38
數(shù)學(xué)教學(xué)反思的內(nèi)容與方法（指導(dǎo)意見）……………………………………………………40
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移概述………………………………………………………………………………44
影響學(xué)習(xí)遷移的條件……………………………………………………………………………48
數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)……………………………………………………………………………56
數(shù)學(xué)課堂教學(xué)——到底教什么…………………………………………………………………64
如何推進(jìn)數(shù)學(xué)教育改革…………………………………………………………………………70
圍繞“概念的核心”展開課堂教學(xué)……………………………………………………………76
聚焦數(shù)學(xué)核心概念、思想方法的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)………………………………………………83
關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的理解………………………………………………………………………89
函數(shù)概念的學(xué)與教……………………………………………………………………………90
注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)…………………………………………………98
對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的若干認(rèn)識…………………………………………………………………116
對數(shù)學(xué)教育改革的一點(diǎn)認(rèn)識…………………………………………………………………119
課程標(biāo)準(zhǔn)制定中若干問題的思考……………………………………………………………123
知識分類與數(shù)學(xué)教學(xué)…………………………………………………………………………128
知識與數(shù)學(xué)知識……………………………………………… ……………………………133
代數(shù)學(xué)習(xí)困難的心理學(xué)分析及解決措施……………………………………………………137
積極穩(wěn)妥地推進(jìn)高中數(shù)學(xué)課程改革…………………………………………………………142
對當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革的幾點(diǎn)認(rèn)識……………………………………………………………145
當(dāng)前數(shù)學(xué)課改中的一些問題…………………………………………………………………152
新課程實(shí)施中的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)…………………………………………………………160
數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究………………………………………………………………………163
為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)………………………………………172
探究教學(xué)規(guī)律，造就教學(xué)名師………………………………………………………………177
數(shù)學(xué)教學(xué)方法的現(xiàn)代發(fā)展……………………………………………………………………186
有效改進(jìn)課堂教學(xué)——第四次課題會成果綜述……………………………………………191
準(zhǔn)確把握核心概念、合理滲透思想方法、設(shè)計(jì)自然教學(xué)過程——第五次課題會成果綜述199
追求數(shù)學(xué)課堂的本來面目——第七次課題會成果綜述……………………………………202
課題為載體，有效促進(jìn)教師專業(yè)化成長——第八次課題會成果綜述……………………208
積極開展“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)研究——第九次課題會成果綜述………………………215
努力探索數(shù)學(xué)教育的本來面目──第14屆年會論文綜述暨會議總結(jié)…………………221
人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)交流會總結(jié)…………………………………………227
理解數(shù)學(xué) 理解學(xué)生 理解教學(xué)………………………………………………………………231
影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的因素……………………………………………………………………240
數(shù)學(xué)課改的十個論題…………………………………………………………………………246
“平面的基本性質(zhì)”教案、教案說明及點(diǎn)評………………………………………………254
中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐………………………………………261
數(shù)學(xué)概念的學(xué)與教……………………………………………………………………………293
三次國際數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動及其啟示………………………………………………………300
函數(shù)概念的學(xué)習(xí)及其困難……………………………………………………………………303
論數(shù)學(xué)教學(xué)中的基礎(chǔ)與創(chuàng)新…………………………………………………………………310
數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討………………………………………………………316
數(shù)學(xué)教育改革中幾個問題的思考……………………………………………………………321
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的──變革與完善…………………………………………………………330
從“新十二年制課本”談教材編寫實(shí)驗(yàn)的規(guī)范化機(jī)制……………………………………341
我國中學(xué)數(shù)學(xué)教材的建設(shè)與發(fā)展……………………………………………………………351
解析幾何的思想、內(nèi)容和意義──“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之一……………………358
我國中學(xué)解析幾何教材的沿革──“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之二……………………363
中學(xué)解析幾何的核心結(jié)構(gòu)──“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之三……………………………368
人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材中的解析幾何──“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之四………372
附錄： 中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法教學(xué)設(shè)計(jì)框架結(jié)構(gòu)……………………………377
教師做教科研要“小中見大”我
章建躍
隨著高中課改的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的各種深層次矛盾不斷暴露，促使廣大數(shù)學(xué)教師開展不同形式的教科研。教科研活動不僅使數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效益有了一定保證，而且使數(shù)學(xué)教師專業(yè)化發(fā)展有了堅(jiān)實(shí)的平臺。不過，常常困擾廣大數(shù)學(xué)教師的問題是，怎樣才能使教科研活動切實(shí)有效呢？

本期刊登的沈金興老師的“一次概率事件的測試對新課程概率教學(xué)的啟示”一文，為一線教師結(jié)合自己的日常工作開展教科研做出了一定的示范。從他的報告中可以看到，他所選擇的研究課題很具體、很“小”：為了了解學(xué)生對不確定現(xiàn)象的理解方式，了解學(xué)生在概率學(xué)習(xí)中普遍產(chǎn)生的錯誤認(rèn)識及其原因，從而為自己的概率教學(xué)提供依據(jù)，他借鑒國內(nèi)外一些研究中的成熟方法，以自己的學(xué)生為被試，通過測試收集數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計(jì)分析得到學(xué)生概率認(rèn)知水平發(fā)展?fàn)顩r的描述，并以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為支持，區(qū)分出學(xué)生在概率概念理解中的錯誤類型，在此基礎(chǔ)上提出有理有據(jù)的概率教學(xué)建議。由于概率是許多教師心里沒底的、深感棘手的內(nèi)容，因而這樣的研究又實(shí)實(shí)在在地為這一內(nèi)容的教學(xué)提供了指導(dǎo)——學(xué)生的概率學(xué)習(xí)困難有哪些，應(yīng)當(dāng)采取怎樣的教學(xué)措施幫助學(xué)生理解概率中的相關(guān)概念，概率教學(xué)中應(yīng)注意哪些問題等，所以我們說，沈老師的研究是“小中見大”的。

一線教師搞教科研，最需要防止兩種傾向：一是大而空，例如有的老師以“全球化背景下的數(shù)學(xué)教育”“建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”“構(gòu)建系統(tǒng)觀念下的數(shù)學(xué)課堂”“新課程理念下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式”
數(shù)學(xué)教學(xué)要“準(zhǔn)”“精”“簡”
章建躍
第三期的選稿、審稿終于完成時，長長地舒了一口氣。由于本刊尚屬初創(chuàng)，稿源不足，除了部分約稿外，其余的稿件選擇余地不大，因此有的既定欄目只能“留空”，而“課堂教學(xué)研究”等欄目的稿件又稍嫌多了。這樣的“不平衡”希望能在廣大讀者的關(guān)注下很快得到改觀。另外，時逢春節(jié)，本期排版、編校方面也由于人手不夠等原因而肯定存在瑕疵。就像一個嬰兒蹣跚學(xué)步一樣，本刊在初創(chuàng)階段出現(xiàn)的不足，希望得到讀者的諒解。

因?yàn)楸酒陉P(guān)于課堂教學(xué)研究的文章多了，所以對這方面的問題談點(diǎn)個人想法。數(shù)學(xué)教學(xué)研究，如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效益始終是核心問題。在“大眾教育”的前提下，大面積提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量更是關(guān)鍵。為此，數(shù)年前，本人曾提出提高課堂教學(xué)質(zhì)量的“三、二、一”：

三個理解——理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)；

兩個關(guān)鍵——提好的問題、設(shè)計(jì)自然的過程；

一個核心——概括。

其依據(jù)是本人長期、大量的數(shù)學(xué)課堂觀察。從數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化角度看，導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量不高的因素主要有：首要的是教師自己的數(shù)學(xué)理解不到位，導(dǎo)致教得不“準(zhǔn)”——或者是沒有圍繞概念的核心，或者教錯了；由此產(chǎn)生的連帶問題是教得不“精”——讓學(xué)生在知識的外圍重復(fù)訓(xùn)練，耗費(fèi)學(xué)生大量時間、精力卻達(dá)不到對知識的深入理解，教得不“簡”——在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡單問題復(fù)雜化了；第三，違反學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，典型做法是：基礎(chǔ)知識教學(xué)搞“一個定義，三項(xiàng)注意”，學(xué)生沒有經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展過程的機(jī)會，沒有經(jīng)過自己獨(dú)立思考而概括出概念和原理的機(jī)會，解題教學(xué)搞“一步到位”，在學(xué)生沒有必須的認(rèn)知準(zhǔn)備時就要他們做高難度的題目。最近的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這些問題有越來越嚴(yán)重的趨勢。

總之，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，任重道遠(yuǎn)。希望廣大數(shù)學(xué)教師能貢獻(xiàn)自己的智慧，把自己實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)總結(jié)出來，以有說服力的案例方式參與討論。
“增效、減負(fù)”
──數(shù)學(xué)教師的責(zé)任與使命
章建躍
本期我們刊登了我國老一輩數(shù)學(xué)教育工作者、已近88歲高齡的陳振宣先生的《建議開展增效與減負(fù)的大討論》一文。陳先生是我國改革開放后中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的積極倡導(dǎo)者，也是義無反顧的改革實(shí)踐者，相信熟悉我國數(shù)學(xué)教改的讀者，對他早在上世紀(jì)80年代初提出的在中學(xué)數(shù)學(xué)中引入向量，以向量為抓手改革三角、平面解析幾何、立體幾何等教學(xué)內(nèi)容的思想及其實(shí)踐一定記憶猶新。本文他又以一位中學(xué)數(shù)學(xué)教育前輩的高度責(zé)任感，針對積重難返的“學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)過重”問題，呼吁開展“增效與減負(fù)”大討論。
陳先生認(rèn)為，造成“負(fù)擔(dān)過重”的原因主要有如下幾方面：
第一，教材的體系不科學(xué)，不能顯示知識的內(nèi)在道理，不能展示知識的“發(fā)明本源”，“在教材建設(shè)中光做減法，甚至不惜破壞數(shù)學(xué)的科學(xué)體系，硬性規(guī)定減少教學(xué)課時”而違背了科學(xué)發(fā)展觀；
第二，違背數(shù)學(xué)教育規(guī)律，不重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，以“題海”代替數(shù)學(xué)思維基本功訓(xùn)練，試圖“以多取勝”；
第三，粗制濫造、質(zhì)量低劣、錯誤百出的教輔資料泛濫，直接加劇“負(fù)擔(dān)過重”；
第四，考試制度改革、高考命題改革與課程教材改革相分離，迫使學(xué)生為高考分?jǐn)?shù)而大量做高考模擬卷，催生了與模擬卷相關(guān)的“利益鏈”；
第五，“數(shù)學(xué)是進(jìn)大學(xué)的敲門磚”的急功近利思想，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)教育功能的認(rèn)識偏差，是造成“負(fù)擔(dān)過重”的思想根源。
陳先生的剖析可謂鞭辟入里、一針見血。他還提出了許多扭轉(zhuǎn)負(fù)擔(dān)過重現(xiàn)象的措施，指出關(guān)鍵是要采取切實(shí)措施激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，認(rèn)為這是一條數(shù)學(xué)教學(xué)的“公理”。
溫總理在《政府工作報告》中提出，今年教育要重點(diǎn)抓好的工作之一是推進(jìn)素質(zhì)教育，“各級各類教育都要著眼于促進(jìn)人的全面發(fā)展，加快課程、教材、教育方法和考試評價制度改革，把中小學(xué)生從過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)中解放出來，讓學(xué)生有更多的時間思考、實(shí)踐、創(chuàng)造。”說明“負(fù)擔(dān)過重”已引起中央的高度關(guān)注，并要從教育改革入手解決之。但平心而論，“負(fù)擔(dān)過重”是社會、各級教育管理部門、學(xué)校、家長的“合力”所致，教育功利化等現(xiàn)象是我國社會發(fā)展現(xiàn)狀在教育領(lǐng)域的客觀反映，因此解決這一問題難度很大。不過，作為一名著眼于學(xué)生發(fā)展、懂得教育教學(xué)規(guī)律的教師，必須意識到這種現(xiàn)象是不正常的。教育的要義是教學(xué)生做人、做事，教育應(yīng)當(dāng)充滿理想化色彩，教育必須遠(yuǎn)離功利。

實(shí)事求是地說，數(shù)學(xué)學(xué)科的題海最大、最深，在造成學(xué)生“負(fù)擔(dān)過重”中難辭其咎。同時，大量優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的實(shí)踐表明，只要不斷提高自己的教師專業(yè)化素養(yǎng)，堅(jiān)持不懈地改進(jìn)教學(xué)方法，就一定能使學(xué)生脫離題海的苦難，學(xué)得輕松且成績卓越。因此，“增效減負(fù)”是時代發(fā)展賦予廣大數(shù)學(xué)教師的責(zé)任和使命。

