資源簡介

高中數學知識總結歸納（打印版）
引言
1.課程內容：
必修課程由5個模塊組成：
必修1：集合、函數概念與基本初等函數（指、對、冪函數）
必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
必修3：算法初步、統計、概率。
必修4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、三角恒等變換。
必修5：解三角形、數列、不等式。
以上是每一個高中學生所必須學習的。
上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時，進一步強調了這些知識的發生、發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。
此外，基礎內容還增加了向量、算法、概率、統計等內容。
選修課程有4個系列：
系列1：由2個模塊組成。
選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。
選修1—2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖
系列2：由3個模塊組成。
選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、
空間向量與立體幾何。
選修2—2：導數及其應用，推理與證明、數系的擴充與復數
選修2—3：計數原理、隨機變量及其分布列，統計案例。
系列3：由6個專題組成。
選修3—1：數學史選講。
選修3—2：信息安全與密碼。
選修3—3：球面上的幾何。
選修3—4：對稱與群。
選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。
選修3—6：三等分角與數域擴充。
系列4：由10個專題組成。
選修4—1：幾何證明選講。
選修4—2：矩陣與變換。
選修4—3：數列與差分。
選修4—4：坐標系與參數方程。
選修4—5：不等式選講。
選修4—6：初等數論初步。
選修4—7：優選法與試驗設計初步。
選修4—8：統籌法與圖論初步。
選修4—9：風險與決策。
選修4—10：開關電路與布爾代數。
2．重難點及考點：
重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數
難點：函數、圓錐曲線
高考相關考點：
⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件
⑵函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與指數函數、對數與對數函數、函數的應用
　
⑶數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求和、數列的應用
⑷三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖象與性質、三角函數的應用
⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數量積及其應用
⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用
⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系
⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用
⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量
⑽排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用
⑾概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布
⑿導數：導數的概念、求導、導數的應用
⒀復數：復數的概念與運算
高中數學
必修1知識點
第一章
集合與函數概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含義與表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.
（2）常用數集及其記法
表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.
（3）集合與元素間的關系
對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.
②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.
③描述法：{|具有的性質}，其中為集合的代表元素.
④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.
（5）集合的分類
①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
【1.1.2】集合間的基本關系
（6）子集、真子集、集合相等
名稱
記號
意義
性質
示意圖
子集
（或
A中的任一元素都屬于B
(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則
或
真子集
AB（或BA）
，且B中至少有一元素不屬于A
（1）（A為非空子集）(2)若且，則
集合相等
A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A
(1)AB(2)BA
（7）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.
【1.1.3】集合的基本運算
（8）交集、并集、補集
名稱
記號
意義
性質
示意圖
交集
且
（1）（2）（3）
并集
或
（1）（2）（3）
補集
1
2
【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法
（1）含絕對值的不等式的解法
不等式
解集
或
把看成一個整體，化成，型不等式來求解
（2）一元二次不等式的解法
判別式
二次函數的圖象
一元二次方程的根
（其中
無實根
的解集
或
的解集
〖1.2〗函數及其表示
【1.2.1】函數的概念
（1）函數的概念
①設、是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的一個函數，記作．
②函數的三要素:定義域、值域和對應法則．
③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．
（2）區間的概念及表示法
①設是兩個實數，且，滿足的實數的集合叫做閉區間，記做；滿足的實數的集合叫做開區間，記做；滿足，或的實數的集合叫做半開半閉區間，分別記做，；滿足的實數的集合分別記做．
注意：對于集合與區間，前者可以大于或等于，而后者必須
，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）．
（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：
①是整式時，定義域是全體實數．
②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數．
③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．
④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1．
⑤中，．
⑥零（負）指數冪的底數不能為零．
⑦若是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集．
⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函數的定義域應由不等式解出．
⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論．
⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義．
（4）求函數的值域或最值
求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函數值域與最值的常用方法：
①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．
②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值．
③判別式法：若函數可以化成一個系數含有的關于的二次方程，則在時，由于為實數，故必須有，從而確定函數的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值．
⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題．
⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值．
⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值．
⑧函數的單調性法．
【1.2.2】函數的表示法
（5）函數的表示方法
表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．
解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．
（6）映射的概念
①設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的映射，記作．
②給定一個集合到集合的映射，且．如果元素和元素對應，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
〖1.3〗函數的基本性質
【1.3.1】單調性與最大（小）值
（1）函數的單調性
①定義及判定方法
函數的性
質
定義
圖象
判定方法
函數的單調性
如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1<
x2時，都有f(x1)（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區間圖
象上升為增）（4）利用復合函數
如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<
x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數．
（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區間圖象下降為減）（4）利用復合函數
②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數．
③對于復合函數，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．
（2）打“√”函數的圖象與性質
分別在、上為增函數，分別在、上為減函數．
（3）最大（小）值定義
①一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；
