資源簡介

直線與圓錐曲線專題
一．考點說明：
（一）直線與圓
1.理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式.掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程.
2.掌握兩條直線平行與垂直的條件、兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據直線的方程判斷兩條直線的關系.
3.了解二元一次不等式表示平面區域.
4.了解線性規劃的意義，并會簡單的應用.
5.了解解析幾何的基本思想，了解坐標法.
6.掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念，理解圓的參數方程.
（二）圓錐曲線
1.掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程.
2.掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質.
3.掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質.
4.能夠根據具體條件利用各種不同的工具畫橢圓、雙曲線、拋物線的圖形，了解它們在實際問題中的初步應用.
5.結合所學內容，進一步加強對運動變化和對立統一等觀點的認識.
二．考情分析：
解析幾何是高中數學的一個重要內容，在高考中該部分內容約占總分的20%，一般有2至3道小題有針對性的考查線性規劃及直線與圓、圓錐曲線中橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標準方程，簡單幾何性質的重要知識和方法；一道綜合解答題，以圓或圓錐曲線為依托，綜合平面向量、解三角形、函數等綜合考查解析幾何的基礎知識、基本方法和基本數學思想，此題往往試卷的把關題之一。預測：（1）直線與圓以小題或大題一小問的形式出現；（2）圓錐曲線的標準方程為大題的第一小問；（3）圓錐曲線的幾何性質以小題形式重點在離心率、焦半徑、及定義的考查；(4)求曲線（軌跡）方程，特別是求曲線（軌跡）方程和直線與圓錐曲線的位置關系問題是高考解析幾何問題的熱中之熱。
三．高考展望
1.在求直線方程中，若選擇點斜式、斜截式，要注意斜率不存在的情況；若選擇截距式，要注意截距為零的情況。
2.目標函數最值的求法：根據 的幾何意義求最值。如
3.處理直線與圓、圓與圓的位置關系常用幾何法。
4.求圓錐曲線方程
求圓錐曲線是解析幾何的基本問題之一，其求解的基本方法有：
（1）直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，那么我們只需要把這種關系轉化成含有x、y的數值表達式，通過化簡整理便可得到曲線的軌跡方程。這種求軌跡方程的方法我們稱之為直接法。（2）定義法：當動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線），我們可以直接根據定義寫出動點的軌跡方程。這種方法稱為定義法。（3）代入法：代入法又稱為轉移法或相關點法，若動點依賴于已知曲線上的另一動點 而運動，且可求出關系式。于是將這個Q點的坐標表達式代入已知曲線的方程，化簡后即可得點的軌跡方程。（4）參數法：有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較容易這個動點的運動常常受到另一個變量的制約，或者用這個變量可以將動點坐標中x、y表示出來，我們可以取這個變量為參數，建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法。（5）交軌法：在求動點的軌跡方程時，經常會遇到要求兩動曲線的交點軌跡方程問題。這類問題的解法具有一定的技巧性，主要是想方設法消去動曲線中的參數，得出所求的軌跡方程，這種方法便稱為交軌法。（6）幾何法根據已知圖形的幾何性質來求動點軌跡方程的方法稱為幾何法。要善于數行結合，根據曲線的某些顯著的幾何特征和性質列出等式求出軌跡方程，常可以收到簡化運算、快速求解之功效。（7）解析幾何中弦中點的軌跡的求法：解析幾何中弦中點的軌跡主要有以下三類：一是過定點的弦中點；二是斜率為定值的平行弦中點；三是長為定值的動弦中點。
5.橢圓與雙曲線的離心率
離心率是圓錐曲線的重要幾何性質，是高考重點考查的一個知識點。這類問題一般有兩種：一是根據一定的條件求雙曲線或橢圓的離心率；另一類是根據一定的條件求離心率的取值范圍。無論是哪類問題，其難點都是建立關于a、b、c的關系式（等式或不等式），并且把其中的b用a、c表達，轉化為關于離心率e的關系式，這是化解有關橢圓和雙曲線的離心率難點的基本方法。
6.直線與圓錐曲線的位置關系
