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推理與證明復習指導
推理與證明是數學的基本思維過程，是學好數學的基本功，也是人們在一般學習和生活中常用的思維方式。數學內部規律的準確性必須用演繹推理（邏輯推理）的方式來證明，而在證明或數學學習的過程中，也經常使用合情推理去猜測和發現結論。
合情推理與證明。
合情推理主要包括歸納推理和類比推理，是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、定理和公理等）推測實踐和實驗的結果，以及個人的經驗和感覺等推測某些結果的推理過程。而推測的結果是否正確，
需要根據題目的具體要求，利用嚴格的邏輯證明來驗證。
例1：已知函數是定義在實數集R上的函數，滿足對一切都有
且，請研究函數有哪些性質？并證明你的結論。
分析：由題目的已知條件我們無法看出函數具有的性質，此時我們可以由題目的運算式子求出幾個具體的函數值，通過對函數值的分析來判斷函數應具有的性質，即使用歸納法。
解：因為，且
所以，，
，，…..
觀察分析上述結果，可以看出函數不具有奇偶函數的特征，也無單調性，而具有周而復始的特征，
可猜測f(x)是周期函數，周期為6。
證明：因為
所以x+1代x得：…….①
所以x+2代x得：……..②
由①+②得：………..③
所以x+3代x代入③得：……..④
④—③得：，即
所以函數f(x)是周期函數，周期為6.
點評：本題我們根據幾個具體的函數值，根據其具有的特點歸納出函數的特征，而對于其特征，
我們又從函數的已知條件出發，利用綜合法證明結論是正確的。
例2．在⊿ABC中，AB⊥AC,AD⊥BC于D,則,那么在四面體ABCD中，
類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由。
分析：本題屬于合情推理中的類比推理，由已知條件中的平面三角形到空間多面體，由平面中的
線線關系類比空間中的線線、線面關系得出結論，并證明結論的正確與否。
解：在四面體ABCD中，AB,AC,AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則
證明：如圖所示連接BE交CD于F，連接AF
因為AB⊥AC,AD⊥AB，所以AB⊥平面ACD, 所以AB⊥AF
在直角三角形ABF中，AE⊥BF,所以
在直角三角形ACD中，AF⊥CD,所以
所以，故猜想正確。
類比推理是根據兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其它屬性類似的一種推方
法，因而它的結論有可能是錯誤的，只有經過嚴格證明過程的結論才是正確的。
演繹推理與證明
演繹推理是從一般性的原理出發，推出某個特征情況下的結論，它的一般模式是三段論，它也是綜合法證明的主要依據，即在大前提正確的基礎上，利用嚴格的邏輯推理或邏輯證明來證明結論是正確的。
例如; 已知函數，求證：函數在上為增函數。
分析：用演繹推理解決問題的常見模式是三段論，證明本題所依據的大前提是增函數的定義，小前提是函數上滿足增函數的定義，這為本題證明的關鍵。
證明：任取，則
因為，，所以， ，，
所以，所以函數f(x)在上為增函數。
點評：演繹推理一般分為三段，稱為“三段論”，其中第一段為大前提，指的是一個一般原理，第二段為小前提，指的是一種特殊情況，第三段稱為結論，是所得的結論，當大前提是顯然時，一般可以省略不計。
三：直接證明與間接證明
證明有直接證明與間接證明兩種形式，而直接證明主要有分析法和綜合法兩種基本形式，它們在證明中是相輔相成的、緊密聯系的，注意這兩種方法的綜合應用，而在數學中有的問題直接證明難以入手，因此可以運用間接法證明，反證法是間接證明的常用方法。
例如：已知a,b,是正實數，求證：
證明：法1）：分析法
要證， 只要證
即證
即證，也就是證明
因為a,b是正實數，所以顯然成立，
所以
點評：分析法是數學中常用到的一種直接證明方法，就證明程序來講，它是從未知到已知（從結論到題設）的邏輯推理方法。具體說，即假設所需證明的命題的結論是正確的，由此逐步推出得證此結論成立的必需條件的判斷，而這些判斷恰恰都是已證的命題或要證命題的已知條件，它的依據是三段論式的演繹推理的方法。
法2）：綜合法
因為a,b是正實數
所以
所以，當且僅當a=b時等號成立。
點評：綜合法也是數學證明中常用的一種方法，它是一種從已知到未知（從題設到結論）的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷（命題）出發，經過一系列中間推理，最后導出所要求證結論的真實性，其邏輯推理的依據也是三段論式的演繹推理。
法3）：反證法
假設成立，所以
所以，即
所以
因為，所以不成立
所以假設錯誤，正確。
點評：反證法是間接證明的常用方法，而正確的提出假設（即否定結論）是正確運用反證法的
前提，它的證題過程一般有下面幾個步驟：
假設所證明的結論不正確
通過嚴格的邏輯推理得出矛盾
矛盾的結果說明原結論正確
A
B
C
D
E
F

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