（2）存在，使得．那么，我們稱是函數的最大值，記作．
②一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數的最小值，記作．
【1.3.2】奇偶性
（4）函數的奇偶性
①定義及判定方法
函數的性
質
定義
圖象
判定方法
函數的奇偶性
如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(－x)=－f(x),那么函數f(x)叫做奇函數．
（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）
如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(－x)=f(x),那么函數f(x)叫做偶函數．
（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）
②若函數為奇函數，且在處有定義，則．
③奇函數在軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在軸兩側相對稱的區間增減性相反．
④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．
〖補充知識〗函數的圖象
（1）作圖
利用描點法作圖：
①確定函數的定義域；
②化解函數解析式；
③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；
④畫出函數的圖象．
利用基本函數圖象的變換作圖：
要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象．
①平移變換
②伸縮變換
③對稱變換
（2）識圖
對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系．
（3）用圖
函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數形結合解題的思想方法．
第二章
基本初等函數(Ⅰ)
〖2.1〗指數函數
【2.1.1】指數與指數冪的運算
（1）根式的概念
①如果，且，那么叫做的次方根．當是奇數時，的次方根用符號表示；當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數沒有次方根．
②式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數．當為奇數時，為任意實數；當為偶數時，．
③根式的性質：；當為奇數時，；當為偶數時，
．
（2）分數指數冪的概念
①正數的正分數指數冪的意義是：且．0的正分數指數冪等于0．
②正數的負分數指數冪的意義是：且．0的負分數指數冪沒有意義．
注意口訣：底數取倒數，指數取相反數．
（3）分數指數冪的運算性質
①
②
③
【2.1.2】指數函數及其性質
（4）指數函數
函數名稱
指數函數
定義
函數且叫做指數函數
圖象
定義域
值域
過定點
圖象過定點，即當時，．
奇偶性
非奇非偶
單調性
在上是增函數
在上是減函數
函數值的變化情況
變化對
圖象的影響
在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低．
〖2.2〗對數函數
【2.2.1】對數與對數運算
對數的定義
①若，則叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數．
②負數和零沒有對數．
③對數式與指數式的互化：．
（2）幾個重要的對數恒等式
，，．
（3）常用對數與自然對數
常用對數：，即；自然對數：，即（其中…）．
（4）對數的運算性質
如果，那么
①加法：
②減法：
③數乘：
④
⑤
⑥換底公式：
【2.2.2】對數函數及其性質
（5）對數函數
函數名稱
對數函數
定義
函數且叫做對數函數
圖象
定義域
值域
過定點
圖象過定點，即當時，．
奇偶性
非奇非偶
單調性
在上是增函數
在上是減函數
函數值的變化情況
變化對
圖象的影響
在第一象限內，越大圖象越靠低；在第四象限內，越大圖象越靠高．
(6)反函數的概念
設函數的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子．如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數，函數叫做函數的反函數，記作，習慣上改寫成．
（7）反函數的求法
①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式中反解出；
③將改寫成，并注明反函數的定義域．
（8）反函數的性質
①原函數與反函數的圖象關于直線對稱．
②函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域．
③若在原函數的圖象上，則在反函數的圖象上．
④一般地，函數要有反函數則它必須為單調函數．
〖2.3〗冪函數
（1）冪函數的定義
一般地，函數叫做冪函數，其中為自變量，是常數．
（2）冪函數的圖象
（3）冪函數的性質
①圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限．
②過定點：所有的冪函數在都有定義，并且圖象都通過點．
③單調性：如果，則冪函數的圖象過原點，并且在上為增函數．如果，則冪函數的圖象在上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸．
④奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數．當（其中互質，和），若為奇數為奇數時，則是奇函數，若為奇數為偶數時，則是偶函數，若為偶數為奇數時，則是非奇非偶函數．
⑤圖象特征：冪函數，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．
〖補充知識〗二次函數
（1）二次函數解析式的三種形式
①一般式：②頂點式：③兩根式：（2）求二次函數解析式的方法
①已知三個點坐標時，宜用一般式．
②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式．
③若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便．
（3）二次函數圖象的性質
①二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是．
②當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，．
③二次函數當時，圖象與軸有兩個交點．
（4）一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布．
設一元二次方程的兩實根為，且．令，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：
②對稱軸位置：
③判別式：
④端點函數值符號．
①k＜x1≤x2
②x1≤x2＜k
③x1＜k＜x2
af(k)＜0
④k1＜x1≤x2＜k2
⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2
f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
此結論可直接由⑤推出．
（5）二次函數在閉區間上的最值
設在區間上的最大值為，最小值為，令．
（Ⅰ）當時（開口向上）
①若，則
②若，則
③若，則
①若，則
②，則
(Ⅱ)當時(開口向下)
①若，則
②若，則
③若，則
①若，則
②，則．
第三章
函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。
2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：
方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．
3、函數零點的求法：
求函數的零點：
（代數法）求方程的實數根；
（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．
4、二次函數的零點：
二次函數．
１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．
２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．
３）△＜０，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點．
高中數學
必修2知識點
第一章
空間幾何體
1.1柱、錐、臺、球的結構特征
（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱
幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
（2）棱錐
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點字母，如五棱錐
幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。
（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點字母，如五棱臺
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形
②側面是梯形
③側棱交于原棱錐的頂點
（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。
（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。
（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖
1
三視圖：
正視圖：從前往后
側視圖：從左往右
俯視圖：從上往下
2
畫三視圖的原則：
長對齊、高對齊、寬相等
3直觀圖：斜二測畫法
4斜二測畫法的步驟：
（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；
（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；
（3）.畫法要寫好。
5
用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖
1.3
空間幾何體的表面積與體積
（一
）空間幾何體的表面積
1棱柱、棱錐的表面積：
各個面面積之和
2
圓柱的表面積
3
圓錐的表面積
4
圓臺的表面積
5
球的表面積
（二）空間幾何體的體積
1柱體的體積
2錐體的體積
3臺體的體積
4球體的體積
第二章
直線與平面的位置關系
2.1空間點、直線、平面之間的位置關系
2.1.1
1
平面含義：平面是無限延展的
2
平面的畫法及表示
（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）
（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。
3
三個公理：
（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內
符號表示為
A∈L
B∈L
=>
L
