資源簡介

教
案
教學基本信息
課題
8.4-1三元一次方程組概念及解法
學科
數學
學段：
初中
年級
初一
教材
書名：義務教育教科書數學七年級下冊
出版社：人民教育出版社
出版日期：2012年10月
教學設計參與人員
姓名
單位
設計者
實施者
指導者
課件制作者
其他參與者
教學目標及教學重點、難點
教學目標：
1、了解三元一次方程組的概念，會用消元法解簡單的三元一次方程組。
2、理解用消元法解三元一次方程組時體現的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化歸思想。
重點：應用消元法解三元一次方程組
難點：選擇恰當的方法消元，解方程組
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
引入
前面我們學習了二元一次方程組及其解法——消元法.我們知道有些有兩個未知數的問題，可以列出二元一次方程組來解決.實際上，有不少問題含有更多未知數.
我們看下面的問題
近期，我們初一1班進行了《云端相聚》的線上班會。會上，小晨同學分享了自己的一日居家學習生活的時間安排表，如下
項目時間（小時）自主學習體育鍛煉家務勞動…
她說表格中自主學習、體育鍛煉和家務勞動的總時間為5小時，其中家務勞動比體育鍛煉多安排1小時，2倍的自主學習時間與體育鍛煉的時間的和恰好等于家務勞動時間加上三項的總時間，同學們根據這些信息你能知道表中各項時間的安排了嗎？有的同學說現在有3個未知的量，那么就可以設表中她當天自主學習、體育鍛煉和家務勞動的時間分別為x小時，y小時，z小時，
這就構成了方程組
實際生活中涉及多個未知數的問題是普遍存在的，因而求解多元方程組問題是我們繼續討論的課題，下面我們再來看一個問題
引例從學生生活入手，引出三元一次方程和三元一次方程組。
新課
問題2：甲地到乙地全程是3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡.如果保持上坡每小時走3千米,平路每小時走4千米，下坡每小時走5千米，那么從甲地到乙地需51分鐘,從乙地到甲地需53.4分鐘，從甲地到乙地時,上坡、平路、下坡的路程各是多少？
設從甲地到乙地時,上坡、平路、下坡的路程分別設為x
km，y
km，z
km
由條件甲地到乙地全程是3.3千米，可以得到方程
甲地到乙地總時間為小時，進而列出方程
由從乙地到甲地需53.4min，可以得到方程
這個問題的解必須同時滿足上述三個方程，因此我們把上述三個方程合在一起寫。用大括號連接，表示xyz三個未知數同時滿足三個方程，這就構成了方程組
把方程組中含有三個未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1，并且一共有3個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。
那么怎樣解三元一次方程組呢？我們就以第一個方程組為例，大家先自己試一試
有困難的同學可以思考，前面我們是如何解二元一次方程組的？
利用這樣的解題思路和方法，我們是否會求解三元一次方程組呢？那么三元一次方程組與二元一次方程組的不同之處是什么？顯然未知數多了一個，方程多了一個，更復雜了。解方程組就必須消元，那么怎么對三元一次方程組進行消元，消元后得到什么？我們來看看一些同學的做法
解法一：有的同學觀察方程組的3個方程，發現方程①③均含有3個未知數，
而方程②比較簡單只含有2個未知數，仿照前面學過的代入法，他將方程②變形得z=1+y，記為方程④，用只含y的代數式表示z，消去未知數z，
將④代入方程①中，得x+y+1+y=5
進而得到x+2y=4把它記為方程⑤
再將④代入方程③得，
2x+y=1+y+5,解的x=3記為方程⑥
方程⑤、⑥組成方程組
解這個方程組得
此時三元一次方程組解完了嗎？對了，還有消去的未知數z未解呢
把代入方程②得，
所以這個三元一次方程組的解為
解法二：有的同學換了一個角度思考，他說方程②比較簡單只含有2個未知數z，y，那么將方程①③中的未知數x消去，就可以得到關于z，y的二元一次方程組也可以解決問題。同學們自己試一試。
觀察方程③中x的系數為2，方程①中x的系數為1，將方程①乘以2得2x+2y+2z=10,
記為方程④，④減③得y+3z=5,記為方程⑤，此時方程②和⑤就組成了關于z，y的二元一次方程組
解這個方程組得
把代入方程①得
所以這個三元一次方程組的解為
解法三：方程①、②中y的系數互為相反數，由①+②消去未知數y得，x+2z=6，