希望大家積極參與討論，為增效減負(fù)獻(xiàn)計(jì)獻(xiàn)策。愿我們共同努力，不辱使命。
關(guān)注學(xué)生的感受最重要
章建躍
大家都認(rèn)同“關(guān)注學(xué)生的感受最重要”這一命題，因?yàn)閷W(xué)習(xí)終究是學(xué)生自己的事情。課堂教學(xué)中，如果我們的教學(xué)不能打動學(xué)生，學(xué)生對我們的講解無動于衷，那么他們就不可能有心領(lǐng)神會的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能是無功而返。所以，時刻觀察學(xué)生的一舉一動、表情神態(tài)，采取一定措施了解他們對新知識的理解程度，并根據(jù)他們的表現(xiàn)及時調(diào)整教學(xué)進(jìn)程，就成為考察教師專業(yè)化發(fā)展水平的指標(biāo)之一。那么，怎樣才能有效地得到學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的信息，從而準(zhǔn)確把握學(xué)生的感受呢？

本期刊登的“‘古典概型’教學(xué)應(yīng)該側(cè)重什么”和“一例程序框圖的教學(xué)思考”兩文給我很多啟發(fā)。從他們的文章中可以看到，教師準(zhǔn)確理解概念并作出教學(xué)解讀，教學(xué)過程中認(rèn)真觀察和忠實(shí)記錄學(xué)生的反應(yīng)——特別是出現(xiàn)理解偏差的地方，課后做好教學(xué)反思（必要時對學(xué)生做針對性訪談），是準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)感受的三個重要環(huán)節(jié)。

強(qiáng)調(diào)教師對概念的理解和教學(xué)解讀，是因?yàn)榻處熆梢詮倪@一過程中大致了解學(xué)生的概念理解心路歷程，從中獲得把握學(xué)生學(xué)習(xí)感受的啟發(fā)。事實(shí)上，概念的教學(xué)解讀必須關(guān)注到學(xué)生的感受，這樣才能使教學(xué)預(yù)設(shè)成為教學(xué)實(shí)踐的有效線索。例如，學(xué)習(xí)“古典概型”，重要的是理解它的兩個特征。在解釋“標(biāo)準(zhǔn)化考試中，為什么多選題比單選題更難猜對”時，學(xué)生有兩種回答：因?yàn)檫x項(xiàng)不確定，可能選兩個，也可能選三個，選錯一個就錯了；基本事件的總數(shù)多了，選錯的可能性就大了。這種回答隱藏著什么問題呢？學(xué)生是在用古典概型的特征作判斷嗎？我認(rèn)為，教師能否關(guān)注到這些，取決于他自己對這一問題的理解深度。如果理解不到位，那么他就不會意識到強(qiáng)調(diào)“假定考生不會做”和“選擇其中任何一個答案的可能性相等”的重要性，這必然會給古典概型的教學(xué)埋下隱患。

對學(xué)生的概念理解偏差作忠實(shí)記錄，其意義在于為教學(xué)反思提供依據(jù)，這一點(diǎn)不用多說。這里著重說說課后反思問題。對學(xué)生學(xué)習(xí)感受的分析應(yīng)當(dāng)成為反思的重點(diǎn)之一。例如，在閱讀“判斷整數(shù)（大于2）是否為質(zhì)數(shù)”的程序框圖時，魯老師他們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對判斷框中的“或”后的走向有疑惑：“或”是一個式子成立還是兩個都成立呢？“或”成立后怎么還問“”是否成立？經(jīng)過分析，他們不僅找到了原因，而且形成了化解的方法：先為學(xué)生架一座“橋”——將“自然語言”直接翻譯成用文字語言描述的“程序框圖”，再在后續(xù)的學(xué)習(xí)中逐步完善。反思后的教學(xué)設(shè)計(jì)充分關(guān)注了學(xué)生的感受，教學(xué)的效益一定會大大提升。

“關(guān)注學(xué)生的感受”，其本質(zhì)是“學(xué)生是主體”的學(xué)生觀在教師教學(xué)行為上的反映。觀念變?yōu)樾袆拥倪^程，實(shí)質(zhì)是教學(xué)行為習(xí)慣養(yǎng)成的過程，常常需要我們的終身努力。
思想決定行為　細(xì)節(jié)決定成敗
章建躍
我們在大量的數(shù)學(xué)課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中，關(guān)注思想性嚴(yán)重不足，數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏整體性、結(jié)構(gòu)性，從而也就缺少了應(yīng)有的“大氣”而陷于細(xì)枝末節(jié)的“小氣”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，強(qiáng)調(diào)“思想性”“整體性”“結(jié)構(gòu)性”應(yīng)當(dāng)成為努力的重點(diǎn)。但是，如果思想不落實(shí)在“細(xì)節(jié)”上，也就是在具體操作上得不到體現(xiàn)，那么“思想”就只是一種“空想”，對學(xué)生的發(fā)展也起不了多大作用。本期刊登了兩篇爭鳴文章，一定程度上反映了廣大教師對宏觀“思想”與操作“細(xì)節(jié)”之間關(guān)系的認(rèn)識。

我想，在等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)中，首先對推導(dǎo)公式的思想方法——以等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)，對“如何用n、d(q)、a1及an表示Sn”進(jìn)行討論——是大家都會認(rèn)同的；其次，在有了某種想法，有了比較明確的思考方向后，在把想法付諸行動的過程中，必須強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)。正如夏新橋老師在《抓住學(xué)生的疏漏，引領(lǐng)學(xué)生做好思維體操》中指出的，細(xì)節(jié)是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的大好時機(jī)，夏老師文中所談到的細(xì)節(jié)必須關(guān)注到。當(dāng)然，對于“細(xì)節(jié)”可以有進(jìn)一步的認(rèn)識。其中，有兩個問題特別要注意，一是注意區(qū)分“細(xì)節(jié)”與“細(xì)枝末節(jié)”；二是要注意學(xué)生的“細(xì)節(jié)”。

事實(shí)上，人們對數(shù)學(xué)的“細(xì)節(jié)”會有不同理解。例如，吳生輝和宋文科兩位老師的文章《淺談概率問題中的基本事件》表明，他們對基本事件的“不可再分”的理解，與田載今老師的理解不同。我認(rèn)為，對于確定基本事件到底能不能“以要解決的具體問題為依據(jù)”，“可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果”的“不能再分”到底該怎樣理解（是否可以是“不必再分”的結(jié)果），讀者可以討論。事實(shí)上，上述不同源于對“一個結(jié)果”的含義的不同解釋。顯然，對“細(xì)節(jié)”的這種討論是非常必要的。

其次是注意學(xué)生的“細(xì)節(jié)”，也就是要關(guān)注學(xué)生思維水平、思維過程的細(xì)節(jié)。本期刊登的彭潛、張雪莉等老師的《教學(xué)中關(guān)心數(shù)學(xué)差生的一些構(gòu)想》，就是關(guān)注學(xué)生思維細(xì)節(jié)的一個范例。他們的學(xué)生大部分是所謂的數(shù)學(xué)“差生”。在困難面前，他們不是沉湎于“怨天尤人”的哀嘆，而是“認(rèn)真研究數(shù)學(xué)差生的教學(xué)規(guī)律”，勇敢地“迎接這份遠(yuǎn)比教好優(yōu)等生艱巨得多的工作挑戰(zhàn)”，而且將這樣的思想落實(shí)在“細(xì)節(jié)”上：對造成“差生”的原因、到底“差”在那里、應(yīng)當(dāng)采取哪些措施等都進(jìn)行了細(xì)致入微的分析。實(shí)踐表明，教師這樣關(guān)注“細(xì)節(jié)”，“差生”是完全可以轉(zhuǎn)變的。

“思想決定行為，細(xì)節(jié)決定成敗”。數(shù)學(xué)概念理解得是否深刻的標(biāo)志是對概念的細(xì)節(jié)把握得是否準(zhǔn)確。但理解“細(xì)節(jié)”的過程中必須要有“思想”的指引，這樣才能把知識的教學(xué)與能力的培養(yǎng)融合一起，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的“育人”功能。
聞思修　得智慧
章建躍
本期我們集中刊登了關(guān)于高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材必修模塊的一組實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)交流文章。薛紅霞、張曜光、李學(xué)軍、李昌官、吳明華都是一線教研員，其他都是一線教師，他們是本次課改的親歷親為者，可說是嘗遍課改的酸甜苦辣，因而對課改是最有發(fā)言權(quán)的，因此這組文章可以算得上是“聞思修”而得的智慧成果。

眾所周知，本次課改是為了適應(yīng)我國社會發(fā)展新需要，以提高教育質(zhì)量為核心，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，切實(shí)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，努力提高青少年思想道德、科學(xué)文化和健康素質(zhì)，著力培養(yǎng)青少年的社會責(zé)任感、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，因此其大方向是完全正確的。但是，由于種種原因，課改實(shí)施過程中存在許多不盡如人意的地方。一段時間以來，急功近利傾向甚至把課改引入歧途，嚴(yán)重?fù)p害了課改的聲譽(yù)。對此，有各種不同的態(tài)度。怨天尤人者有之，我行我素者有之，盲目跟風(fēng)者有之。而大多數(shù)老師則是理性思考、謹(jǐn)慎行動，薛紅霞等老師的文章就是例證。

教育改革不以人的意志為轉(zhuǎn)移。客觀地說，當(dāng)前我國數(shù)學(xué)教學(xué)確實(shí)存在許多需要改進(jìn)的地方，其中特別突出的是數(shù)學(xué)教學(xué)缺少親和力，問題意識淡薄，重結(jié)果輕過程，講邏輯不講思想，重題型、技巧輕通性通法引導(dǎo)。因此，需要廣大數(shù)學(xué)教育工作者“聞思修”以獲得走向課改成功的智慧，使改革的成果惠及學(xué)生，達(dá)到學(xué)得輕松、愉快而成效顯著。

由于思維慣性所致，人們面對新事物的第一反應(yīng)是排斥。然而明智的做法是靜心聽聞，而且要善聽、會聽，聽到“無聲之聲”。所謂兼聽則明，這樣才能了解改革的真實(shí)意圖，才能“聞所成慧”。

在深入了解改革意圖后，還要“三思而后行”。因?yàn)楦母锏睦硐胍兂涩F(xiàn)實(shí)，必須結(jié)合現(xiàn)實(shí)，需要我們根據(jù)當(dāng)?shù)亟逃l(fā)展的水平、教師自身狀況、生源情況等進(jìn)行周密思考，以確定改革的具體方案和步驟。如果我們能做到上下求索、反省內(nèi)觀，那么就能“思所成慧”了。

修，就是實(shí)踐。真正的改革發(fā)生在課堂，改革的成功有賴于“苦修、樂修、真修、內(nèi)修、共修、自修”。千里之行始于足下，“思所成慧”而獲得的改革藍(lán)圖，只有經(jīng)過實(shí)踐才能變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，也只有經(jīng)過實(shí)踐才能獲得修正前行的機(jī)會，這也就是“修所成慧”了。

數(shù)學(xué)教育改革需要全體數(shù)學(xué)教育工作者的智慧。一線教師，無論你是否愿意，總是處于課改的滾滾洪流中，我們可以把它看成是專業(yè)化成長的機(jī)遇，“聞、思、修，照著這個方法做，一定有成果。”