α
A∈α
B∈α
公理1作用：判斷直線是否在平面內
（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。
符號表示為：A、B、C三點不共線
=>
有且只有一個平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：確定一個平面的依據。
（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
符號表示為：P∈α∩β
=>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據
2.1.2
空間中直線與直線之間的位置關系
1
空間的兩條直線有如下三種關系：
相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；
平行直線：同一平面內，沒有公共點；
異面直線：
不同在任何一個平面內，沒有公共點。
2
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
符號表示為：設a、b、c是三條直線
a∥b
c∥b
強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。
公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。
3
等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
4
注意點：
①
a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；
②
兩條異面直線所成的角θ∈(0，
)；
③
當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；
④
兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；
⑤
計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。
2.1.3
—
2.1.4
空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系
1、直線與平面有三種位置關系：
（1）直線在平面內
——
有無數個公共點
（2）直線與平面相交
——
有且只有一個公共點
（3）直線在平面平行
——
沒有公共點
指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用a
α來表示
a
α
a∩α=A
a∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質
2.2.1
直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
簡記為：線線平行，則線面平行。
符號表示：
a
α
b
β
=>
a∥α
a∥b
2.2.2
平面與平面平行的判定
1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。
符號表示：
a
β
b
β
a∩b
=
P
β∥α
a∥α
b∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種：
（1）用定義；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。
2.2.3
—
2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質
1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
簡記為：線面平行則線線平行。
符號表示：
a∥α
a
β
a∥b
α∩β=
b
作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。
2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
符號表示：
α∥β
α∩γ=
a
a∥b
β∩γ=
b
作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
2.3直線、平面垂直的判定及其性質
2.3.1直線與平面垂直的判定
1、定義
如果直線L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
注意點：
a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；
b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。
2.3.2平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形
A
梭
l
β
B
　　
α
2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。
2.3.3
—
2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質
1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。
2性質定理：
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。
本章知識結構框圖
第三章
直線與方程
3.1直線的傾斜角和斜率
3.1傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時,
取x軸作為基準,
x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時,
規定α=
0°.
2、
傾斜角α的取值范圍：
0°≤α＜180°.
當直線l與x軸垂直時,
α=
90°.
3、直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是
k
=
tanα
⑴當直線l與x軸平行或重合時,
α=0°,
k
=
tan0°=0;
⑵當直線l與x軸垂直時,
α=
90°,
k
不存在.
由此可知,
一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、
直線的斜率公式:
給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：
斜率公式:
k=y2-y1/x2-x1
3.1.2兩條直線的平行與垂直
1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即
注意:
上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即如果k1=k2,
那么一定有L1∥L2
2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即
3.2.1
直線的點斜式方程
1、
直線的點斜式方程：直線經過點，且斜率為
2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為
3.2.2
直線的兩點式方程
1、直線的兩點式方程：已知兩點其中
y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中
3.2.3
直線的一般式方程
1、直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）
2、各種直線方程之間的互化。
3.3直線的交點坐標與距離公式
3.3.1兩直線的交點坐標
1、給出例題：兩直線交點坐標
L1
：3x+4y-2=0
L1：2x+y
+2=0
解：解方程組
得
x=-2，y=2
所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2）
兩點間距離
兩點間的距離公式
點到直線的距離公式
1．點到直線距離公式：
點到直線的距離為：
2、兩平行線間的距離公式：
已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，
，則與的距離為
圓與方程
4.1.1
圓的標準方程
1、圓的標準方程：
圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程
2、點與圓的關系的判斷方法：
（1）>，點在圓外
（2）=，點在圓上
（3）<，點在圓內
4.1.2
圓的一般方程
1、圓的一般方程：
2、圓的一般方程的特點：
(1)①x2和y2的系數相同，不等于0．　②沒有xy這樣的二次項．
(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了．
(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。
4.2.1
圓與圓的位置關系
1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．
設直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則判別直線與圓的位置關系的依據有以下幾點：
（1）當時，直線與圓相離；（2）當時，直線與圓相切；
（3）當時，直線與圓相交；
4.2.2
圓與圓的位置關系
兩圓的位置關系．
設兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下幾點：
（1）當時，圓與圓相離；（2）當時，圓與圓外切；
（3）當時，圓與圓相交；
（4）當時，圓與圓內切；（5）當時，圓與圓內含；
4.2.3
直線與圓的方程的應用
1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；
2、過程與方法
用坐標法解決幾何問題的步驟：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論．
4.3.1空間直角坐標系
1、點M對應著唯一確定的有序實數組，、、分別是P、Q、R在、、軸上的坐標
2、有序實數組，對應著空間直角坐標系中的一點
3、空間中任意點M的坐標都可以用有序實數組來表示，該數組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M，叫做點M的橫坐標，叫做點M的縱坐標，叫做點M的豎坐標。
4.3.2空間兩點間的距離公式
1、空間中任意一點到點之間的距離公式
高中數學
必修3知識點
第一章
算法初步
算法的概念
1、算法概念：
在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.
2.
算法的特點:
(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.
(2)確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.
(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.
(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經過有限、事先設計好的步驟加以解決.
