資源簡(jiǎn)介

求值域的方法
一、定義法
通過(guò)值域的定義求值域是最簡(jiǎn)單直接的一種方法，但是有時(shí)也是我們最常忽略的一種方法，因?yàn)樗暮?jiǎn)單，所以是在學(xué)習(xí)值域中最早接觸過(guò)的一種方法，但是在一些考查思維能力的大題中，伴隨著一些閱讀信息出現(xiàn)時(shí)，往往會(huì)給我們?cè)斐梢恍├_。今天的學(xué)習(xí)希望大家就從定義出發(fā)，理解函數(shù)值域。
先看例題：
1.已知函數(shù)，其中則函數(shù)的值域是_____
先看x的取值：
所以函數(shù)值域?yàn)?br/>注意：定義域是有限集，值域也是有限集
2.若函數(shù)的定義域是則其值域?yàn)開(kāi)_______
將x=1,2,3,4分別代入函數(shù)，得y=-3，-4，-3,0
由集合的互異性可知，函數(shù)值域?yàn)閧-4，-3,0}
求函數(shù)
的值域
注意定義域x≠0,
注意：定義域不是有限集，值域可能是有限集
總結(jié)：
函數(shù)值域是函數(shù)值的集合
它是由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同給確定的
求值域時(shí)要注意函數(shù)的定義域
二、分離常數(shù)法
分離常數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的常用方法，分離常數(shù)的思路是將變量和常量分開(kāi)研究，是解決矛盾的一種重要思路。該方法在求函數(shù)值域中也有非常廣泛的應(yīng)用，今天我們就一起來(lái)看看如何用分離常數(shù)的方法求函數(shù)值域。
先看例題：
1.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)___
先將分離常數(shù)：
接下來(lái)只需研究分母的取值范圍即可：
所以，函數(shù)值域?yàn)?br/>2.求函數(shù)的值域
先分離常數(shù)：
我們發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)函數(shù)形如，這時(shí)可以考慮使用分離常數(shù)的方法，來(lái)求其值域。
更進(jìn)一步，如果我們把x的位置換成一個(gè)函數(shù)，即
還能夠使用分離常數(shù)的方法么？
繼續(xù)往下看：
3.求函數(shù)的值域
先分離常數(shù)：
對(duì)于形如的函數(shù)，都可以考慮用分離常數(shù)的方法進(jìn)行求解。
總結(jié)：
1.分離常數(shù)的思路，也就是將矛盾分離，一部分一部分進(jìn)行研究。
2.哪些形狀的式子，可以考慮用分離常數(shù)的方法進(jìn)行求解。
3.求解過(guò)程中，要注意函數(shù)的定義域，注意等價(jià)變形。
三、基本函數(shù)法
在求值域的問(wèn)題中，往往問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為我們常見(jiàn)的基本函數(shù)，這些函數(shù)的性質(zhì)你是否都很熟悉，并能靈活應(yīng)用呢？今天我們就通過(guò)幾個(gè)例題，來(lái)看看基本函數(shù)在求值域題目中的運(yùn)用。
先看例題：
1.若集合
則______
這個(gè)題目比較基礎(chǔ)，我們只需要根據(jù)基本函數(shù)知識(shí)，分別求出兩個(gè)函數(shù)的值域即可得解
所以
2.求函數(shù)
的值域
得：
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)值域?yàn)?br/>注意：此時(shí)求值域是求兩個(gè)區(qū)間的并集，不是求交集
3.求函數(shù)的值域是（）
A.[0,+∞]
B.[0,4]
C.[0,4)
D.(0,4)
所以選C
看了幾個(gè)例題，接下來(lái)我們整理出部分基本函數(shù)的值域，希望同學(xué)們能夠熟練掌握。
再來(lái)練習(xí)幾個(gè)題目，加深印象。
1.求函數(shù)
因?yàn)?br/>所以
所以原函數(shù)值域?yàn)椋?br/>2.求函數(shù)的值域
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取到最小值為-1，
所以原函數(shù)值域?yàn)椋?br/>總結(jié)：
基本函數(shù)的法求值域是一種很基礎(chǔ)的方法，要求同學(xué)們對(duì)常見(jiàn)的基本函數(shù)很熟悉，運(yùn)用靈活。同時(shí)要能夠分析出，復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)構(gòu)成的。
四、判別式法
判別式法實(shí)際上體現(xiàn)了一種方程思想，將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了方程有解的問(wèn)題。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要注意什么形式的函數(shù)可以考慮這種方法，同時(shí)要注意，它有哪些適用條件。
先看例題：
1.求函數(shù)的值域
首先確定定義域，
函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為
所求函數(shù)的值域需要使得方程有解，所以要求
得，解得