注：本文標(biāo)題采自《星云大師談智慧》，文中多處引用大師妙語。如有不當(dāng)，敬請見諒。
回歸基礎(chǔ)
章建躍
我國數(shù)學(xué)教學(xué)有重視雙基和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)，這是我國數(shù)學(xué)教育保持優(yōu)勢的基石。然而，教育功利化所導(dǎo)致的短期行為，使人為技巧化難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容充斥課堂，數(shù)學(xué)教學(xué)=題型教學(xué)，教學(xué)遠(yuǎn)離雙基，不僅使學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力得不到培養(yǎng)，而且使雙基優(yōu)勢逐步喪失。閱讀“英國AQA數(shù)學(xué)A水平考試內(nèi)容介紹”一文，這種感覺尤為強(qiáng)烈。從文中看到，作為英國大學(xué)招收新生的入學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，考察的內(nèi)容不僅涉及我們熟悉的初等數(shù)學(xué)內(nèi)容（立幾等除外），而且還有微積分(含微分方程)、概率統(tǒng)計(jì)、向量、矩陣等現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，知識面之廣我們無法企及，大部分考題都是“基礎(chǔ)題”，但“對部分知識的考察也有一定的難度”。比較“A水平考試”，反觀我們的數(shù)學(xué)教育，確有危機(jī)感。
要改變現(xiàn)狀，我認(rèn)為提高對“基礎(chǔ)”的認(rèn)識是當(dāng)務(wù)之急，先要解決“什么叫基礎(chǔ)”“如何落實(shí)基礎(chǔ)”等問題。
我們知道，“基，始也”，事物發(fā)展的起點(diǎn)叫“基”，沒有它就是“無源之水”；“基，根本也”，事物的本源叫“基”，沒有它就是“無本之木”；“基，基調(diào)也”，主要觀點(diǎn)、基本思想就是“基調(diào)”，沒有它會失去方向。中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)應(yīng)是那些為學(xué)生終生發(fā)展奠基的初等數(shù)學(xué)核心部分，具體內(nèi)容則需深入研究。當(dāng)然，要有廣與深的辯證統(tǒng)一，廣而淺（蜻蜓點(diǎn)水、走馬觀花）不行，窄而深（深度挖掘、層層拔高）也不行。但無論怎樣，人為制造的繁題、特技等肯定不在此列。
那么，如何落實(shí)基礎(chǔ)呢？相信大家都有這種感受：知識，教得簡單、自然而有思想性，難；教得復(fù)雜、造作而形式化，易。解題，講難題、講技巧，易；精中求簡、回歸概念、循循善誘、引人入勝，難。為了教得準(zhǔn)、精、簡，需在如下幾方面努力：
首先，教師“必須要對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想下一番深切的返璞歸真的功夫”（項(xiàng)武義），并在使數(shù)學(xué)變得易學(xué)、好懂，使學(xué)生能懂、會用上下苦功，以切實(shí)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，真正提高教學(xué)質(zhì)量和效果。
第二，應(yīng)真正解決學(xué)習(xí)興趣問題，如陳振宣先生在“數(shù)學(xué)教學(xué)公理芻議”中所述，通過有豐富數(shù)學(xué)內(nèi)涵的情景，將數(shù)學(xué)定理、公式等的學(xué)習(xí)融入創(chuàng)造性解決問題中。
第三，提高“思想性”，使學(xué)生逐漸掌握數(shù)學(xué)研究的“基本套路”是當(dāng)務(wù)之急。例如，“不等式基本性質(zhì)”的教學(xué)，要在“數(shù)及其運(yùn)算”的系統(tǒng)中，以“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)”為基本思想，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用實(shí)數(shù)大小的基本事實(shí)和實(shí)數(shù)運(yùn)算律，一以貫之地推導(dǎo)所有不等式的性質(zhì)和其他不等式。
第四，解題教學(xué)要強(qiáng)調(diào)基本概念所反映的思想方法這一根本大法的應(yīng)用，而不是“對題型、想技巧”。要讓學(xué)生養(yǎng)成“回到概念去”思考和解決問題的習(xí)慣，“把一個比較復(fù)雜的問題，‘退’成最簡單最原始的問題，把這個最簡單最原始的問題想通了、想透了”，然后再歸納、綜合而實(shí)現(xiàn)飛躍，“這是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅” （華羅庚）。
數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)回歸基礎(chǔ)，在讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)“基本套路”的過程中，理解數(shù)學(xué)的基本思想、方法和精神，這樣才是數(shù)學(xué)育人。
探究式學(xué)習(xí)的天時地利人和
章建躍
本世紀(jì)初開始的這一輪課改，“探究式學(xué)習(xí)”被放在改革的突出位置。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出，“高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式”。廣大數(shù)學(xué)教師對教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生開展探究式學(xué)習(xí)進(jìn)行了深入研究。本期中，有眾多的文章涉及這一話題，因此我想對這一問題談?wù)勛约旱南敕ā?br/>探究式學(xué)習(xí)的實(shí)施需要天時、地利與人和。
首先講“天時”。當(dāng)今世界，經(jīng)濟(jì)全球化和知識經(jīng)濟(jì)步伐不斷加快。為了掌握21世紀(jì)社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略制高點(diǎn)，我國正竭力倡導(dǎo)從模仿創(chuàng)新轉(zhuǎn)向自主創(chuàng)新，培育自身的科技原創(chuàng)力。相應(yīng)地，要求教育“以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)”。因此，強(qiáng)調(diào)探究式學(xué)習(xí)順應(yīng)了我國社會經(jīng)濟(jì)科技發(fā)展的要求，大力加強(qiáng)探究式學(xué)習(xí)“適逢其時”。
其次看“地利”。是否具有探究式學(xué)習(xí)的“地利”，主要看學(xué)習(xí)內(nèi)容是否適宜于探究。一般而言，解題教學(xué)適宜于用探究式學(xué)習(xí)方式，都應(yīng)當(dāng)安排學(xué)生的自主探究活動。這里主要討論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的探究式學(xué)習(xí)問題。應(yīng)當(dāng)說，大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、定理等，都適宜于用探究式學(xué)習(xí)方式。例如“不等式的性質(zhì)”，可以讓學(xué)生“類比等式的性質(zhì)”提出猜想，并利用實(shí)數(shù)大小的“基本事實(shí)”加以證明，這就是一個探究式學(xué)習(xí)過程；“平面向量基本定理”，可以在“用向量及其運(yùn)算表示幾何元素”的思想指引下，借助建立直角坐標(biāo)系的方法、兩條相交直線確定一個平面等經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生探究而獲得結(jié)論；“誘導(dǎo)公式”也可以在“三角函數(shù)是（單位）圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)表示”的思想下，讓學(xué)生通過探究終邊關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)以及直線y=x對稱的兩個角的關(guān)系，進(jìn)而得到所有公式；等。顯然，數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，但常常需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)。
當(dāng)然，并不是所有學(xué)習(xí)內(nèi)容都適宜于探究，有的甚至不需要探究。例如，數(shù)學(xué)中某些原始性的概念定義，沒有多少“開放性”，不必探究。這樣的內(nèi)容，重要的是讓學(xué)生了解來龍去脈，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教師講授或讓學(xué)生看書的方式即可。例如，直線與平面垂直的定義，通過生活中的事例，讓學(xué)生感受到定義與自己的經(jīng)驗(yàn)相吻合，從而確認(rèn)其合理性，然后由教師敘述定義，這樣安排教與學(xué)的過程是合適的。這里，用“說得清道得明”的幾何關(guān)系（即“直線與直線垂直”），來定義“無法說清”的幾何關(guān)系（即“直線與平面垂直”），這是一種公理化思想，教師必須向?qū)W生交待清楚，而學(xué)生則只要采用接受式學(xué)習(xí)方式即可。而關(guān)于概念的名稱、符號、某些規(guī)定（如0！=1，0與任意向量平行）等，直接告訴學(xué)生可矣。
再次看“人和”。探究式學(xué)習(xí)的“人和”，就是師生所共同營造的“探究氛圍”。這種氛圍，一方面有賴于學(xué)生“探究式學(xué)習(xí)的心向”，另一方面也有賴于教師的“探究型教學(xué)的意識”。如果學(xué)生缺乏“遇事問個為什么”“打破沙鍋問到底”的習(xí)慣和勇氣，那么探究式學(xué)習(xí)就失去了內(nèi)因；同樣的，如果教師只注重給學(xué)生灌輸現(xiàn)成數(shù)學(xué)結(jié)論，不給學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的機(jī)會，那么探究式學(xué)習(xí)也就失去了其生存的時間和空間。當(dāng)然，“人和”氣象的出現(xiàn)，還需要一個位于學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的、蘊(yùn)涵當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的問題情境，作為探究式學(xué)習(xí)的“引子”、“平臺”，使探究式學(xué)習(xí)得以展開、深入，開花結(jié)果。
最后，學(xué)習(xí)是知與行相統(tǒng)一的主動行為，接受式和探究式是學(xué)習(xí)的兩種基本形態(tài)．以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)，應(yīng)體現(xiàn)接受和探究的相輔相成，要協(xié)調(diào)與平衡認(rèn)知與情感、指導(dǎo)與自主、能動與受動、抽象思維與形象思維、動手實(shí)踐與大腦意識活動、獨(dú)立思考與合作交流等各種因素，進(jìn)而使學(xué)習(xí)成為一個完整的認(rèn)識過程．
高分是怎樣得到的
章建躍
一年一度的高考剛塵埃落定，新一輪高考大戰(zhàn)又如火如荼地展開。
從我國腐敗橫行的現(xiàn)實(shí)考慮，高考雖然殘酷但尚算得一片凈土，是無權(quán)無錢的平民百姓改變命運(yùn)的少數(shù)機(jī)會之一，因此高考不能取消。我們可以把高考看成學(xué)生人生道路上的煉獄，把追求高分的過程看成一種人生歷練。從教學(xué)的角度看，關(guān)鍵在于：如何使學(xué)生更有效地實(shí)現(xiàn)鳳凰涅磐、浴火重生？
本期我們有意刊登了較多的“高考研究”文章。從中可見，追求高分，真可謂是“八仙過海，各顯神通”：有考題“追根溯源”的；有進(jìn)行“題型歸類”的；有揣摩命題者“心思”的；有分析高考“解題術(shù)”的；有貫徹高考題“指示精神”開展高考復(fù)習(xí)的……。
受老師們的啟發(fā)，我也想談?wù)劯呖既绾蔚酶叻值目捶ā?br/>首先，盡管數(shù)學(xué)高考題千變?nèi)f化，但考數(shù)學(xué)是無法改變的。萬變不離其宗，這個“宗”就是高中數(shù)學(xué)核心知識以及由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法。因此，教好數(shù)學(xué)特別是千方百計(jì)讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本概念才是根本，這樣才能與數(shù)學(xué)“聲氣相通”，才有能力識破“七十二般變化”的“真身”。
其次，應(yīng)試確實(shí)有技巧，但獲得技巧的途徑有天壤之別。一種是靠大量做題賣苦力，其結(jié)果可能是“講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會”；另一種是靠智慧而實(shí)現(xiàn)的“四兩撥千斤”，其結(jié)果一定是高奏高考的凱旋之歌。
第三，提高學(xué)生的解題能力，需要經(jīng)歷一個以數(shù)學(xué)雙基訓(xùn)練為載體的“悟道——得道——進(jìn)入自由王國”的過程，必須有一個從有“型”到無“型”、從有招到無招的過程，這樣才能實(shí)現(xiàn)融會貫通，達(dá)到隨心所欲、見招拆招的境界。當(dāng)前的問題在于：執(zhí)著于“型”，執(zhí)著于“招”，即執(zhí)著于題型及其對應(yīng)的技巧，深陷題海不能自拔，無法“悟道”，進(jìn)入自由王國就更無從談起，解題能力也就無法精進(jìn)而上層次了。
當(dāng)然，“師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在個人”，學(xué)生能上到怎樣的層次，要看他自己的造化，但作為人生導(dǎo)師，責(zé)任在于點(diǎn)化學(xué)生的智慧，使他在現(xiàn)有水平上開悟，幫助他實(shí)現(xiàn)人生目標(biāo)。不過，教師自己開悟才有可能使學(xué)生開悟。因此，教師應(yīng)提升自己的層次，以提高點(diǎn)化學(xué)生智慧的能力。
曾經(jīng)有老師與我說，“章老師，你說得都對。我知道，按你的方法，做十個題目就可以得十分；而我要求學(xué)生做五十個題目只能得十一分。雖然你的方法質(zhì)量、效率高多了，但我仍然會讓學(xué)生做五十個題目。因?yàn)楹芸赡芏嘁环謱W(xué)生就能上重點(diǎn)了，而家長、社會、行政看的是最終結(jié)果，不會在乎過程是怎么做的。”確實(shí)，改變評價標(biāo)準(zhǔn)與機(jī)制，不以一張?jiān)嚲矶ㄇぃ墙鉀Q問題的要件之一。但我們是否有勇氣這樣做：讓學(xué)生做十個題目就能得到十一分，甚至是十二分！高考高分就應(yīng)該這樣得到！
沒有“過程”＝?jīng)]有“思想”
章建躍
伴隨高考自主命題，每年都涌現(xiàn)大量“高考新題”。為了體現(xiàn)“公平性”“選拔性”，命題者絞盡腦汁編“新題”是必要的，但由此為依據(jù)，搞占卜算卦式的“新題研究及高考新動向預(yù)測”，并作為新學(xué)年數(shù)學(xué)教學(xué)的“方向”，卻是令人擔(dān)憂的。不過也有例外，本期刊登的“題型教學(xué)可以休矣”一文，給出了“高考指揮棒作用”的新解讀，特別是其中對“理（12）這樣一道容易題但得分率很低”的原因分析，引發(fā)我對“過程”與“思想”關(guān)系的思考。

眾所周知，“重結(jié)果輕過程”是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的一大弊端，尤其表現(xiàn)在概念教學(xué)和解題教學(xué)中：

概念教學(xué)搞“一個定義三項(xiàng)注意”，不講概念產(chǎn)生的背景，也不經(jīng)歷概念的概括過程，僅從 “邏輯意義”列舉“概念要素”和“注意事項(xiàng)”，忽視“概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法”，導(dǎo)致學(xué)生難以達(dá)成對概念的實(shí)質(zhì)性理解，無法形成相應(yīng)的“心理意義”。沒有“過程”的教學(xué)，因?yàn)槿狈?shù)學(xué)思想方法為紐帶，概念間的關(guān)系無法認(rèn)識、聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等“功能指標(biāo)”都會大打折扣。

有些教師往往用例題教學(xué)替代概念的概括過程，認(rèn)為“應(yīng)用概念的過程就是理解概念的過程”。殊不知沒有概括過程必然導(dǎo)致概念理解的先天不足，沒有理解的應(yīng)用是盲目的應(yīng)用。結(jié)果不僅“事倍功半”，而且“功能僵化”——面對新情境時無法“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，難以實(shí)現(xiàn)概念的正確、有效應(yīng)用，質(zhì)量效益都無保障。

