資源簡介

20212021年人教版六年級數學知識要點導航
目
錄
第一部分
數與代數
…………………………………………………………2
第一節
數的認識…………………………………………………………2
第二節
數的運算…………………………………………………………6
第三節、實際應用
…………………………………………………………10
第四節、簡易方程
…………………………………………………………18
第五節、
比和比例
………………………………………………………18
第六節、常見的計量單位及其進率
………………………………………20
第二部分
空間與圖形…………………………………………………………20
第一節：線與角
……………………………………………………………20
第二節：平面圖形的認識
…………………………………………………21
第三節：平面圖形的周長和面積
…………………………………………22
第四節：立體圖形的認識
…………………………………………………24
第五節、立體圖形的表面積和體積
………………………………………24
第六節
圖形與變換………………………………………………………25
第七節
圖形與位置………………………………………………………26
第三部分
統計與可能性………………………………………………………27
第一部分
數與代數
第一節
數的認識
一、整數與自然數
整數
：自然數和0都是整數。
自然數
：我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3……叫做自然數。
一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。
二、計數單位和數位
計數單位
：個、十、百……以及十分之一、百分之一、千分之一……都是計數單位。“一”是基本單位，其他單位又叫做輔助單位。
十進制計數法
：
一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。
每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進制計數法。
數位
：在計數時，計數單位要按照一定的順序排列起來，它們所在的位置叫做數位。
數位順序表
：
三、數的性質
1、整數
倍數和約數
：
如果數a能被數b（b
≠
0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或a的因數）。倍數和約數是相互依存的。
如：，所以35是7的倍數，7是35的約數。
一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的
約數是它本身。例如：10的約數有1、2、5、10，其中最小的約數是1，最大的約數是10。
一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12……其中最小的倍數是3
，沒有最大的倍數。
最大公因數：幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公因數。
最小公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
注意：
1）如果較小數是較大數的約數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數。
2）如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是1。
3）如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。
4）如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。
5）幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。
求幾個數的最小公倍數的方法：先用這幾個數（或其中的部分數）的公約數去除，一直除到互質（或兩兩互質）為止，然后把所有的除數和商連乘求積，這個積就是這幾個數的最小公倍數。
質數：一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數），100以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
合數：一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數，例如
4、6、8、9、12都是合數。
1既不是質數也不是合數，自然數除了1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類，可分為質數、合數和1。
質因數：每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數，例如15=3×5，3和5
叫做15的質因數。
分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。
互質數：公約數只有1的兩個數，叫做互質數。
成互質關系的兩個數，有下列幾種情況：
（1）、1和任何自然數互質。
（2）、相鄰的兩個自然數互質。
（3）、兩個不同的質數互質。
（4）、當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質。
（5）、兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質，如果幾個數中任意兩個都互質，就說這幾個數兩兩互質。
整除：
數a除以整數b(b
≠
0），除得的商是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a
。
整除數的特征
：
（1）、個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。
（2）、個位上是0或5的數，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
（3）、一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
（4）、一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。
（5）、能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。
（6）、一個數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
（7）、一個數的末三位數能被8（或125）整除，這個數就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
