資源簡介

高中數學筆記-
---------平面向量
基礎概念；
1.幾個概念: 零向量、單位向量(與共線的單位向量是±,特別地
()⊥()(菱形的對角線垂直)、平行(共線)向量(無傳遞性,是因為有)、相等向量(有傳遞性)、相反向量、向量垂直以及一個向量在另一向量上的投影(在上的投影是: ∈R)
2.兩個非零向量平行(共線)的充要條件: ∥ =λ.
兩個非零向量垂直的充要條件: ⊥ ·=0 |+|=|－|
注意: ①零向量和任何向量共線
3，三點A、B、C共線 、共線,向量、、中三終點A、B、C共線存在實數α、β使得=α+β且α+β=1.
注意: ①<,>為銳角 ·>0且、不同向; <,>為直角 ·=0且、≠;
<,>為鈍角 ·<0且、不反向; ·<0是<,>為鈍角的必要非充分條件.
4.中點坐標公式: P為P1P2的中點.
三角形重心坐標公式: △ABC三個頂點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)則△ABC的重心坐標是G(,)
5，設A（x1,x2）、B(x2,y2)，則S⊿AOB＝；
6，向量op=xi+yj，
分別討論當p在區域1，2，3，內時，xy滿足的條件。當p在L1上時，三點共線，x+y=1
7，向量不等式：
8.三角形四心與向量；
設O為△ABC所在平面上一點, 角A、B、C所對邊長分別是a、b、c,則
O為△ABC的重心 ①，++=。②OA2+OB2+OC2=1/3(a2+b2+c2)
③· =+m
(2)O為△ABC的外心 ==
(3) O為△ABC的垂心 ·=·=·
(4) O為△ABC的內心 a+b+c=
9.按向量平移的幾個結論:
(1)點P(x,y)按向量=(h,k)平移后得到點P'(x+h,y+k)..
(2) 函數y=f(x)的圖象C按向量=(h,k)平移后得到圖象C', 則C'的函數解析式為y=f(x－h)+k.
(3)圖象C'按向量=(h,k)平移后得到C, 若C的解析式y=f(x),則C' 的函數解析式y=f(x+h)－k.
(4)曲線C: f(x,y)=0按向量=(h,k)平移后得到圖象C' , 則C' 的方程為f(x－h,y－k)=0.
(5)向量=(x,y)按向量=(h,k)平移后得到的向量仍然為=(x,y).
5，幾何中的五心與向量；
重心；高中數學總結
--------⑵函數
1函數的概念：
注意：①函數圖像與x軸上的垂線至多一個公共點,但與y軸上的垂線的分共點可能沒有,也可任意個;
②函數圖像一定是坐標系中的曲線,但坐標系中的曲線不一定能成為函數圖像
2,常見函數圖像：
y=f（x）=x+；。y= （a，c0）；+
=2；+=2
指數函數與對數函數的圖象與性質
注意: ①指數函數與對數函數, 當a>1時,都是其定義域上的單調增函數, 當0②設函數(a≠0), 記,若f(x)的定義域為R, 則a>0,且, 若f(x)的值域為R,則a>0, 且.
.冪函數:
注意：冪指數大于0時,冪函數在(0,+∝)上單調遞增;冪指數小于0時,冪函數在(0,+∞)上單調遞減,所有冪函數的圖象都過點(1,1).
3圖形變換：
高中階段主要學習了種函數：常數函數，n次函數，冪函數（xa ），指數函數，對數函數，三角函數，分段函數（如含絕對值的函數）
①加減變換：遵循“左加右減，上加下減”的原則（其中上加下減是在X一方變換的，如果也針對y則為“下加上減”即y=f（x）按向量（a，b）平移為y-b=f（x-a）。）
②伸縮變換：y=f(x)→y=f（ax）即沿x軸方向向y軸變為原來的。
絕對值的變換：y=f（x），y=f（｜x｜），y=｜f（x）｜，｜y｜=f（x）的相互轉換。
4，函數的常見性質
若函數y=f（x）滿足f(a+bx)=f(c-bx),，則f（mx）的圖像關于x==對稱
對一函數y=f（x），有y=f（a+bx）與y=f（c-bx）的圖像關于a+bx=c-bx，即x=，對稱
若y=f（x+a）的圖像關于y軸對稱，則有f（x+a）=f（-x+a），及f（x）關于x=a對稱
函數f（x）= （a，c0）值域為 ，圖像關于點（，）中心對稱。
（其實該函數是由反比例函數經過平移或伸縮變換而得，而反比例函數就剛好關于原點中心對稱。）
若f（x）= （a，c0）則f-1（x）== ，（a，d對調）
周期函數不一定有最小正周期。如狄利克雷函數D(X)= 這是一個周期函數，任何正有理數都是它的周期，但是它不存在最小正周期。
原函數與反函數的奇偶性和單調性相同，原函數與導函數的奇偶性相反。
設a為非0常數，若f（x）在定義域內恒有下列條件之一 ：I，f（x+a）=--f(x)，II，f（x+a）f(x)=1,III，f（x+a）= IV，f（x+a）=f（x—a）。則f（x）為周期函數，2a為其周期。
若f（x）同時關于x=a和x=b對稱，則2b-2a為一周期
若f（x）關于x=a對稱，且關于點（b，0）對稱（a與b不相等）則4b-4a為其一周期
若f（x）同時關于點（a，0）和點（b，0）對稱，則2b-2a為其一周期。
5函數與不等式的求解（詳見函數與不等式，導數章節）
6抽象函數問題
抽象函數性質 特殊函數模型
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2） f（x）=kx