解題教學(xué)退化為“題型教學(xué)”，試圖窮盡“題型”，幻想通過“題型”的機(jī)械重復(fù)、強(qiáng)化訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握對應(yīng)的“特技”和“動作要領(lǐng)”而提高考試分?jǐn)?shù)。對具有普適意義的、遷移能力強(qiáng)的“根本大法”——數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，卻因其不是“立竿見影”，需要較長時間的堅(jiān)持才能奏效，是一種潛移默化、潤物無聲的“慢工”，被有些老師判為“不實(shí)惠”而得不到應(yīng)有的滲透、提煉和概括。結(jié)果是在稍有變化的情境中，因?yàn)闆]有數(shù)學(xué)思想方法的支撐，“特技”失靈，“動作”變形，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力成為“泡影”。在“能力立意”的高考中出現(xiàn)“講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會”的結(jié)局就不足為奇了。

數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識的發(fā)生發(fā)展過程中。“思想”是概念的靈魂，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的源泉，是從技能到能力的橋梁；“過程”是“思想”的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤。

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。沒有“過程”的教學(xué)把“思維的體操”降格為“刺激—反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中表現(xiàn)。為使數(shù)學(xué)教學(xué)成為“有思想的教學(xué)”，成為提高思維能力的舞臺，成為培育理性精神的陣地，必須堅(jiān)持“過程與結(jié)果并重”的原則。
課堂教學(xué)的兩個關(guān)鍵
章建躍
本期刊登了沈順良老師的原文和我們對該文的修改，試圖通過對比，一方面說明如何修改文章，提高寫作水平（當(dāng)然，修改后的文章也未必臻于完善），另一方面，更重要的是想利用修改后的文章說明保證課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的兩個關(guān)鍵——“自然的過程”和“恰時恰點(diǎn)的問題”。

課堂教學(xué)中，“自然的過程”來源于數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知過程的融合，具體表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)概念、原理的不斷歸納和概括的過程。沈老師提供的教學(xué)案例，從課堂教學(xué)整體結(jié)構(gòu)看，在“引入（哥德巴赫猜想）——理解（拼圖與前n個正奇數(shù)的和）——應(yīng)用（例題、練習(xí)）——小結(jié)”等各環(huán)節(jié)中，圍繞“一種觀察”，選擇若干具體事例，安排了“語言轉(zhuǎn)換”“變形”“不同角度觀察”等活動，使學(xué)生經(jīng)歷了“突出共性”的過程，學(xué)習(xí)了觀察的方法，這是好的。欠缺的是“過程”不精細(xì)，對學(xué)生思維的引導(dǎo)不夠精確，數(shù)學(xué)上的實(shí)質(zhì)性思考不到位。而這些不足正是源于對具體事例的數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生的認(rèn)知過程的把握還不到位，由此而影響了本課的教學(xué)效果，真是“細(xì)節(jié)決定成敗”。例如，“拼圖游戲”的教學(xué)，因?yàn)閷ζ磮D的“過程”和“結(jié)果”（從數(shù)及其運(yùn)算角度看）的數(shù)學(xué)含義挖掘不夠，對學(xué)生在“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”中的困難估計(jì)不充分，致使教學(xué)出現(xiàn)如下問題：“拼圖過程”的“從頭至尾”的性質(zhì)沒有得到揭示；“一種觀察”沒有列出而使“共性”不夠突出；“拼圖結(jié)果”的解釋不到位；將“拼圖過程和結(jié)果”轉(zhuǎn)化為“數(shù)及其運(yùn)算的表示”不夠自然；對歸納推理的難點(diǎn)分析太籠統(tǒng)；等。

我們認(rèn)為，“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”應(yīng)當(dāng)成為一條重要的教學(xué)原則，是改進(jìn)教學(xué)方式的主要平臺，而“恰時恰點(diǎn)的問題”則是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。“問題”既需要課前預(yù)設(shè)，也要強(qiáng)調(diào)課中生成。課前預(yù)設(shè)基于教師對數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的關(guān)鍵點(diǎn)及其學(xué)生理解困難的分析，預(yù)設(shè)的問題應(yīng)當(dāng)圍繞當(dāng)前內(nèi)容的本質(zhì)與核心，明確具體、易于理解；課中生成的問題主要源于學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解偏差，靠教師的教學(xué)機(jī)智。例如，在對“拼圖”的觀察中，“觀察得到什么？”的數(shù)學(xué)含義不夠清楚，思維指向也不明確，而“觀察到什么共性？”有明確的數(shù)學(xué)含義——共性，指出了觀察的目標(biāo)，有較好的思維導(dǎo)向；同樣，例1中，“此問題中你能直接觀察嗎？”改成“根據(jù)上述經(jīng)驗(yàn)，如何轉(zhuǎn)化問題才有利于我們觀察？”，其目的是引導(dǎo)學(xué)生回顧“幾個事實(shí)——一種觀察——?dú)w納共性”的經(jīng)驗(yàn)，從已知條件中轉(zhuǎn)化出“幾個事實(shí)”，通過觀察“看出”它們的“共性”；等。

總之，“自然的過程”和“恰時恰點(diǎn)的問題”是提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的關(guān)鍵，同時也集中反映了教師的專業(yè)化水平，是提高教學(xué)能力的抓手，值得我們付出努力。

最后，應(yīng)當(dāng)說明，沈老師提出的通過突出“一種觀察”而獲得一類事物中“幾個事實(shí)”的共同特征，進(jìn)而歸納出該類事物的某一性質(zhì)，抓住了“歸納推理”教學(xué)的核心，這是最難能可貴的。我們的“修改”也是在這樣的思想指導(dǎo)下進(jìn)行的再完善。
數(shù)學(xué)教學(xué)的首要問題是“教什么”
章建躍
本期我們集中刊發(fā)了“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”第八次課題研討會成果。從中可以發(fā)現(xiàn)，這一課題抓住了數(shù)學(xué)核心概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)問題，正在嘗試解決“教什么”這一數(shù)學(xué)教學(xué)的首要問題。

“數(shù)學(xué)歸納法”一課“教什么”，可以有很大差異。許多老師把重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)歸納法的形式講解，放在操作步驟的訓(xùn)練上，放在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的技巧上；而課題組老師則把主要精力放在數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的理解上，即引導(dǎo)學(xué)生：理解兩個步驟的含義，特別是第二步是證明一個命題“p(k)真p(k+1)真”，了解“兩步缺一不可”的原因。在處理形式與本質(zhì)、過程與結(jié)果、邏輯與思想、技巧與能力、記憶與理解等諸方面關(guān)系上，兩者都表現(xiàn)出不同的教學(xué)思想。

一般地，我們可以從知識和認(rèn)知過程兩個角度來認(rèn)識“教什么”的問題。

從知識的角度看，我們應(yīng)該教“結(jié)構(gòu)良好的知識”（因此，以“模塊化”構(gòu)建的高中數(shù)學(xué)課程，因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)尚存在諸多缺陷而亟待改進(jìn)）；應(yīng)該教核心概念、主干知識；應(yīng)該“既講邏輯又講思想”；應(yīng)該圍繞“概念的核心”進(jìn)行教學(xué)；應(yīng)當(dāng)教概念的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。

從認(rèn)知過程看，我們應(yīng)當(dāng)教概念的概括過程；應(yīng)當(dāng)教理解（使學(xué)生學(xué)會在背景中建構(gòu)數(shù)學(xué)意義）；應(yīng)當(dāng)教應(yīng)用（使學(xué)生學(xué)會根據(jù)問題需要調(diào)動頭腦中的知識）；應(yīng)當(dāng)教發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。一句話，就是要教會學(xué)生數(shù)學(xué)地看待問題、思考問題和解決問題的方法。

之所以說“教什么”是首要問題，是因?yàn)檫@一問題解決不好，課堂教學(xué)就是無米之炊，無論你的教學(xué)方法多么好，結(jié)果都是竹籃打水一場空，不僅浪費(fèi)學(xué)生寶貴的時間和精力，而且會消減學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。課堂中，只有教貨真價實(shí)的數(shù)學(xué)知識，教知識蘊(yùn)含的思維過程和數(shù)學(xué)思想方法時，改進(jìn)教學(xué)方式才有意義，教學(xué)質(zhì)量的提高才能有前提和保證。

所有老師都懂得“授人以魚，不如授人以漁”的道理，但有些人一進(jìn)課堂就把它拋到九霄云外，急功近利地、迫不及待地要把現(xiàn)成的魚強(qiáng)加給學(xué)生，結(jié)果不僅使學(xué)生“消化不良”而導(dǎo)致概念模糊、原理不清、知識聯(lián)系不緊密，而且考試成績也難以有效提高，并因?yàn)椴恢皾O”的方法而失去可持續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)。這樣的教訓(xùn)俯拾皆是，廣大教師應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)記。
教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造能力
章建躍
2009年10月11日，溫總理以《教育大計(jì)，教師為本》為題，正式發(fā)表他教師節(jié)前去北京35中聽課的點(diǎn)評和講話。因?yàn)橛袑?shù)學(xué)課的點(diǎn)評，自然引起我的格外興趣。給我印象最深的點(diǎn)評是：“基礎(chǔ)課必須給學(xué)生以清楚的概念”；“這堂數(shù)學(xué)課概念清楚、啟發(fā)教育、教會工具、聯(lián)系實(shí)際，說明我們數(shù)學(xué)的教學(xué)方法有很大的改進(jìn)”。給我強(qiáng)烈震動的是他對我國教育問題的準(zhǔn)確判斷：“這些年甚至建國以來培養(yǎng)的人才尤其是杰出人才，確實(shí)不能滿足國家的需要，還不能說在世界上占到應(yīng)有的地位。”“中國培養(yǎng)的學(xué)生往往書本知識掌握得很好，但是實(shí)踐能力和創(chuàng)造精神還比較缺乏……我們在過去相當(dāng)長的一段時間里比較重視認(rèn)知教育和應(yīng)試的教學(xué)方法，而相對忽視對學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。”
溫總理的講話切中我國教育時弊，其實(shí)廣大教師也“早就看到了這些問題”。作為“太陽底下最光輝的職業(yè)”的從業(yè)者，我們在解決這些問題時應(yīng)做些什么？在無法回避的應(yīng)試環(huán)境中，如何加強(qiáng)對學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)？
南京師大附中“數(shù)學(xué)課堂研究性教和學(xué)實(shí)驗(yàn)”課題組的做法給我們很大啟發(fā)。為了使研究性學(xué)習(xí)落到實(shí)處，他們提出“把研究性學(xué)習(xí)引入常態(tài)化的課堂教學(xué)”并開展探索。他們區(qū)分了研究性教學(xué)的類型，結(jié)合概念課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課等不同課型的特點(diǎn)，有針對性地開展研究性教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生的探究創(chuàng)新能力和協(xié)作精神，使學(xué)生從模仿記憶學(xué)習(xí)逐漸向創(chuàng)造性學(xué)習(xí)發(fā)展，取得了較好成效。這表明，只要像溫總理說的，“樹立先進(jìn)的教育理念，敢于沖破傳統(tǒng)觀念的束縛，在……教學(xué)內(nèi)容、教育方法……等方面進(jìn)行大膽地探索和改革”，在課堂上“創(chuàng)造自由的環(huán)境”，“做到學(xué)思的聯(lián)系、知行的統(tǒng)一”，就能使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。
受此啟發(fā)，我想就概念教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造能力的問題談點(diǎn)想法。
數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科；數(shù)學(xué)教育的目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的終生發(fā)展打好基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的任務(wù)是掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，學(xué)會有條理地思考、有邏輯地表達(dá)，培育理性精神，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看、用數(shù)學(xué)的頭腦想、用數(shù)學(xué)的手段做。這些都與“基礎(chǔ)”緊密相關(guān)。基礎(chǔ)課必須給學(xué)生以清楚的概念！教好概念是重中之重！
數(shù)學(xué)概念教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神嗎？當(dāng)然能！這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)地認(rèn)識事物的思想結(jié)晶，蘊(yùn)含了最豐富的創(chuàng)新教育素材。數(shù)學(xué)是玩概念的，數(shù)學(xué)是用概念思維的，在概念學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的思維方式方法遷移能力最強(qiáng)。所以數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于使學(xué)生掌握“書本知識”，更重要的是讓他們從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)認(rèn)識世界的思想真諦，學(xué)會用概念思維，進(jìn)而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力。
數(shù)學(xué)教師，一介平民，沒有權(quán)力和平臺去決策國家大事。但你是教學(xué)的主導(dǎo)，課堂的一切“你說了算”，你的行為對學(xué)生有重大影響。因此，在基礎(chǔ)知識教學(xué)中融入探究成分，講邏輯推理之前先讓學(xué)生進(jìn)行歸納、類比、猜想等合情推理，把創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的培養(yǎng)落實(shí)在課堂，這是想做就能做、用心能做好的。
國家興亡，匹夫有責(zé)。溫總理高度重視教育和對杰出人才的渴望深深地打動著我們，他對我國當(dāng)前教育的憂慮極大地感染著我們。愿廣大教師能與總理氣息相通，把危機(jī)感化作教育創(chuàng)新的不竭動力，行動起來，為培養(yǎng)人才尤其是杰出人才作出貢獻(xiàn)。
概括
──概念教學(xué)的核心
章建躍
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的、也是學(xué)生最難理解的概念之一，因此如何設(shè)計(jì)好它的教學(xué)過程，是數(shù)學(xué)教研中經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)問題。本期刊登的“函數(shù)概念教學(xué)的再思考”一文，從對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的漸進(jìn)性分析入手，明確了高一階段函數(shù)概念的核心是“對應(yīng)法則”，在APOS理論指導(dǎo)下分析了學(xué)習(xí)“集合對應(yīng)說”函數(shù)概念應(yīng)經(jīng)歷的階段，比較了函數(shù)概念的不同呈現(xiàn)方式，通過問卷方式了解學(xué)生的函數(shù)概念認(rèn)知基礎(chǔ)，然后再設(shè)計(jì)出精細(xì)的函數(shù)概念教學(xué)過程。我們相信，這樣精雕細(xì)琢地設(shè)計(jì)概念的概括過程，學(xué)生對函數(shù)概念的理解將容易得多、到位得多。

