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中考數學
50道經典幾何難題+146條幾何定理
初中幾何經典50題
第七題:
如圖,PC切⊙O于C,AC為圓的直徑,PEF為⊙O的割線,EE、AF與直線PO相
交于B、D。求證:四邊形ABCD為平行四邊形
證明:過C作CG⊥PO于G,
則由∠AEC=∠PGC=90°得
E、B、G、C四點共圓
同理F、D、G、C四點共圓
PC是⊙O切線,PC2=PEPF
P
D
在BT△PCO中,PC2=PGPO
∴PE·PF=PG·PO
E、G、O、F四點共圓。∴∠OGF
∠OEF,∠BGE=∠OEF,
OGF=∠BGE
又CG⊥PO得∠EGC=∠FGC,∠EGF=∠EOF=2∠EF,∴∠EGC=∠FGC=∠EF
又∠EGC=∠EBC,∠FGC=∠FDC,∴∠EBC=∠FDC=∠EAF
AF∥BC,AE∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形。
第八題:
已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,∠OBC=10°,∠OCA=20°
求證:AB=OB
簡證:延長CO交AB于D,以OC為邊作正三角
形OCE(如圖)
易知AC=DC,BD=OD,OC=AD
△ACE≌△CID,△ACO≌△AEO,
∠CO=-∠CAE=10
∴∠BAO=70°,∠ABO=40
∴∠BO4=70°,∴AB=OB
B
C
E
第九題:
已知:正方形ABCD中,∠OAD=∠ODA=15°,求證:△OBC為正三角形。
簡證:以BC為邊作正三角形BCO′(如圖),
則AB=O′B,∠ABO′=80°
∴∠BAO=75°,∠DO′=15
同理∠ADO′=15
于是△ADO′≌△ADO
O與O′重合
∵.△OBC是正三角形
B
第十題:
已知:正方形ABCD中,E、F為AD、DC的中點,連接BE、AF,相交于點P,連
接PC。求證:PC=BC
簡證:易知△IBE≌△DAF
BE⊥AF,∴B、C、F、P四點共圓
∠BPC=∠BFC
E
∠PBC=∠BEA
4
而∠BE=∠BFC
∴∠BPC=∠PBC
PC=
BCO
B
第十一題:
如圖,△ACB與△ADE都是等腰直角三角形,∠ADE=∠ACB=90°,∠CDF=45°,DF
交BE于F,求證:∠CFD=90°
證明:只要證明△CDF是等腰直角三角形時,E、F、B
共線即可。
設C=0,B=1,A=i,D=x+yi(x,y∈),則
AD=D-A=x+(y-1),
E
AE=√2ADe4=2x+(-1)
√2
(1-i)=x+y-1+(y-x-1)
∴E=A+AE=i+x+y-1+(y-x-1)=x+y-1+(y-x)
∴DP
DC·e4
F=D+DF=x+yi+(-x-yi)·(1+i)==(x+y)+(-x
∵:E+B=x+y+(-x)=2F
∴F是EB中點,∴△CDF是等腰直角三角形,∠CFD=90°。

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