資源簡介

3.4基本不等式教材解讀
一、知識結構解讀
1．教材對基本不等式的推導給出了三種證法，即作差法、分析法和綜合法，同時引導同學們探討基本不等式的幾何解釋．
2．基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．應用基本不等式時一定要注意其成立的條件．基本不等式的應用過程蘊涵了函數思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想及化歸與轉化等數學思想．
二、重點、難點解讀
本節的重點內容是掌握“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”；掌握“兩個正數的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值”的結論．
難點是正確理解和使用基本不等式求某些函數的最值或證明不等式．
三、知識點精析
1．基本不等式的定義（詳見課本）
基本不等式可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．
注意：不等式成立的條件是．
2．基本不等式的幾何證明
已知在中，如右圖所示，為斜邊上的高，為的外接圓的圓心，的延長線交于點．，，證明：．
證明：由題意知，，
由于，，
因此，．
當時，在中，，即．
當且僅當點與點重合，即時，，即．
綜上可知，，當且僅當時，式中等號成立．
通過上面的證明我們可以這樣理解基本不等式的幾何意義：在直角三角形中，斜邊上的中線大于或等于斜邊上的高線．
同學們共同探討一下，基本不等式還有沒有別的幾何解釋呢？
3．基本不等式的有關變形及推廣
根據基本不等式可以得到一些常用的變形公式和推廣公式：
（1）根式形式：
當且僅當時，等號成立．
（2）整式形式：
當且僅當時，等號成立；
，當且僅當時，等號成立；
，當且僅當時，等號成立；
，當且僅當時，等號成立．
（3）分式形式：
，當且僅當時，等號成立．
（4）倒數形式：
，當且僅當時，等號成立；
，當且僅當時，等號成立．
說明：用基本不等式及變形公式和推廣公式，并結合不等式的性質，不但可以處理兩個正數的和與積結構的不等式，還可以處理兩個正數的平方和及其他形式的不等式．
4．基本不等式的應用
基本不等式是不等式變形的一個重要依據，是歷年高考中不可缺少的解題工具，常應用于證明不等式、判斷不等式是否成立、求函數的值域或最值、求字母或參數的變化范圍、求解實際問題等．
（1）當，且為定值時，有（定值），當且僅當 時，等號成立，此時有最小值，即“積定和最小”．
（2）當，且為定值時，有（定值），當且僅當 時，等號成立，此時有最大值，即“和定積最大”．
說明：（1）在使用基本不等式求最值時，必須具備三個條件：①在所求最值的代數式中，各變量均應是正數；②各變量的和或積必須為常數，以確保不等式一邊為定值；③等號能成立．以上三個條件簡稱為“一正、二定、三相等”．
（2）在證明不等式問題時，有時要多次使用基本不等式，然后再相加或相乘．這時字母應滿足多次使用基本不等式中的等號一致都成立的條件．若不滿足，則不等式中的等號不能成立．

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