資源簡介

授課主題
四中命題及其相互關系
教學目標
1．了解命題的概念，能判斷命題的真假．2．了解四種命題的結構形式，會寫出一個命題的逆命題、否命題與逆否命題．3．掌握四種命題之間的關系以及真假性之間的關系.4．會利用命題的等價性解決簡單問題．
教學內容
命題的定義我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫假命題．并不是任何語句都是命題，只有能判斷真假的語句才是命題．一般來說，疑問句，祈使句，感嘆句都不是命題，但是反義疑問句是命題．如：．“這是一棵大樹”；．“”；c．“三角函數是周期函數嗎？”，“但愿每一個三次方程都有三個根”，“指數函數的圖像真漂亮！”．”，“”，“”是無理數；．“每一個不小于6的偶數都是兩個奇素數之和”（歌德巴赫猜想）；“在2010年前，將有人登上火星”命題的結構數學中，具有“若，則”這種形式的命題是常見的，我們把這種命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結論．命題的四種形式一般地，用和分別表示原命題的條件和結論，用和來表示和的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若，則；逆命題：若，則；否命題：如果，則；逆否命題：如果，則．關于逆命題、否命題與逆否命題，也可以如下表述：交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題．如：同位角相等，兩直線平行．它的逆命題就是：兩條直線平行，同位角相等．同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題如上例的否命題是：同位角不相等，兩直線補平行．交換原命題的條件個結論，并同時否定，所得的命題是逆否命題．如上例：兩條直線不平行，同位角不相等．四種命題的相互關系（1）四種命題以及它們之間的關系原命題為真，它的逆命題不一定為真；如：原命題“若，則”是真命題，它的逆命題“若，則”是假命題．原命題為真，它的否命題不一定為真；如：原命題“若，則”是真命題，它的否命題“若，則”是假命題．原命題為真，它的逆否命題一定為真；如：原命題“若，則”是真命題，它的否命題“若，則”是假命題．互為逆否的命題是等價命題，它們同真同假，綜上所述：在一個命題的四種命題中，真命題的個數要么是0個，要么是2個，要么是4個．一般四種命題的真假性，有且僅有一下四種情況：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假（2）四種命題它們之間的等價關系互為逆否命題是互為等價命題（即真假相同），而其它的命題不是互為等價命題（即真假不一定相等）．這一等價性，可以從集合的角度來解釋：設，即使命題為真的對象所組成的集合，，因此由可知，
,即，反過來，若，即，，即命題的否定與否命題的區別若命題為“若，則”，則其命題的否定：“若，則”，而其否命題是：“若，則”．常見的一些詞語和它的否定詞語對照表原詞語等于（）大于()小于(是都是至多有一個否定詞不等于（）不大于()不小于()不是不都是至少有兩個原詞語至多有個至少有一個任意的能或否定詞語至少個一個也沒有某個不能且題型一　命題的判斷
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例1　判斷下列語句是否是命題，并說明理由．(1)一個等差數列不是遞增數列就是遞減數列嗎？(2)菱形是平行四邊形．(3)在空間垂直于同一個平面的兩條直線必平行．(4)當x＝－1時，2x＋1>0.分析：準確把握命題概念中的關鍵詞：能判斷真假，陳述句．解析：(1)是疑問句，不是命題；(2)是陳述句，且能夠判斷真假，所以是命題；(3)是陳述句，且能夠判斷真假，所以是命題；(4)是陳述句，且能夠判斷真假，所以是命題．點評：判斷一個語句是否是命題，要滿足兩個條件：①是否是陳述句；②能否判斷真假．
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鞏
固　判斷下列語句是否為命題．(1)若a⊥b，則a·b＝0.(2)是無限循環小數．(3)三角形的三條中線交于一點．(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)．(5)非典型肺炎是怎樣傳播的？(6)2012年廣東的高考題真難！答案：(1-4)是，(5、6)不是.題型二　真假命題的判斷
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例2　判斷下列命題的真假，并說明理由．(1)形如a＋b的數是無理數；(2)一個等比數列的公比大于1時，該數列為遞增數列；(3)奇函數的圖象關于原點對稱；(4)能被2整除的數一定能被4整除．解析：（1）假命題．示例：若a是有理數且b＝0，則a＋b是有理數．（2）假命題．若數列{an}為等比數列，且a1＝－1，q＝2，則該數列為遞減數列．（3）真命題．根據奇函數的性質可知，奇函數的圖象一定關于原點對稱．（4）假命題．反例：如2、6能被2整除，但不能被4整除．點評：要判斷一個命題是假命題，只需要舉出一個反例即可．而要判斷一個命題是真命題，一般需要經過嚴格的推理論證．在判斷時，要有推理依據，有時應綜合各種情況作出正確的判斷．鞏