偶數
：
能被2整除的數叫做偶數。
0是偶數
奇數
：
不能被2整除的數叫做奇數。
2、
小數
小數的意義
:
把整數1平均分成10份、100份、1000份……
得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾……
可以用小數表示。
一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……
一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的數叫做小數部分。
在小數里，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位“十分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是10。
小數的基本性質
：小數的末尾添上0或者去掉0，小數的大小不變。
純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如：
0.25
、
0.368
都是純小數。
帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。
例如：
3.25
、
5.26
都是帶小數。
有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。
例如：
41.7
、
25.3
、
0.23
都是有限小數。
無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。
例如：
4.33
……
3.1415926
……
無限不循環小數：一個數的小數部分，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環小數。
例如：
循環小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這個數叫做循環小數。
例如：
3.555
……
0.0333
……
12.109109
……
一個循環小數的小數部分，依次不斷重復出現的數字叫做這個循環小數的循環節。
例如：
3.99
……的循環節是“
9
”
，
0.5454
……的循環節是“
54
”
。
純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數。
例如：
3.111
……
0.5656
……
混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環小數。
3.1222
……
0.03333
……
注意：寫循環小數的時候，為了簡便，小數的循環部分只需寫出一個循環節，并在這個循環節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環
節只有
一個數字，就只在它的上面點一個點。例如：
3.777
……
簡寫作;
0.5302302
……
簡寫作
。
3、
分數
分數的意義
：
(1）把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。
(2）在分數里，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。
(3）把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。
分數的基本性質
：分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
分數的分類
：
(1）真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。
(2）假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于或等于1。
(3）帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。
約分和通分
：
(1）把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數
，叫做約分。
(2）分子分母是互質數的分數，叫做最簡分數。
(3）把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。
4、
百分數
表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數,也叫做百分率或百分比。百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。
第二節
數的運算
1、整數四則運算
加法
：把兩個數合并成一個數的運算叫做加法。
在加法里，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是部分數，和是總數。
加數+加數=和
一個加數=和－另一個加數
減法
：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。
在減法里，已知的和叫做被減數，已知的加數叫做減數，未知的加數叫做差。被減數是總數，減數和差分別是部分數。
加法和減法互為逆運算。
乘法
：求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。
在乘法里，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。
在乘法里，0和任何數相乘都得0.；
1和任何數相乘都的任何數。
一個因數×
一個因數
=積
；
一個因數=積÷另一個因數
除法
：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。
在除法里，已知的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所求的因數叫做商。
乘法和除法互為逆運算。
在除法里，0不能做除數。因為0和任何數相乘都得0，所以任何一個數除以0，均得不到一個確定的商。
被除數÷除數=商
除數=被除數÷商
被除數=商×除數
2、小數四則運算
小數加法
：小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。
小數減法
：小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算.
小數乘法
：小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算；一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。
小數除法