在直線與雙曲線、拋物線的位置關系中有一種情況，即直線與其交于一點和切于一點，二者在幾何意義上截然不同，反映在代數方程上也是完全不同的，這在解題中既是一個難點也是一個十分容易被忽視的地方。圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個交點無限靠近時的極限情況，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個相等的實數根，即判別式為零；而與圓錐曲線有一個交點的直線，是一種特殊的情況（拋物線中與對稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行），反映在消元后方程上，該方程是一次的。
7.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題
直線與圓錐曲線相交時的弦長問題是一個難點，化解這個難點的方法是：設而不求，根據韋達定理，進行整體代入。即當直線（斜率為k）與圓錐曲線交于點時，則 ，而 ，可根據直線方程與圓錐曲線方程聯立消元后得到的一元二次方程，利用韋達定理進行整體代入求解。
8.圓錐曲線中的分點弦
在解決有關直線和圓錐曲線相交于兩點的問題時，若在直線上還存在一個第三點，這三點組成的線段成一定的比例關系，結合具體情境，讓我們解決問題（如求參數的值或參數的取值范圍，證明一些問題等），這是圓錐曲線中的一個難點。化解這個難點有兩種基本方法：一是根據比例關系建立三點坐標之間的一個關系式，比如關于三點的橫坐標的關系式，再根據韋達定理建立圓錐曲線上兩點坐標的兩個關系式，從這三個關系式入手解決；二是由第三個點的坐標和圓錐曲線上其中一點的坐標，根據比例關系得到等式，去表示圓錐曲線上另一點的坐標，又由于這個點也在圓錐曲線上，適合圓錐曲線方程，聯立方程組即可解決。
9.圓錐曲線點的一個對稱問題
圓錐曲線上存在不同的兩點關于某條直線對稱，試確定圓錐曲線中或直線中的某個參數的取值范圍，化解這個難點的方法有兩種：一是利用兩點關于直線對稱的兩個條件即垂直和中點在直線上，寫出用參數表達的直線方程，利用直線與圓錐曲線有兩個交點，判別式大于零解決；二是利用圓錐曲線上與對稱軸垂直的平行弦中點的軌跡與對稱軸的交點在曲線內部，列關于參數的不等式解決。
10.圓錐曲線中的定點、定值問題
圓錐曲線中的定點定值問題是高考命題的一個熱點，解決這個難點沒有常規的方法，但基本思想是明確的，定點、定值必然是在變化中所表現出的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不守變化的量所影響的某個點或值，就是要求的定點、定值。關鍵是引進變化的直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受影響的量。
11.圓錐曲線中的最值、范圍問題
圓錐曲線中的最值、范圍問題既是高考的熱點也是難點問題，解決這類問題的基本思想是建立目標函數和不等關系，根據目標函數和不等式求最值、范圍，因此難點就是如何建立目標函數和不等關系，其關鍵是選一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、截距、點的坐標等，主要是根據問題的實際情況靈活處理。
12.解析幾何中的探索性問題
解析幾何中探索性問題的結論往往不明確，需要根據已知條件通過推理論證或計算對結論作出明確的肯定或否定，因此解決起來具有較大的難度。化解這類試題難點的主要方法是明確這類問題的解題思想：即假設其結論成立、存在等，在這個假設下進行推理論證，如果得到了一個合情合理的推理結果，就是肯定假設，對問題作出正面回答，如果得到一個矛盾的結果，就否定假設，對問題作出反面回答，在這個解題思想指導下解決探索性問題就可以轉變為具有明確結論的問題。
四．經典例題
五．規律小結
本章主要內容有橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標準方程，簡單幾何性質.它們作為研究曲線和方程的典型問題，成了解析幾何的主要內容，在日常生活、生產實踐和科學技術上有著廣泛的應用.因此在高考中，圓錐曲線成為命題的熱點之一.分析近幾年高考試題，有下面幾個顯著特點：
1.注重雙基 保持穩定
圓錐曲線在題型、題量、難度等方面風格獨特，每年的試卷中客觀題2至3道，主觀題1道，分值占全卷的15%左右，“難、中、易”層次分明，既有基礎題，又有能力題.
2.全面考查 重點突出
試題中，圓錐曲線的內容幾乎全部涉及，考查的知識點約占圓錐曲線總知識點的四分之三，通過知識的重新組合，考查學生系統掌握課程知識的內在聯系，重點仍在直線與圓錐曲線的位置關系上.
3.考查能力 探究創新
試題具有一定的綜合性，重點考查學生畫圖、數形結合、等價轉換、分類討論、邏輯推理、合理運算以及綜合運用知識的能力.
在今后的高考中，圓錐曲線仍將考查圓錐曲線的概念和性質、求曲線方程、直線和圓錐曲線的位置關系、解析幾何中的定值最值問題.其中直線和圓錐曲線的位置關系仍是命題的熱點，解析幾何中的定值及最值問題也會有所加強.圓錐曲線內容的“應用性問題”和“探索性問題”將會出現在今后的高考中.
4.兩個手段，爭取得分
（1）代點消元；（2）韋達定理

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