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高一數學集合、不等式知識點復習資料
§第一章 集合與命題
1.1 集合及其子集
1.集合中元素的性質：確定性 互異性 無序性
2.數集的表示：自然數集N、正整數集N+、整數集Z、有理數集Q、實數集R （上標+表示為正，下標-表示為負）
3.注意
（1）??A空集是任何集合的子集；
（2）子集傳遞性：A?B，B?C，則A?C；
（3）空集是任何非空集合的真子集；
（4）連接元素與集合的符號有：∈和?；
（5）連接集合與集合的符號有：?、?（符號下半部分是≠）、=、≠.例如，??A，?∈{?}.
4.若A含有n個元素，則A的子集有 2n 個，A的非空子集有（2n－1）個，A的非空真子集有 （2n－2）個．
1.2集合的運算
1.交集與并集：注意：“且”、“或”的描述.
交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}；并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}.
2.補集：（1）相對于全集而言的，全集根據題意判斷
（2）摩根定理：Cu（A∪B）=CuA∩CuB；Cu（A∩B）=CuA∪CuB.
3.借助文氏圖解題：
4.注意：A∩B=?，存在 A=?或B=?的情況，不能忽視；
同樣當A?B時，也要記得A=?的情形；進行列舉法的集合計算時還需檢驗集合的互異性.
5.計算后需檢驗，區間的兩個端點注意能否取等號。
6.看清題意，題目中問到取值范圍則用不等式、集合（區間）表示都可以，當題目中提示寫解集時，切記要寫成集合（區間）的形式.
1.3命題與充要條件
1.“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；
“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”.
2. 若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若則” ；逆否命題為“若則”。
做題時可以畫出集合間推出關系的箭頭，清晰明了.
3.（1）互為逆否關系的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；
（2）在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或”；
（3）要注意區別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定.
4.對于條件或結論是不等關系或否定式的命題，一般利用等價關系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據。
5.充要條件的題目，第一步關鍵是分清條件和結論（題目上劃好），看看從條件能否推出結論，從結論能否推出條件.
從集合角度解釋，若，則A是B的充分條件；若，則A是B的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。
§第二章 不等式
2.1 解不等式
總體思路：高次化低次、分式化整式、無理化有理（初中學的一次不等式及一次不等式組在不詳細講了）
1、簡單的高次不等式
這里講的簡單高次不等式一般是能夠因式分解的
（1）步驟：①、把未知數統一化到不等號一邊且不等號另一邊為0
②、對代數式進行因式分解
③、標根穿線
④、在數軸上找到對應范圍得出解集
（2）注意：
①、因式分解的常用方法：
a、分組分解法；
b、添項拆項法（不建議使用）；
c、公式法 常用公式：平方和差、立方和差、完全平方；
d、因式定理：內容：對于一個整式f（x），若有x=x1使得f（x1）=0，則原整式f（x）必定有一個因式（x-x1）
第四種方法一般建議嘗試范圍是[-5,5]的整數
②、標根穿線
a、表根時注意能否取等
b、穿線注意奇穿偶不穿
2、分式不等式
（1）步驟：
①、移項通分，化為f（x）g（x）＞0的形式②、分別對f（x）、g（x）進行因式分解
③、標根穿線，得出解集
（2）注意
①、移項通分后分子分母中未知數次數最高的一項系數必須為正
②、因為f（x）g（x）＞0與f（x）g（x）＞0等價，因此因式分解完了可以直接標根穿線
③、若不等號是≤或≥，則表根時注意分母不為零
3、無理不等式
一般題目中出現的是二次根式
原不等式等價于不等式組：（1）被開方數大于等于0（2）把根號都去掉后的不等式
注意：若不等號兩邊一邊是根式一邊是整式，先討論整式的正負
例1：解不等式：x2-1＞x+2
解：原不等式等價于不等式組：x2-1≥0x+2≥0x2-1＞x+2
（后面過程省略）
例2：解不等式：x2-1＞x+2
解：x2-1≥0
-1≤x≤1
（1）若x+2＜0即x＜-2時
不等式恒成立
（2）若x+2≥0
則x2-1＞（x+2）2
（后面過程略）
4、絕對值不等式
方法：（1）、零點分段
（2）、兩邊平方
例、|x+1|-|x-4|＞0
解法一：（1）若x＜-1
則（-x-1）-（4-x）＞0
（2）若-1≤x≤4
則（x+1）-（4-x）＞0
（3）若x＞4
則（x+1）-（x-4）＞0
（解不等式的過程略）
解法二：原不等式等價于|x+1|＞|x-4|
則（x+1）2＞（x-4）2
（后面過程略）
2.2含參數的不等式
1、含參數的一次不等式
解題方法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為的形式；
若,則；
若,則；
若,則當時，；當時，。
2、含參數的二次不等式
解題：注意數形結合，有利分析.
設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表：
或
或
R
R
R
作出大致函數圖像：設一元二次方程（）的兩實根為，，且。
342900040005（1）方程兩根都大于（）
；
3543300133350（2）方程兩根都小于（）
；
3514725137160
（3）方程一根小于,一根大于 ()
；
3514725221615
（4）方程一根小于,一根大于()
3552825206375
（5）方程兩根在區間內（）
（6）方程兩根分別在區間和內（）37338009525
（7）方程在區間有且僅有一根（不含等根）（（或））
354330060960160020060960
注意：含參數的二次不等式的二次項系數、是否有實根都需要討論.根據解集求原不等式，可以利用韋達定理.
3、含參數的無理不等式
解題方法：左右分別平方，轉換成二次不等式.核心思想是無理變有理.
例：關于x的不等式，x>ax+32的解集是（4，m），求a、m的值.
2.3不等式證明
1、方法：（1）、作差比較
（2）、作商比較
（3）、基本不等式
2、基本不等式：
（1）、重要不等式：(a-b)2≥0a2+b2≥2ab
（2）、基本不等式:
a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b
(a,b∈R+)
(iff a=b時等號成立)
3、柯西不等式
(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2
（iff ab=xy時等號成立）
§第三章 函數的基本性質
1、函數五要素：對應法則、自變量、應變量、定義域（D）、值域（A）
2、函數定義：在D上的自變量x，每一個x只對應一個應變量y
3、判斷函數是否一致：對應法則、自變量、應變量完全相同
4、函數的性質;
（1）奇偶性：對于函數y=f（x），任取一個x∈D，若使f（x）= f（-x），則y=f（x）為偶函數；若-f（x）= f（-x），則y=f（x）為奇函數
（2）單調性（增減性）：注意寫出單調區間
關于單調性的證明，老師沒有細講，這里羅列一下證明方法
例：求證：函數f（x）=-14x2+1在[0，+∞）上是減函數
證明：設任意x1,x2∈[0，+∞）且x1＜x2
則：f（x1）- f（x2）=(-14x12+1)-( -14x22+1)
=-14(x12-x22)
=-14(x1-x2)( x1+x2)
∵x1＜x2
∴x1-x2＜0
∵x1,x2∈[0，+∞）
∴x1+x2＞0
∴-14(x1-x2)( x1+x2)＞0
即f（x1）＞ f（x2）
∴f（x）在[0，+∞）上是減函數

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