：小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
乘方
:
求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如：
3、分數四則運算
分數加法
：分數加法的意義與整數加法的意義相同。
是把兩個數合并成一個數的運算。
分數減法
：分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。
分數乘法
：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。
乘積是1的兩個數叫做互為倒數。
分數除法
：分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
4、運算定律
加法交換律
：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即a+b=b+a
。
加法結合律
：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把后兩個數相加，再和第一個數相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c)
。
乘法交換律
：兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，即a×b=b×a。
乘法結合律
：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數；或者先把后兩個數相乘，再和第一個數相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c)
。
乘法分配律
：兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c
。
減法的性質
：從一個數里連續減去幾個數，可以從這個數里減去所有減數的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)
。
5、運算法則
整數加法計算法則
：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向前一位進一。
整數減法計算法則
：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數合并在一起，再減。
整數乘法計算法則
：先用一個因數每一位上的數分別去乘另一個因數各個數位上的數，用因數哪一位上的數去乘，乘得的數的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數加起來。
整數除法計算法則
：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位；
如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數要小于除數。
小數乘法法則
：先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；如果位數不夠，就用“0”補足。
除數是整數的小數除法計算法則
：先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面添“0”，再繼續除。
除數是小數的除法計算法則
：先移動除數的小數點，使它變成整數，同時被除數的小數點也向右移動相周的數位（位數不夠的補“0”），然后按照除數是整數的除法法則進行計算。
同分母分數加減法計算方法
：同分母分數相加減，只把分子相加減，分母不變。
異分母分數加減法計算方法
：先通分，然后按照同分母分數加減法的的法則進行計算。
帶分數加減法的計算方法
：整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的數合并起來。
分數乘法的計算法則
：分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變；分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
分數除法的計算法則
：甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘以乙數的倒數。
6、運算順序
沒有括號的混合運算
：同級運算從左往右依次運算；兩級運算
先算乘、除法，后算加減法。
有括號的混合運算
：先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。
第一級運算
：加法和減法叫做第一級運算。
第二級運算
：乘法和除法叫做第二級運算。
小數四則混合運算
：小數四則混合運算的順序和整數四則運算順序相同。
分數四則混合運算
：分數四則混合運算的順序和整數四則運算順序相同。
第三節、實際應用
（1）、平均數問題
：平均數是等分除法的發展。
解題關鍵：在于確定總數量和與之相對應的總份數。
算術平均數
：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。
加權平均數
：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。
數量關系式
（部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。
差額平均數
：是把各個大于或小于標準數的部分之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和的平均數。
數量關系式：所有數量之和÷數量的個數=算術平均數。
例：一輛汽車以每小時
100
千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時
60
千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。
分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“
1
”，則汽車行駛的總路程為“
2
”，從甲地到乙地的速度為
100
，所用的時間為
，汽車從乙地到甲地速度為
60
千米
，所用的時間是
，汽車共行的時間為
+
=
,
汽車的平均速度為
2
÷
=75
（千米）
（2）、
歸一問題
：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。
解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然后以它為標準，根據題目的要求算出結果。
數量關系式：單一量×份數=總數量
總數量÷單一量=份數
例：
一個織布工人，在七月份織布
4774
米
，
照這樣計算，織布
6930
米
