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如何建立圓錐曲線中的不等關系
在有關圓錐曲線的參數范圍問題、最值問題、存在性等問題中，建立不等關系是解題過程的一個難點。本文歸納整理幾種常用的方法，共參考。
一. 利用判別式
挖掘條件中隱含著的一元二次方程的根的存在性，利用判別式建立不等關系。
例1. 已知橢圓C:，若橢圓上存在不同兩點關于直線對稱，求m的取值范圍。
解：設橢圓上存在兩點A（），B（）關于已知直線對稱，并設AB的中點為P（a，b），直線AB與橢圓C應有兩個不同的交點，依次可用判別式大于零建立不等關系。
兩式作差，整理得
而，
所以，即P（a，3a）。又P在直線上，則
于是點P的坐標為（），直線AB的方程為
，
代入橢圓方程中消去y，得
由
解得
二. 利用曲線的幾何性質
將所考慮的參數與圓錐曲線自身的范圍聯系起來，得到不等關系。
例2. （1992年高考題）已知橢圓，點A、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（），求的取值范圍。
解：設A（），B（），AB的中點為M（m，n），則，且
（1）
（2）
（1）-（2）整理得
由于，故
即
由此得，其中
由橢圓的幾何性質知（等號不同時成立），
所以，
從而
三. 利用已知參數的范圍
尋找待求參數與已知參數的關系，利用已知參數的范圍建立不等關系。
例3. （2000年全國高考題）如圖1，已知梯形ABCD中，，點E分有向線段所成的比為p，雙曲線過C、D、E三點且以A、B為焦點，當時，求雙曲線離心率e的取值范圍。
解：建立如圖1所示的直角坐標系，設雙曲線的方程為：
圖1
，
A（），B（c，0），C（，h），E（m，n），
其中
由定比分點公式得
將C、E的坐標代入雙曲線的方程得
由（1）得，代入（2），化簡整理得
由，知，
解得
四. 利用平面幾何知識
充分挖掘幾何條件，利用平面幾何中的有關知識建立不等關系。
例4. 已知雙曲線的離心率，左右焦點分別為，左準線為，是否在雙曲線的左支上存在一點P，使得是P到的距離d與的比例中項？
解：若存在點P滿足條件，則
（1）
由雙曲線的第一定義知
（2）
由雙曲線的第二定義知
（3）
由平面幾何知識可得
（4）
由（1）（2）（3）解得
代入（4）可得。故不存在滿足條件的點P。
五. 利用均值不等式
例5. 給定橢圓，求與這橢圓有公共焦點的雙曲線，使得以它們的交點為頂點的四邊形的面積最大，最大面積是多少？
圖2
解：設公共上焦點為F（0，c），雙曲線的方程為，其中，第一象限的一個公共點為M（x，y）（）。由第二定義得
，
。
二者相等得，代入橢圓方程中得。所以
，
四邊形的最大面積是。
此時，
雙曲線的方程為
六. 利用點在曲線內部的相關結論
例6. 已知的頂點B為橢圓短軸的一個端點，另兩個頂點A、C在橢圓上，若的重心恰為橢圓的一個焦點，求該橢圓離心率e的取值范圍。
解：設橢圓為（），B（0，b），F（c，0）為的重心，M為AC的中點，則BM：MF=-3。由定比分點公式得點M的坐標為（）。而M必在橢圓內部，則
，
即，解得。
七. 數形結合
從“形”的角度解決“數”的問題，數形結合，可優化解題過程，起到事半功倍之效。
例7. 橢圓的焦點為，點P為其上的動點，當為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍。
解：考慮為直角時P的坐標。如圖3，以為直徑作圓，當點P在圓上時，為直角；當P在圓內時，為鈍角。
圖3
由
解得
所以P的橫坐標的范圍是。
八. 利用函數的單調性
建立所考慮的參數與某個變量的函數關系，利用函數的單調性得到不等關系。
例8. 已知直線與拋物線相交于兩點A、B，直線與x軸的交點在拋物線準線的右側，O為坐標原點，且。若，求p的取值范圍。
解：由直線與x軸的交點在準線右側得。
設A（），B（），
由相交知恒成立，
且
因為，所以
又
可得
所以
由，知。
結合得p的定義域為。
，
令，
易知函數在［1，2）上是減函數，在（2，3］上是增函數。
從而或。
所以當時，；
當時，。

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