實(shí)際上，概念教學(xué)的核心就是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動而獲得概念。數(shù)學(xué)教學(xué)要“講背景，講思想，講應(yīng)用”，概念教學(xué)則要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程。這里有幾個要點(diǎn)值得注意：

第一，數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，決定了對它的認(rèn)識過程的曲折性，不可能一步到位，需要一個螺旋上升地、在已有基礎(chǔ)上進(jìn)一步概括的過程；

第二，人類認(rèn)識數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”，個體對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識要“重演”人類的認(rèn)識過程，因此學(xué)習(xí)像函數(shù)這樣的核心概念，需要區(qū)分不同年齡階段的概括層次（如變量說、對應(yīng)說、關(guān)系說等），這也是“教學(xué)與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)”的本意所在；

第三，為了更有利于學(xué)生開展概括活動，例子的選擇至關(guān)重要，“一個好例子勝過一千條說教”；

第四，“細(xì)節(jié)決定成敗”，必須安排概念的精致過程，即要對概念內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對概念要素作具體界定，讓學(xué)生在對概念的正例、反例作判斷的過程，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié)；

第五，在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，即要通過概念的應(yīng)用，形成用概念作判斷的“操作步驟”的同時，建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過程。

順便提及，在我們的一次有3200多位教師參與的調(diào)查中，有68.04%的老師認(rèn)為應(yīng)當(dāng)“從映射到函數(shù)”地進(jìn)行函數(shù)教學(xué)。這樣做在數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性上無懈可擊，但從人類對函數(shù)概念認(rèn)識的漸進(jìn)性考慮，從學(xué)生“重演”人類認(rèn)識過程的規(guī)律出發(fā)，從“讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程”考慮，“從映射到函數(shù)”的處理方式是否都存在諸多不利呢？

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性是公認(rèn)的，但對概念教學(xué)過程的理解是仁者見仁的。不過，無論有多少不同理解，概念教學(xué)的核心就是兩個字——概括。
“創(chuàng)造性使用教材”≠“脫離教材”
章建躍
本期刊登的文章中，有多篇文章不約而同地談到要重視教材的問題。薛紅霞以函數(shù)概念的教學(xué)為例，闡述了理解教材編寫意圖對于實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、提高課堂教學(xué)質(zhì)量的重要意義；連春興和王霞闡述了以“學(xué)案”引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材、開展探究性學(xué)習(xí)的做法；而對最容易脫離課本的高考復(fù)習(xí)，韋華榮也提出要以課本為依據(jù)、充分重視課本例習(xí)題的觀點(diǎn)。這些觀點(diǎn)值得重視。
不過，在最近的大量課堂觀察中（其中包括全國優(yōu)質(zhì)課評比活動中的課），我發(fā)現(xiàn)脫離課本進(jìn)行教學(xué)的現(xiàn)象很普遍，這是令人擔(dān)憂的。
調(diào)研表明，出現(xiàn)脫離課本進(jìn)行教學(xué)的原因主要有三個方面：
第一，許多教師認(rèn)為教材內(nèi)容“簡單”，不足以應(yīng)付高考；
第二，誤解本次課改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“創(chuàng)造性地使用教材”的真正意圖；
第三，許多教師不善于或不愿意花大力氣研究教材。
對上述問題，我有如下幾點(diǎn)思考：
首先，一定要正確理解“不是教教材，而是用教材教”的內(nèi)涵，我認(rèn)為這是針對“照本宣科”而言的，絕對不是提倡大家“脫離教材”進(jìn)行教學(xué)（當(dāng)然，某些“課改專家”確實(shí)提出過“教材僅僅是課程資源的一種”“教師是課程資源的開發(fā)主體”等，但實(shí)踐證明，這些觀點(diǎn)過于理想化了）。
其次，“教材太簡單，不足以應(yīng)付高考”的觀點(diǎn)是偏頗的。誠然，教材的“基礎(chǔ)性”與高考的“選拔性”確有一定的目標(biāo)差異，但學(xué)好教材一定是高考取得好成績的前提，教師的主要精力應(yīng)當(dāng)放在幫助學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容上。
第三，理解教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提，而“理解教材”的第一要義是“理解數(shù)學(xué)”：了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程和價值觀資源，區(qū)分核心知識和非核心知識等。
第四，要仔細(xì)分析教材編寫意圖：教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的。因此，在處理教材時，內(nèi)容順序的調(diào)整要十分小心（否則容易導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)的偏離），例子可以根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)和當(dāng)?shù)亟虒W(xué)環(huán)境替換，但所換的例子要反映教科書的意圖，要能承載書上例子的教學(xué)任務(wù)。
在1999年出版的《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中我曾說，“教之道在于‘度’，學(xué)之道在于‘悟’”。在課標(biāo)教材實(shí)驗(yàn)過程中，許多老師覺得這個“度”不好把握。我認(rèn)為這主要是對課標(biāo)教材的研讀還不夠深入所致，不領(lǐng)悟教材就不可能把握好“度”。
課本、課本，一科之本。課堂教學(xué)應(yīng)“以課本為本”。
在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的思想方法上下功夫
章建躍
陳振宣先生關(guān)于“構(gòu)建數(shù)學(xué)核心概念意象”的論述，其主旨是追究概念的本源，尋找適當(dāng)?shù)哪Ｐ捅磉_(dá)。其實(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，追本溯源，都有本質(zhì)的精簡性、思想的樸實(shí)性，本源上都是自然且直觀的。因此，把數(shù)學(xué)教得平易近人、精簡實(shí)用應(yīng)是數(shù)學(xué)教師的基本追求。
不久前看到一篇“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)”的教學(xué)論文。文中提到，“倒序求和”是重要的思想方法，由高斯求1+2+…+100的方法得不出“倒序求和法”。因此，“人教A版”應(yīng)當(dāng)改變設(shè)計(jì)思路，以“梯形鋼管堆的計(jì)數(shù)”“梯形面積”等引出“倒序求和”法。
是否老師們都認(rèn)為“倒序求和”是重要的思想方法呢？在網(wǎng)上搜索相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)老師持這一觀點(diǎn)，并且都緊緊圍繞這一“思想方法”展開教學(xué)，不遺余力地要讓學(xué)生掌握這一方法。教材培訓(xùn)時的“即興調(diào)查”結(jié)果也一樣，大多數(shù)老師認(rèn)為推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想方法是“倒序求和”。
我認(rèn)為，“倒序求和”并不是什么思想方法，“重要”就更談不上了，它只是為了避免對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行奇偶討論而引入的一個技巧，并不具有根本的重要性。
事實(shí)上，推導(dǎo)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式的核心思想是：用等差數(shù)列的性質(zhì)“等差數(shù)列{ an }中，當(dāng)m +n=p +q時，am + an = ap + aq ”，將不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，數(shù)量關(guān)系上看是利用了“平均數(shù)”概念；進(jìn)一步地，如果從等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式出發(fā)，由于Sn=na1 +d[1+2+…+(n－1)]，問題可化歸為求1+2+…+(n－1)。所以，“人教A版”的設(shè)計(jì)思路，即：從“高斯的故事”引入，再歸納高斯方法的本質(zhì)，明確其實(shí)質(zhì)是用了上述性質(zhì)，然后再用這一方法求1+2+…+n的值（需要分n為奇數(shù)、偶數(shù)），最后再過渡到一般等差數(shù)列的求和公式，是一種聚焦基本概念和基本原理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程，從中領(lǐng)悟“化歸”的思想方法的思路。“倒序求和”的技巧可以在討論n的奇偶性而獲得求和公式后，再讓學(xué)生思考“能否想個辦法避免討論”，把公式變形為2 Sn=n(a1 + an)，再聯(lián)系性質(zhì)而得到。因此，“倒序求和”的技巧實(shí)際上是“倒過來想”的產(chǎn)物，估計(jì)前人也是出于避免對n的奇偶討論而想到的。許多老師都在為這一“思想方法”的自然引出而絞盡腦汁，但我認(rèn)為，如果僅僅盯在“倒序求和”上是做不到的，因?yàn)樗皇恰霸l(fā)性”的，不是求和公式這一“內(nèi)容所反映的思想方法”。
因此，應(yīng)把“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”看成是等差數(shù)列概念、性質(zhì)的應(yīng)用課。這一課的教學(xué)，重要的是要培養(yǎng)學(xué)生從基本概念、基本原理出發(fā)思考問題的習(xí)慣。具體教學(xué)時，應(yīng)在明確任務(wù)（即用基本量a1，d，n(或a1，an，n)表示Sn）的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從基本性質(zhì)、通項(xiàng)公式入手，尋找化歸的方法，在不斷“求簡”的追求中得到“倒序求和”。
順便提及，在等差數(shù)列{an}中，看看a1=1，d=1這一特例，考察一下它與一般等差數(shù)列的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)：最簡單、最本質(zhì)的等差數(shù)列就是1，2，3，…，n…，這就是等差數(shù)列的意象。其他都是它的“變式”——a1代表不同“起點(diǎn)”，d代表不同“步長”。研究等差數(shù)列時，想想自然數(shù)的性質(zhì)是很有啟發(fā)的。
領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的思想方法是教師的基本功，也是構(gòu)建合理的教學(xué)過程、提高課堂教學(xué)有效性的前提。
要把精力集中在核心知識的研究上
章建躍
本期有兩篇討論“零向量”問題的文章。從趙宏偉老師的參考文獻(xiàn)中看到，許多老師對這個問題感興趣。在我平時的調(diào)研中也常有老師問及于此。這些都說明“零向量與任一向量平行”“零向量與任一向量垂直”之類的規(guī)定，真的困惑了不少老師。對此，我有如下想法與大家交流。
首先，從向量代數(shù)的角度看，我們首先感興趣的是非零向量，它們有好的運(yùn)算—加法，并由此延伸出數(shù)乘向量。為了使它的逆運(yùn)算（即減法）完滿、不留空白，必須引進(jìn)零向量。這是零向量的核心意義，就像實(shí)數(shù)集中的0在運(yùn)算中的地位一樣。由于零向量的位置特殊，數(shù)學(xué)家們約定“零向量的方向不確定”。這樣，在處理具體問題時，讓它與某一向量平行或垂直都可以。這是一種人為的、合乎習(xí)慣的并且方便于應(yīng)用的規(guī)定，就像“0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)”（其實(shí)也可以說成是“0既是正數(shù)，也是負(fù)數(shù)”）一樣。
其次，向量有它的幾何原型—有向線段，而且我們借助于幾何圖形，用“三角形法則”等定義它的運(yùn)算，因此“向量集數(shù)與形于一身”。在研究了向量的運(yùn)算及其規(guī)律后，回頭再看向量運(yùn)算及其結(jié)果的幾何意義，就有了解決幾何問題的向量法，而且向量法的力量無限。這種力量集中體現(xiàn)在它僅用“向量相加的‘首尾相接法則’”、“向量數(shù)乘的意義和運(yùn)算律”、“向量數(shù)量積的意義和運(yùn)算律”、“平面向量基本定理”等四條基本法則來解決幾何問題。這些是中學(xué)向量教學(xué)應(yīng)關(guān)注的核心問題。
第三，我們應(yīng)把精力集中在核心的、更重要的內(nèi)容上。例如：
如何理解函數(shù)概念？為什么課標(biāo)提倡“從學(xué)生已掌握的具體函數(shù)和函數(shù)的描述性定義入手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實(shí)際問題，嘗試列舉各種各樣的函數(shù)，構(gòu)建函數(shù)的一般概念”？
如何幫助學(xué)生建立向量概念？為什么要強(qiáng)調(diào)向量的幾何背景、物理背景？向量法的特色是什么？
如何與時俱進(jìn)地理解任意角的三角函數(shù)？為什么要強(qiáng)調(diào)單位圓的作用？
為什么說“等差數(shù)列是自然數(shù)列的變式”？
為什么說“統(tǒng)計(jì)的核心思想是歸納的思想”？統(tǒng)計(jì)教學(xué)為什么要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生親自動手收集數(shù)據(jù)？
為什么說“概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義”？為什么在古典概型之前不講計(jì)數(shù)原理？
如何理解“瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)”？導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵是什么？
當(dāng)然，教師在自己深刻理解的基礎(chǔ)上，還要將這種理解做出教學(xué)表達(dá)，其目的是要有利于學(xué)生的理解。例如，把“零向量的方向不確定”與“0的符號不確定”作類比，可以幫助學(xué)生體會零向量的“味道”。
這篇短文是我在紹興講課時寫成的。突然有一個聯(lián)想，對零向量的這種“考證”，是否與當(dāng)年孔乙己對茴香豆的“茴”有多少種寫法的考證一樣呢？這個聯(lián)想對考證零向量的老師確實(shí)是大不敬了，望海涵。但無論如何，費(fèi)那么多的筆墨于零向量，確實(shí)不夠大氣。

