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直線與圓錐曲線的位置關系
在圓錐曲線的問題中，有關弦的問題、直線及其夾角的問題是解析幾何中最常見的問題．對于這類問題的求解，往往要聯立方程組，構造一元二次方程，并要考慮判別式及韋達定理，恰當地運用整體化思想，設而不求思想，并注重數形結合和分類討論等數學思想方法．
例1已知點A、點B的坐標分別為(- 1, 0)與(1, 0)．曲線C上的任意一點P，且點P滿足條件：
,(1) 求曲線C的方程；
(2) 過點B的直線L與曲線C相交于M、N兩點，若∠MAN為鈍角，求直線L傾斜角α的取值范圍．
分析 由易知點P的軌跡是一橢圓，又易知點P不是AB的中垂線上的點，
于是，要使∠MAN為鈍角，當考慮tan∠MAN < 0時，可得解法1；當考慮cos∠MAN < 0可得解法2．
解 (1) ∵ , ∴ ，
又∵ ，∴ x≠0．
故 點P的軌跡是以A、B為焦點，長軸為4除去y上的兩點的橢圓弧，即 ( x≠0 )．
(2) 解法1 若L與x 垂直，則L的方程為 x = 1，此時有，
若L與x軸重合，則∠MAN =π不為鈍角．
若L與x軸斜交，因為B(1, 0)∈L，故可設其方程為 y = k (x- 1)，k≠0,
代入橢圓方程中，得 (3 + 4k2 ) x2- 8k2x + 4k2- 12 = 0 ，
由于直線L過橢圓的右焦點，故L與橢圓恒有兩個交點．設此兩點為M(x1 , y1), N(x2 , y2)，則有
，
∴
，
∵ ∠MAN為鈍角，∴ ，故 ，
∴ ．
故 傾角α的取值范圍是．
解法2 設M(x1 , y1), N(x2 , y2)，因為A(-1, 0) , B(1, 0), 如圖9-7, 于是，有
tan∠MAN
，
又由圖9-7可知：當x1 > x2時，顯然有k > 0，當x1 < x2時，顯然有k< 0，
因此，恒有 (x1- x2)·k·(3 + 4k2) > 0，
故要使∠MAN為鈍角，則只要7k2-9 < 0即可．∴ ，
故傾角α的取值范圍是 ．
點評 本題是向量與解析幾何等知識的綜合性試題．對于(2)求解，因為在已知的條件中有向量式，從而考慮用向量的內積來求解是理所當然的．解法2是常見的一種基本方法．由此可知，運用向量法求解要優越得多．因此，我們要注重運用向量的知識解題，增強向量思想方法的意識．
例2 已知P為橢圓b2x2 + a2y2 = a2b2的左準線l與x軸的交點，過左焦點F1的直線和橢圓交于A、B兩點，連接PA、PB，
求證：∠APB被x軸平分；
(2)若∠APF1取最大值時的正弦值為0.6，且此時，求橢圓方程．
證明 (1) 證法1 如圖9-8，設A(x1, y1), B(x2, y2)，AB所在的直線為y = k(x +c) ,………………………… ①
將①代入橢圓方程　b2x2 + a2y2 = a2b2　② ，得 (a2k2 +b2 ) x2 +2c a2 k2 x+a2k2c2- a2b2 = 0，
∴ ，，
又∵ ∴
從而 ，
上式的分子：=
== 0.