所以函數(shù)值域?yàn)?br/>2.求函數(shù)的值域
注意到，這個(gè)函數(shù)定義域?yàn)镽，這類(lèi)函數(shù)在求值域時(shí)使用判別式法比較方便
整理函數(shù)得
當(dāng)y=1時(shí)，方程無(wú)解
當(dāng)y≠1時(shí)，所求函數(shù)的值域需要使得，方程有解，
要求
注意：當(dāng)y=1時(shí)，函數(shù)不再是關(guān)于x的二次方程，且方程無(wú)解，所以y=1不是函數(shù)的值域。所以在y≠1的情況下研究函數(shù)值域，所以函數(shù)值域?yàn)?br/>總結(jié)：當(dāng)我們?cè)儆龅?br/>類(lèi)型的函數(shù)時(shí)，可以考慮使用判別式法，求函數(shù)值域。將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程。要注意方程思想的應(yīng)用。
注意：
1.函數(shù)的定義域
2.當(dāng)x平方項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，不構(gòu)成關(guān)于自變量的二次方程，需要單獨(dú)討論。
五、配方法
如果一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，或可以整理為二次形函數(shù)，可以考慮用配方的方法求其值域，配方的意義在于可以找到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，并在對(duì)稱(chēng)軸處取得最大（小）值。同時(shí)我們還要注意函數(shù)的定義域，是否能取到函數(shù)的最大（小）值。
先看例題：
1.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）
A.
B.
C.
D.
對(duì)函數(shù)配方：
的最小值為，最大值為，所以其值域?yàn)?br/>注意：函數(shù)在定義域內(nèi)并不單調(diào)，所以不能直接代入端點(diǎn)值計(jì)算結(jié)果。
要通過(guò)配方，找到函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，且在對(duì)稱(chēng)軸處取得函數(shù)最小值。
2.求函數(shù)的值域
可以將其換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)
令
則
即
所以函數(shù)可整理為：
此時(shí)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在
單調(diào)遞增，而t的取值范圍是（這里一定要看清，用的是t的取值范圍，而不是x的取值范圍）
所以當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)取到最小值-2
所以函數(shù)值域?yàn)?br/>總結(jié)：
對(duì)于二次函數(shù)或二次形函數(shù)
可以考慮用配方法求值域，充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)，在對(duì)稱(chēng)軸處函數(shù)取得最大（小）值
注意：
二次函數(shù)形式，在對(duì)稱(chēng)軸處取得函數(shù)的最小（大）值。
函數(shù)的定義域，是否包含最值；換元時(shí)注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，保證函數(shù)取值范圍不發(fā)生變化，才能求得正確的結(jié)果。
六、代數(shù)換元法
求函數(shù)值域是我們學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的非常重要的一節(jié)，在以后我們遇到大題，也經(jīng)常會(huì)要我們討論函數(shù)的取值范圍，實(shí)際上也是值域的一種體現(xiàn)。
求函數(shù)值域有很多方法，其實(shí)考查的是對(duì)函數(shù)本身性質(zhì)進(jìn)行分析，處理的能力。今天我們就一起來(lái)看一種常見(jiàn)的方法——代數(shù)換元法。
先看例題：
1.求函數(shù)的值域
令
通過(guò)換元，配方，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式，
容易看出，函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，在t=1時(shí)取到最大值
可以看出，直接求值域比較難求，討論函數(shù)單調(diào)性也不是很容易，但我們發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)換元，把原式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，而二次函數(shù)的性質(zhì)是我們熟悉的，可以幫助我們解決問(wèn)題。
注意：換元要注意定義域，需要等價(jià)轉(zhuǎn)化，才能得到正確的結(jié)論。
2.求函數(shù)的值域
令
通過(guò)換元，配方，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式，
容易看出，函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，在t=2時(shí)取到最大值，