程序框圖
1、程序框圖基本概念：
（一）程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。
一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。
（二）構成程序框的圖形符號及其作用
程序框
名稱
功能
起止框
表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。
輸入、輸出框
表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。
處理框
賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數據的處理框內。
判斷框
判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。
學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程序框圖的規則如下：
1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。
（三）、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。
1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。
順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而
下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B
框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接著執
行B框所指定的操作。
2、條件結構：
條件結構是指在算法中通過對條件的判斷
根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。
條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執行A框或B框之一，不可能同時執行A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。一個判斷結構可以有多個判斷框。
3、循環結構：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況，這就是循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含條件結構。循環結構又稱重復結構，循環結構可細分為兩類：
（1）、一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執行A框，A框執行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執行A框，如此反復執行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。
（2）、另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。
當型循環結構
直到型循環結構
注意：1循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷。因此，循環結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環”。2在循環結構中都有一個計數變量和累加變量。計數變量用于記錄循環次數，累加變量用于輸出結果。計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次。
輸入、輸出語句和賦值語句
1、輸入語句
（1）輸入語句的一般格式
（2）輸入語句的作用是實現算法的輸入信息功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函數、變量或表達式；（5）提示內容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。
2、輸出語句
（1）輸出語句的一般格式
（2）輸出語句的作用是實現算法的輸出結果功能；（3）“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數據；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。
3、賦值語句
（1）賦值語句的一般格式
（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。
注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數學中的等號意義不同。
1．2．2條件語句
1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE語句；（2）IF—THEN語句。2、IF—THEN—ELSE語句
IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。
圖1
圖2
分析：在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執行的操作內容；“語句2”表示不滿足條件時執行的操作內容；END
IF表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執行ELSE后面的語句2。
3、IF—THEN語句
IF—THEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。
注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執行的操作內容，條件不滿足時，結束程序；END
IF表示條件語句的結束。計算機在執行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執行其它語句。
1．2．3循環語句
循環結構是由循環語句來實現的。對應于程序框圖中的兩種循環結構，一般程序設計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結構。即WHILE語句和UNTIL語句。
1、WHILE語句
（1）WHILE語句的一般格式是
對應的程序框圖是
（2）當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行WHILE與WEND之間的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執行循環體，直接跳到WEND語句后，接著執行WEND之后的語句。因此，當型循環有時也稱為“前測試型”循環。
2、UNTIL語句
（1）UNTIL語句的一般格式是
對應的程序框圖是
（2）直到型循環又稱為“后測試型”循環，從UNTIL型循環結構分析，計算機執行該語句時，先執行一次循環體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行循環體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執行循環體，跳到LOOP
UNTIL語句后執行其他語句，是先執行循環體后進行條件判斷的循環語句。
分析：當型循環與直到型循環的區別：（先由學生討論再歸納）
當型循環先判斷后執行，直到型循環先執行后判斷；
在WHILE語句中，是當條件滿足時執行循環體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執行循環
例題：
（見課本）
顏老師友情提醒：
1.
一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。
2.
在具體做題時，可能好多的同學感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。
3.
書寫程序時一定要規范化，使用統一的符號，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學會看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時還會碰到我們沒有見過的語言，希望大家能以課本為依據，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！
1.3.1輾轉相除法與更相減損術
1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：
（1）：用較大的數m除以較小的數n得到一個商和一個余數；（2）：若＝0，則n為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數n除以余數得到一個商和一個余數；（3）：若＝0，則為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數除以余數得到一個商和一個余數；……
依次計算直至＝0，此時所得到的即為所求的最大公約數。
2、更相減損術
我國早期也有求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。
翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執行第二步。（2）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。
例2
用更相減損術求98與63的最大公約數.
分析：（略）
3、輾轉相除法與更相減損術的區別：
（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。
（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到
1.3.2秦九韶算法與排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(
anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0
=((
anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...(
anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1
然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即
v2=v1x+an-2
v3=v2x+an-3
......
vn=vn-1x+a0
這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。
2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數放入數組的第１個元素中，以后讀入的數與已存入數組的數進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比較相鄰的兩個數,把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數和第2個數,大數放前,小數放后.然后比較第2個數和第3個數......直到比較最后兩個數.第一趟結束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數開始,到最后第2個數......
由于在排序過程中總是大數往前,小數往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.
1.3.3進位制
1、概念：進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用數字符號的個數稱為基數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。現在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。
一般地，若k是一個大于一的整數，那么以k為基數的k進制可以表示為：
，
而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數,34(5)表示5進制數
第二章
統計
2.1.1簡單隨機抽樣
1．總體和樣本
在統計學中
,
把研究對象的全體叫做總體．
把每個研究對象叫做個體．
把總體中個體的總數叫做總體容量．
為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：，
，
，
研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數稱為樣本容量．
2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨
機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。
3．簡單隨機抽樣常用的方法：
（1）抽簽法；⑵隨機數表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統計軟件直接抽取。
在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。
4．抽簽法:
（1）給調查對象群體中的每一個對象編號；
（2）準備抽簽的工具，實施抽簽
（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查
例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。
5．隨機數表法：
例：利用隨機數表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。
2.1.2系統抽樣
1．系統抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：
把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。
K（抽樣距離）=N（總體規模）/n（樣本規模）
前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規則分布。可以在調查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環性規律，且這種循環和抽樣距離重合。
2．系統抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統抽樣可以大大提高估計精度。
2.1.3分層抽樣
1．分層抽樣（類型抽樣）：
先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。
兩種方法：
1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。
2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統抽樣的方法抽取樣本。
2．分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。
分層標準：
（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。
