資源簡(jiǎn)介

授課主題
復(fù)合函數(shù)
教學(xué)目標(biāo)
1.理解什么是復(fù)合函數(shù)2.掌握復(fù)合函數(shù)的各個(gè)性質(zhì)
教學(xué)內(nèi)容
1、復(fù)合函數(shù)的定義如果是的函數(shù)，又是的函數(shù)，即，，那么關(guān)于的
函數(shù)叫做函數(shù)（外函數(shù)）和（內(nèi)函數(shù)）的復(fù)合函數(shù)，其中是中間變量，自變量為函數(shù)值為。　例如：函數(shù)
是由和
復(fù)合而成立。說(shuō)明：⑴復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)中的取值范圍。⑵稱為直接變量，稱為中間變量，的取值范圍即為的值域。⑶與表示不同的復(fù)合函數(shù)。2．求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域①　已知的定義域?yàn)椋蟮亩x域的方法：已知的定義域?yàn)椋蟮亩x域。實(shí)際上是已知中間變量的的取值范圍，即，。通過(guò)解不等式求得的范圍，即為的定義域。②已知的定義域?yàn)椋蟮亩x域的方法：若已知的定義域?yàn)椋蟮亩x域。實(shí)際上是已知直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，則的范圍即是的定義域。3．求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式①已知求復(fù)合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。②已知求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法：就是在中把關(guān)于變量的表達(dá)式先湊成整體的表達(dá)式，再直接把換成而得。換元法：就是先設(shè)，從中解出（即用表示），再把（關(guān)于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得。4.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性若則增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)即“同增異減”法則5.復(fù)合函數(shù)的奇偶性一偶則偶，同奇則奇題型一、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，即，所以的作用范圍為D，又f對(duì)作用，作用范圍不變，所以，解得，E為的定義域。例1.
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________。解析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）即，所以的作用范圍為（0，1），又f對(duì)lnx作用，作用范圍不變，所以解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，e）例2.
若函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____________。解析：先求f的作用范圍，由，知，即f的作用范圍為，又f對(duì)f(x)作用所以，即中x應(yīng)滿足即，解得故函數(shù)的定義域?yàn)轭}型二、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)的定義域?yàn)镈，即，由此得，所以f的作用范圍為E，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以為的定義域。例3.
已知的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________。解析：的定義域?yàn)椋矗纱说盟詅的作用范圍為，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以，即函數(shù)的定義域?yàn)槔?.
已知，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________。解析：先求f的作用范圍，由，知解得，f的作用范圍為，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以，即的定義域?yàn)轭}型三、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)的定義域?yàn)镈，即，由此得，的作用范圍為E，又f對(duì)作用，作用范圍不變，所以，解得，F(xiàn)為的定義域。例5.
若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開(kāi)___________。解析：的定義域?yàn)椋矗纱说茫淖饔梅秶鸀椋謋對(duì)作用，所以，解得即的定義域?yàn)樵u(píng)注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區(qū)間表示）f對(duì)誰(shuí)作用，則誰(shuí)的范圍是f的作用范圍，f的作用對(duì)象可以變，但f的作用范圍不會(huì)變。利用這種理念求此類定義域問(wèn)題會(huì)有“得來(lái)全不費(fèi)功夫”的感覺(jué)，值得大家探討。題型四、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題（1）引理證明已知函數(shù).若在區(qū)間
）上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)在區(qū)間
）上是增函數(shù).證明：在區(qū)間）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，使因?yàn)樵趨^(qū)間）上是減函數(shù)，所以,記,
即因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以,即，故函數(shù)在區(qū)間）上是增函數(shù).（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表：增
↗減
↘增
↗減
↘增
↗減
↘增
↗減
↘減
↘增
↗以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷步驟：ⅰ??
確定函數(shù)的定義域；
ⅱ??
將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：與。ⅲ??
分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；ⅳ??
若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)為減函數(shù)。（4）例題演練例6.
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明解：定義域
，單調(diào)減區(qū)間是
設(shè)
則
，=∵
∴
∴>
又底數(shù)
∴
即
∴在上是減函數(shù)同理可證：在上是增函數(shù)例7.
討論函數(shù)的單調(diào)性.［解］由得函數(shù)的定義域?yàn)閯t當(dāng)時(shí)，若，∵為增函數(shù)，∴為增函數(shù).若，∵為減函數(shù).∴為減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，若，則為減函數(shù)，若，則為增函數(shù).例8.