注：本文涉及刊物內(nèi)容詳見張景中等《向量教學(xué)存在的問題及對策》，載《數(shù)學(xué)通報》2009年第9期。
必須關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的變革
章建躍
也許，大多數(shù)老師都認(rèn)為，變革教學(xué)內(nèi)容是課程專家的事。我們是教書的，只要照章行事，教好課標(biāo)規(guī)定的內(nèi)容就行。果真如此嗎？據(jù)我的觀察，問題并不這么簡單。教師對內(nèi)容變革的合理性及其精神實(shí)質(zhì)的理解，無形中會對教學(xué)產(chǎn)生很大影響。
本期阮偉強(qiáng)老師《一道課本例題解法的質(zhì)疑與探究》一文，本質(zhì)是對立體幾何中向量法地位的質(zhì)疑。事實(shí)上，人教A版給出的解法并不是地道的向量法，有“為向量而向量”的嫌疑。難怪學(xué)生會有“多此一舉”的質(zhì)疑。阮老師的教學(xué)處理有機(jī)智，在學(xué)生有質(zhì)疑時，讓他們自己給出“向量味”十足的證法。只是，在他的教材修改建議中，又提議用旁白等形式提醒學(xué)生用綜合法證明。這種表現(xiàn)很有代表性。事實(shí)上，很多老師由于對立體幾何課程改革的敏感性不夠，導(dǎo)致對向量法態(tài)度上的舉棋不定，有的甚至認(rèn)為中學(xué)應(yīng)取消向量法。當(dāng)然，這種狀況“教材和教參的編寫者要負(fù)相當(dāng)大的責(zé)任”①。
立體幾何課程改革中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)解析方法（包括向量法）還是綜合法？一般地，幾何問題代數(shù)化易于找到確定的解法，不會無從下手，對學(xué)與教都有好處，遺憾在于直觀性不強(qiáng)，如果運(yùn)算繁復(fù)更會讓人感到缺乏綜合法的靈巧。綜合法較難，但確有引人入勝的魅力，解題中的神來之筆令人心花怒放，能從中真正體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美。難怪有人因?qū)W歐氏幾何而愛上數(shù)學(xué)。因此，取舍很難。
但從幾何學(xué)的發(fā)展看，研究方法的進(jìn)步是標(biāo)志。實(shí)驗(yàn)幾何用歸納實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)空間的本質(zhì)；推理幾何用演繹法，以邏輯推理探索新知，并將幾何整理成公理化體系；坐標(biāo)解析幾何用坐標(biāo)法研究幾何性質(zhì)，不但將幾何與代數(shù)簡明有力地結(jié)合起來，開創(chuàng)了近代數(shù)學(xué)的先河，而且導(dǎo)致微積分的產(chǎn)生，解析法在自然現(xiàn)象的研究中也得到廣泛使用；向量幾何本質(zhì)上是坐標(biāo)解析幾何的返璞歸真，最大優(yōu)越性在于向量運(yùn)算的正交不變性，由于幾何學(xué)研究的是空間所有保長變換所構(gòu)成的變換群的不變量理論，因此向量是最有力工具。向量幾何是不依賴于坐標(biāo)系的解析幾何，它自然而然地化解了由坐標(biāo)系的選取所引入的各種（非幾何的）非不變量的困擾②。因此，向量法很重要，代表了幾何發(fā)展的方向，這樣先進(jìn)的工具應(yīng)讓學(xué)生學(xué)習(xí)。
另外，高中以學(xué)習(xí)向量幾何為主已是世界潮流。美國的高中數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)“發(fā)展用坐標(biāo)、網(wǎng)絡(luò)、變換、向量及矩陣來表達(dá)幾何思想”，并要懂得各種表征方法的聯(lián)系；從本期王奮平介紹的英國“高考”內(nèi)容看，英國的幾何課程沒有綜合幾何，但有較高的向量幾何要求；法國的課程也如此；日本、新加坡、我國港澳臺地區(qū)等也如此。類似的，增加統(tǒng)計(jì)、概率內(nèi)容，也是潮流；西方早在1960年代就已把微積分作為優(yōu)秀高中生的必學(xué)課程了。我們必須思考為什么會有這種趨勢。我認(rèn)為，這不是趕時髦的結(jié)果，而是為了反映數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢和信息化社會對公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需求。
綜上，高中幾何應(yīng)以向量幾何為主，綜合法應(yīng)在初中平面幾何中得到更好的訓(xùn)練。目前的問題是大家對向量法的優(yōu)美和力量注意不夠，需要我們加強(qiáng)研究，改變習(xí)慣思維和做法，使向量幾何真正融入高中數(shù)學(xué)，成為主角。
注：
①張景中等. 向量教學(xué)存在的問題及對策[J]。數(shù)學(xué)通報，2009（9），8
②項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)幾何學(xué)[M]。北京：人民教育出版社，2004，2~3
改變習(xí)慣從加深理解內(nèi)容開始
章建躍
本期刊登了王能斌的《對三角函數(shù)定義修改的感悟》。文中指出，對于三角函數(shù)的定義，許多老師很懷古，鐘情于“任意角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)比值”的定義方法，而對“單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)就是三角函數(shù)”的定義方法不適應(yīng)，提出種種理由拒絕它。早在2007年之初，我就在《數(shù)學(xué)通報》上發(fā)文，剖析了這些“理由”，這里不再贅述。其實(shí)，數(shù)學(xué)定義是選擇的結(jié)果。教材的選擇，既要考慮定義本身是否簡單、易學(xué)及對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響，還要考慮它是否反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用的需要。人教A版用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，是因?yàn)樗w現(xiàn)了“三角函數(shù)是勻速旋轉(zhuǎn)這個最簡單的圓周運(yùn)動的本質(zhì)表現(xiàn)”，并能給后續(xù)學(xué)習(xí)帶來極大方便，這在王老師的教學(xué)中也得到了證實(shí)。這里我想談的是要以開放的心態(tài)，更新自我，通過深入理解內(nèi)容而實(shí)現(xiàn)習(xí)慣的改變。
公元前的亞歷山大里亞時期，為了建立定量的天文學(xué)，以便用來預(yù)報天體的運(yùn)行路線和位置以幫助報時、計(jì)算日歷、航海和研究地理等，三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中應(yīng)運(yùn)而生。到托勒密（Ptolemy，公元168年去世）出版《數(shù)學(xué)匯編》，希臘三角術(shù)及在天文學(xué)上的應(yīng)用達(dá)到頂峰。這部著作中有大量三角恒等變形問題，包括和（差）角公式、和差化積公式等，證明采用了初等幾何方法。三角學(xué)的發(fā)展與天文學(xué)相互交織，且服務(wù)于天文學(xué)。到十六世紀(jì)，三角學(xué)開始從天文學(xué)里分離出來，并成為數(shù)學(xué)的一個分支。為了應(yīng)付航海、天文、測量等實(shí)踐之需，制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心工作。因?yàn)樵谥谱鬟^程中需要大量的三角恒等變形，所以三角恒等變形問題占據(jù)了重要地位。后來，隨著對數(shù)的發(fā)明，特別是微積分的創(chuàng)立，三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉，繁雜的三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)重要的三角公式也風(fēng)光不再。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，三角恒等變形應(yīng)逐漸退出歷史舞臺。
那么，三角函數(shù)課程應(yīng)如何與時俱進(jìn)呢？
首先，從應(yīng)用的角度看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，因?yàn)椤叭呛瘮?shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常重要，最重要的是它與振動和波動的聯(lián)系，可以說，它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之一”①。要特別重視對y=Asin(ωx+φ)的研究。
第二，“正弦、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運(yùn)動，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性）的直接反映。”②所以，要充分發(fā)揮單位圓的作用，三角函數(shù)課程要用單位圓為載體來組織，要借助單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)容。
第三，在思想、方法上，要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的變換（映射）與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系、對稱性與不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和方法。例如，把誘導(dǎo)公式作為“關(guān)于x軸的軸對稱變換T1：”和“將θ的終邊繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換T2：”的合成；把和（差）角公式作為“角α旋轉(zhuǎn)任意角β的旋轉(zhuǎn)變換公式”等。
第四，要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)與向量、復(fù)數(shù)、解析幾何等的聯(lián)系與綜合。
總之，定義三角函數(shù)的最好方式是利用直角坐標(biāo)系中的單位圓③。抓住三角函數(shù)作為刻畫勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，這就真正抓住了要領(lǐng)，就能以簡馭繁。
注：
①齊民友. 三角函數(shù) 向量 復(fù)數(shù)[J]。數(shù)學(xué)通報，2007（10）（11）
②項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義叢書·基礎(chǔ)幾何學(xué)[M]．北京：人民教育出版社，2004，82頁
③[美]R·柯朗等. 什么是數(shù)學(xué). 左平，張飴慈譯. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005，283頁
2011
改進(jìn)教學(xué)從加深理解內(nèi)容入手
章建躍
本期刊登了“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”課題組第九次研討會成果。會議聚焦的“統(tǒng)計(jì)、概率的教育價值”“章起始課的教學(xué)”“概念教學(xué)”等都是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中需要重點(diǎn)研究的課題，也是課堂教學(xué)的難點(diǎn)問題。這里就提高統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)水平問題談點(diǎn)看法。
大量課堂觀察發(fā)現(xiàn)，制約統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)水平的瓶頸首先在教師自身的知識儲備。有些老師甚至“照本宣科”都做得不好。因?yàn)閷y(tǒng)計(jì)、概率的基礎(chǔ)知識理解不深、把握不準(zhǔn)，課堂中出現(xiàn)一些常識性錯誤。例如，在概率課上，不止一次聽到教師與學(xué)生這樣的對話：“概率為0的事件是？”—“不可能事件！”—“對！”又例如，由于對隨機(jī)變量的“定義域”是“試驗(yàn)結(jié)果的集合”理解不深，許多老師將“隨機(jī)變量”等同于“函數(shù)”。
更常見的是，因?yàn)榻處煂?nèi)容不熟悉，導(dǎo)致對學(xué)生出現(xiàn)的知識理解偏差缺乏敏感性，不敢理直氣壯地糾正學(xué)生的錯誤。因?yàn)榕抡f“外行話”，許多老師甚至對學(xué)生的問題采取聽而不聞、視而不見的“明智”辦法。例如，引入隨機(jī)變量概念是為了能用數(shù)學(xué)工具和方法研究隨機(jī)現(xiàn)象，因此在定義具體問題中的隨機(jī)變量時，除了注意其實(shí)際意義，更要考慮是否有利于隨機(jī)現(xiàn)象的研究。但很多老師卻囿于“隨機(jī)變量可以自由定義”，不能做到瞻前顧后，在擲硬幣的試驗(yàn)中，當(dāng)學(xué)生提出用“1”和“－1”、“1”和“2”等分別表示硬幣的“正面向上”和“反面向上”時，不僅認(rèn)可，還用“一對相反數(shù)正好對應(yīng)于一正一反”加以鼓勵，甚至問“還有別的定義方法嗎？”殊不知，這樣定義會給后續(xù)研究帶來很大不便。
從思維習(xí)慣看，也因?yàn)閷?nèi)容理解不深入，許多老師會不自覺地從確定性思維出發(fā)理解隨機(jī)數(shù)學(xué)。例如，有些老師這樣來解釋概率的統(tǒng)計(jì)定義：“隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會越來越趨近于一個常數(shù)p，p就是概率。”
因?yàn)閷y(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)科特點(diǎn)理解不深，許多老師把統(tǒng)計(jì)與概率“教成了算術(shù)、畫圖表、計(jì)數(shù)”，而對于由它的“應(yīng)用性”特點(diǎn)所決定的必需讓學(xué)生動手實(shí)踐，解決一些真實(shí)的應(yīng)用問題，在實(shí)踐中學(xué)會一些統(tǒng)計(jì)方法等并不在意。例如，有些老師對教材沒有線性回歸方程的推導(dǎo)過程很不滿，因此在“兩個變量的線性相關(guān)”的教學(xué)中，把主要精力集中在系數(shù)公式的推導(dǎo)、訓(xùn)練學(xué)生記憶和熟練用公式計(jì)算上。這樣處理并沒有抓住內(nèi)容的本質(zhì)，沒有體現(xiàn)其特點(diǎn)。實(shí)際上，這是“用樣本估計(jì)總體”的一次典型實(shí)踐，主要目的是讓學(xué)生在實(shí)在地處理一類統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計(jì)總體的思想，學(xué)習(xí)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的方法，并體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性（即線性回歸方程是隨機(jī)的）。因此教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生處理一些典型案例，使他們經(jīng)歷較系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，把重點(diǎn)放在體會最小二乘法的思想上，放在理解回歸方程系數(shù)的意義上，放在理解線性回歸方程的意義上（線性回歸直線是由樣本數(shù)據(jù)決定的，有隨機(jī)性，是對總體的一個估計(jì)），放在用回歸直線對總體的分布和數(shù)字特征等作出估計(jì)上。公式的推導(dǎo)不是主要的，系數(shù)的計(jì)算可由計(jì)算器完成。
綜上，改進(jìn)統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)，必須從加深理解內(nèi)容入手。老師親自解決一些真實(shí)的概率統(tǒng)計(jì)問題是一條捷徑。其實(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高又何嘗不是如此呢？
過程自然才能使學(xué)生“會”
章建躍
最近看到一個“余弦定理”的教學(xué)過程：
師：在△ABC中，已知CB=a，CA=b，a≥b。當(dāng)∠C從小到大變化時，AB的長變化趨勢如何？
生：隨∠C的增大而增大。
師：特別地，∠C=0°，90°，180°，AB的長等于多少？
生：a－b；；a+b。
師：把三個結(jié)論在形式上寫得更接近些，即
∠C=0°時，AB=；
∠C=90°，AB=；
∠C=180°，AB=。
你能根據(jù)上述三個特例的結(jié)果猜想∠C=θ(0°＜θ＜180°)時，AB的長是多少嗎？
生：AB=。
師：很好。大家能給出證明嗎？
生：……
師：怎么不會呢？我們可以這樣來證（教師板書證明過程）。
這段描述引發(fā)了我的思考：學(xué)生不會的原因是什么？
我認(rèn)為，上述教學(xué)不包含使學(xué)生“會”的成分。三個特例的“統(tǒng)一形式”是老師以變魔術(shù)的方式變出來的，過程不自然，學(xué)生的“猜想”只是照貓畫虎。因?yàn)檫^程不自然，所以“猜想”是老師強(qiáng)加給學(xué)生的；因?yàn)闆]有體現(xiàn)“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”，所以學(xué)生得到的“猜想”是沒有靈魂的；因?yàn)椤安孪搿辈惶N(yùn)含思想，所以學(xué)生不會證明是自然的。
那么，如何才能使學(xué)生“會”呢？我認(rèn)為，在理解余弦定理及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，再設(shè)計(jì)自然的過程，就能水到渠成地使學(xué)生“會”。可以從兩個角度看“自然的過程”：
從解三角形角度，就是“已知三角形的兩邊及其夾角，求三角形的其他邊和角”，解決它的核心思想方法是將它轉(zhuǎn)化為已解決的問題，如解直角三角形、利用正弦定理等。
從向量及其運(yùn)算角度，就是“在△ABC中，已知向量，的長和∠A，如何計(jì)算向量的長”，解決它的基本思想是利用和向量的數(shù)量積概念。由此可以發(fā)現(xiàn)余弦定理是勾股定理的推廣。
根據(jù)上述理解，可按如下思路設(shè)計(jì)教學(xué)過程：
思路1（1）明確問題——在△ABC中，已知AB=c，CA=b和∠A，求BC；（2）有哪些知識可用？——三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，正弦定理等；（3）能否將問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題？如何轉(zhuǎn)化？