f（x1+x2）=f（x1）.f（x2） 或f（x1-x2）=f（x1）f（x2） f（x）=ax
f（x1x2）=f（x1）+f（x2） 或f（x1x2）=f（x1）-f（x2） f（x）=logax
f（x1）+f（x2）=2f f f（x）=cosx
易錯點；
忽略了函數的定義域，造成范圍求解是出錯。
告知截距相等時，要考慮y=kx的情況，此時截距均為0
求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，記得標注該函數的定義域了。
例1、在同一坐標系中，函數與（>0且≠1）的圖象可能是
（A） （B）
（C） （D）
例2、設，，，則的面積是 （ ）
A. 1 B. C. 4 D. 4
例3、若定義在區間上的函數對上的任意個值，，…，，總滿足≤，則稱為上的凸函數.已知函數在區間上是“凸函數”，則在△中，的最大值是____________________.
答案;1，C. 2,B 3, 。
例4．已知，求的最大值與最小值。
，
，
。
例5，設方程 的兩個根為，則 （ ）
A B C D
由兩圖象交點的意義，交點的橫坐標分別為 不妨設 ，利用方程根適合方程，注意絕對值的意義化為
如何確定范圍？
目標函數變形， ，選D.
例6， 對于三次函數。
定義：（1）設是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”；
定義：（2）設為常數，若定義在上的函數對于定義域內的一切實數，都有成立，則函數的圖象關于點對稱。
己知，請回答下列問題：
（1）求函數的“拐點”的坐標
（2）檢驗函數的圖象是否關于“拐點”對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）
（3）寫出一個三次函數，使得它的“拐點”是（不要過程）
【標準答案】
（1）依題意，得： ，
。……………………2分
由 ，即。∴，又 ，
∴的“拐點”坐標是。……………………4分
（2）由(1)知“拐點”坐標是。
而=
==，
由定義(2)知：關于點對稱。……………………8分
一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心。………………………………………………………………………10分
（或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數………）都可以給分
（3）或寫出一個具體的函數,如或。…………12分
說明：本題在函數、導數、方程的交匯處命題，具有較強的預測性，而且設問的方式具有較大的開放性，情景新穎.解題的關鍵是：深刻理解函數“拐點”的定義和函數圖像的對稱中心的意義。其本質是：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；高中數學筆記（3）
-----------------三角函數
基本概念：
誘導公式：奇變偶不變，符號看象限。。
2，函數的最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。（若未告知，則要討論）
3，三角函數的單調區間：
的遞增區間是，遞減區間是；的遞增區間是，遞減區間是，的遞增區間是，的遞減區間是。
4、
5、二倍角公式是：sin2=
cos2===
tan2=。
8、三倍角公式是：sin3= cos3=
9、半角公式是：sin= cos=
tan===。
10、升冪公式是： 。
11、降冪公式是： 。
12、萬能公式：sin= cos= tg=
13、sin()sin()=，
cos()cos()==。
14、=；
=；
=。
15、=。
16、sin180=。Sin150=，sin750=
備注；1，注意值為1的公式的使用。在圓錐曲線中參數方程的設定，不等式證明中換元的使用。
2，角的變換；=（=2；2=-（
18、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圓半徑）：
19、由余弦定理第一形式，=
由余弦定理第二形式，cosB=
20、△ABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內切圓半徑用r表示，半周長用p表示則：
① ；
③；④；
⑤；⑥
21、三角學中的射影定理：在△ABC 中，，
22、在△ABC 中，，
23、在△ABC 中：
24、積化和差公式：
①，
②，
③，
④。
25、和差化積公式：
①，
②，
③，
④。
26，反三角函數
、的定義域是[-1，1]，值域是，奇函數，增函數；
的定義域是[-1，1]，值域是，非奇非偶，減函數；
的定義域是R，值域是，奇函數，增函數；
的定義域是R，值域是，非奇非偶，減函數。
、當；
對任意的，有：
當。
，反三角函數的圖像：
27、最簡三角方程的解集：
28，常見函數性質
y=sinx+cosx
易錯題；
例1．關于函數有下列命題，y=f(x)圖象關于直線對稱 y=f(x)的表達式可改寫為 y=f(x)的圖象關于點對稱 由必是的整數倍。其中正確命題的序號是 。
答案：
錯解：
錯因：忽視f(x) 的周期是，相鄰兩零點的距離為。