，需要多少天？
分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。
693
0
÷（
477
4
÷
31
）
=45
（天）
（3）、歸總問題：已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單位數量的個數），通過求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。
特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規律相反，和反比例算法彼此相通。
數量關系式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量
=
另一個單位數量
單位數量×單位個數÷另一個單位數量=
另一個單位數量。
例：
修一條水渠，原計劃每天修
800
米
，
6
天修完。實際
4
天修完，每天修了多少米？
分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。
80
0
×
6
÷
4=1200
（米）
（4）、
和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問題。
解題關鍵：把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然后再求另一個數。
解題規律：（和＋差）÷2
=
大數
大數－差=小數
（和－差）÷2=小數
和－小數=
大數
例：
某加工廠甲班和乙班共有工人
94
人，因工作需要臨時從乙班調
46
人到甲班工作，這時乙班比甲班人數少
12
人，求原來甲班和乙班各有多少人？
分析：從乙班調
46
人到甲班，對于總數沒有變化，現在把乙數轉化成
2
個乙班，即
9
4
－
12
，由此得到現在的乙班是（
9
4
－
12
）÷
2=41
（人），乙班在調出
46
人之前應該為
41+46=87
（人），甲班為
9
4
－
87=7
（人）
（5）、和倍問題
：已知兩個數的和及它們之間的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。
解題關鍵：找準標準數（即1倍數）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數。求出倍數和之后，再求出標準的數量是多少。根據另一個數（也可能是幾個數）與標準數的倍數關系，再去求另一個數（或幾個數）的數量。
解題規律
：和÷倍數和=標準數
標準數×倍數=另一個數
例：:汽車運輸場有大小貨車
115
輛，大貨車比小貨車的
5
倍多
7
輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？
分析：大貨車比小貨車的
5
倍還多
7
輛，這
7
輛也在總數
115
輛內，為了使總數與（
5+1
）倍對應，總車輛數應（
115-7
）輛
。
列式為（
115-7
）÷（
5+1
）
=18
（輛），
18
×
5+7=97
（輛）
（6）、差倍問題
：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題。
解題規律：兩個數的差÷（倍數－1
）=
標準數
標準數×倍數=另一個數。
例：
甲乙兩根繩子，甲繩長
63
米
，乙繩長
29
米
，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩
長的
3
倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？
各減去多少米？
分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，所剩的長度甲繩是乙繩的
3
倍，實際甲繩比乙繩多（
3-1
）倍，以乙繩的長度為標準數。列式（
63-29
）÷（
3-1
）
=17
（米）
甲繩剩下的長度，
17
×
3=51
（米）
兩根繩子剪去的長度為：29
-
17=12。
（7）、行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據這類問題的規律解答。
解題關鍵和規律
：
同時同地相背而行：路程=速度和×時間。
同時相向而行（相遇問題）：相遇路程=速度和×時間
同時同向而行（追及問題）（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程÷速度差。
（8）、流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。
船速：船在靜水中航行的速度。
水速：水流動的速度。
順水速度：船順流航行的速度。
順水航行的速度=船在靜水中的速度＋水流的速度；
逆水速度：船逆流航行的速度。
逆水航行的速度=船在靜水中的速度－水流的速度。
解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。
解題時要以水流為線索。
解題規律：船行速度=（順水速度
+
逆流速度）÷2
流水速度=（順流速度
-
逆流速度）÷2
路程=順流速度
×
順流航行所需時間
路程=逆流速度
×
逆流航行所需時間
（9）、
還原問題：已知某未知數，經過一定的四則運算后所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做還原問題。
解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關系。
解題規律：從最后結果出發，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數。
根據原題的運算順序列出數量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數。
解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。
例
：某小學三年級四個班共有學生
168
人，如果四班調
3
人到三班，三班調
6
人到二班，二班調
6
人到一班，一班調
2
人到四班，則四個班的人數相等，四個班原有學生多少人？
分析：當四個班人數相等時，應為
168
÷
4
，以四班為例，它調給三班
3
人，又從一班調入
2
人，所以四班原有的人數減去
3
再加上
2
等于平均數。四班原有人數列式為
168
÷
4-2+3=43
（人）
一班原有人數列式為
168
÷
4-6+2=38
（人）；二班原有人數列式為
168
÷
4-6+6=42
（人）
三班原有人數列式為
168
÷
4-3+6=45
（人）。
（10）、植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關系的應用題，叫做植樹問題。