固　判斷下列語句中哪些是命題，是真命題還是假命題．(1)一個等比數列的公比大于1時，該數列一定為遞增數列．(2)求證：若x∈R，方程x2－x＋2＝0無實根．(3)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(4)當x＝4時，
2x＋1＞0.解析：(1)是命題，因為當等比數列的首項a1<0，公比q>1時，該數列為遞減數列，所以是一個假命題．(2)不是命題，它是祈使句．(3)不是命題，它是一個疑問句，沒有作出判斷．(4)是命題，能判斷真假，它是一個真命題．題型三　命題的結構
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例3　把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假．(1)負數的立方是負數；(2)等邊三角形的三個內角相等．分析：找準命題的條件和結論，是解這類題目的關鍵，要注意大前提的寫法．解析：(1)若一個數是負數，則它的立方是負數．真命題．(2)若一個三角形為等邊三角形，則它的三個內角相等．真命題．點評：數學中，“若p，則q”這種形式是命題的結構形式，這里p叫做命題的條件，q叫做命題的結論．但有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式，但是把它的表述作適當改變，也可以寫成“若p，則q”的形式．解決這類題目的關鍵是找準命題的條件和結論，對于個別問題還要注意大前提的寫法．若條件和結論比較隱含，要補充完整．
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鞏
固　把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并判斷其真假．(1)等腰三角形的兩個底角相等；(2)當x＝2或x＝4時，x2－6x＋8＝0；(3)矩形的對角線相等；(4)當a＞b，c∈R時，ac2>bc2.解析：命題(1)：若一個三角形是等腰三角形，則它的兩個底角相等．顯然這個命題是真命題．命題(2)：若x＝2或x＝4，則x2－6x＋8＝0.通過檢驗可知這個命題是真命題．命題(3)：若一個四邊形是矩形，則它的對角線相等．是真命題．命題(4)：若
a＞b，c∈R，則ac2＞bc2.是假命題，因為c＝0時，ac2＞bc2不成立．題型四　寫出已知命題的逆命題、否命題與逆否命題例4　寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題．(1)如果一條直線垂直于平面內的兩條相交直線，那么這條直線垂直于平面；(2)當x＝3時，x2－2x－3＝0.分析：首先把命題寫成“若p，則q”的形式，再按四種命題之間的關系寫出逆命題、否命題和逆否命題．解析：(1)逆命題：如果一條直線垂直于平面，那么這條直線垂直于平面內的兩條相交直線；否命題：如果直線不垂直于平面內的兩條相交直線，那么這條直線不垂直于平面；逆否命題：如果一條直線不垂直于平面，那么這條直線不垂直于平面內的兩條相交直線．(2)原命題：若x＝3，則x2－2x－3＝0.逆命題：若x2－2x－3＝0，則x＝3；否命題：若x≠3，則x2－2x－3≠0；逆否命題：如果x2－2x－3≠0，那么x≠3.點評：要實現四種命題的轉化首先找出原命題的條件和結論，然后利用四種命題的條件、結論之間的關系進行轉化．鞏
固　下列四個命題：①“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題；②“正方形是菱形”的否命題；③“若ac2>bc2，則a>b”的逆命題；④若“m>2，則x2－2x＋m>0，x∈R”．其中真命題的個數為(　）A．0個
B．1個
C．2個
D．3個答案：B
題型五　四種命題真假的判斷例5　寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷命題的真假．(1)若x＋y≠3，則x≠1或
y≠2；(2)若m·n<0，則方程mx2－x＋n＝0有實根；(3)若ab＝0，則a＝0或b＝0分析：此類問題的一般解題步驟：①寫出命題的條件、結論；②寫出四種命題；③判斷命題的真假．解析：(1)逆命題：若x≠1或y≠2，則
x＋y≠3；假命題．否命題：若
x＋y＝3，則
x＝1且y＝2；假命題．逆否命題：若x＝1且
y＝2，則x＋y＝3；真命題．(2)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數根，則m·n<0；假命題．否命題：若m·n≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數根；假命題．逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數根，則m·n≥0；真命題．(3)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0；真命題．否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0；真命題．逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0；真命題．點評：要判斷四種命題的真假，首先要熟練掌握四種命題的相互關系，以及它們的真假性之間的關系；其次利用相關知識判斷真假時，一定要熟練掌握有關知識．鞏