.已知y=(2-)在［0，1］上是的減函數(shù)，求的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)t=2->0是減函數(shù)由y=
(2-)在［0，1］上x(chóng)的減函數(shù)，知y=t是增函數(shù)，∴a＞1由x［0，1］時(shí)，2-2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2當(dāng)00是增函數(shù)由y=
(2-)在［0，1］上x(chóng)的減函數(shù)，知y=t是減函數(shù)，∴0∴0已知函數(shù)（為負(fù)整數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè).問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)使得在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。［解析］由已知，得，其中
∴即，解得∵為負(fù)整數(shù)，∴∴，即
，∴假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得滿足條件，設(shè)，∴∵，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，∴，∴∵,∴,∴,∴
①當(dāng)時(shí),
增函數(shù),∴∵,∴,∴.
②由①、②可知，故存在一、選擇題1．函數(shù)f（x）＝的定義域是（　　）　　
A．（1，＋∞）
B．（2，＋∞）　　
C．（－∞，2）
D．　　解析：要保證真數(shù)大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，　　所以解得1＜x≤2．　　答案：D2．函數(shù)y＝（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　）　　
A．（－∞，1）
B．（2，＋∞）　　
C．（－∞，）
D．（，＋∞）　　解析：先求函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ璷，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數(shù)t（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減．　　答案：B3．若2（x－2y）＝x＋y，則的值為（　　）　　
A．4
B．1或　　
C．1或4
D．　　錯(cuò)解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y(tǒng)，則有＝或＝1．　　答案：選B　　正解：上述解法忽略了真數(shù)大于0這個(gè)條件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y(tǒng)舍掉．只有x＝4y．　　答案：D4．若定義在區(qū)間（－1，0）內(nèi)的函數(shù)f（x）＝（x＋1）滿足f（x）＞0，則a的取值范圍為（　　）　　
A．（0，）
B．（0，1）　　
C．（，＋∞）
D．（0，＋∞）　　解析：因?yàn)閤∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．當(dāng)f（x）＞0時(shí)，根據(jù)圖象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根據(jù)本節(jié)思維過(guò)程中第四條提到的性質(zhì)）．　　答案：A5．函數(shù)y＝（－1）的圖象關(guān)于（　　）　　
A．y軸對(duì)稱
B．x軸對(duì)稱　　
C．原點(diǎn)對(duì)稱
D．直線y＝x對(duì)稱　　解析：y＝（－1）＝，所以為奇函數(shù)．形如y＝或y＝的函數(shù)都為奇函數(shù)．　　答案：C二、填空題6.
已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是__________．　　解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是減函數(shù)，要使y＝（2－ax）是減函數(shù)，則a＞1，又2－ax＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．　　答案：a∈（1，2）7．函數(shù)f（x）的圖象與g（x）＝（）x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f（2x－x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_____．　　解析：因?yàn)閒（x）與g（x）互為反函數(shù)，所以f（x）＝x　　則f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．　　（x）＝2x－x2在（0，1）上單調(diào)遞增，則f［（x）］在（0，1）上單調(diào)遞減；　　（x）＝2x－x2在（1，2）上單調(diào)遞減，則f［（x）］在［1，2）上單調(diào)遞增．　　所以f（2x－x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．　　答案：（0，1）8．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，且f（）＝0，則不等式f（log4x）＞0的解集是______．　　解析：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，所以f（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x＜－．　　解得x＞2或0＜x＜．　　答案：x＞2或0＜x＜三、解答題9．求函數(shù)y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當(dāng)x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函數(shù)的值域是R＋．因?yàn)楹瘮?shù)y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）與（x）＝x2－5x＋4復(fù)合而成，函數(shù)y＝（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上為減函數(shù)，在［，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y＝（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4也為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，＋∞）．10．設(shè)函數(shù)f（x）＝＋，　　（1）求函數(shù)f（x）的定義域；　　（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；　　（3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f－1（x），問(wèn)函數(shù)y＝f－1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎?若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若無(wú)交點(diǎn)，說(shuō)明理由．　　解：（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜．　　（2）令（x）＝，隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)；　　＝－1＋隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)．　　又y＝lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合單調(diào)性可知，y＝是減函數(shù)，所以f（x）＝＋是減函數(shù)．　　（3）因?yàn)橹苯忧骹（x）的反函數(shù)非常復(fù)雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系求解．　　設(shè)函數(shù)f（x）的反函數(shù)f－1（x）與工軸的交點(diǎn)為（x0，0）．根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系可知，f（x）與y軸的交點(diǎn)是（0，x0），將（0，x0）代入f（x），解得x0＝．所以函數(shù)y＝f－1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)為（，0）。已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域（
）。析：由已知，已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮亩x域（
）析：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮亩x域（
）。析：4、設(shè)，則的定義域?yàn)椋?br/>）A.
B.
C.
D.
析：5．函數(shù)y＝（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　
）A．（－∞，1）
B．（2，＋∞）
C．（－∞，）
D．（，＋∞）析：
6．找出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.；解析：
（2）
7、討論的單調(diào)性。
求函數(shù)y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間。
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