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推理與證明小結(jié)
“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，對(duì)于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力、嚴(yán)謹(jǐn)論證習(xí)慣與能力起著重要的作用．學(xué)習(xí)中要注意學(xué)會(huì)利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；在理解演繹推理基本模式與特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，用它進(jìn)行一些推理，并結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)合情推理與演繹推理的聯(lián)系與差別；要了解直接證明與間接證明的基本方法如分析法、綜合法、反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn)，逐步體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，不斷提高推理論證能力和分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．
一、合情推理與演繹推理
合情推理是根據(jù)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程，是“合乎情理”的推理，歸納與類比是合情推理常用的思維方法．演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程．
1．歸納
例1 觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．（2010年高考山東卷）
解：由給出的例子可以歸納得出：若函數(shù)是偶函數(shù)，則它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，即函數(shù)是偶函數(shù)，所以它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，即有，故選D．
解法啟示：在觀察中要善于發(fā)現(xiàn)、概括所給數(shù)或式的共同特征．
例2 在古臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形：
1 3 6 10 15
則第個(gè)三角形數(shù)為_(kāi)_________________．　
解：（法一）由圖及所給數(shù)據(jù)，可歸納得出：，，，，，故．
（法二）由圖及前后項(xiàng)關(guān)系可得：，，，，，，，，
故．
解法啟示：在觀察過(guò)程中經(jīng)常要對(duì)所給數(shù)或式進(jìn)行變形才易發(fā)現(xiàn)其共性，或在分析相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系中找到規(guī)律．
2．類比
例3 在平面有如下命題：“為直線外的一點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上的充要條件是：存在實(shí)數(shù) 滿足，且”，類比此命題，給出在空間相應(yīng)的一個(gè)正確命題是 ．
解：相應(yīng)命題為：為平面外的一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)滿足，且．
解法歸納：將平面的結(jié)論類比到空間，“共線”應(yīng)類比“共面”，但和為1保持不變．
例4 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列．（2009年高考浙江卷）
解：從等差數(shù)列類比到等比數(shù)列，一般是將“差”類比為“商”，“和”類比為“積”，因此有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列．
注意事項(xiàng)：由歸納與類比推理得到的結(jié)論不一定正確，要注意檢驗(yàn)或證明．
3．演繹推理
例5 推理“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?( )
A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．大小前提都錯(cuò)
解：大前提和小前提都沒(méi)有錯(cuò)，但結(jié)論錯(cuò)了，原因是推理形式錯(cuò)誤，故選C．
注意事項(xiàng)：要正確理解演繹推理的邏輯法則，避免在論證中出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤．
例6 用三段論證明：一元二次方程無(wú)實(shí)根．
證明：因?yàn)閷?duì)任意，當(dāng)時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)根，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（大前提）
而在一元二次方程中，，　（小前提）
所以一元二次方程無(wú)實(shí)根．　　　　　　　　　　　　　　　（結(jié)論）
知識(shí)鏈接：數(shù)學(xué)命題的證明過(guò)程就是一連串三段論的有序組合，只是多次使用三段論形式證明時(shí)，為了簡(jiǎn)潔，略去大前提或小前提．
合情推理具有發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探尋思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)．而演繹推理則是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)邏輯論證能力的主要途徑，合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成．
二、直接證明與間接證明
1．直接證明
例7 已知函數(shù)，其圖象記為曲線．證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段、與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值．(2010年高考福建卷改)
證明：曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．由
得，
即，解得或，
故．
進(jìn)而有,
用代替，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，可得和．K^S*5U.C#O
又，所以，因此有．
2．間接證明
例8 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．（2007年高考福建卷）
解：（Ⅰ）易得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)（互不相等）成等比數(shù)列，則．
即．
， ．
與矛盾．所以數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．
方法步驟：反證法是間接證明的一種基本方法，一般有三個(gè)步驟：（1）反設(shè)：假設(shè)命題結(jié)論不正確，從而結(jié)論的反面成立；（2）歸謬：從“反設(shè)”出發(fā)，經(jīng)正確推理，導(dǎo)出矛盾（與已知條件、假設(shè)、定義、公理、定理等）；（3）結(jié)論：否定假設(shè)，肯定原命題的結(jié)論正確．
三、數(shù)學(xué)歸納法
例9 等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上．（Ⅰ）求r的值；（Ⅱ）當(dāng)b=2時(shí)，記 （n∈N*），證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式成立．(2009年高考山東卷)
解：（Ⅰ）解得： ,（解答過(guò)程略）．
（Ⅱ）當(dāng)b=2時(shí)，,所以．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立．
當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立．
假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立．
則當(dāng)時(shí),左邊=
所以當(dāng)時(shí),不等式也成立．由①、②可得不等式恒成立．
方法步驟：數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法，主要步驟是：①證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確，這個(gè)步驟稱為歸納奠基；②假設(shè)n=k(k≥n0，n∈N*)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確，這個(gè)步驟稱為歸納遞推；③由①、②得出結(jié)論．
注意事項(xiàng)：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，一般要注意：①一定要用到歸納假設(shè)；②看清從k到k＋1中的變化．（2）數(shù)學(xué)歸納經(jīng)常與不完全歸納法配合運(yùn)用．

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