由此可得　直線AP與BP關于x軸對稱，即 ∠APB被x軸平分．
證法2　 如圖9-8, 過A作AC⊥l于C, 過B作BD⊥l于D,　
由平行線截線段成比例性質，得 ，又 ， ∴ ,
又∠ACP =∠BDP = 90o , 故 △ACP ∽△BDP, ∴ ∠APC =∠BPD,
由此可得　∠APF1 =∠BPF1, 即 ∠APB被x軸平分．
證法3　不妨設點A在x軸上方．過A作AA1⊥x軸于A1，過B作BB1⊥x軸于B1，則 |PA1| = |AC|，
如圖9-8,又設橢圓的離心率為e，∠AF1A1＝β，
由橢圓的定義，得 ，又|AA1|＝|AF1|sinβ,于是，由圖可得
，………………………①
同理可得 = e sinβ．
由此可得　tan∠APF1 = tan∠BPF1,
又∵ ∠APF1 與∠BPF1均為銳角，∴ ∠APF1 =∠BPF1．即x軸平分∠APB．
(2) 解法1 由①知 tan∠APF1 = e·sinβ, 因此，當β＝90o時，A1、F1兩點重合．此時e·sinβ取最大值，
從而tan∠APF1亦最大，且最大值為 ，∴ ，
又由 ，得，即 ，
又∵ PF1⊥x軸，∴ ，而，由此解得 c = 9，a = 12 , b2 = 63．
故所求的橢圓方程為 ．
解法2　由題意知，當PA與橢圓相切時，有∠APF1 最大，設A(x0, y0)為切點，
又設PA所在的切線方程為 ，則有 ,
∴　AF1⊥x軸，且有, 從而 ,
于是，有 ,
又∵ ，∴ 49 = ，即49 =,
又 , 故 ，以下同解法1．
解法3　若∠APF1 最大，則PA必與橢圓相切，設A為切點，則對應的B也為切點．
顯然有PA = PB，由對稱性得 AF1⊥x軸．
∵ 當∠APF1取最大值時，其正弦值為，∴ ，
tan∠APF1=,
又∵ ，∴ ，由此可得 ，
又∵ ，∴ c = 9，以下同解法1．
解法4 不妨設A在橢圓上半圓弧上，且A(a cosθ，b sinθ), (0 <θ<π)，
則有tan∠APF1 =, 設，
令故的關系為：
θ
+ 0 －
↗ 極大 ↘
∴ , 此時x = a cosθ=- c，y = b sinθ=，
從而 (tan∠APF1)MAX =, ∴ AF1⊥x軸，且 |PA| = |PF1|,
又由 ，得
,
∴ = 7, 即 ，以下同解法1．
解法5 不妨設 A(x, y)是橢圓上半圓弧上的點，
則有 tan∠APF1=， 從而 tan2∠APF1=，
令，則有 ，
令F＇(x) = 0 得 x = - c ,
由此可得F(x)在x = - c處取得最大值．以下同解法4．
點評 對于(1)的解法1是最基本的方法，解法2、3充分運用了平面幾何的知識和橢圓的定義，是我們常用的思想方法．(2)解法1是從(1)的解法3所聯想到的；解法2、3是通過考查其圖形而得到的，因為當直線PA與橢圓有兩個交點時，顯然它在其切線的下方，從而對應的角小于切線對應的角,另外切線方程也可設y = k(x- c); 解法4、5是從最大角的概念出發考查其相應的極值，從而聯想到運用導數的思想方法．這些解法都是我們應掌握的．
要注意的是：對于第(2)問我們若是從∠APF1 最大時的 的方向出發考查用導數法求解，顯然不可取．因為式子繁雜，不易求導．因此，解題方法的選取，所用的表達式的確定是非常重要的．在平時的解題中，我們應不斷總結經驗，善于從多方面的考查問題．促進數學思維的發展．
例3 已知圓O：x2 + y2 = 1和拋物線y = x2-2上三個不同的點A、B、C，如果直線AB、AC都與圓O相切，求證：直線BC也與圓O相切．
分析 要證圓O和直線BC相切，只要證得圓心到直線BC的距離等于半徑即可．由直線AB、AC與圓O相切會帶來些什么結論？這些結論對直線BC與圓相切又有什么影響？直線BC與圓O相切應滿足什么條件？一旦把這三個問題弄明確時，問題也就相應得到解決．
解 設A(a, a2- 2), B(b, b2- 2), C(c, c2- 2)．
則直線AB的方程為，即 (a+b) x- y- ab- 2 = 0．
同理 直線AC、BC的方程 (a+c)x- y- ac- 2 = 0，(b+c)x- y- bc- 2 = 0．
由于AB與圓O相切，得 ，
整理得 (a2- 1)b2 + 2ab + 3 - a2 = 0，…………………………………………………… ①
同理直線AC與圓O相切時，亦有 (a2-1)c2 + 2ac + 3 - a2 = 0，………………………②
由①②可得 b , c是方程 (a2 -1)x2 + 2ax + 3 - a2 = 0的兩根，
由此可得 ．
另一方面，圓心O到直線BC的距離為 ．
故 直線BC也與圓O相切．
點評 此題運用的是點參法．點參法的思想方法在解題中經常用到的基本方法．
M
y
x
A
B
O
N
圖9-7
y
x
O
A
A1
F1
B1
B
D
P
C
圖9-8

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