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利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。在運(yùn)用均值不等式解題時(shí),我們常常會(huì)遇到題中某些
式子不便于套用公式,或者不便于利用題設(shè)條件,此時(shí)需要對(duì)題中的式子適當(dāng)進(jìn)行拼湊變形。均值不等式等號(hào)成立條
件具有潛在的運(yùn)用功能。以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn),為解題提供信息,可以引發(fā)出種種拼湊方法。筆者把運(yùn)
用均值不等式的拼湊方法概括為八類
拼湊定和
通過因式分解、納入根號(hào)內(nèi)、升冪等手段,變?yōu)椤胺e”的形式,然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn),均分系
數(shù),拼湊定和,求積的最大值
0求函數(shù)y=-x2-x2+x+1的最大值
解,y=x(x+1]+(x+12=(x+(-x)=(x+1)(1-x
3+++(-3
≤4/2
2
27
當(dāng)且僅當(dāng)21-x≈7
x+1
平注:通過因式分解,將函數(shù)解析式由“和”的形式,變?yōu)椤胺e”的形式,然后利用隱含的“定和”關(guān)系,求“積”
的最大值
例2求函數(shù)
y=x2小=x(0(1-x2)
x2
+(-x2)
(1-x)
√6
當(dāng)且僅當(dāng)2
時(shí),上式取“=”。故
評(píng)注:將函數(shù)式中根號(hào)外的正變量移進(jìn)根號(hào)內(nèi)的目的是集中變?cè)?為“拼湊定和”創(chuàng)造條件
例3已知0x(4
的最大值
解,y2=36x(4-x)=18×2x2(4-x2)(4-x)
x2+(4-x)+(
當(dāng)且僅當(dāng)
3時(shí),上式取
32√3
通過裂項(xiàng)、分子常數(shù)化、有砠代換等手段,變?yōu)椤昂汀钡男问?然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)
配項(xiàng)湊定積,創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件
(x+5)(x+2)
求函數(shù)
的最小值
(x+1)+4[(x+1)+1
y
ym=9
評(píng)注:有關(guān)分式的最值問題,若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù),則可考慮裂項(xiàng),變?yōu)楹偷男问?然后“拼湊定積”,往往
是十分方便的
例5已知x>-1,求函數(shù)
的最大值
24(x
(x+1)+4(x+1)+4
+4
當(dāng)且儀當(dāng)x=1時(shí),上式取
平注:有關(guān)的最值問題,若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù),可考慮改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu),將分子化為常數(shù),再設(shè)法將分母“
湊定積
2-cosx
例6已知
051nx的最小值
解:田為0<≤丌,所以
一之
sin
x
sinx
上式取“=”。故
y
評(píng)注:通過有理代換,化無理為有理,化三角為代數(shù),從而化繁為簡(jiǎn),化難為易,創(chuàng)造出運(yùn)用均值不等式的環(huán)境
拼湊常數(shù)降冪
a3+b3=2,a,b∈R,求證:a+b≤2
分析:基本不等式等號(hào)成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能,它能在“等”與“不等”的互化中架設(shè)橋梁,能為解題
提供信息,開辟捷徑。本題已知與要求證的條件是a=b=1,為解題提供了信息,發(fā)現(xiàn)應(yīng)拼湊項(xiàng),巧妙降次,迅

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