思路2 （1）明確問題——在△ABC中，已知，和∠A，求；（2）有哪些知識可用？——根據(jù)向量加法的三角形法則有，而，再由向量的數(shù)量積定義可得結(jié)果。
上述思路1反映了“解三角形”的需要，體現(xiàn)了“將新問題化歸為舊問題”的思想，學(xué)生容易接受，但局限是僅在平面幾何中轉(zhuǎn)圈圈，只反映了余弦定理的一個小應(yīng)用；思路2簡單且視野開闊，是“用另一種眼光看問題”，蘊(yùn)含著“作為相對量的線段”的思想，不僅可以“解三角形”，而且具有深遠(yuǎn)的發(fā)展空間。
核心概念最有力量
章建躍
本期刊登了年屆九十的陳振宣老先生撰寫的《向量在軸上的射影的辨析》一文，本刊感到榮幸。從陳老先生的文章中我們感受到了我國數(shù)學(xué)教育前輩孜孜不倦、嚴(yán)謹(jǐn)求真的風(fēng)范。他的責(zé)任心令人欽佩，他“默而識之，學(xué)而不厭，誨人不倦”的精神值得大家學(xué)習(xí)。
陳老先生文中提到的軸上的向量（即一維向量）的數(shù)量這一核心概念，與大家熟悉的有向線段的數(shù)量相通，直觀、易懂、有用、好用。這種直觀性與人的直覺完全一致，與學(xué)生在實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)中建立的經(jīng)驗(yàn)相吻合——用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。向量是帶有方向的量，它有大小和方向兩個屬性；向量的數(shù)量也有兩個屬性，符號（正、負(fù)）和模（大小）。兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系是：正、負(fù)號表示了向量的方向（以單位向量的方向?yàn)榛鶞?zhǔn)），模表示了向量的長度。
特別值得重視的是用符號代表方向，它奠定了軸上向量數(shù)量化的基礎(chǔ)，由此就可以實(shí)現(xiàn)用實(shí)數(shù)表示向量：
在軸x（具有方向和長度單位的直線）上取一點(diǎn)O為原點(diǎn)，得數(shù)軸Ox，并設(shè)它的基向量為e，則Ox上任意一點(diǎn)P與向量一一對應(yīng)，而且＝e。實(shí)際上，就是數(shù)軸Ox上點(diǎn)P的坐標(biāo)p。由此可方便地推出數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式。
進(jìn)一步地，可以把點(diǎn)在軸上的運(yùn)動、軸上的向量加法、實(shí)數(shù)的代數(shù)和等統(tǒng)一起來：
在軸x上，一個點(diǎn)從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B，再從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C，無論兩次運(yùn)動的方向如何（可以區(qū)分出四種情況），都有。這一等式的代數(shù)意義實(shí)際上就是實(shí)數(shù)的代數(shù)和（表示了多次變化的結(jié)果）。
更進(jìn)一步地，在平面直角坐標(biāo)系中，借助于平面向量在軸上的射影概念（聯(lián)系平面向量與一維向量的橋梁），利用軸上向量的數(shù)量，就可推出平面直角坐標(biāo)系的基本定理，從而方便地推出兩點(diǎn)間的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)公式、三角形面積公式……這一套概念和理論能容易地推廣到三維空間中去。
在上面的討論中，我們特別強(qiáng)調(diào)了用符號表示方向的重要性，由此才有。也許有人會問，這不就是一個常識嗎？值得如此重視嗎？是的，值得重視，而且它很重要。它叫夏爾（或譯為沙爾）定理，夏爾本人（Michel Chasles，19世紀(jì)重要的法國數(shù)學(xué)家）稱之為“幾何學(xué)的基本定理”，其實(shí)質(zhì)意義是讓幾何量帶上符號。“對比把長度、面積、體積考慮為絕對值的普通初等幾何學(xué)，這樣做有極大的好處。初等幾何必須依照圖形呈現(xiàn)的情況而區(qū)分許多情況，而現(xiàn)在用幾個簡單的一般定理就可以概括。”（F·克萊因）例如，讓角帶上符號而成為任意角，于是就有：設(shè)角α的始邊、終邊分別為OA，OB，讓OB旋轉(zhuǎn)任意角β到OC，則由OA旋轉(zhuǎn)到OC的角是α＋β。否則就必須考慮：在OB旋轉(zhuǎn)到OC時，是按順時針還是按逆時針？因此，夏爾定理也是研究三角函數(shù)的基礎(chǔ)。
中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念往往具有鮮明的直觀背景，簡單、易懂且威力無窮，是開啟中學(xué)數(shù)學(xué)大門的金鑰匙。廣大教師應(yīng)加強(qiáng)修行，遠(yuǎn)離“題型+技巧”的雕蟲小技，提升自己的鑒寶能力，集中注意力于核心概念，學(xué)會用金鑰匙打開數(shù)學(xué)寶藏的方法，這樣才能實(shí)現(xiàn)“減輕負(fù)擔(dān)，提高質(zhì)量”的宏愿，同時也使自己功德圓滿。
時代發(fā)展與數(shù)學(xué)課程改革
章建躍
本期刊登了王奮平老師的《英國Edexcel數(shù)學(xué)A水平考試內(nèi)容介紹》。至此，王老師對英國五大考試委員會（AQA、CCEA、OCR、Edexcel 、WJEC/CBAC）組織的A水平課程考試（相當(dāng)于我國的“高考”）內(nèi)容全部刊登了。從這一系列介紹中可以感受到我國高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與英國的巨大差異：他們的內(nèi)容時代氣息更加濃厚，范圍更加廣泛，更加針對現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的需要。當(dāng)我們有些老師還在為刪去韋達(dá)定理而不能簡捷地求解“弦的中點(diǎn)軌跡問題”而非常生氣時，他們已經(jīng)在要求學(xué)生用區(qū)間分半法、線性插值法、牛頓-拉撲遜方法（The Newton-Raphson process）求形如f(x)=0的解了。這實(shí)在是一件令人害怕的事情。
在談?wù)撐覈鴶?shù)學(xué)教育時，我們都為中國學(xué)生在運(yùn)算技能和邏輯推理能力上的優(yōu)勢而感到驕傲。確實(shí)值得驕傲。但如果我們的學(xué)生只有“紙上功夫”，我們還能驕傲得起來嗎？另外，取得“優(yōu)勢”的“性價比”是否也需要考量一下呢？我認(rèn)為，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算技能，其意義并不在迅速獲得答案，而在于訓(xùn)練運(yùn)算技能的過程中所形成的對數(shù)及其運(yùn)算的敏感性，這種敏感性對于數(shù)學(xué)的高水平理解有重要意義，同時也有助于提高學(xué)生用數(shù)表達(dá)和處理實(shí)際問題的能力，這也是運(yùn)算技能作為“雙基”的意義所在。但當(dāng)前的教學(xué)，為了應(yīng)試，為了使學(xué)生在選擇題、填空題上既快又準(zhǔn)，以爭取時間做后面的“選拔題”，不惜讓學(xué)生進(jìn)行大量刺激-反應(yīng)訓(xùn)練。這種訓(xùn)練對建立“敏感性”沒有好處，而且還可能導(dǎo)致學(xué)生厭煩數(shù)學(xué)。把追求更高的分?jǐn)?shù)當(dāng)成唯一目標(biāo)顯然是落后于時代發(fā)展的。