（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。
（3）以那些有明顯分層區分的變量作為分層變量。
3．分層的比例問題：
（1）按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。
（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。
2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征
1、本均值：
2、．樣本標準差：
3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。
雖然我們用樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。
4．（1）如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變
（2）如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變為原來的k倍
（3）一組數據中的最大值和最小值對標準差的影響，區間的應用；
“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理
2.3.2兩個變量的線性相關
1、概念:
（1）回歸直線方程（2）回歸系數
2．最小二乘法
3．直線回歸方程的應用
（1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系
（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即因變量Y）進行估計，即可得到個體Y值的容許區間。
（3）利用回歸方程進行統計控制規定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現統計控制的目標。如已經得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。
4．應用直線回歸的注意事項
（1）做回歸分析要有實際意義；
（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；
（3）回歸直線不要外延。
第三章
概
率
3.1.1
—3.1.2隨機事件的概率及概率的意義
1、基本概念：
（1）必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的必然事件；
（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；
（3）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件；
（4）隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；
（5）頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例fn(A)=為事件A出現的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。
（6）頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數nA與試驗總次數n的比值，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率
3.1.3
概率的基本性質
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；
（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；
（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=
P(A)+
P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=
P(A)+
P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性質：
1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；
2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=
P(A)+
P(B)；
3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=
P(A)+
P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發生且事件B不發生；（2）事件A不發生且事件B發生；（3）事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A
與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形；（1）事件A發生B不發生；（2）事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1
—3.2.2古典概型及隨機數的產生
1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。
（2）古典概型的解題步驟；
①求出總的基本事件數；
②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P（A）=
3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機數的產生
1、基本概念：
（1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；
（2）幾何概型的概率公式：
P（A）=；
幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．
高中數學
必修4知識點
第一章
三角函數
2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在坐標軸上的角的集合為
3、與角終邊相同的角的集合為
4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．
5、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數的絕對值是．
6、弧度制與角度制的換算公式：，，．
7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．
8、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，則，，．
9、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，
第三象限正切為正，第四象限余弦為正．
10、三角函數線：，，．
11、角三角函數的基本關系：；．.（3）
倒數關系：
12、函數的誘導公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口訣：函數名稱不變，符號看象限．
，．，．
口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．
13、①的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．
②數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數
的圖象；再將函數的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．
14、函數的性質：
①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：．
函數，當時，取得最小值為
；當時，取得最大值為，則，，．
15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：
y=cotx
圖象
定義域
值域
最值
當時，；當
時，．
當時，
；當時，．
既無最大值也無最小值
既無最大值也無最小值
周期性
奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
奇函數
單調性
在上是增函數；在上是減函數．
在上是增函數；在上是減函數．
在上是增函數．
對稱性
對稱中心對稱軸
對稱中心對稱軸
對稱中心無對稱軸
對稱中心無對稱軸
第二章
平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
數量：只有大小，沒有方向的量．
有向線段的三要素：起點、方向、長度．
零向量：長度為的向量．
單位向量：長度等于個單位的向量．
平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．
相等向量：長度相等且方向相同的向量．
17、向量加法運算：
⑴三角形法則的特點：首尾相連．
⑵平行四邊形法則的特點：共起點．
⑶三角形不等式：．
⑷運算性質：①交換律：；
②結合律：；③．
⑸坐標運算：設，，則．
18、向量減法運算：
⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．
⑵坐標運算：設，，則．
設、兩點的坐標分別為，，則．
19、向量數乘運算：
⑴實數與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作．
①；
②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，．
⑵運算律：①；②；③．
⑶坐標運算：設，則．
20、向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數，使．
設，，其中，則當且僅當時，向量、共線．
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使．（不共線的向量、作為這一平面內所有向量的一組基底）
22、分點坐標公式：設點是線段上的一點，、的坐標分別是，，當時，點的坐標是．（當
23、平面向量的數量積：
⑴．零向量與任一向量的數量積為．
⑵性質：設和都是非零向量，則①．②當與同向時，；當與反向時，；或．③．
⑶運算律：①；②；③．
⑷坐標運算：設兩個非零向量，，則．
若，則，或．
設，，則．
設、都是非零向量，，，是與的夾角，則．
知識鏈接：空間向量
空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進行總結歸納.
1、直線的方向向量和平面的法向量
⑴．直線的方向向量：
　　若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.
⑵．平面的法向量：
　　若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系數法）：
①建立適當的坐標系．
②設平面的法向量為．
③求出平面內兩個不共線向量的坐標．
④根據法向量定義建立方程組.
⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.
（如圖）
用向量方法判定空間中的平行關系
⑴線線平行
設直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.
　即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。
⑵線面平行
①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.
即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外
②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.
⑶面面平行
若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.
即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。
3、用向量方法判定空間的垂直關系
⑴線線垂直
設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.
即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。
⑵線面垂直
①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.
②（法二）設直線的方向向量是，平面內的兩個相交向量分別為，若
即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.
即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。
4、利用向量求空間角
⑴求異面直線所成的角
已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，
　　則
⑵求直線和平面所成的角
①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角
②求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角
的余角.即有：
⑶求二面角
①定義：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.
如圖：
②求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角
根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：
◆如果是銳角，則，
即；
如果是鈍角，則，
即.
5、利用法向量求空間距離
⑴點Q到直線距離
若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為
⑵點A到平面的距離
若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，
平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.
即
⑶直線與平面之間的距離
當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。
即
⑷兩平行平面之間的距離
利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。
即
⑸異面直線間的距離
設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。
即
6、三垂線定理及其逆定理
⑴三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直
推理模式：
概括為：垂直于射影就垂直于斜線.
⑵三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直
推理模式：
概括為：垂直于斜線就垂直于射影.
7、三余弦定理
設AC是平面內的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設AB與
(AD)所成的角為，
AD與AC所成的角為，
AB與AC所成的角為．則.
