資源簡介

教
案
教學基本信息
課題
8.3實際問題與二元一次方程組（第一課時）
學科
數學
學段：
初中
年級
初一年級
教材
書名：義務教育教科書數學七年級下冊
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2012年10月
教學設計參與人員
姓名
單位
設計者
實施者
指導者
課件制作者
教學目標及教學重點、難點
教學目標：經歷借助文字和表格梳理、分析實際問題中的數量關系的過程，能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。
教學重難點：明確實際問題中各個量之間的關系，找出實際問題中的未知量，會設未知數，列方程組。
教學過程
教學環節
主要教學活動
設置意圖
引入
前面我們討論了二元一次方程組的解法，并用二元一次方程組解決了一些實際問題，本節課，我們繼續探究如何分析實際問題中的數量關系，利用二元一次方程組模型解決實際問題。
指出本課的學習主題。
新課
探究1：
　
養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675
kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約用飼料940
kg．飼養員李大叔估計每頭大牛1天約需飼料18～20
kg，每頭小牛1天約需飼料7
～8
kg.你能否通過計算檢驗他的估計？
問題1：面對這個問題，你是怎么想的呢？
模擬學生的反應回答下面問題：
（1）怎么理解“通過計算檢驗他的估計”這句話的意思呢？
預設：這句話表示要通過實際背景中的數量關系，計算出每頭大牛1天約用飼料量是多少，每頭小牛1天約用飼料量是多少？然后用計算的結果與李大叔估計的范圍相對照，如果計算結果在李大叔估計的范圍內，那么李大叔的估計是較準確的，否則就是不準確的。
（2）實際背景中有哪些已知量，哪些未知量，它們之間有怎樣的數量關系？
預設：
已知量：牛的頭數，農場1天約用飼料總量；
未知量：大牛1天約用飼料量，小牛1天約用飼料量；
數量關系：
小牛頭數×每頭小牛約用飼料量＝所有小牛約用飼料量；
所有大牛1天約用飼料量＋所有小牛1天約用飼料量＝農場1天約用飼料總量。
（3）可以建立怎樣的方程呢？
根據
小牛頭數×每頭小牛1天約用飼料量＝所有小牛1天約用飼料量，
大牛頭數×每頭大牛1天約用飼料量＝所有大牛1天約用飼料量，
設每頭大牛和每頭小牛1天分別約用飼料x
kg、y
kg．
所有小牛1天約用飼料量＝15y，
所有大牛1天約用飼料量＝30x；
根據
所有大牛吃飼料的量＋所有小牛吃飼料的量＝農場一天約用飼料總量這個關系，可以建立方程30x+15y=675，
同理，建立方程42x+20y=940.
建立方程組
問題2：實際問題怎么分析呢？
教師：在分析實際問題時，首先要分析出問題中涉及的主體對象，比如這個問題中主體對象就是大牛和小牛，然后分析圍繞大牛小牛的信息中，哪些是已知量，哪些是未知量，各量之間是什么關系，這些關系可以用來互相表達。比如依據大牛的頭數乘以每頭大牛1天用飼料量等于所有大牛用的飼料總量這個關系，利用已知量小牛的頭數和未知量每頭小牛1天用飼料量的乘積表達出了所有大牛用的飼料量。
這些關系也可以用來建立方程。比如這里通過所有大牛用飼料量加上所有小牛用飼料量等于養牛場用飼料總量的關系建立了方程。
問題3：怎么解這個方程組呢？
解出方程組的解為
檢驗這組數是方程組的解，而且具有實際意義。
對照李大叔估計的量，因為20在18到20之間，5不在7-8之間，因此，飼養員李大叔對大牛的食量估計較正確，對小牛的食量估計偏多。
問題4：可以把其他的未知量設為未知數嗎？
以設所有大牛和所有小牛1天約用飼料量分別為xkg，ykg為例梳理列方程組的過程.