固　判斷下列命題的逆命題、否命題、逆否命題的真假．(1)當c>0時，若a>b，則ac>bc；(2)若cos
α＝，則α＝－.解析：(1)由于原命題與其逆命題“當c>0時，若ac>bc，則a>b”均為真命題，因此它的否命題與逆否命題也為真命題．(2)命題“若cos
α＝，則α＝”是假命題，因為，由cos
α＝得α＝2kπ±(k∈Z)，所以，其逆否命題也是假命題；其逆命題：“若α＝，則cos
α＝”，是真命題，所以，其否命題也是真命題．題型六　等價命題的應用例6　證明：已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.分析：本題若要直接證明，比較困難，可以考慮證明它的逆否命題．證明：原命題的逆否命題是“已知函數
f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，a，b∈R，若a＋b＜0，則f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．若
a＋b＜0，則a＜－b，b＜－a，又因為函數f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以
f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．即原命題的逆否命題是真命題，所以原命題是真命題．點評：原命題和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的命題具有等價性，所以我們在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題．鞏
固　判斷命題“若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數根”的逆否命題的真假解析：方法一　因為m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判別式Δ＝12m＋4>0.所以原命題“若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數根”為真命題．又因原命題與它的逆否命題等價，所以“若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數根”的逆否命題也為真命題．方法二　原命題的逆否命題為“若方程x2＋2x－3m＝0無實數根，則m≤0”．方程x2＋2x－3m＝0無實數根，所以Δ＝4＋12m<0.所以m<－≤0.所以“若方程x2＋2x－3m＝0無實數根，則m≤0”為真命題．題型七
命題的否定與否命題例7　寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假．(1)若x、y都是奇數，則x＋y是偶數；(2)若xy＝0，則x＝0或y＝0；(3)若一個數是質數，則這個數是奇數．解析：(1)命題的否定：若x、y都是奇數，則x＋y不是偶數，為假命題．原命題的否命題：若x、y不都是奇數，則x＋y不是偶數，是假命題．(2)命題的否定：若xy＝0，則x≠0且y≠0，為假命題．原命題的否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0，是真命題．(3)命題的否定：若一個數是質數，則這個數不是奇數，是假命題．原命題的否命題：若一個數不是質數，則這個數不是奇數，為假命題．點評：命題的否定是：不否定條件只否定結論；命題的否命題是：既否定條件又否定結論．兩者容易混淆，要注意區別．鞏
固　命題“若a＝－1，則a2＝1”的逆否命題是__________________．答案：若a2≠1，則a≠－1一、選擇題1．下列說法，不正確的是(　　)A．“若p，則q”與“若q，則p”是互逆命題B．“若￢p，則￢q”與“若q，則p”是互否命題C．“若￢p，則￢q”與“若p，則q”是互否命題D．“若￢p，則￢q”與“若q，則p”是互為逆命題答案：B2．命題“若f(x)是奇函數，則f(－x)是奇函數”的否命題是(　　)A．若f(x)是偶函數，則f(－x)是偶函數B．若f(x)不是奇函數，則f(－x)不是奇函數C．若f(－x)是奇函數，則f(x)是奇函數D．若f(－x)不是奇函數，則f(x)不是奇函數答案：B3．有下列四個命題：(1)“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”的否命題；(2)“若x>y，則x20”的否命題；(4)“等邊三角形有兩邊相等”的逆命題．其中真命題的個數是(　　)A．0個　
B．1個　C．2個　
D．3個解析：(1)是真命題．其逆命題為“若x，y互為相反數，則x＋y＝0”，是真命題，因為原命題的否命題與其逆命題有相同的真假性，所以其否命題是真命題．
(2)是假命題．原命題(如取
x＝1，y＝0)是假命題，所以其逆否命題是假命題．
(3)是假命題．該命題否命題為“若x>3，則x2－x－6≤0”，顯然是假命題．
(4)是假命題.
該命題的逆命題是“有兩邊相等的三角形是等邊三角形”，顯然是假命題．答案：B4．下列命題中，正確的個數是(　　)①“若x2＋y2＝0，則x，y全為0”的否命題；②“全等三角形是相似三角形”的逆命題；③“圓內接四邊形對角互補”的逆否命題．A.
3個
B．2個
C．1個
D.
