資源簡介

三次函數的對稱性分析及應用
三角函數的對稱性考查在以往的競賽題和模擬題都出現過多次，很多人都對此有所分析和總結，筆者不才，也對這個問題做一個自認為比較全面的梳理.
題目：（2018鄭州一測）已知函數，若實數滿足，，則
________.
想法一：方程視角
這道題首先給出了一個函數，事實上，有些題沒有給出函數，只給出了一個方程組，即
，
據此求的值.
相信大部分高中生看到相同的結構第一反應就是構造函數，但是這里我們先用初中生（或高一學生）的思維思考一下，假設函數的思想還沒有根深蒂固，這題該如何處理？
方向一：朝著目標配湊
如果我們有一些目標意識，就會知道要求的值，把已知的兩個方程相加會是一個不錯的選擇，因此我們得到
，
再作一點點變形，盡量提出：
，
將其中的拆成，就出現了公因式，從而得到
，
第二部分用十字相乘法分解，得，所以
，
再注意到，
所以.
這樣就順利得到了答案，其中對于恒正的說明具有較強的技巧性，更容易操作的手法或許是主元分析，即
，
這個關于的二次多項式的判別式為
，
所以恒成立.
方向二：處理掉二次項再配湊（方向一的優化）
以上述過程中，將拆成，技巧性比較強，出現這種情況的原因就是能被整除，而不能被整除，因此，我們若能先處理掉二次項，則會將變形的難度降低不少.
聯想到完全立方公式，很自然地想到（）將條件變形為
兩式相加，得
，
其中顯然是成立的，所以.
方向三：粗暴設元
設，則，代入條件即得
，
整理可得
，
對比可得.（要嚴謹說明，還存在一定的困難）
想法二：函數視角
前面說了，看到這樣相同的結構，就算沒有函數我們都要構造函數.
這道題是要求，即兩個函數值固定的自變量之和，可能需要用到函數的對稱性.
不難證明，三次函數都可以通過平移轉化成的形式，這個函數是一個奇函數，因此所有的三次函數的圖像都有對稱中心.
那么，對稱中心到底應該怎么求呢？
方向一：待定系數
對一般的函數而言，求圖像的對稱軸和對稱中心，大多根據定義，用待定系數法求解，這種方法是必須數量掌握的方法.
設對稱中心為，則恒成立，然后求出即可，這個計算過程和前面的“粗暴設元”有著相同的部分（也正是為了方便對比，才把對稱中心設為，而非），后續過程不再贅述.
方向二：代數配湊（奇函數圖像平移）
同上，聯想到完全立方公式，很自然地想到將變形為
，
它的圖像可以看作是由奇函數向右、向上各平移三個單位長度得到的，因為這個奇函數單調遞增，所以單調遞增，且圖像的對稱中心為.
因為，所以.
值得一提的是，上面對于函數單調性的說明是不可缺少的，否則可能會出現下面這種情況：
方向二：借助導數
如下圖所示，這是一段關于點中心對稱的連續曲線，在點的一側任意取兩點，點關于點的對稱點分別為，根據對稱性易知，，所以，即對稱中心兩側的割線斜率是對應相等的，而切線可以看作割線的極限情況，因此點兩側切線的斜率是對應相等的.
對于函數而言，其導數的幾何意義就是切線的斜率.
對于有對稱中心的函數而言，其對稱中心兩側的切線斜率對應相等.
一方面，在對稱中心鄰域內，兩側的切線斜率要么都比對稱中心處切線的切率小，要么都比對稱中心處切線的切率大，無論哪種情況，根據極值的定義，切線斜率在對稱中心處取得極值，也就是說，對稱中心的橫坐標一定是導函數的極值點（即二階導數的零點）.
另一方面，既然對稱中心兩側的切線斜率對應相等，那么導函數的圖像是軸對稱圖像，對稱軸經過函數的對稱中心.
無論從哪個方面來看，我們都不難知道，三次函數的對稱中心，可以通過求其導函數的對稱抽或者其二階導數的零點（當然，這兩者其實是等價的）.
再聯想到正弦函數和余弦函數的圖像，這點就更好理解了.
對于函數，求導可得，其對稱軸為，所以該三次函數的對稱中心為，即.
得到對稱中心之后，要說明，還要說明單調，或者小于極小值，大于極大值，這道題屬于第一種情況.

展開更多......

收起↑