問題5：用一元一次方程來建立模型可以嗎？
分析建立一元一次方程的過程，建立一元一次方程：
設每頭大牛1天約用飼料x
kg．
說明一元一次方程與二元一次方程的異同。
相同點：都是反應現實世界數量相等關系的有效的數學模型，建立方程時都要分析清楚問題中的量和各個量之間的關系。
不同點：從建立這兩類模型的過程看，建立二元一次方程組表達數量關系更加直接，從建構模型的難度上來看，列一元一次方程的難度更大一些。
所以我們往往面對有兩個未知量的問題時，選用建立二元一次方程組模型。
通過方程組的解，解答實際問題，要關注檢驗環節，這里既要檢驗求得的結果是否是方程組的解，也要檢驗對于實際問題的背景，這個解是否有實際意義。
問題1的提出旨在激發學生從不同層面理解這個實際問題。這里不僅包括通過文字描述要理解實際問題的解決相當于是在求解什么數學問題，也包括在數學問題范疇內如何梳理數量及各個量之間的關系。
模擬學生的應答，將從實際問題中讀出各個量，梳理各個量之間關系的方法呈現出來。直線標注，表格梳理，表格中信息圈注的方法，既是在演示梳理關系的方法，也在呈現分析問題的思維過程。
問題2的提出，旨在歸納分析實際問題時的重要關注點，在整理思維過程后，當再次分析實際問題時能夠做清晰分析內容，做到有序分析。
問題3的提出，旨在回顧方程組的解法，使學生們經歷解決實際問題的完整的分析，轉化，求解，答題的過程。
問題4的提出為了讓同學們明白梳理清楚各個量之間的關系，設不同的量為未知數都可以解決問題，但是在表達其他未知量是的難度不同。
問題5的提出，旨在幫助學生認識在建立數學模型解決實際問題時，一元一次方程與二元一次方程的異同。它們都是反應現實世界數量相等關系的有效模型，不能因新忘舊，要能擇優而用。
例題
例：機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？生產了多少套？
問題1：你是怎樣思考這個問題的呢？
模擬學生的反應回答下面問題：
（1）這個問題的主體研究對象是什么？
與之相關的信息中有哪些量？已知量是什么？
未知量是什么？這些量之間有怎樣的等量關系？
生：這是關于生產大齒輪和小齒輪兩類產品的問題；
已知量：加工齒輪的工人的總數，平均每人每天生產產品的量；
未知量：加工大齒輪和加工小齒輪的人數，分別設為x人，y人.
這些量之間的關系：
生產大齒輪人數＋生產小齒輪的人數＝工人的總人數；
每人每天生產產品量×相對應的人數＝生產產品的總量。
（2）可以建立怎樣的方程呢？
建立方程組
問題2：怎樣解方程組呢？
解方程組得
檢驗并求出生產產品200套。
問題1的提出，旨在讓學生在不同的實際背景下，體會分析問題的方法和思維過程。
問題2的提出，旨在提升學生解方程組的熟練度，經歷解決實際問題的全過程。
總結
教師小結：
本節課我們重點探究了怎樣分析實際問題中的量及各個量之間的關系，建立二元一次方程組模型。在分析實際問題時，圍繞著主體研究對象，先要明確實際背景中哪些量是已知量，哪些量是未知量，
根據已知量和未知之間的關系，選擇合適的未知量設為未知數，再根據題目中的數量關系，利用已知量和未知數表達其他的未知量，最后選擇某一個數量關系建立二元一次方程，從而構建二元一次方程組模型。在解出數學問題的解之后，要對其進行檢驗，尤其要對其進行是否符合實際意義的檢驗，進而解答實際問題。
教師小結的內容旨在梳理、強調分析問題、解決實際問題的關鍵內容和思維流程。
作業
用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身
25
個，或制盒底
40
個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現有
36
張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底可以使盒身與盒底正好配套？
為學生提供分析實際問題中量及各個量之間關系的練習，以鞏固本節課所學。《實際問題與二元一次方程組》（第一課時）
學習任務單
【學習目標】
本節課向學生呈現怎樣借助文字、表格梳理實際問題中的數量關系，使學生能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。本課重點在于根據實際問題的描述，梳理數量關系，建立方程組模型。本節課研究課本中探究1和1道例題。
【課上任務】
探究1：養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約用飼料940kg．飼養員李大叔估計每頭大牛1天約需飼料18～20kg，每頭小牛1天約需飼料7～8kg.
你能通過計算檢驗他的估計嗎？
問題1.對于這個問題，你是怎么想的呢？想一想，寫一寫！
（1）怎么理解“通過計算檢驗他的估計”這句話的意思呢？
（2）實際背景中有哪些已知量，哪些未知量，它們之間有怎樣的數量關系？
（3）可以建立怎樣的方程呢？
問題2：實際問題怎么分析呢？
問題3：怎么解這個方程組呢？
問題4：可以設其他的未知量為未知數嗎？
問題5：用一元一次方程來建立模型可以嗎？
典例分析
例.
機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？生產了多少套？
問題1：你是怎樣思考這個問題的呢？
（1）這個問題的主體研究對象是什么？與之相關的信息中有哪些量，已知量是什么？未知量是什么？這些量之間有怎樣的等量關系？
（2）可以建立怎樣的方程（組）呢？
問題2：怎么解方程組呢？
小結：
【課后作業】
作業：用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身
25
個，或制盒底
40
個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現有
36
張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底可以使盒身與盒底正好配套？
【課后作業參考答案】
解：設用
x
張鐵皮制盒身，用
y
張鐵皮制盒底.
根據題意，得
方程組變形為
解得
答：用16
張鐵皮制盒身，用20
張鐵皮制盒底．

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