0個答案：B5．若命題p的逆命題是q，q的逆否命題是r，則命題r是命題p的
(　　)A．逆命題
B．否命題
C．逆否命題
D．等價命題解析：根據四種命題之間的關系可知命題r是命題p的否命題．答案：B6．在命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向上，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集不是?”的逆命題、否命題、逆否命題中，對于真假性的判斷正確的是
(　　)A．都真
B．都假
C．否命題真
D．逆否命題真解析：原命題是真命題，所以逆否命題一定也為真命題．答案：D7．已知全集U＝R，如果命題p：∈A∪B，則命題“非p”是(　　)A．非p：?A
B．非p：∈?UBC．非p：?A∩B
D．非p：∈?U(A∪B)答案：D8．設p：x<－1，﹁q：x2－x－2>0，則下列命題為真的是(　　)A．若q，則﹁p
B．若﹁q，則pC．若p，則q
D．若﹁p，則q解析：∵﹁
q：x<－1或x>2，∴若p，則﹁q.答案：A二、填空題9．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為____________________________________．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角．10．“若P＝{x||x|<1}，則0∈P”的等價命題是________________________．解析：原命題的等價命題可以是其逆否命題，所以填“若0?P，則P≠{x||x|<1}”．答案：“若0?P，則P≠{x||x|<1}”11．給定下列命題：①“若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實數根”的逆否命題；②若f(x)＝cos
x，則f(x)為周期函數；③“若A＝B，則sin
A＝sin
B”的逆命題；④“若xy＝0，則x、y中至少有一個為0”的否命題．其中真命題的序號是________．解析：對于①，因為Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以原命題為真．所以①是真命題．顯然②是真命題．③的逆命題：“若sin
A＝sin
B，則A＝B”是假命題．④的否命題：“若xy≠0，則x、y都不為零”是真命題．答案：①②④三、解答題12．已知命題P：“若ac≥0，則二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實根”．(1)寫出命題P的否命題；(2)判斷命題P的否命題的真假，并證明你的結論．解析：(1)命題P的否命題為：“若ac<0，則二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根．”(2)命題P的否命題是真命題．證明如下：因為ac<0，所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根．所以該命題是真命題．13．判斷命題“已知a，x為實數，若關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，則a≥1”的逆否命題的真假．解析：方法一　原命題的逆否命題：已知a，x為實數，若a<1，則關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集．真假判斷如下：因為拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，則4a－7<0.即拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無交點．所以關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集．故原命題的逆否命題為真．方法二　先判斷原命題的真假．因為a，x為實數，且關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，所以a≥1，所以原命題為真．又因為原命題與其逆否命題等價，所以其逆否命題為真．一、選擇題1．下列語句中命題的個數是(　　)①3>－1；②x<8；③若sin
A＝sin
B，則A＝B；④函數f(x)＝x3是R上的奇函數．　　
　　　A．0個
B．1個
C．2個
D．3個答案：D2．命題“若α＝，則tan
α＝1”的逆否命題是(　　)A．若α≠，則tan
α≠1
B．若α＝，則tan
α≠1C．若tan
α≠1，則α≠
D．若tan
α≠1，則α＝解析：否定原命題的結論作條件，否定原命題的條件作結論所得的命題為逆否命題，可知C正確．答案：C3．有下列命題：①若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；②若a＞b，則a＋c＞b＋c；③矩形的對角線互相垂直．其中真命題共有(　　)A．0個
B．1個
C．2個
D．3個答案：B4.下列判斷，正確的個數是(　　)①3是12的約數；②π是正數；③5＞2且7＞3；④2≥2.
A．4個
B．3個
C．2個
D．1個解析：①②③④正確．故選A.答案：A5．下列各項中是命題的是(　　)A．周期函數的和是周期函數嗎？
B．sin
45°＝1C．x2＋2x－1>0
D．梯形是不是平面圖形呢？答案：B6．語句“若a>b，則a－c>b－2c”(　　)A．不是命題
B．是真命題
C．是假命題
D．不能判斷真假解析：a－c>b－2c，即a>b－c，當c<0時，可能不成立，例如：a＝2，b＝1，c＝－2時，a>b，但aB．2
C．1
D．－3解析：方程無實根時，應滿足Δ＝a2－4<0.故a＝1時適合條件．答案：C8．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　)A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面解析：在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側棱，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側棱，故D錯．答案：B二、填空題9．有下列語句：①集合{a，b}有2個子集；②x2－4≤0；③今天天氣真好啊；④f(x)＝2log3x(x>0)是奇函數；⑤若A∪B＝A∩B，則A＝B.其中真命題的序號為________．解析：①是命題，但不是真命題，因為{a，b
}應有4個子集；②不是命題；③不是命題；④是假命題，f(x)＝2log3x是非奇非偶函數；⑤是命題且是真命題．答案：⑤10.
命題“當AB＝AC時，△ABC是等腰三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題有________個．解析：原命題為真命題，逆命題“當△ABC是等腰三角形時，AB＝AC”為假命題，否命題“當AB≠AC時，△ABC不是等腰三角形”為假命題，逆否命題“當△ABC不是等腰三角形時，AB≠AC”為真命題．答案：211．下面有五個命題：①函數y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；②終邊在y軸上的角的集合是；③把函數y＝3sin的圖象向右平移，得到y＝3sin
2x的圖象；④函數y＝sin在[0，π]上是減函數．其中真命題的序號是________．解析：①y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos
2x，∴T＝π；②終邊在y軸上的角的集合為；③平移后y＝3sin＝3sin
2x.④函數y＝sin＝－cos
x，在[0，π]上應是增函數．答案：①③三、解答題
12.
把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并指出條件與結論．(1)相似三角形的對應邊成比例；(2)當0PAGE

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