8、
面積射影定理
已知平面內一個多邊形的面積為，它在平面內的射影圖形的面積為，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則
9、一個結論
長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有
.
（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.
第三章
三角恒等變換
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸
（）；
⑹
（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵
升冪公式
降冪公式，．
26、
．
27、
（后兩個不用判斷符號，更加好用）
28、合一變形把兩個三角函數的和或差化為“一個三角函數，一個角，一次方”的
形式。，其中．
29、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創設條件，靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能．常用的數學思想方法技巧如下：
（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現較多的相異角，可根據角與角之間的和差，倍半，互補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
②；問：
；
；
③；④；
⑤；等等
（2）函數名稱變換：三角變形中，常常需要變函數名稱為同名函數。如在三角函數中正余弦是基礎，通常化切為弦，變異名為同名。
（3）常數代換：在三角函數運算，求值，證明中，有時需要將常數轉化為三角函數值，例如常數“1”的代換變形有：
（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數較高的三角函數式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有：
；
。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式常用升冪化為有理式，常用升冪公式有：
；
；
（5）公式變形：三角公式是變換的依據，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用。
如：；
；
；；
；；
；
；
；
=
；
=
；（其中
；）
；
；
（6）三角函數式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；
基本規則是：見切化弦，異角化同角，復角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特殊角的三角函數互化。
如：
；
。
高中數學
必修5知識點
第一章
解三角形
（一）解三角形：
1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有
(為的外接圓的半徑)
2、正弦定理的變形公式：①，，；
②，，；③；
3、三角形面積公式：．
4、余弦定理：在中，有，推論：
第二章
數列
1、數列中與之間的關系：
注意通項能否合并。
2、等差數列：
⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d
，（n≥2，n∈N），
那么這個數列就叫做等差數列。
⑵等差中項：若三數成等差數列
⑶通項公式：
或
⑷前項和公式：
⑸常用性質：
①若，則；
②下標為等差數列的項，仍組成等差數列；
③數列（為常數）仍為等差數列；
④若、是等差數列，則、
(、是非零常數)、、，…也成等差數列。
⑤單調性：的公差為，則：
ⅰ）為遞增數列；
ⅱ）為遞減數列；
ⅲ）為常數列；
⑥數列{}為等差數列（p,q是常數）
⑦若等差數列的前項和，則、、…
是等差數列。
3、等比數列
⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列。
⑵等比中項：若三數成等比數列（同號）。反之不一定成立。
⑶通項公式：
⑷前項和公式：
⑸常用性質
①若，則；
②為等比數列，公比為(下標成等差數列,則對應的項成等比數列)
③數列（為不等于零的常數）仍是公比為的等比數列；正項等比數列；則是公差為的等差數列；
④若是等比數列，則
是等比數列，公比依次是
⑤單調性：
為遞增數列；為遞減數列；
為常數列；
為擺動數列；
⑥既是等差數列又是等比數列的數列是常數列。
⑦若等比數列的前項和，則、、…
是等比數列.
4、非等差、等比數列通項公式的求法
類型Ⅰ
觀察法：已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據規律寫出此數列的一個通項。
類型Ⅱ
公式法：若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式
構造兩式作差求解。
用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）。
類型Ⅲ
累加法：
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;
②
若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;
③若是關于的二次函數，累加后可分組求和;
④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和.
類型Ⅳ
累乘法：
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。
類型Ⅴ
構造數列法：
㈠形如（其中均為常數且）型的遞推式：
（1）若時，數列{}為等差數列;
（2）若時，數列{}為等比數列;
（3）若且時，數列{}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求.方法有如下兩種：
法一：設,展開移項整理得,與題設比較系數（待定系數法）得,即構成以為首項，以為公比的等比數列.再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數列.求出的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的遞推式：
⑴當為一次函數類型（即等差數列）時：
法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當的公差為時，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型Ⅴ㈠求出
，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵當為指數函數類型（即等比數列）時：
法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當的公比為時，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q,
r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決。
⑶當為任意數列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得.
類型Ⅵ
對數變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）。
類型Ⅶ
倒數變換法：
形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求.
類型Ⅷ
形如型的遞推式：
用待定系數法，化為特殊數列的形式求解。方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型。
總之，求數列通項公式可根據數列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，可用歸納、猜想、證明方法求出數列通項公式
5、非等差、等比數列前項和公式的求法
⑴錯位相減法
①若數列為等差數列，數列為等比數列，則數列的求和就要采用此法.
②將數列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數列的前項和.
此法是在推導等比數列的前項和公式時所用的方法.
⑵裂項相消法
一般地，當數列的通項
時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.
可用待定系數法進行裂項：
設，通分整理后與原式相比較，根據對應項系數相等得，從而可得
常見的拆項公式有：
①
②
③
④
⑤
⑶分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組.
⑷倒序相加法
如果一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：
⑸記住常見數列的前項和：
①
②
③
第三章
不等式
§3.1、不等關系與不等式
1、不等式的基本性質
①（對稱性）
②（傳遞性）
③（可加性）
（同向可加性）
（異向可減性）
④（可積性）
⑤（同向正數可乘性）
（異向正數可除性）
⑥（平方法則）
⑦（開方法則）
⑧（倒數法則）
2、幾個重要不等式
①,（當且僅當時取號）.
變形公式：
②（基本不等式）
,（當且僅當時取到等號）.
變形公式：
用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.
③（三個正數的算術—幾何平均不等式）（當且僅當時取到等號）.
④
（當且僅當時取到等號）.
⑤
（當且僅當時取到等號）.
⑥（當僅當a=b時取等號）
（當僅當a=b時取等號）
⑦
其中
規律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.