解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。
解題規律：
①沿線段植樹：
棵樹=段數+1
棵樹=總路程÷株距+1
株距=總路程÷（棵樹-1）
總路程=株距×（棵樹-1）
②沿周長植樹：
棵樹=總路程÷株距
株距=總路程÷棵樹
總路程=株距×棵樹
例：
沿公路一旁埋電線桿
301
根，每相鄰的兩根的間距是
50
米
。后來全部改裝，只埋了201
根。求改裝后每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數減掉一。列式為
50
×（
301-1
）÷（
201-1
）
=75
（米）
（11）、盈虧問題：是在等分除法的基礎上發展起來的。
他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余，或兩次都不足），已知所余和不足的數量，求物品適量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。
解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。
解題規律：總差額÷每人差額=人數
總差額的求法可以分為以下四種情況：
第一次多余，第二次不足，總差額=多余+
不足
第一次正好，第二次多余或不足
，總差額=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足，
總差額=
大不足-小不足
例：
參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組
10
人，則多
25
支，如果小組有
12
人，色筆多余
5
支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？
分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有
12
人，比
10
人多
2
人，而色筆多出了（
25-5
）
=20
支
，
2
個人多出
20
支，一個人分得
10
支。列式為（
25-5
）÷（
12-10
）
=10
（支）
10
×
12+5=125
（支）。
（12）、年齡問題：將差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。
解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、
差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。
例：
父親
48
歲，兒子
21
歲。問幾年前父親的年齡是兒子的
4
倍？
分析：父子的年齡差為
48-21=27
（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的
4
倍，可知父子年齡的倍數差是（
4-1
）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的
4
倍。列式為：
21
-（
48-21
）÷（
4-1
）
=12
（年）
（13）、雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各多少只的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題
解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。
解題規律：（總腿數－雞腿數×總頭數）÷一只雞兔腿數的差=兔子只數
兔子只數=（總腿數-2×總頭數）÷2
如果假設全是兔子，可以有下面的式子：
雞的只數=（4×總頭數-總腿數）÷2
兔的頭數=總頭數-雞的只數
例：
雞兔同籠共
50
個頭，
170
條腿。問雞兔各有多少只？
兔子只數
（
170-2
×
50
）÷
2
=35
（只）
雞的只數
50-35=15
（只）
-
（14）、
出勤率問題：
發芽率=發芽種子數÷試驗種子數×100%
小麥的出粉率=
面粉的重量÷小麥的重量×100%
產品的合格率=合格的產品數÷產品總數×100%
職工的出勤率=實際出勤人數÷應出勤人數×100%
（15）、
工程問題：
是分數應用題的特例，它與整數的工作問題有著密切的聯系。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數量之間相互關系的一種應用題。
解題關鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數，然后根據題目的具體情況，靈活運用公式。
數量關系式：
工作總量=工作效率×工作時間；
工作效率=工作總量÷工作時間
工作時間=工作總量÷工作效率；
合作時間=工作總量÷工作效率和
（16）、
納稅問題
：
納稅就是把根據國家各種稅法的有關規定，按照一定的分率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。
繳納的稅款叫應納稅款。
應納稅額與各種收入的（銷售額、營業額、應納稅所得額
……）的百分率叫做稅率。
（17）、利息問題
：
本金
：存入銀行的錢叫做本金。
利息
：取款時銀行多支付的錢叫做利息。
利率
：利息與本金的比值叫做利率。
利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價÷成本－1)×100%
漲跌金額＝本金×漲跌百分比
利息＝本金×利率×時間
稅后利息＝本金×利率×時間×(1－20%)
第四節、簡易方程
1、方程和方程的解
方程
：含有未知數的等式叫做方程。
注意：方程是等式，又含有未知數，兩者缺一不可。
方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數組成。方程是一個等式，在方程里的未知數可以參加運算，并且只有當未知數為特定的數值時
，方程才成立
。
方程的解
：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。
2、解方程
解方程
：求方程的解的過程叫做解方程。
3、列方程解應用題
列方程解應用題的意義
：用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。
列方程解答應用題的步驟
：
①弄清題意，確定未知數并用x表示；
②找出題中的數量之間的相等關系；
③列方程；
④解方程；
⑤檢查或驗算；
⑥寫出答案。
第五節、
比和比例
1、比的意義和性質
比的意義
：
兩個數相除又叫做兩個數的比。
“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
比的后項不能是零。
