資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
高中數學 33 個易失分點
1遺忘空集致誤
由于空集是任何非空集合的真子集，因此 B=?時也滿足 B?A。解含有參數的集合問題時， 要特別注意當參數在某個范圍內取值時所給的集合可能是空集這種情況。
2忽視集合元素的三性致誤
集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大， 特別是帶有字母參數的集合，實際上就隱含著對字母參數的一些要求。
3混淆命題的否定與否命題
命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念，命題 p 的否定是否定命題所作的判斷， 而“否命題”是對“若 p，則 q”形式的命題而言，既要否定條件也要否定結論。
4充分條件、必要條件顛倒致誤
對于兩個條件 A，B，如果 A?B 成立，則 A 是 B 的充分條件，B 是 A 的必要條件；如果 B?A 成立，則 A 是 B 的必要條件，B 是 A 的充分條件；如果 A?B，則 A，B 互為充分必要條件。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時一定要根據充分條件和必要條件的概念作出準確的判斷。
5“或”“且”“非”理解不準致誤
命題 p∨q 真?p 真或 q 真，命題 p∨q 假?p 假且 q 假(概括為一真即真)；命題 p∧q 真?p 真且 q 真，命題 p∧q 假?p 假或 q 假(概括為一假即假)；綈 p 真?p 假，綈 p 假?p 真(概括為一真一假)。求參數取值范圍的題目，也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交”“補”對應起來進行理解，通過集合的運算求解。
6函數的單調區間理解不準致誤
在研究函數問題時要時時刻刻想到“函數的圖像”，學會從函數圖像上去分析問題、尋找解決問題的方法。對于函數的幾個不同的單調遞增(減)區間，切忌使用并集，只要指明這幾個區間是該函數的單調遞增(減)區間即可。
7判斷函數奇偶性忽略定義域致誤
判斷函數的奇偶性，首先要考慮函數的定義域，一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數 的定義域關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數一定是非奇非偶函數。
8函數零點定理使用不當致誤
如果函數 y=f(x)在區間[a，b]上的圖像是一條連續的曲線，并且有 f(a)f(b)<0，那么，函數 y=f(x)在區間(a，b)內有零點，但 f(a)f(b)>0 時，不能否定函數 y=f(x)在(a，b)內有零點。函數的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”函數的零點定理是“無能為力”的，在解決函數的零點問題時要注意這個問題。
9三角函數的單調性判斷致誤
對于函數 y=Asin(ωx+φ)的單調性，當ω>0 時，由于內層函數 u=ωx+φ是單調遞增的，所以該函數的單調性和 y=sin x 的單調性相同，故可完全按照函數 y=sin x 的單調區間解決；但當ω<0 時，內層函數 u=ωx+φ是單調遞減的，此時該函數的單調性和函數 y=sinx 的單調性相反，就不能再按照函數 y=sinx 的單調性解決，一般是根據三角函數的奇偶性將內層函數的系數變為正數后再加以解決。對于帶有絕對值的三角函數應該根據圖像，從直觀上進行判斷。
10忽視零向量致誤
零向量是向量中最特殊的向量，規定零向量的長度為 0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線。它在向量中的位置正如實數中 0 的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，稍微考慮不到就會出錯，考生應給予足夠的重視。
11向量夾角范圍不清致誤
解題時要全面考慮問題。數學試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關鍵，如當 a·b<0 時，a 與 b 的夾角不一定為鈍角， 要注意θ=π的情況。
12an 與 Sn 關系不清致誤
在數列問題中，數列的通項 an 與其前 n 項和 Sn 之間存在下列關系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1， n≥2。這個關系對任意數列都是成立的，但要注意的是這個關系式是分段的，在 n=1 和 n≥2 時這個關系式具有完全不同的表現形式，這也是解題中經常出錯的一個地方，在使用這個關系式時要牢牢記住其“分段”的特點。