例2．已知定義在區間[-，] 上的函數y=f(x)的圖象關于直線x= -對稱，當x[-，]時，函數f(x)=Asin(x+)(A>0, >0,-<<)，其圖象如圖所示。
(1)求函數y=f(x)在[-，]的表達式；
(2)求方程f(x)=的解。
解：(1)由圖象知A=1，T=4()=2，=
在x[-，]時
將(，1)代入f(x)得
f()=sin(+)=1
∵-<<
∴=
∴在[-，]時
f(x)=sin(x+)
∴y=f(x)關于直線x=-對稱
∴在[-，-]時
f(x)=-sinx
綜上f(x)=
(2)f(x)=
在區間[-，]內
可得x1= x2= -
∵y=f(x)關于x= - 對稱
∴x3=- x4= -
∴f(x)=的解為x{-,-,-,}
3． 若，求的取值范圍。
解：令，則有
說明：此題極易只用方程組（1）中的一個條件，從而得出或。原因是忽視了正弦函數的有界性。另外不等式組（2）的求解中，容易讓兩式相減，這樣做也是錯誤的，因為兩式中的等號成立的條件不一定相同。這兩點應引起我們的重視。高中數學總結
--------⑴集合
基礎要點：
集合中的元素具有三個性質:無序性、確定性和互異性.
注意: ①集合元素的互異性.
②對集合A、B, A∩B=時, 要注意: A= 或B= ;求集合的子集時要注意是任何集合的子集, 是任何非空集的真子集
③對于含有n個元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為, 、,,.
④交集的補集等于補集的并集, 即U(A∩B)= U A∪U B; 并集的補集等于補集的交集,即U(A∪∩B)= U A∩U B;
⑤集合A中m有個元素，B中有n個元素。則A對B的一一映射有
易錯題：
例1：已知集合A=｛x︱-2≤x≤5｝,B=｛x︱M+1≤x≤2M-1｝,若B A則的取值范圍是
錯解：〔2，3〕，忽略了B為空集的情況。正解為 （-∝，3〉
例2．已知集合A=｛xx2+(p+2)x+1=0, p∈R｝,若A∩R+=。則實數P的取值范圍為 。
答案;P（－4，＋∞）
心得：集合常放在第一小題中考，或在大題中第一問與其他知識點結合來考查。難度不大，但要注意陷阱，以防不必要的失分。高中數學筆記
----------4-數列
基本概念：
1.等差數列{an}中:
(1)an=a+(n－1)d=am+(n－m)d; p+q=m+n ap+aq=am+an.
(2)a1+a2+…+am, ak+ak+1+…+ak+m－1,…仍成等差數列.
(3)ap=q,aq=p (p≠q) ap+q=0; Sp=q,Sq=p (p≠q) Sp+q=－(p+q); Sm+n=Sm+Sn+mnd
⑷S2n-1=an(2n-1) （常用于數列的比較中和代換中）; 為等差數列，公差為d2
3.等比數列{an}中;
(1) m+n=r+s, am·an=ar·as
(2) a1+a2+…+am, ak+ak+1+…+ak+m－1,…仍成等比數列
(4)
注意:①an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)
②Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.
4.等差數列與等比數列的聯系
(1)如果數列{an}成等差數列, 那么數列{}(總有意義)必成等比數列.
(2)如果數列{an}成等比數列, 那么數列{}(a>0,a≠1)必成等差數列.
(3)如果數列{ an}既成等差數列也成等比數列,那么數列{ an}是非零常數數列; 數列{an}是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件.
(4)如果兩等差數列有其公共項,那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列,且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數.
5.數列求和的常用方法.
(1)公式法: ①等差數列求和公式, ②等比數列求和公式 ③常用公式:
, 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1), 13+23+33+------+n3= 2
(2)分組求和法: 在直接運用公式法求和有困難時,常將"和式"中"同類項"先合并在一起,再運用公式法求和.
(3)倒序相加法: 在數列求和中,若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性,則常考慮選用倒序相加法,發揮其共性的作用求和.
(4)錯位相減法: 如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列通項相乘構成,那么常選用錯位相減法,將其和轉化為"一個新的等比數列的和"求解".
(5)裂項相消法: 如果數列的通項可"分裂成兩項差"的形式,且相鄰項分裂后相關聯,那么常選用裂項相消法求和,常用裂項形式有:
① ②
③;
④ ⑤
⑥ ⑦ --）
；--）
（注意:運用等比數列求和公式時,務必檢查其公比與1的關系,必要時應分類討論.