還要注意定義域，當(dāng)
時(shí)，函數(shù)取得最小值
函數(shù)值域?yàn)?br/>注意：原函數(shù)是給定定義域的，要在定義域內(nèi)求值域。
總結(jié)：
1.形如
2.令
3.要注意函數(shù)的定義域，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，找到正確的值域
七、基本不等式法
基本不等式，是求多項(xiàng)式的最大（小）值的一種常用手段，當(dāng)然也可以用在求函數(shù)的最值上，為求函數(shù)值域服務(wù)。本節(jié)課希望同學(xué)們掌握哪些形式的函數(shù)可以考慮使用基本不等式的方法求值域，同時(shí)要注意使用基本不等式的適用條件。
先看例題：
1.求函數(shù)的值域
首先注意定義域：
當(dāng)x>0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立
當(dāng)x<0時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)，等號(hào)成立
所以函數(shù)的值域?yàn)?br/>當(dāng)我們使用基本不等式的時(shí)候，要注意考查其適用條件，比如當(dāng)x<0時(shí)，就要對(duì)函數(shù)做出一些改變，才能使用。
注意：注意函數(shù)的定義域，是否能夠使得基本不等式滿足等號(hào)成立的條件。如果不滿足，還需要借助其它手段確定函數(shù)值域，不能想當(dāng)然的使用公式。
2.求函數(shù)的值域
因?yàn)?br/>所以
要注意分類(lèi)討論，當(dāng)x=0時(shí)，不滿足基本不等式的使用條件，但其仍是函數(shù)的一個(gè)可能取值，所以要分開(kāi)研究，做到不重不漏。
總結(jié)：
基本不等式：
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取到等號(hào)。
切記使用條件：
一定：乘積出現(xiàn)定制
二正：兩數(shù)均為正數(shù)
三相等：在a=b時(shí)取到等號(hào)。
八、三角換元
三角換元是高中數(shù)學(xué)中比較常見(jiàn)的一種換元方式，它充分利用了三角函數(shù)自身的有界性，以及三角恒等變形的相關(guān)公式，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，要注意掌握，什么樣的函數(shù)可以考慮三角換元？在換元過(guò)程中應(yīng)該如何確定定義域，保證等價(jià)轉(zhuǎn)化。
先看例題：
1.求函數(shù)的值域
首先確定函數(shù)的定義域，
注意到，函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以只研究部分的值域即可
根據(jù)圖形，
可以設(shè)
由，可得
注意：定義域的合理選取，即保證了等價(jià)轉(zhuǎn)化，又使得函數(shù)容易化簡(jiǎn)。
2.求函數(shù)
的值域
可以設(shè)，注意取值范圍
根據(jù)，
即函數(shù)值域?yàn)?br/>總結(jié)：
當(dāng)函數(shù)含有結(jié)構(gòu)時(shí)，可以考慮用三角換元法求值域，注意三角函數(shù)與"1"的關(guān)系。
設(shè)
在選取取值范圍時(shí)，要保證函數(shù)定義域不變，完成等價(jià)轉(zhuǎn)化。同時(shí)也要保證開(kāi)根號(hào)的值盡量為正，避免脫絕對(duì)值的討論。
九、數(shù)形結(jié)合法
當(dāng)我們遇到求值域問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)遇到一些困難，即題目會(huì)給我們?cè)O(shè)置一些障礙，這時(shí)就需要我們先冷靜下來(lái)去觀察題目，觀察函數(shù)的特點(diǎn)。
今天我們要介紹的數(shù)形結(jié)合法，就是求值域中一類(lèi)非常靈活的方法，且每個(gè)題目所用的方法都不盡相同，所使用的方法是由函數(shù)本身的性質(zhì)決定的。而同學(xué)們重點(diǎn)要掌握的是函數(shù)的解析式，是否含有幾何意義，能否通過(guò)幾何圖形幫助我們解題。同時(shí)也要多見(jiàn)一些題型，多積累解題的感覺(jué)。
先看例題：
1.求函數(shù)的值域
函數(shù)可看為兩點(diǎn)連線的斜率，即
則，即所求函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求k的取值范圍
借助圖形：
我們可以看到，當(dāng)直線與單位圓相切時(shí)，k分別取到最大值和最小值
所以，原函數(shù)值域
當(dāng)我們看到這個(gè)函數(shù)，用其它手段比較難以轉(zhuǎn)化求值域，又觀察到了其分式的形式，從而思考，是否可以轉(zhuǎn)化為斜率的形式。于是將分式看作兩點(diǎn)連線的斜率，于是轉(zhuǎn)化為求一個(gè)定點(diǎn)，與一個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間連線的斜率的取值范圍，大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題。將求值域的問(wèn)題，與幾何中直線與圓相切的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)了。