根據分數與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數值。
比的性質
：
比的前項和后項同時乘以或者除以相同的數（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質。
求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數值可以是整數，也可以是小數或分數。
根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、后項是互質的數。
比例尺
：圖上距離∶實際距離=比例尺
線段比例尺：在圖上附有一條注有數目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。
按比例分配
：
在農業生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。
按比例分配的方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數的幾分之幾是多少。
2、
比例的意義和性質
比例的意義
：
表示兩個比相等的式子叫做比例。
組成比例的四個數，叫做比例的項。
兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。
比例的基本性質
：
在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。
解比例
：
根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。
3、正比例和反比例
成正比例的量
：
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。
用字母表示
(一定）
成反比例的量
：
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。
用字母表示x×y=k(一定)
第六節、常見的計量單位及其進率
1、長度單位：
常見長度單位：
千米（km）
米（m）
分米（dm）
厘米（cm）
毫米（mm）
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1厘米=10毫米
2、面積單位：
常見的面積單位：
平方千米（km?）
公頃（hm?）
平方米（m?）
平方分米（dm?）
平方厘米（cm?）
1平方千米=100公頃
1公頃=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
3、體積單位：
常見的體積單位：
立方米（m?）
立方分米（dm?）
立方厘米（cm?）
升(L)
毫升（ml）
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1立方毫米
1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
4、質量單位：
常見的質量單位：
噸（t）
千克（kg）
克（g）
1噸=1000千克
1千克=1000克
5、時間單位：
常見的時間單位：
世紀
年
月
日
時
分
秒
1世紀=100年
1年=12個月
28天（平年二月）
1個月=
29天（閏年二月）
30天（四、六、九、十一月）
31天（一、三、五、七、八、十、十二月）
1天=24小時
1小時=60分
1分=60秒
第二部分
空間與圖形
第一節：線與角
1、直線、射線和線段
（1）聯系與區別
名稱
意義
特點
線段
直線上兩點間的一段叫做線段。
線段有兩個端點，它可以度量長度。
射線
把線段的一端無限延長，就得到一條射線。
射線只有一個端點，它是無限長的，不能度量長度。
直線
把線段的兩端無限延長，就可以得到一條直線。
直線沒有端點，它是無限長的，不能度量長度。
（2）垂直與平行
垂直和垂線
：兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。
平行線
：
在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。兩條平行線之間的距離相等。
同一平面內的兩條直線不是平行，就是相交。
點到直線的距離
：
從直線外的一點向該直線引垂線，從這點到垂足的線段的長，叫做這個點到直線的距離。
2、角
角的意義
：從一點引出的兩條射線所組成的圖形叫做角。角的大小與邊的長短無關，與兩邊叉開的大小有關。
角的分類
：角可分為：銳角、直角、鈍角、平角、周角
1周角=2平角=4直角
1平角=2直角
周角＞平角＞鈍角＞直角＞銳角
第二節：平面圖形的認識
1、三角形
三角形的意義
：三角形是由三條線段首尾相接圍城的圖形。
三角形的特性
：三角形具有穩定性。
三角形的分類
：
按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形
按邊分：不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形（正三角形）
2、四邊形的分類
名稱
一般四邊形
平行四邊形
長方形
正方形
梯形
圖形
特征
四條邊圍成
對邊平行且相等
有一個角是直角的平行四邊形
四邊都相等的長方形
只有一組對邊平行的四邊形
3、圓
圓的意義
：圓是平面上的一種曲線圖形。圓上任意一點到圓心的距離都相等。
圓的各部分名稱
：圓心(o)、直徑(d)、半徑（r）、周長（c）
圓的特征
：
①在同圓或等圓中，d=2r或r=。
②圓是軸對稱圖形，圓的直徑所在的直線都是它的對稱軸，因此圓有無數條對稱軸。
第三節：平面圖形的周長和面積
1、周長的意義：圍成一個圖形的所有邊長的總和，叫做這個圖形的周長。
2、平面圖形的周長計算公式：
名稱
長方形
正方形
平行四邊形
梯形
三角形
圓
圖形
周長公式
文字公式
長方形的周長=（長+寬）×2
正方形的周長=邊長×4
平行四邊形的周長=4條邊長總和
梯形周長=上、下底加上兩腰
三角形周長=三邊和
圓周長=圓周率×直徑
字母公式
C=2(a+b)
C=4a
C=2(a+b)
C=a+b+c+d
C=a+b+c
C=πdC=2πr
3、圓周率：
圓的周長與直徑的比值叫做圓周率，用“π”表示。圓周率是一個無限不循環小數，π=3.14159……,在計算時一般只取它的兩位小數，即π≈3.14.
4、面積的意義：
物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。
5、平面圖形面積的計算公式：
名稱
長方形
正方形
平行四邊形
梯形
三角形
圓
圖形
面積公式
文字公式
長方形的面積=長×寬
正方形的面積=邊長×邊長
平行四邊形的面積=底×高
梯形面積=（上底+下底）×高÷2
三角形面積=底×高÷2
圓面積=圓周率×半徑的平方
字母公式
S=ab
S=a?
S=ah
S=(a+b)h
S=ah
S=πr?