同樣方程②③中y的系數也互為相反數由②+③消去未知數y得，x=3，
方程④、⑤組成關于x，z的二元一次方程組，解這個方程組得
將z=1.5代入②得，y=0.5
所以也可以求出這個三元一次方程組的解
從上面三元一次方程組的解法可以看出，解三元一次方程組的基本思路是通過“代入”或者“加減”進行消元，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組，進而再轉化為解一元一次方程，這與解二元一次方程組的思路是一樣的。
類比二元一次方程：類比方程組的形式和解法，按照“實際問題——建立模型“的模式展開，給出三元一次方程組的概念。
類比二元一次方程組的解法——代入消元法和加減消元法，學生嘗試用這兩種方法解三元一次方程組。
讓學生自主進行探究、討論，自己觀察、分析，然后通過類比得出三元一次方程組的解法思路。
通過一題多解，學生靈活運用代入法或加減法消元，有助于我們迅速求解方程組的解。
例題
解三元一次方程組
（1）解：將③代入①得，y+5z=20
將③代入②得，y+12z=41
方程④、⑤組成方程組，解之得，y=5，z=3
將z=3
代入③比較簡單，得x=14
此時就得到了這個三元一次方程組的解了x=14,y=5,z=3。我們可將三個未知數的值代入方程組檢驗一下，看看是否正確
解法二：②－①得，2x-z=25
方程③、④組成方程組x=4z+2,2x-z=25
解這個方程組的x=14，z=3
將x=14代入②得，y=5
此時也得到了這個三元一次方程組的解。
（2）解：將方程②×3得，記為方程④，由④+③消去未知數y得，記為方程⑤，方程①⑤組成關于x，z的二元一次方程組，解這個方程組得，得
把代入方程②得
所以
@@因此這個三元一次方程組的解為
練習安排學生自主板演，進行多種解法的展示過程。
總結
當三元一次方程組中某個方程缺少一個未知數時，由另兩個方程消去與前述方程中所缺未知數相同的未知數，從而組成二元一次方程組求解，較為簡單。
小結一下，本節課我們主要學習了三元一次方程組及其解法。相信同學們在“三元”化為“二元”的基本思想指導下，對通過代入法或加減法消元從而解方程組的基本思想有了進一步體會.
總結三元一次方程組的解法的基本思想
作業
1、解下列三元一次方程組
2、甲、乙、丙三個數的和是35，甲數的2倍比乙數大5，乙數的
等于丙數的
.求這三個數.
鞏固方法，積累提升《8.4-1三元一次方程組概念及解法》學習任務單
【學習目標】
本節課主要了解三元一次方程組的概念及解法。在引入三元一次方程組時，類比二元一次方程組（形式和解法），按照“實際問題—建立模型（三元一次方程組）—解釋、拓展與應用”的模式展開，進一步體會“模型”思想．通過典型例題的講解，學生嘗試用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組，進一步體會“消元”思想。
【課上任務】
項目
時間（小時）
自主學習
體育鍛煉
家務勞動
…
1．近期，我們初一1班進行了《云端相聚》的線上班會。會上，小晨同學分享了自己的一日居家學習生活的時間安排表，如右圖
。表格中自主學習、體育鍛煉和家務勞動的總時間為5小時，其中家務勞動比體育鍛煉多安排1小時，2倍的自主學習時間與體育鍛煉的時間的和恰好等于家務勞動時間加上三項的總時間，同學們根據這些信息你能知道表中各項時間的安排了嗎？
2．甲地到乙地全程是3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡.如果保持上坡每小時走3千米,平路每小時走4千米，下坡每小時走5千米，那么從甲地到乙地需51分鐘,從乙地到甲地需53.4分鐘，從甲地到乙地時,上坡、平路、下坡的路程各是多少？
3．
我們列出的這兩個方程組還是二元一次方程組嗎？
4．
怎樣解三元一次方程組呢？我們就以列出的第一個方程組為例，解三元一次方程組
5.
解三元一次方程組的基本思路是什么？
6.完成練習
解三元一次方程組
7.
小結一下，本節課我們主要學習了三元一次方程組及其解法
【學習疑問】
8．哪個環節沒弄清楚？
9．
有什么困惑？
10．
您想向同伴提出什么問題？
11．
您想向老師提出什么問題？
【課后作業】
1、解下列三元一次方程組
2、甲、乙、丙三個數的和是35，甲數的2倍比乙數大5，乙數的
等于丙數的
.求這三個數.
【課后作業參考答案】
1、
2、

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