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數學·立體幾何的解題技巧
一立體幾何
解題技巧
1.直線與平面垂直的五個結論
(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內的任意直線.
(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這一條直線與另一個平面也垂直.
(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.
2.證明線面垂直的常用方法
(1)利用線面垂直的判定定理.
(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”.
(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則與另一個也垂直”.
(4)利用面面垂直的性質定理.
3.證明線線垂直的常用方法
(1)利用特殊圖形中的垂直關系.
(2)利用等腰三角形底邊中線的性質.
(3)利用勾股定理的逆定理.
(4)利用直線與平面垂直的性質.
4.
在證明線線垂直時,要注意題中隱含的垂直關系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經計算滿足勾股定理)、直角梯形等等.
5.面面垂直的證明方法
(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題.
(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線,把問題轉化成證明線面垂直加以解決.
6.線面角、二面角求法
根據線面角的定義或二面角的平面角的定義,作(找)出該角,再解三角形求出該角,步驟是作(找)?證?求(算)三步曲.也可用射影法:
設斜線段AB在平面α內的射影為A'B',AB與α所成角為θ,則cosθ=;
設△ABC在平面α內的射影三角形為△A'B'C',平面ABC與α所成角為θ,則cosθ=.
例1.(2019山東濰坊三模,8)下列說法錯誤的是(　　)
A.垂直于同一個平面的兩條直線平行
B.若兩個平面垂直,則其中一個平面內垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直
C.一個平面內的兩條相交直線均與另一個平面平行,則這兩個平面平行
D.一條直線與一個平面內的無數條直線垂直,則這條直線和這個平面垂直
答案：D
解析：由線面垂直的性質定理可得選項A正確;由面面垂直的性質定理知選項B正確;由面面平行的判定定理知選項C正確;由直線與平面垂直的定義知,選項D錯誤.
?
?
例2.已知l,m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:
①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.
以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出一個正確命題:　　　　.?
答案：若l⊥α,m∥α,則l⊥m
解析：將所給論斷,分別作為條件、結論,得到如下三個命題:
(1)如果l⊥α,m∥α,則l⊥m,正確;
(2)如果l⊥α,l⊥m,則m∥α,不正確,有可能m在平面α內;
(3)如果l⊥m,m∥α,則l⊥α,不正確,有可能l與α斜交、l∥α.故答案為:如果l⊥α,m∥α,則l⊥m.
?
例3.圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.
(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.
解：(1)證明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B,故AB⊥平面BCGE.
又因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解取CG的中點M,連接EM,DM.
因為AB∥DE,AB⊥平面BCGE,
所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.
由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,DE∩EM=E,故
CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.
二立體幾何
解題技巧
1.異面直線判定的一個定理
過平面外一點和平面內一點的直線,與平面內不過該點的直線是異面直線.
2.唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.
3.共面、共線、共點問題的證明
(1)證明點或線共面問題的兩種方法:
①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后證其余的線(或點)在這個平面內;
②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.
(2)證明點共線問題的兩種方法:
①先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;
②直接證明這些點都在同一條特定直線上.
(3)證明線共點問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經過該點.
4.求解異面直線所成角的方法
方法
解讀
平移法
通過作圖(如結合中位線、平行四邊形補形等)來構造平行線,作出異面直線所成的角,通過解三角形來求解
補形法
補成長方體或正方體
轉化法
當異面直線所成角為時,可轉化為證明垂直
典型例題?
例1(多選)已知空間中兩條直線a,b所成的角為50°,P為空間中給定的一個定點,直線l過點P且與直線a和直線b所成的角都是θ(0°<θ≤90°),則下列選項正確的是(　　)
A.當θ=15°時,滿足題意的直線l不存在
B.當θ=25°時,滿足題意的直線l有且僅有1條
C.當θ=40°時,滿足題意的直線l有且僅有2條
D.當θ=60°時,滿足題意的直線l有且僅有3條
答案：ABC
解析：過P作a'∥a,b'∥b,則l與a,b成的角即l與a',b'成的角.
設直線a',b'確定的平面為α,
∵異面直線a,b成50°角,
∴直線a',b'所成銳角為50°.
當直線l在平面α內時,
若直線l平分直線a',b'所成的鈍角,
則直線l與a,b都成65°角,適當調整l的位置,l與a,b所成角的范圍為[65°,90°];
若直線l平分直線a',b'所成的銳角,
則直線l與a,b都成25°角,適當調整l的位置,l與a,b所成角的范圍為[25°,90°],
故A,B,C都正確,當θ=60°時,滿足題意的直線l有且僅有2條,所以D錯誤.