⑧
⑨絕對值三角不等式
3、幾個著名不等式
①平均不等式：
,（當且僅當時取號）.
（即調和平均幾何平均算術平均平方平均）.
變形公式：
②冪平均不等式：
③二維形式的三角不等式：
④二維形式的柯西不等式：
當且僅當時，等號成立.
⑤三維形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：
⑦向量形式的柯西不等式：
設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數，使時，等號成立.
⑧排序不等式（排序原理）：設為兩組實數.是的任一排列，則（反序和亂序和順序和）
當且僅當或時，反序和等于順序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函數、凹函數）
若定義在某區間上的函數,對于定義域中任意兩點有
則稱f(x)為凸（或凹）函數.
4、不等式證明的幾種常用方法
常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；
其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等.
常見不等式的放縮方法：
①舍去或加上一些項，如
②將分子或分母放大（縮小），如
等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
解集的步驟：
一化：化二次項前的系數為正數.
二判：判斷對應方程的根.
三求：求對應方程的根.
四畫：畫出對應函數的圖象.
五解集：根據圖象寫出不等式的解集.
規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
（時同理）
規律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.
8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
規律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.
9、指數不等式的解法：
⑴當時,
⑵當時,
規律：根據指數函數的性質轉化.
10、對數不等式的解法
⑴當時,
⑵當時,
規律：根據對數函數的性質轉化.
11、含絕對值不等式的解法：
⑴定義法：
⑵平方法：
⑶同解變形法，其同解定理有：
①
②
③
④
規律：關鍵是去掉絕對值的符號.
12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：
規律：找零點、劃區間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含參數的不等式的解法
解形如且含參數的不等式時，要對參數進行分類討論，分類討論的標準有：
⑴討論與0的大小；
⑵討論與0的大小；
⑶討論兩根的大小.
14、恒成立問題
⑴不等式的解集是全體實數（或恒成立）的條件是：
①當時
②當時
⑵不等式的解集是全體實數（或恒成立）的條件是：
①當時
②當時
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15、線性規劃問題
⑴二元一次不等式所表示的平面區域的判斷：
法一：取點定域法：
由于直線的同一側的所有點的坐標代入后所得的實數的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點（如原點），由的正負即可判斷出或表示直線哪一側的平面區域.
即：直線定邊界，分清虛實；選點定區域，常選原點.
法二：根據或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號，或表示直線上方的區域；若異號，則表示直線上方的區域.即：同號上方，異號下方.
⑵二元一次不等式組所表示的平面區域：
不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.
⑶利用線性規劃求目標函數為常數）的最值：
法一：角點法：
如果目標函數
（即為公共區域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數，得到一組對應值，最大的那個數為目標函數的最大值，最小的那個數為目標函數的最小值
法二：畫——移——定——求：
第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線
，平移直線（據可行域，將直線平行移動）確定最優解；第三步，求出最優解；第四步，將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值
.
第二步中最優解的確定方法：
利用的幾何意義：,為直線的縱截距.
①若則使目標函數所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；
②若則使目標函數所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.
⑷常見的目標函數的類型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距離”型：或
或
在求該“三型”的目標函數的最值時，可結合線性規劃與代數式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.
數學選修2－1
第一章：命題與邏輯結構
知識點：
1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.
真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.
2、“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結論.
3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題。若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”.
4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.
5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題。其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題。若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”。
6、四種命題的真假性：
原命題
逆命題
否命題
逆否命題
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
四種命題的真假性之間的關系：
兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
7、若，則是的充分條件，是的必要條件．
若，則是的充要條件（充分必要條件）．
8、用聯結詞“且”把命題和命題聯結起來，得到一個新命題，記作．
當、都是真命題時，是真命題；當、兩個命題中有一個命題是假命題時，是假命題．
用聯結詞“或”把命題和命題聯結起來，得到一個新命題，記作．
當、兩個命題中有一個命題是真命題時，是真命題；當、兩個命題都是假命題時，是假命題．
對一個命題全盤否定，得到一個新命題，記作．若是真命題，則必是假命題；若是假命題，則必是真命題．
9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．
含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．
全稱命題“對中任意一個，有成立”，記作“，”．
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．
特稱命題“存在中的一個，使成立”，記作“，”．
10、全稱命題：，，它的否定：，。全稱命題的否定是特稱命題。
特稱命題：，，它的否定：，。特稱命題的否定是全稱命題。
第二章：圓錐曲線
知識點：
1、求曲線的方程（點的軌跡方程）的步驟：建、設、限、代、化
①建立適當的直角坐標系；
②設動點及其他的點；
③找出滿足限制條件的等式；
④將點的坐標代入等式；
⑤化簡方程，并驗證（查漏除雜）。
2、平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓。這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距。
3、橢圓的幾何性質：
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標準方程
第一定義
到兩定點的距離之和等于常數2，即（）
第二定義
與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數，即
范圍
且
且
頂點
、、
、、
軸長
長軸的長
短軸的長
對稱性
關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率
準線方程
焦半徑
左焦半徑：右焦半徑：
下焦半徑：上焦半徑：
焦點三角形面積
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
（焦點）弦長公式
，
4、設是橢圓上任一點，點到對應準線的距離為，點到對應準線的距離為，則。
5、平面內與兩個定點，的距離之差的絕對值等于常數（小于）的點的軌跡稱為雙曲線。這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距。
6、雙曲線的幾何性質：
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標準方程
第一定義
到兩定點的距離之差的絕對值等于常數，即（）
第二定義
與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數，即
范圍
或，
或，
頂點
、
、
軸長
實軸的長
虛軸的長
對稱性
關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率
準線方程
漸近線方程
焦半徑
在右支在左支
在上支在下支
焦點三角形面積