13對數列的定義、性質理解錯誤
等差數列的前 n 項和在公差不為零時是關于 n 的常數項為零的二次函數；一般地，有結論“若數列{an}的前 n 項和 Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數列{an}為等差數列的充要條件是 c=0”； 在等差數列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差數列。
14數列中的最值錯誤
數列問題中其通項公式、前 n 項和公式都是關于正整數 n 的函數，要善于從函數的觀點認識和理解數列問題。數列的通項 an 與前 n 項和 Sn 的關系是高考的命題重點，解題時要注意把 n=1 和 n≥2 分開討論，再看能不能統一。在關于正整數 n 的二次函數中其取最值的點要根據正整數距離二次函數的對稱軸的遠近而定。
15錯位相減求和項處理不當致誤
錯位相減求和法的適用條件：數列是由一個等差數列和一個等比數列對應項的乘積所組成的， 求其前 n 項和?；痉椒ㄊ窃O這個和式為 Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉化為以求一個等比數列的前 n 項和或前
n-1 項和為主的求和問題.這里最容易出現問題的就是錯位相減后對剩余項的處理。
16不等式性質應用不當致誤
在使用不等式的基本性質進行推理論證時一定要準確，特別是不等式兩端同時乘以或同時除 以一個數式、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時 n 次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件，如果忽視了不等式性質成立的前提條件就會出現錯誤。
17忽視基本不等式應用條件致誤
利用基本不等式 a+b≥2ab 以及變式 ab≤a+b22 等求函數的最值時，務必注意 a，b 為正數(或a，b 非負)，ab 或a+b 其中之一應是定值，特別要注意等號成立的條件。對形如 y=ax+bx(a， b>0)的函數，在應用基本不等式求函數最值時，一定要注意 ax，bx 的符號，必要時要進行分類討論，另外要注意自變量 x 的取值范圍，在此范圍內等號能否取到。
18不等式恒成立問題致誤
解決不等式恒成立問題的常規求法是：借助相應函數的單調性求解，其中的主要方法有數形結合法、變量分離法、主元法。通過最值產生結論。應注意恒成立與存在性問題的區別，如對任意 x∈[a，b]都有 f(x)≤g(x)成立，即 f(x)-g(x)≤0 的恒成立問題，但對存在 x∈[a，b]， 使 f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，即 f(x)min≤g(x)max，應特別注意兩函數中的最大值與最小值的關系。
19忽視三視圖中的實、虛線致誤
三視圖是根據正投影原理進行繪制，嚴格按照“長對正，高平齊，寬相等”的規則去畫，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，且分界線和可視輪廓線都用實線畫出， 不可見的輪廓線用虛線畫出，這一點很容易疏忽。
20面積體積計算轉化不靈活致誤
面積、體積的計算既需要學生有扎實的基礎知識，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要題型.因此要熟練掌握以下幾種常用的思想方法。(1)還臺為錐的思想：這是處理臺體時常用的思想方法。(2)割補法：求不規則圖形面積或幾何體體積時常用。(3)等積變換法： 充分利用三棱錐的任意一個面都可作為底面的特點，靈活求解三棱錐的體積。(4)截面法： 尤其是關于旋轉體及與旋轉體有關的組合問題，常畫出軸截面進行分析求解。
21隨意推廣平面幾何中結論致誤
平面幾何中有些概念和性質，推廣到空間中不一定成立.例如“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質在空間中就不成立。
22對折疊與展開問題認識不清致誤
折疊與展開是立體幾何中的常用思想方法，此類問題注意折疊或展開過程中平面圖形與空間 圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關系的變化
23點、線、面位置關系不清致誤
