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(II)由(I知,當a=e時,f(x)≥0恒成立,即e-elnx≥e.
設h(x)
(x>0),則h(x)=
當00,h(x)單調遞增;當x>1時,h(x)<0,h(x)單調遞減
h(x)m=h(1)=,即≤一,從而e2≤e.
所以e-enx≥e≥-2,即e22-ehx-x≥0
二、隔離直線
在處理不等式的證明問題時,我們以常會遇到兩個函數的圖象被某條直線隔離的情形
如果我們能夠找到這條直線,然后再構造兩個差函數,問題往往能迎刃而解.
【例7】若存在實常數k和b,使得函數f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數x分別
滿足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l:y=kx+b為f(x)和g(x)的隔離直線
已知h(x)=x2,(x)=2elnx(其中e為自然對數的底數)
(1)求F(x)=h(x)-(x)的極值;
(I)函數h(x)和φ(x)是否存在隔離直線?若存在,求出此隔離直線方程;若不存在,
請說明理由
【解析】()∵F(x)=h(x)-q(x)=x2-2elnx(x>0),
三x
2e2(x-ve)(x+ve
當x=√e時,F(x)=0
x
∴當0當x>√e時,F(x)>0,此時函數F(x)遞增
當x=√e時,F(x)取極小值,其極小值為0
(n)(解法一)由(1)可知函數(x)和(x)的圖象在x=√e處有公共點,
因此若存在h(x)和q(x)的隔離直線,則該直線過這個公共點
設隔離直線的斜率為k,則直線方程為y-e=k(x-√e),即y=kx+e-ke
由(x)≥kx+e-k√e(x∈R),可得x2-kx-e+k√e≥0當x∈R時恒成立
△=(k-2√e),∴由△≤0,得k=2√e
下面證明g(x)≤2vex-e當x>0時恒成立
令G(x)=0(x)-2√ex+e=2elnx-2√ex+e,
則G(x)==-2
,當x=√e時,G'(x)=0
當00,此時函數G(x)遞增
當x>√e時,G'(x)<0,此時函數G(x)遞減
當x=√e時,G(x)取極大值,其極大值為0
從而G(x)=2ehx-2vex+e≤0,即p(x)≤2√ex-e(x>0)恒成立
∴函數h(x)和(x)存在唯一的隔離直線y=vex-e
(解法二)由(可知當x>0時,h(x)2(x)(當且當x=√e時取等號)
若存在h(x)和(x)的隔離直線,則存在實常數k和b,使得h(x)≥kx+b(x∈R)和
(x)≤{x+b(x>0)恒成立,令x=√e,則e≥k√e+b且e≤k√e+b
k√e+b=e,即b=e-k√e.后面解題步驟同解法一
尋求隔離直線的關鍵是,首先找出兩個函數的公共點,可以采用構造函數,利用函數的
單調性尋求函數的零點,得出公共點;其次將過公共點的直線設成點斜式,代入已知條件,
能同時使兩個不等式恒成立的直線,即為所求隔離直線
【例8】已知函數f(x)=e-ln(x+m).當m≤2時,求證:f(x)>0
分析:本例的常規思路是轉化為證明函數∫(x)的最小值大于O,但在求導函數
的零點時遇到了困難.轉而觀察函數y=e與y=ln(x+m)的圖象之間
X+m
的關系(當m-2時如圖1所示,當m<2時如圖2所示),從中獲取解題思路.
y=r+l
ir=
ytx=Infx+m)
ytr)e
yx)=ln(x+m)
圖1
圖

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