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?求最值常用的24種方法（附例題）！
∥BC交AB于D,交AC于E.沿直線l將△ABC所在平面折
成直二面角,若折起后A,B兩點間距離最短,試求l此時的位
置,并求出AB的最小值
解如圖16-2,設折起后點A所在的半平面為A.過A在
面β內作AF⊥l,垂足為F,則AF⊥面a
在a內過F作FG⊥BC于G,可證G為BC的中點,且AF
+FG=x2°a(原正三角形的高)
令AF=x,則FG=3a
又BG=a
∴BF2=BG2+FG2=(2)2+(2a-x)2
又在Rt△ABF中
AB2=AF2+BF
4
2(
4
當
a時,即DE為原正三
角形中位線時,AB2有最小值a2,此時,AB的最小值為
注根據幾何圖形,將幾何變量關系轉化為二次函數關系
是解決問題的思想方法
16.3利用二次方程的判別式
欲求函數y=f(x)(x∈R)的極值,如果可以把函數式整理
成關于x的二次方程,注意到x在其定義域內取值,即方程有
實根,所以可以通過二次方程的判別式△≥0來探求y的極大
與極小值.
【例5】已知0≤x≤1,求y=3x-10x+3的最值
解原式可化為
(3y-2)x2+(5-10y)x+(3y-2)=0
∵:x∈R
△=(5-10y)2-4(3y-2)2≥0
解得y≤方或
y16
即函數y的值域為≤4或y≥16
Q
y大
y級小1
當y=時,代入原函數式解得x=1∈0,1];
當
9
時,代入原函數式解得x=-1∈〔0,1
又
時
∴當x=0時,y取最大值
注①由判別式確定的是函數的值域,由值域得到的是函
數的極值而不是最值;②對有些函數來說,極值與最值相同,而
有的函數就不一定,如本例中的極大值比極小值還小,這正是因
為極值是就某局部而言;③若要求函數在給定的定義域內的最
值,一定要注意極值是否在此定義域內取得,即要注意驗根
【例6】已知直線l:y=4x和點P(6,4),在直線l上求
點Q,使過點P,Q的直線以及L與x軸在第一象限內圍成的三
角形的面積最小
解設Q點坐標為(x1,y1),則y1=4x1,PQ的方程為
4x1-4
(x-6)
令y=0得PQ與x軸的交點R(x2,0)的橫坐標x2=
10
∴SaR=2x2y)=x1-1
整理為10x12-Sx1+S=0(
)
P(6,4)
∵x1為實數
∴△=S2-40S≥0
得S≥40,取S的最小值40代入
)式,得
10x-40x1+40=0
解得x1=2,則y1=8
故點Q的坐標為(2,8)

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