資源簡介

從而p(x)sp(e)=212e3+1
2e3+1
而q(x)=
e(x>0)為增函數,所以q(x)>q(0)
所以p(x)≤=3=q(0)導數是用來研究連續函數性態的強有力的工具.除在高中階段所認識的一系列基本初等
函數外,高考導數的壓軸試颋常岀現或需要枃造下列六種典型的函數模型來輔助解題
(1)f(x)hnf(x);(2)fx)
In
f(x)
f(r)
(6)
In
f(x)
f():(4)f(x)e";(5)J(cx)
f(x)
f(r)
命題人經常立足于上述六個函數命題一定的題目.若在同一試題中出現了兩種或兩種以上的
典型函數,則此時往往人工不可能求其極(最)值.此時,就需要處用函數“分拆”的手段,
將原不等式分拆成一些可求局部最值的兩個函數或更多個函數,通過分拆與二次整合的相互
配合,可將原不等式的證明問題轉化為求局部函數的最值問題,然后分別求兩個函數的最值
L即可達到解決問題的目的
【例2】已知函數f(x)=xlnx-ax
(I)當a=-1時,求函數f(x)在(0,+∞)上的最值
(I)求證:對一切x∈(0,+∞),都有1+hm-12
成立
e
x
【解析】(Ⅰ)函數f(x)=xlnx-ax的定義域為(0,+∞)
當a=-1時,f(x)=xlnx+x,f(x)=lnx+2.由f(x)=0,得x
當x∈(0,-2)時,f"(x)<0,f(x)單調遞減
當x∈(一2,+∞)時,∫(x)>0,f(x)單調遞增
因此,f(x)在x=2時取得最小值,即f(x)m=f(-)
但無最大值
2
2
(I1)當x>0時,lnx+1>xxe2x
等價于x(lnx+1)>
由(Ⅰ)知a=-1時,f(x)=xlnx+x的最小值為
當且僅當x=2時取等號
2
設G(x)=--=2(x>0),G(x)
x+1
由G(x)=0,得x=1
當x∈(0,1),G"(x)>0,G(x)單調遞增
當x∈(1,+∞),G(x)<0,G(x)單調遞減
因此,G(x)在x=1處取得最大值,即G(x)x=G(1)、1
,當且僅當x=1時取
等號
從而可知,對一切x∈(0,+∞),都有f(x)>G(x),即lnx+1>-x
在證明不等式中,等價轉化是關鍵,此處利用f(x)mn>G(x)mx恒成立,從而
f(x)>G(x),但此處f(x)與G(x)取到最值的條件不是同一個“x”的值
【例3】設函數f(x)=0
eInr+
beI-
,曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為
y=e(x-1)+2
(I)求a,b;
(Ⅱ)求證:f(x)>1
(2014年全國I卷理科試題)
【解析】(I)函數f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)=
aeIn
x+-eb
b
由題意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2
(I)方法
由(I)知,f(x)=elnx+=e,因為e>0且x>0,從而
fo
In
ixg(x=xInx,
h(x)=xe-(x>0)
從而g(x)=1+nx,令g'(x)=0,得x=
當x∈(0,-)時,g(x)<0,g(x)單調遞減;當x∈(,+∞)時,g(x)>0,g(x)單
調遞增
從而8(x)在x=處取得最小值g(x)m=8(-)=1
而h(x)=e-xex=e(1-x).令h(x)=0,得x=1
當x∈(0,1)時,h(x)>0,h(x)單調遞增;當x∈(1,+∞)時,h(x)>0,h(x)單調
遞減

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