裂項相消法更多的用于數列中不等式的證明）
6.數列的通項的求法:（11種類型）
類型1 ；（累加法）
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以
，
備注：此題目還有一種更為簡便的方法。
；an+1+=an+=…….
a1+1=1.5；然后即可求得通項
類型2 （ 累乘法）
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又，；
同樣該題也有更為簡便的方法；
n+1=nan=a1
例3:已知， ，求。
解：
。
變式:（2004，全國I,理15．）已知數列{an}，滿足a1=1， (n≥2)，則{an}的通項
解：由已知，得，用此式減去已知式，得
當時，，即，又，
，將以上n個式子相乘，得
小結：很多題目他不會告訴你是哪種類型，往往要通過一步或兩步的變形。而這題所用的兩式相減是非常常見的也是非常有效的。常用于關系式不只是an和an+1的關系。
類型3 an+1=pan+f（n）；（構造法）
通常構造為an+1+bn+1=p（an+bn）；
①： （其中p，q均為常數，）。
形如（為不等于0的常數）的數列，可令
即與比較得（最好記住這個系數，以加快速度），從而構造一個以為首項以為公比的等比數列
例4:已知數列中，，，求.
解：設遞推公式. （直接心算出系數）,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.
變式:（2006，重慶,文,14）
在數列中，若，則該數列的通項_______________
（答案:）
②，I，an+1=Pan+an+b；IIan+1=pan+an2+bn+c；
I構造an+1+x（n+1）+y=P（an+xn+y）；則新數列bn= an+xn+y，為等比數列，其中x=，y由具體數值求
II構造an+1+x（n+1）2+y(n+1)+z=p（an+xn2+yn+z）；然后同上
③：（其中p，q均為常數，，pq不相等）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。
解法：構造an+1+xqn+1=p（an+xqn）
④；an+1=pan+rpn；
解法；兩邊同時除以pn+1，轉化為類型1
例5:已知數列中，,，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：
所以
例6(2005重慶卷)數列滿足且
記
求的值
求數列的通項及數列的前項和
解析:(1)由于得代入遞推關系
整理得即 由有
所以
⑵由
∴
∴是以為首項以為公比的等比數列
故即由得
故……
=……
=
=
例7（第十三屆希望杯）設函數與函數的圖象交于點，對任意（）將過點（0，3）和點的直線與直線交點坐標記為，則坐標依次為_______
解析：過點（0，3）和點直線方程為，將它與聯立，得
，取倒數
即數列是公差為的等差數列
又由與聯立，得
因而，故
于是得
類型4，遞推公式為與的關系式。(或)
解法：利用與消去 或與消去進行求解。
例7：數列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）應用類型4（（其中p，q均為常數，））的方法，上式兩邊同乘以得：
由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以
，再利用待定系數法求解。
例8：已知數列｛｝中，，求數列
解：由兩邊取對數得，
令，則，再利用待定系數法解得：。
類型5， （兩邊取對數）
解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為類型3.這里就不在出例題了。
類型6遞推公式為（其中p，q均為常數）。（特征方程）
形如是常數）的數列
形如是常數）的二階遞推數列都可用特征根法求得通項，其特征方程為…①
若①有二異根，則可令是待定常數）
若①有二重根，則可令是待定常數）
再利用可求得，進而求得
例6: 數列：， ,求
解（特征根法）：的特征方程是：。,
。又由，于是
故
練習:已知數列中，,,，求。
。
變式:（2006，福建,文,22）
已知數列滿足求數列的通項公式；
（I）解：
　　
類型7 （兩邊取倒數）
解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為。
例9：已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
解：取倒數：
是等差數列，
變式:（2006，江西,理,22）
已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝ 求數列｛an｝的通項公式；
解：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為一個等比數列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n1）
類型8、形如的數列；（不動點特征方程）
對于數列，是常數且）
其特征方程為，變形為…②
若②有二異根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值。
這樣數列是首項為，公比為的等比數列，于是這樣可求得
若②有二重根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值。
這樣數列是首項為，公差為的等差數列，于是這樣可求得
例3已知數列滿足，求數列的通項
解：其特征方程為，化簡得，解得，令
由得，可得，
數列是以為首項，以為公比的等比數列，，
例4已知數列滿足，求數列的通項
解：其特征方程為，即，解得，令
由得，求得，
數列是以為首項，以為公差的等差數列，，
類型9；形如；an+1=；（不動點特征方程2）
特征方程為x=；構造然后轉化為類型5即可
類型10周期型；（找規律）
解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。
例10：若數列滿足，若，則的值為___________。
變式:（2005，湖南,文，5）
已知數列滿足，則= （ ）
A．0 B． C． D．

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