然而，數(shù)形結(jié)合還有其它類(lèi)型的應(yīng)用么？
我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例題：
2.求函數(shù)的值域
整理函數(shù)得，
這時(shí)觀察函數(shù)，用一般方法不是很好繼續(xù)進(jìn)行，但我們發(fā)現(xiàn)，根號(hào)下的形式比較像兩點(diǎn)間的距離公式，所以我們可以改造一下函數(shù)：
這時(shí)我們可以把函數(shù)看成坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)間的距離和，
，即
通過(guò)觀察圖像，這時(shí)所求的目標(biāo)就很明顯了，
當(dāng)P處于AB連線時(shí)，取到最小值：
所以，即函數(shù)值域?yàn)?br/>通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，我們又看到數(shù)形結(jié)合法的另一種應(yīng)用，將求值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了求平面內(nèi)兩條線段的最小值，從而很容易的解決了該問(wèn)題。
總結(jié)：
通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們應(yīng)該已經(jīng)體會(huì)到數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，我們所做出的轉(zhuǎn)化，是充分觀察了函數(shù)本身的性質(zhì)。而不是盲目的去嘗試，也不是生搬硬套各種公式。希望同學(xué)們?cè)谟龅筋?lèi)似問(wèn)題時(shí)，多思考，多分析，從而找到正確，高效的解法。
十、單調(diào)性法
求函數(shù)值域時(shí)，如果能夠先判斷函數(shù)的單調(diào)性，則會(huì)對(duì)求解帶來(lái)很大的幫助，同學(xué)們要對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較敏感，在做題前先問(wèn)問(wèn)自己，能不能判斷所求函數(shù)的單調(diào)性？有沒(méi)有什么方法去幫助我們做出判斷？今天我們就帶著這些方法，來(lái)學(xué)習(xí)單調(diào)性法求函數(shù)值域。
先看例題：
1.求函數(shù)的值域
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以
所以，函數(shù)的值域?yàn)?br/>2.求函數(shù)的值域
先看定義域，
可以將函數(shù)看成兩個(gè)函數(shù)的和，即的組合
我們發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)遞增，所以原函數(shù)也是單調(diào)遞增。
所以在時(shí)，原函數(shù)最大值為
所以函數(shù)的值域?yàn)?br/>注意：兩個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)和為單調(diào)遞增，但乘積不一定是單調(diào)遞增的。
3.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____
（注意到如果用換元的方法，最后自變量的次數(shù)會(huì)很高，不利于求解）
所以，我們考慮將它們看成兩個(gè)函數(shù)的和，分別考慮
觀察到兩個(gè)函數(shù)在定義域上都是遞增的，
所以原函數(shù)在定義域內(nèi)也是單調(diào)遞增的。
所以
所以函數(shù)的值域?yàn)?br/>總結(jié)：
如果我們可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，那么求函數(shù)值域會(huì)變得比較容易，只需要考慮端點(diǎn)值。
注意到，兩個(gè)遞增函數(shù)，和也是遞增函數(shù)。利用這一性質(zhì)，可以幫助我們判斷一類(lèi)函數(shù)的單調(diào)性。
注意函數(shù)的定義域，有些函數(shù)在R上可能并不單調(diào)，但在某一個(gè)特定區(qū)間內(nèi)，可能是單調(diào)的，合理的使用這些區(qū)間，可以給我們解題提供幫助。
練習(xí)：
1.求函數(shù)的值域
2.求函數(shù)的值域
答案：
1.觀察到：，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
所以原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以
所以函數(shù)的值域?yàn)?br/>2.觀察到在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
，對(duì)稱(chēng)軸為，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
所以原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以
所以原函數(shù)值域?yàn)?/p>

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