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應用基本不等式的幾點注意
應用基本不等式求最值是最值求解的重要方法之一，但應用基本不等式求函數最值時往往容易忽略 “一正、二定、三相等”這三個條件而導致出現錯誤，本文將舉例給以說明.
一、沒有注意“正數”的條件
例1、求函數的最大值。
錯誤解法：
∵
∴，故有最大值
錯誤原因：成立的前提條件是如果則。這是沒有注意“正數”的條件。
正確解法：當時，，
故
當時，
故
二、沒有注意“相等”的條件
例2、求函數的最小值。
錯誤解法：
錯誤原因：上述解法忽略了等號成立的條件，因為方程無解，從而導致錯誤的結果。這是沒有注意“相等”的條件。
正確解法：
當時，兩次放縮的等號均成立。
注意：由于定義域的限制，有些型的式子，滿足兩數之積為常數，但不能使等號成立。如求：的最小值，雖然有但當時取“=”號不在其定義域之內，不能用定理。這時利用函數單調性來解：，在內是減函數，在內是增函數。
三、沒有注意和為“常數”的條件
例3、求函數的最小值。
錯誤解法：根據知
的最小值是2。
錯誤原因：而使得取最小值2。當且僅當
即無實數解。這是沒有注意和為“常數”的條件。
正確解法：設
則在上遞增， 當時，
四、沒有注意積為“常數”的條件
例4、設，求的最大值。
錯誤解法：
=。
錯誤原因：中，并非定值。
這是沒有注意和或積為“常數”的條件。
正確解法：
當時，即時，最大值為。
例5、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。
錯誤解法:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8；
錯解原因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。
正確解法：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+ [(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2= 得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。
注意在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內.

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