當(dāng)前，數(shù)學(xué)課程改革正在世界范圍內(nèi)如火如荼地開展。外面的世界很精彩。無論從國家的競爭力還是從學(xué)生的發(fā)展，抑或是教師自身的發(fā)展而言，都值得我們認(rèn)真分析、把握其中的趨勢。固守己見將面臨被淘汰的危險。雖然對中學(xué)教師的挑戰(zhàn)主要在數(shù)學(xué)課堂上，但要從容地應(yīng)對這種挑戰(zhàn)卻需要多方面的準(zhǔn)備。除積極變革教學(xué)方式外，理解課程改革、把握課程內(nèi)容的變化也至關(guān)重要。當(dāng)前，信息技術(shù)的飛速發(fā)展使社會職業(yè)結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大變化，許多低技術(shù)含量的工作被高度智能化的機(jī)器所替代。以加減乘除的熟練技能為基礎(chǔ)的工作越來越少了，對數(shù)學(xué)（如微積分、向量、統(tǒng)計(jì)、概率、離散數(shù)學(xué)、算法等）要求較高的新工作大量增加了。這是時代發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的新要求，也是對數(shù)學(xué)教師的實(shí)質(zhì)性挑戰(zhàn)。我們應(yīng)把握住時代發(fā)展對數(shù)學(xué)需求的脈搏，讓學(xué)生學(xué)那些適應(yīng)信息技術(shù)時代要求的數(shù)學(xué)知識，并要大力加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用，從而為學(xué)生今后能在社會上找到自己的位置并獲得成功打下必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
“題型+技巧”的危害
章建躍
鄭良老師在《教什么永遠(yuǎn)比怎樣教重要——從兩道習(xí)題談起》中，以親身經(jīng)歷佐證了一個現(xiàn)象：數(shù)學(xué)教學(xué)中流行著“題型+技巧”，從高一到高二，“這類題目教師講解、學(xué)生訓(xùn)練十來遍，解題程序?qū)W生倒背如流”，結(jié)果是學(xué)生的解法千篇一律。這樣的做法，試圖通過強(qiáng)化訓(xùn)練達(dá)到考高分的目的，非常符合“操作強(qiáng)化原理”。
“操作強(qiáng)化原理”是行為主義心理學(xué)中一個遭到人們普遍質(zhì)疑和批判的學(xué)習(xí)原理，它抹殺人類學(xué)習(xí)與動物學(xué)習(xí)的本質(zhì)區(qū)別，把源于動物學(xué)習(xí)的規(guī)律搬到人類學(xué)習(xí)活動中，試圖通過條件作用的強(qiáng)化，讓人對某種刺激形成特定的行為反應(yīng)。據(jù)此，行為主義心理學(xué)大師斯金納設(shè)計(jì)了程序教學(xué)，把學(xué)習(xí)分解和編制成詳細(xì)的行為目錄，采取連續(xù)漸進(jìn)法施教。
在“題型+技巧”的教學(xué)中，“題型”即“特定刺激”，“強(qiáng)化物”即“分?jǐn)?shù)”，“行為反應(yīng)”就是對同類題目給出“千篇一律的解法”——“技巧”。雖然鄭老師在文中未闡明“教什么”中的“什么”指什么，但他明確地反對把題目歸類后再機(jī)械套用“正難則反”之類的“思想”（其實(shí)算不上思想）解題的做法，值得肯定。因?yàn)榘呀夥ǎ醇记桑┕袒陬}型上，再經(jīng)強(qiáng)化訓(xùn)練使學(xué)生模仿并記住，定會導(dǎo)致學(xué)生不顧題目具體特征而照搬技巧，使數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練價值蕩然無存。
其實(shí)，“題型+技巧”的危害甚多。例如：
違背數(shù)學(xué)的基本精神。數(shù)學(xué)是一種理性精神。“正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完美的內(nèi)涵。”顯然，“題型+技巧”不可能讓學(xué)生領(lǐng)略理性精神的奧秘，就連學(xué)習(xí)中本來應(yīng)有的直覺、想象、類比、歸納、概括等也鮮有使用，智力上的好奇心和對純粹思維的興趣更無法激發(fā)，必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥乏味。
使數(shù)學(xué)變得難學(xué)。數(shù)學(xué)是自然的、清楚的，數(shù)學(xué)知識的發(fā)展是水到渠成的。只要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)和精要所在，就可把數(shù)學(xué)教得“精簡實(shí)用，平實(shí)近人，引人入勝”，就能使數(shù)學(xué)“易學(xué)，好懂，能懂，會用”，也就能使數(shù)學(xué)教育在提升國民的思維素質(zhì)和創(chuàng)造性上發(fā)揮應(yīng)有作用。“題型+技巧”把知識點(diǎn)生硬疊加，人為制造了大量偏題、怪題，把簡單問題復(fù)雜化，“淺入深出”地設(shè)置思維障礙，使原本好懂能懂的數(shù)學(xué)變成了艱深晦澀的“玄學(xué)”。
增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)。學(xué)數(shù)學(xué)，要解題。這是理解概念、加強(qiáng)概念聯(lián)系性的需要；同時，概念的深入理解和概念間順暢的聯(lián)系通道，能使解題思路變得本質(zhì)且靈活。“題型+技巧”在細(xì)枝末節(jié)上下苦功，在犄角旮旯里深挖洞，在特殊技巧上捉迷藏，既加重學(xué)生負(fù)擔(dān)，更使學(xué)生失去學(xué)好數(shù)學(xué)的自信。
導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績不良。我們常常陶醉于學(xué)生雙基扎實(shí)，且把功勞歸于“題型+技巧”。殊不知，由于模仿、記憶性學(xué)習(xí)使用過多，理解、探究性學(xué)習(xí)使用太少，“對題型，想技巧”的過程使學(xué)生沒有機(jī)會經(jīng)歷概念的概括過程，結(jié)論的歸納過程，用概念推理的演繹過程，當(dāng)他們獨(dú)立面對新問題時，就會因?qū)Σ簧项}型、想不起技巧而敗北。至于那些與想象力、創(chuàng)造力相關(guān)的問題就更是一籌莫展了。
我認(rèn)為，人們熱衷于“題型+技巧”的原因是教育功利化，社會、各級政府和家長所認(rèn)可的“教育GDP”是強(qiáng)大推手。但我們必須意識到，這種做法使高雅的智力活動退化成機(jī)械的簡單勞動，對提升考分可能有效，而對學(xué)生成才卻是禍根。“題型+技巧”可以休矣！
我講了n遍了你怎么還不會
章建躍
標(biāo)題中的疑問，許多老師不僅內(nèi)心疑惑，而且經(jīng)常會對學(xué)生“脫口而出”。這個話不僅傷人，而且不公平。因?yàn)椋隳恰皀遍”到底講了什么？是能讓學(xué)生“會”的講法，還是把他們引向“似是而非”、“盲點(diǎn)遍地”的講法？董老師在“注重過程的教學(xué)才是有效的教學(xué)”中記錄的教學(xué)過程，較好地詮釋了為什么老師講了n遍學(xué)生還不會。
作為“和（差）角公式”的典型應(yīng)用，“二化一公式”（暫且叫它“公式”吧）實(shí)際上是“逆用公式解決問題”，既可以鍛煉學(xué)生的觀察力，又能訓(xùn)練思維的發(fā)散性。正如董老師所言，如果從學(xué)生熟悉的和（差）角公式的“正用”出發(fā)，再提出“逆用”的問題，通過鋪設(shè)合理的認(rèn)知臺階，在關(guān)鍵的地方（即發(fā)現(xiàn)“提取”）放手讓學(xué)生探索，他們就不僅能掌握“公式”（它的結(jié)構(gòu)特征和使用條件），而且適當(dāng)訓(xùn)練后就能靈活應(yīng)用。但遺憾的是教師A卻把本應(yīng)是自然而水到渠成的結(jié)果變成了“神兵天降”，而且是“使用暴力”。例如，在學(xué)生不知道如何把化成時，強(qiáng)制學(xué)生“提出2試試”；不顧學(xué)生“您怎么想到提出2？”的疑問，又讓他們將sinx－cosx化成的形式，并再次強(qiáng)迫他們“提出試試”。在學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”了提出的系數(shù)的規(guī)律，得出“公式”后，老師沒有在分析“公式”的結(jié)構(gòu)特征、明確使用條件上下功夫，而是迫不及待地引出另一個“知識點(diǎn)疊加的問題”：求函數(shù)的周期和最值。當(dāng)學(xué)生依樣畫葫蘆時，教師又一次使用“暴力”：“你怎么能這樣化簡呢？二倍角公式不知道使用嗎？大家再用二倍角公式試試！”最后，在學(xué)生費(fèi)盡九牛二虎之力而“仍然不會”時，教師“只好親自上陣，演示化簡過程”，這時的教師大概已黔驢技窮了。
教師A對“為何是您告訴學(xué)生提出系數(shù)2，，而不是讓學(xué)生自己探究呢？”的回答：“學(xué)生自己也看不出來，這個問題就是一層窗戶紙，一旦捅破了，什么神秘也沒有了，直接告訴他們，再讓他們發(fā)現(xiàn)就是，節(jié)約了時間，為下面的練習(xí)贏得了時間，教學(xué)效果會更好。”比較典型地反映了當(dāng)前概念、原理教學(xué)中的教師心態(tài)。許多老師以為，讓學(xué)生探究太費(fèi)時間，老師點(diǎn)破，學(xué)生能懂，節(jié)約時間，效率提高。殊不知，這是剝奪學(xué)生思考的權(quán)利，是導(dǎo)致學(xué)生“不會”的根源。當(dāng)然，從中也暴露出老師不懂學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律，是專業(yè)素養(yǎng)不高的表現(xiàn)。
總之，如果教師講的“n遍”是不講理的、越俎代庖的、強(qiáng)加于人的，少了循循善誘，缺乏心智啟迪，沒有給學(xué)生以豁然開朗的思維體驗(yàn)，那么這個n趨向于∞也是枉然。
我認(rèn)為，如果講一遍學(xué)生不明白，老師就應(yīng)捫心自問，“我對這個內(nèi)容的理解是否深刻？”“我哪個地方講得不到位？”“我是以學(xué)生能懂的方式講解的嗎？”“我的講解是否針對了學(xué)生的理解困難？”如果你經(jīng)常遇到“講了n遍學(xué)生還不會”的情況，那么該懷疑的是你自己的數(shù)學(xué)教學(xué)水平，而不是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力！
為什么學(xué)生聽懂了卻不會用
章建躍
常常聽到老師這樣的疑惑：我講完課后問學(xué)生“聽懂了嗎？”學(xué)生都答“聽懂了！”但解題時卻是“我不會！”為什么學(xué)生聽懂的知識卻不會用呢？
我想，問題在于老師是怎么讓學(xué)生“聽懂”的。進(jìn)一步地，學(xué)生是“真懂”還是“假懂”？本期刊登的沈順良老師的“三種不同引出的比較與分析”可以為“什么才是真懂”和“怎樣才能使學(xué)生真懂”作些注解。
沈老師從聽課中發(fā)現(xiàn)，由于教師對教學(xué)內(nèi)容及相關(guān)知識的聯(lián)系性的認(rèn)識不同而給出了不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，由此導(dǎo)致了不同的教學(xué)效果。在“片段一”和“片段二”中，值得我們注意的是學(xué)生的那兩個“？”號。這是兩個大大的問號！
在“片段一”中，老師設(shè)“局”太明顯，學(xué)生雖然猜到老師的意圖，得出了一般結(jié)論“l(fā)ogaM+ logaN= loga(M·N)”，但這樣的結(jié)論并不是從知識發(fā)展的自然過程中產(chǎn)生的，是被老師“套”出來的。因?yàn)槠渲袥]有“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的啟發(fā)，沒有給出證明的基礎(chǔ)，所以學(xué)生產(chǎn)生大大的“？”號是自然的。
“片段二”中，教師先讓學(xué)生回顧對數(shù)的定義和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，然后提出“能否將am·an=am+n轉(zhuǎn)化為對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)？”這是一個從天而降的問題，缺乏邏輯的必然性，因此必然讓學(xué)生感到莫名其妙而產(chǎn)生大大的“？”號。這樣的教學(xué)，學(xué)生也能聽懂，但它是從指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)出發(fā)經(jīng)“形式化變形”而得的，因?yàn)閷W(xué)生缺少將新問題化歸為已有知識的心理過程，因此不利于對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的理解和掌握。這樣，學(xué)生“聽懂了但不會用”就在所難免。
實(shí)際上，人教A版在本節(jié)內(nèi)容的開篇設(shè)計(jì)了一個“探究”：“從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，你能得出相應(yīng)的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？”其意圖很明顯，是希望學(xué)生利用指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，把對數(shù)問題化歸為指數(shù)問題，借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)出對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。這是本課內(nèi)容的核心，應(yīng)圍繞它展開教學(xué)。當(dāng)然，具體教學(xué)時還應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)相應(yīng)的過程。“片段三”理解了教材的編寫意圖，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系實(shí)現(xiàn)化歸，從而得出對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。這樣的過程是自然的、水到渠成的。在此，學(xué)生不僅得到了對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，而且理解了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。這是一種思維的教學(xué)，是使學(xué)生“學(xué)會思考”的教學(xué)，這樣才能使學(xué)生“聽懂了就會用”。
當(dāng)然，要使學(xué)生真懂、會用，還是要通過學(xué)生自己的獨(dú)立思考、自主探究。對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)并不難，教師可以先讓學(xué)生明確教科書中那個“探究”的意圖，與學(xué)生討論清楚對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的研究思路，然后放手讓學(xué)生自己探究，最后組織學(xué)生集體交流、相互補(bǔ)充就可以了。
順便指出，有的老師把logaN理解為“對數(shù)運(yùn)算”，認(rèn)為“l(fā)og39的運(yùn)算結(jié)果是2”，這是不正確的。logaN就是一個數(shù)，其意義是=N。而對數(shù)運(yùn)算是指對數(shù)之間的運(yùn)算。
另外，數(shù)學(xué)史上，對數(shù)的發(fā)明與指數(shù)并無瓜葛，人教A版對此已有介紹。如果以自然對數(shù)的定義——為出發(fā)點(diǎn)，那么lnx表示函數(shù)f(x)=介于ξ=1和ξ=x之間的“曲邊梯形”的面積。根據(jù)積分的定義，我們很容易證明lnx1+lnx2=ln(x1x2)。
下載：

展開更多......

收起↑