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設P點的坐標為:(xpP,f(xP),則切線方程為:
J(x)=f(xp)+f'(xp)(x-xp)
3
(2)構建新函數g(x),并求導
構建函數g(x)=f(x)-y(x),圓切線與曲線的交點就是g(x)的零點
則:g(x)=f(x)-f(xp)-f(xPx-xp)④
其導函數:g'(x)=f'(x)-f'(xP)⑤
由②得:∫(x)=e+2ax-e,f'(xp)=e+2axp-e,代入⑤式得
g'(x)=(e+2ax)-(e
p+2axp)=(e-e)+2a(x-xp)
(3)分析a≥0時函數g(x)的單調性和極值
當a≥O時
若
則ex>e,2ax≥2ax
g'(x)>0,g(x)單調遞增
若x若x=xP,則e=e,2ax=2axpP,故:g'(x)=0,8(x)達到極小值
由④式得:g(x)的極小值g(xpP)=0
此時,g(x)的零點與P點的取值有關,因此P點的取值不唯
所以g(x)的零點就不唯一,故當a≥0時,滿足P點唯一的條件
(4)分析a<0時函數g(x)的切線
當a<0時:
由⑥式,g'(x)=0的情況分兩種:
=0即
此時與(2)的情形相同,P點的取值不唯
b)c2-e=-2a(x-xP)≠0,即:x≠xP,g'(x)=0
此時,c(e-D=-2a(x-xp),即:cxx=1-2aex(x-xp)⑦
⑦式的解是曲線y=cM與直線y=1-2(x-x)的交點
曲線y=cM恒過點(xp,D),直線y=1-2ae(x-xp)也恒過點(xP,D),
當曲線y=c過點(xP,D)的切線斜率等于一2aex時,其這個切線就是
線的切線
故:曲線y=c過點(xP,D的切線斜率為:k=(ex)
于是:-2aex=1,即:e=-2a,即:xp=ln(-2a)
(5)得到切點P的坐標
當a<0時,xP=ln(-2a)就存在
由于y=e在其定義域內是凸函數,所以與其切線的交點是唯一的
將xP=ln(-2a)代入①式得
f(xp)=e+axp
-exp=(2a)+aIn"(2a)-eIn(-2a)
得到xP=ln(-2a)和∫(xp),這就是P點的唯一坐標
(6)結論
切點P的坐標:xp=ln(-2a),f(xP)=(-2a)+aln2(-2a)-cln(-2a
本題要點:利用圖象法解超越方程⑦,
7、函數第7題已知函數∫(x)=e"-x,其中a≠0.在函數y=f(x)的圖象上取定兩點
(x1,f(x1),B(x2,f(x2),且x1∫'(x)≥k成立,求x的取值范圍
解析:(1)AB的斜率與f(x)的導函數
由A、B兩點的坐標得到直線AB的斜率k:
f(x2)-f(x1)(e
函數f(x)=c"-x的導函數為:f'(x)=e
(2)構建新函數g(x),并求導
判斷f'(x2)≥k是否成立,即判斷f'(x)-k是否不小于0
所以,構建函數:g(x)=f(x)-k,若g(x)≥0,則f'(x)≥k成立

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