關于空間點、線、面位置關系的組合判斷類試題是高考全面考查考生對空間位置關系的判定 和性質掌握程度的理想題型，歷來受到命題者的青睞，解決這類問題的基本思路有兩個：一 是逐個尋找反例作出否定的判斷或逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結合長方體模型 或實際空間位置(如課桌、教室)作出判斷，但要注意定理應用準確、考慮問題全面細致。
24忽視斜率不存在致誤
在解決兩直線平行的相關問題時，若利用 l1∥l2?k1=k2 來求解，則要注意其前提條件是兩直線不重合且斜率存在。如果忽略 k1，k2 不存在的情況，就會導致錯解。這類問題也可以利用如下的結論求解，即直線 l1：A1x+B1y+C1=0 與 l2：A2x+B2y+C2=0 平行的必要條件是 A1B2-A2B1=0，在求出具體數值后代入檢驗，看看兩條直線是不是重合從而確定問題的答案。對于解決兩直線垂直的相關問題時也有類似的情況。利用 l1⊥l2?k1·k2=-1 時，要注意其前提條件是 k1 與 k2 必須同時存在。利用直線 l1：A1x+B1y+C1=0 與 l2：A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是 A1A2+B1B2=0，就可以避免討論。
25忽視零截距致誤
解決有關直線的截距問題時應注意兩點：一是求解時一定不要忽略截距為零這種特殊情況； 二是要明確截距為零的直線不能寫成截距式。因此解決這類問題時要進行分類討論，不要漏掉截距為零時的情況。
26忽視圓錐曲線定義中條件致誤
利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件。如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|。如果不滿足第一個條件， 動點到兩定點的距離之差為常數，而不是差的絕對值為常數，那么其軌跡只能是雙曲線的一支。
27誤判直線與圓錐曲線位置關系
過定點的直線與雙曲線的位置關系問題，基本的解決思路有兩個：一是利用一元二次方程的 判別式來確定，但一定要注意，利用判別式的前提是二次項系數不為零，當二次項系數為零 時，直線與雙曲線的漸近線平行(或重合)，也就是直線與雙曲線最多只有一個交點；二是利 用數形結合的思想，畫出圖形，根據圖形判斷直線和雙曲線各種位置關系。在直線與圓錐曲 線的位置關系中，拋物線和雙曲線都有特殊情況，在解題時要注意，不要忘記其特殊性。
28兩個計數原理不清致誤
分步加法計數原理與分類乘法計數原理是解決排列組合問題最基本的原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提，在解題時，要分析計數對象的本質特征與形成過程，按照事件的結果來分類，按照事件的發生過程來分步，然后應用兩個基本原理解決. 對于較復雜的問題既要用到分類加法計數原理，又要用到分步乘法計數原理，一般是先分類， 每一類中再分步，注意分類、分步時要不重復、不遺漏，對于“至少、至多”型問題除了可以用分類方法處理外，還可以用間接法處理。
29排列、組合不分致誤
為了簡化問題和表達方便，解題時應將具有實際意義的排列組合問題符號化、數學化，建立 適當的模型，再應用相關知識解決.建立模型的關鍵是判斷所求問題是排列問題還是組合問題，其依據主要是看元素的組成有沒有順序性，有順序性的是排列問題，無順序性的是組合問題。
30混淆項系數與二項式系數致誤
在二項式(a+b)n 的展開式中，其通項 Tr+1=Crnan-rbr 是指展開式的第 r+1 項，因此展開式中第 1,2,3，...，n 項的二項式系數分別是 C0n，C1n，C2n，...，Cn-1n，而不是 C1n，C2n， C3n，...，Cnn。而項的系數是二項式系數與其他數字因數的積
31循環結束判斷不準致誤
控制循環結構的是計數變量和累加變量的變化規律以及循環結束的條件。在解答這類題目時，首先要弄清楚這兩個變量的變化規律，其次要看清楚循環結束的條件，這個條件由輸出要求所決定，看清楚是滿足條件時結束還是不滿足條件時結束。
32件結構對條件判斷不準致誤
條件結構的程序框圖中對判斷條件的分類是逐級進行的，其中沒有遺漏也沒有重復，在解題時對判斷條件要仔細辨別，看清楚條件和函數的對應關系，對條件中的數值不要漏掉也不要 重復了端點值。
33復數的概念不清致誤
對于復數 a+bi(a，b∈R)，a 叫做實部，b 叫做虛部;當且僅當 b=0 時，復數 a+bi(a，b∈R) 是實數 a；當 b≠0 時，復數 z=a+bi 叫做虛數;當 a=0 且 b≠0 時，z=bi 叫做純虛數。解決復數概念類試題要仔細區分以上概念差別，防止出錯。另外，i2=-1 是實現實數與虛數互化的橋梁，要適時進行轉化，解題時極易丟掉“-”而出錯。
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