故選ABC.
例2以下四個命題中:
①不共面的四點中,其中任意三點不共線;②若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則點A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.真命題的個數是(　　)
A.0???????????????????
B.1?????????????????????
C.2?????????????????????
D.3
答案：B
解析：①正確,否則三點共線和第四點必共面;②錯,如圖三棱錐,能符合題意,但A,B,C,D,E不共面;從②的幾何體知,③錯;由空間四邊形可知,④錯.
例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,有以下四個結論:
①直線AM與CC1是相交直線;
②直線AM與BN是平行直線;
③直線BN與MB1是異面直線;
④直線AM與DD1是異面直線.
其中正確的結論為　　　　　(注:把你認為正確的結論序號都填上).
?
答案：③④
解析：因為點A在平面CDD1C1外,點M在平面CDD1C1內,直線CC1在平面CDD1C1內,CC1不過點M,所以AM與CC1是異面直線,故①錯;取DD1中點E,連接AE,則BN∥AE,但AE與AM相交,故②錯;因為B1與BN都在平面BCC1B1內,M在平面BCC1B1外,BN不過點B1,所以BN與MB1是異面直線,故③正確;同理④正確,故填③④.
三立體幾何
解題技巧
1.平面與平面平行的三個性質
(1)兩個平面平行,其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面；
(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等；
(3)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.
2.判斷兩個平面平行的三個結論
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行；
(2)平行于同一平面的兩個平面平行；
(3)如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線,那么這兩個平面平行.
3.判斷或證明線面平行的常用方法有
(1)利用線面平行的定義(無公共點)；
(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α)；
(3)利用面面平行的性質(α∥β,a?α?a∥β).
4.證明線面平行往往先證明線線平行,證明線線平行的途徑有:利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質,或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.
5.空間中證明兩條直線平行的常用方法
(1)利用線面平行的性質定理,即a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b；
(2)利用平行公理推論:平行于同一直線的兩條直線互相平行；
(3)利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行.
6.在推證線面平行時,一定要強調直線不在平面內,否則會出現錯誤；在解決線面、面面平行的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應用性質定理時,其順序恰好相反,但也要注意,轉化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”.
例1.(多選)下列命題中正確的是(　　)
A.平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a一定平行于平面β
B.平面α∥平面β,則α內的任意一條直線都平行于平面β
C.一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面,那么該三角形所在的平面與這個平面平行
D.分別在兩個平行平面內的兩條直線只能是平行直線或異面直線
答案：BCD
解析：平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a可能在平面β內,故A錯誤;平面α∥平面β,則α內的任意一條直線都平行于平面β,故B正確;一個三角形有兩條邊所在的直線平行于一個平面,由面面平行的判定知,三角形所在的平面與這個平面平行,故C正確;分別在兩個平行平面內的兩條直線只能是平行直線或異面直線,故D正確.故選BCD.
例2.已知空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形,△ABC為腰長為3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,M,N分別為DB,DC的中點.
(1)求證:平面EMN∥平面ABC;
(2)求三棱錐A-ECB的體積.
?
(1)證明
取BC中點H,連接AH,
∵△ABC為等腰三角形,∴AH⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,
∴AH⊥平面BCD,同理可證EN⊥平面BCD,∴EN∥AH,
∵EN?平面ABC,AH?平面ABC,
∴EN∥平面ABC,
又M,N分別為BD,DC中點,
∴MN∥BC,
∵MN?平面ABC,BC?平面ABC,
∴MN∥平面ABC,又MN∩EN=N,
∴平面EMN∥平面ABC.
(2)解
連接DH,取CH中點G,連接NG,則NG∥DH,由(1)知EN∥平面ABC,
所以點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等,又△BCD是邊長為2的等邊三角形,
∴DH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH?平面BCD,∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,∴DH=,又N為CD中點,
∴NG=,又AC=AB=3,BC=2,
∴S△ABC=1/2
·|BC|·|AH|=,
∴VE-ABC=VN-ABC=1/3·S△ABC·|NG|=?
四立體幾何
解題技巧
1.
常用結論
（1）對空間任一點O,若(x+y=1),則P,A,B三點共線.
（2）對空間任一點O,若(x+y+z=1),則P,A,B,C四點共面.
2.空間向量數量積的應用
(1)求夾角.設向量a,b所成的角為θ,則cosθ=,進而可求兩異面直線所成的角.
(2)求長度(距離).運用公式|a|2=a·a,可使線段長度的計算問題轉化為向量數量積的計算問題.
(3)解決垂直問題.利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問題轉化為向量數量積的計算問題.