第四節：立體圖形的認識
1、長方體和正方體的特點：
相同點
：長方體和正方體都有6個面，8個頂點和12條棱。
不同點
：長方體至少有4個面是長方形，而正方體6個面都是正方形。
聯系
：正方體可以看作是特殊的長方體。
2、圓柱和圓錐的特點：
圓柱
：
圓柱的兩個圓面叫底面，周圍的面叫側面。上、下兩底面之間的距離叫圓柱的高。圓柱有無數條高。
圓錐
：
圓錐的圓面叫底面，周圍的曲面叫側面。頂點到底面圓心的距離叫圓錐的高。圓錐只有一條高。
3、從不同方向看到的立體圖形的形狀：
長方體
：從上、下、前、后、左、右看一般會看到長方形，特殊情況下可能看到正方形。
正方體
：從上、下、前、后、左、右看，都會看到一個正方形。
圓柱
：
從上或下看，會看到一個圓。
從側面看，會看到一個長方形或正方形。
圓錐
：
從上面看，會看到一個圓（有圓心）；
從側面看，會看到等腰三角形。
第五節、立體圖形的表面積和體積
表面積的意義
：
一個立體圖形所有面的面積總和，叫做它的表面積。
體積的意義
：
一個立體圖形所占空間的大小，叫做它的體積。
立體圖形的表面積和體積的計算公式：
名稱
圖形
側面積
表面積
體積
長方體
S=2(a+b)h
S=(ab+ah+bh)×2
V=abh
正方體
S=4a?
S=6
a?
V=a?
圓柱
S=Ch=2πrh
S=Ch+2πr?
V=Sh=πr?h
圓錐
V=Sh=πr?h
第六節
圖形與變換
1、軸對稱圖形
軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形。
這條折痕所在的直線叫做對稱軸；對稱軸是一條直線。
2、平移和旋轉
平移
：
物體或圖形在同一平面內沿直線移動，而本身沒有發生方向上的改變，像這樣的物體或圖形所做的直線運動叫做平移。
平移的兩個要素：
一是移動的方向，二是移動的距離。
旋轉
：
物體或圖形以一個點或一個軸為中心進行圓周運動，像這樣的物體或圖形所做的運動叫做旋轉。
旋轉的三個要素：
一是圍繞的定點或軸，
二是旋轉方向（逆時針方向或順時針方向），三是旋轉角度。
利用圖形的平移和旋轉，可以設計出美麗的圖案。
3、圖形的擴大與縮小
圖形按照一定的比例擴大或縮小后，大小改變，形狀不變。
第七節
圖形與位置
1、辨認方向
2、繪制示意圖
在繪制某地點的示意圖時，需要把實際距離按一定比例縮小，再畫在圖紙上，還要確定圖上距離和相對應的實際距離的比。
3、確定物體的位置
（1）、根據行、列用數對表示物體的位置。
豎排叫做列，橫排叫做行，確定第幾列一般是從左往右數，確定第幾行一般是從前往后（從下往上）數。數對：（列數，行數）
（2）、根據物體的方向和距離可以確定物體的位置。
第三部分
統計與可能性
1、統計
統計表
：
統計表分為單式統計表和復式統計表。
統計圖
：常用的統計圖有條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖三種。
（1）條形統計圖能清楚地看出各數量的多少。
（2）折線統計圖能清楚地看出數量增減變化的情況，也能看出數量的多少。
（3）扇形統計圖能清楚地看出各部分占總數的百分比，以及部分與部分之間的關系。
2、平均數、中位數、眾數
平均數、中位數和眾數是三個常見的統計量。
平均數
：求平均數的實質就是將幾個數量，在總量（和）不變的情況下，通過移多補少，使它們變為相等。
總數量÷總份數=平均數。
中位數
：把調查得到的一組數據，按照從大到小的順序排列起來，其中處于正中間的那一個數叫做這組數據的中位數。如果數據是偶數個時，則取正中間的兩個數的平均數。
眾數
：在一組數據中，出現次數最多的那個數叫做這組數據的眾數。如果一組數據出現次數最多的數據有多個，那么這組數據的眾數就有多個。
3、可能性
可能性知識主要包括：
（1）體驗事件發生的等可能性及游戲規則的公平性。
（2）會求一些簡單事件發生的可能性。
（3）能設計一個方案，符合指定的要求。這是對等可能性的一種逆向思維。
（4）對簡單事件發生的等可能性做出預測。
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