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數學思想在復數中的運用
一 函數思想
　　函數思想是一種重要的數學思想，有關復數的最值問題，常通過構造函數，利用函數的性質求解．
例1　已知復數，則的最大值是（　　）．
　　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）
分析：設出復數的代數形式，將問題轉化為有關函數的最值問題．
解：設．
　　∵，∴，
　　∴．
　　∵，∴當時，有最大值，故選（Ｂ）．
二 整體思想
　　對于有些復數問題，若從整體上去觀察、分析題設結構，充分利用復數的有關概念、共軛復數的性質與模的意義等，對問題進行整體處理，能收到簡捷、明快的效果．
例2　設復數和它的共軛復數滿足，求復數的值．
分析：在求解過程中，充分利用共軛復數性質，整體代入可獲得簡捷、明快、別具一格的解法．
解：設，將化為．
由，整體代入，得，．
根據復數相等的充要條件，得
故．
　　
三 分類討論思想
　　分類討論就是將數學對象劃分為不同種類進行研究或求解的一種數學思想．通過合理的分類討論，可以使較復雜的問題簡單化．復數問題中若含有參數，常常需要根據參數的范圍分類討論．
例3　設，在內解方程．
分析：在復數集內解含有參數的方程，根可能是實數也可能是虛數，因此需對此分類討論．
解：∵，∴，
　　∴為實數或純虛數．
　　（1）若為實數，原方程轉化為，
　　解得；
　　（2）若為純虛數，
　　設，
　　于是方程轉化為．
　　①當時，解得；
　　②當時，方程無解．
　　綜上，時，，或；時，．
四 數形結合思想
　　在處理復數問題時，靈活地運用復數的幾何意義，以數思形、以形助數，可使許多問題得到直觀、快捷地解決．
例4　已知虛數的模為，求的最大值．
分析：由于與為變量，且，可由已知條件得到關于與的等式，也就是動點的軌跡，再結合圖1考慮的取值情況，求出最大值．
解：由是虛數，得．
　　又由，得．
　　這是以為圓心，為半徑的圓，是圓上動點（除去）與連線的斜率，過點作圓的切線、，則斜率的最大值為．
　　∴的最大值為．
　　例5 已知，，則_ _____．
解：由聯想復數加法的幾何性質，不難發現當對應的點在實軸上方時，、、所對應的三點及原點構成平行四邊形的四個頂點如圖2，則為等邊三角形，易求得；當對應的點實軸下方時，，故填或．
　　

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