3.共線定理、共面定理的應用
（1）證明點共線的問題可轉化為證明向量共線的問題,如證明A,B,C三點共線,即證明共線,亦即證明(λ≠0).
（2）證明點共面問題可轉化為證明向量共面問題,如要證明P,A,B,C四點共面,只要能證明,或對空間任一點O,有,或(x+y+z=1)即可.
4.注意事項
（1）向量的數量積滿足交換律、分配律,但不滿足結合律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
（2）在利用①證明MN∥平面ABC時,必須說明點M或點N不在平面ABC內(因為①式只表示共面).
（3）求異面直線所成的角,一般可以轉化為兩向量的夾角,但要注意兩種角的范圍不同,最后應進行轉化.
02典型例題
精準剖析
例1.若x,y∈R,有下列命題:
①若p=xa+yb,則p與a,b共面;
②若p與a,b共面,則p=xa+yb;
③,則P,M,A,B共面;
④若點P,M,A,B共面,則.
其中真命題的個數是(　　)
A.1?
B.2?
C.3?
D.4
答案：B
解析：①正確,②中若a,b共線,p與a不共線,則p=xa+yb就不成立.③正確.④中若點M,A,B共線,點P不在此直線上,則不成立.
例2.如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,點M,N分別在AC1和BC上,且滿足(0≤k≤1).
(1)向量是否與向量共面?
(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行?
解：
例3：如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分別是棱A1D1,AB,BC的中點,若經過點M,P,Q的平面與平面CDD1C1的交線為l,則l與直線QB1所成角的余弦值為(　　)
A.??
?
?
?B.?
???C.??
?
?
?
?D.
答案：B
解析：
取C1D1中點E,則平面PQEM是點M,P,Q的平面,
延長PQ,交DC延長線于點F,則EF是經過點M,P,Q的平面與平面CDD1C1的交線l,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,則
設l與直線QB1所成角為θ,則cosθ=,所以l與直線QB1所成角的余弦值為.
五立體幾何
解題技巧
1.直線的方向向量的確定:l是空間一直線,A,B是l上任意兩點,則及與平行的非零向量均為直線l的方向向量.
2.平面的法向量的確定:設a,b是平面α內兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為
3.用向量證明平行的方法
(1)線線平行:證明兩直線的方向向量共線.
(2)線面平行:①證明直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行.
(3)面面平行:①證明兩平面的法向量為共線向量;②轉化為線面平行、線線平行問題.
4.用向量證明垂直的方法
(1)線線垂直:證明兩直線的方向向量互相垂直,即證它們的數量積為零.
(2)線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線.
(3)面面垂直:證明兩個平面的法向量垂直.
5.利用向量法求異面直線所成的角時,是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解,而兩異面直線所成角θ的范圍是,兩向量的夾角α的范圍是[0,π],所以要注意二者的區別與聯系,應有cosθ=|cosα|.
6.利用向量法求線面角的方法
①分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量,轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角);
②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角,取其余角就是斜線和平面所成的角.
7.利用空間向量求二面角的方法
①分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且從垂足出發的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小;
②通過平面的法向量來求,即設二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于(或π-).應注意結合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.
8.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運算進行判斷.另一種是用向量的坐標表示幾何量,共分三步:(1)建立立體圖形與空間向量的聯系,用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面,把立體幾何問題轉化為向量問題;(2)通過向量運算,研究點、線、面之間的位置關系;(3)根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題.
典型例題
精準剖析
例1.?如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD所成的角為30°.求證:
(1)CM∥平面PAD;
(2)平面PAB⊥平面PAD.
?
證明?以點C為坐標原點,分別以CB,CD,CP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.
∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角.∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=,PB=4.∴D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M,
=(0,-1,2),=(,3,0),
(1)設n=(x,y,z)為平面PAD的一個法向量,由
令y=2,得n=
,
又CM?平面PAD,∴CM∥平面PAD.
(2)如圖,取AP的中點E,連接BE,
又PA∩DA=A,
∴BE⊥平面PAD.
又BE?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
例2.
如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為AB,CD的中點,CD=2AB=2EF=4,M為DF中點.現將四邊形BEFC沿EF折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如圖②所示的多面體.
求二面角M-AB-D的余弦值.
解:∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,
∴DF⊥平面BEFC,∴DF⊥CF,
∴DF,CF,EF兩兩垂直,
以F為坐標原點,分別以FD,FC,FE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
∵DM=1,
∴FM=1,∴M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2).
取x=1,得m=(1,1,0).
設平面ABD的法向量n=(x,y,z),
取z=1,得n=(2,2,1).

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