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
7、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。
8、設是雙曲線上任一點，點到對應準線的距離為，點到對應準線的距離為，則。
9、平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點稱為拋物線的焦點，定直線稱為拋物線的準線．
10、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的“通徑”，即．
11、焦半徑公式：
若點在拋物線上，焦點為，則；、
若點在拋物線上，焦點為，則；
若點在拋物線上，焦點為，則；
若點在拋物線上，焦點為，則．
拋物線的幾何性質：
圖形
標準方程
定義
與一定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點不在定直線上)
頂點
離心率
對稱軸
軸
軸
范圍
焦點
準線方程
焦半徑
通徑
過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：
焦點弦長公式
參數的幾何意義
參數表示焦點到準線的距離，越大，開口越闊
關于拋物線焦點弦的幾個結論：
設為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則
⑴
⑵
⑶
以為直徑的圓與準線相切；
⑷
焦點對在準線上射影的張角為
⑸
第三章：
空間向量知識點：
1、空間向量的概念：
（1）在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．
（2）向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．
（3）向量的大小稱為向量的模（或長度），記作．
（4）模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量．
（5）與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作．
（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量．
2、空間向量的加法和減法：
（1）求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則．即：在空間以同一點為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．
（2）求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點，作，，則．
3、實數與空間向量的乘積是一個向量，稱為向量的數乘運算．當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，為零向量，記為．的長度是的長度的倍．
4、設，為實數，，是空間任意兩個向量，則數乘運算滿足分配律及結合律．
分配律：；結合律：．
5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規定零向量與任何向量都共線．
6、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量，，的充要條件是存在實數，使．
7、平行于同一個平面的向量稱為共面向量．
8、向量共面定理：空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，，使；或對空間任一定點，有；或若四點，，，共面，則．
9、已知兩個非零向量和，在空間任取一點，作，，則稱為向量，的夾角，記作．兩個向量夾角的取值范圍是：．
10、對于兩個非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．
11、已知兩個非零向量和，則稱為，的數量積，記作．即．零向量與任何向量的數量積為．
12、等于的長度與在的方向上的投影的乘積．
13若，為非零向量，為單位向量，則有
；；
，，；；．
14量數乘積的運算律：
；
；
．
15、空間向量基本定理：若三個向量，，不共面，則對空間任一向量，存在實數組，使得．
16、三個向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是．這個集合可看作是由向量，，生成的，稱為空間的一個基底，，，稱為基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．
17、設，，為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們為單位正交基底），以，，的公共起點為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系．則對于空間任意一個向量，一定可以把它平移，使它的起點與原點重合，得到向量．存在有序實數組，使得．把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標，記作．此時，向量的坐標是點在空間直角坐標系中的坐標．
18、設，，則
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）若、為非零向量，則．
（6）若，則．
（7）．
（8）．
（9），，則．
19、在空間中，取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置可以用向量來表示．向量稱為點的位置向量．
20、空間中任意一條直線的位置可以由上一個定點以及一個定方向確定．點是直線上一點，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點，有，這樣點和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點．
21、空間中平面的位置可以由內的兩條相交直線來確定．設這兩條相交直線相交于點，它們的方向向量分別為，．為平面上任意一點，存在有序實數對，使得，這樣點與向量，就確定了平面的位置．
22、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量．
23、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，
則，．
24、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，
則，．
25、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為，，則，．
26、設異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有．
27、設直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有．
28、設，是二面角的兩個面，的法向量，則向量，的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角為，則．
29、點與點之間的距離可以轉化為兩點對應向量的模計算．
30、在直線上找一點，過定點且垂直于直線的向量為，則定點到直線的距離為．
31、點是平面外一點，是平面內的一定點，為平面的一個法向量，則點到平面的距離為．
數學選修2-2
導數及其應用
一.導數概念的引入
導數的物理意義：
瞬時速率。一般的，函數在處的瞬時變化率是，
我們稱它為函數在處的導數，記作或，即=
導數的幾何意義：
曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即
導函數：當x變化時，便是x的一個函數，我們稱它為的導函數.
的導函數有時也記作,即
二.導數的計算
基本初等函數的導數公式:
1若(c為常數)，則；
2
若,則;
3
若,則
4
若,則;
5
若,則
6
若,則
7
若,則
8
若,則
導數的運算法則
1.
2.
3.
復合函數求導
和,稱則可以表示成為的函數,即為一個復合函數
三.導數在研究函數中的應用
1.函數的單調性與導數:
一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系：
在某個區間內
(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減.
2.函數的極值與導數
極值反映的是函數在某一點附近的大小情況.
求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值;
4.函數的最大(小)值與導數
求函數在上的最大值與最小值的步驟：
（1）求函數在內的極值；
將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.
推理與證明
考點一
合情推理與類比推理
根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理
根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理,叫做類比推理.
類比推理的一般步驟:
找出兩類事物的相似性或一致性;
用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出一個明確的命題(猜想);
一般的,事物之間的各個性質并不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個事物在某些性質上相同或相似,那么他們在另一寫性質上也可能相同或類似,類比的結論可能是真的.
一般情況下,如果類比的相似性越多,相似的性質與推測的性質之間越相關,那么類比得出的命題越可靠.
考點二
演繹推理(俗稱三段論)
由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.
考點三
數學歸納法
它是一個遞推的數學論證方法.
步驟:A.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的

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