資源簡介

一次函數
函數
1、確定函數定義域的方法：
（1）關系式為整式時，函數定義域為全體實數；
（2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；
（3）關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零；
（4）關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零；
（5）實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。
一次函數
1、一次函數的定義
一般地，形如（，是常數，且）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量。當時，一次函數，又叫做正比例函數。
⑴一次函數的解析式的形式是，要判斷一個函數是否是一次函數，就是判斷是否能化成以上形式．
⑵當，時，仍是一次函數．
⑶當，時，它不是一次函數．
⑷正比例函數是一次函數的特例，一次函數包括正比例函數．
2、正比例函數及性質
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
注：正比例函數一般形式
y=kx
(k不為零)
①
k不為零
②
x指數為1
③
b取零
當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．
解析式：y=kx（k是常數，k≠0）
必過點：（0，0）、（1，k）
走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，圖像經過二、四象限
增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小
傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
3、一次函數及性質
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.
注：一次函數一般形式
y=kx+b
(k不為零)
①
k不為零
②x指數為1
③
b取任意實數
一次函數y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（-，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數，k0)
（2）必過點：（0，b）和（-，0）
（3）走向：
k>0，圖象經過第一、三象限；k<0，圖象經過第二、四象限
b>0，圖象經過第一、二象限；b<0，圖象經過第三、四象限
直線經過第一、二、三象限
直線經過第一、三、四象限
直線經過第一、二、四象限
直線經過第二、三、四象限
（4）增減性：
k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.
（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.
（6）圖像的平移：
當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；
當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.
一次函數
，符號
圖象
性質
隨的增大而增大
隨的增大而減小
4、一次函數y=kx＋b的圖象的畫法.
根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0，b），.即橫坐標或縱坐標為0的點.
　
b>0
b<0
b=0
k>0
經過第一、二、三象限
經過第一、三、四象限
經過第一、三象限
圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大
k<0
經過第一、二、四象限
經過第二、三、四象限
經過第二、四象限
圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小
5、正比例函數與一次函數之間的關系
一次函數y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
6、正比例函數和一次函數及性質
正比例函數
一次函數
概
念
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數.當b=0時，是y=kx，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.
自變量范
圍
X為全體實數
圖
象
一條直線
必過點
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（-，0）
走
向
k>0時，直線經過一、三象限；k<0時，直線經過二、四象限
k＞0，b＞0,直線經過第一、二、三象限k＞0，b＜0直線經過第一、三、四象限k＜0，b＞0直線經過第一、二、四象限k＜0，b＜0直線經過第二、三、四象限
增減性
k>0，y隨x的增大而增大；（從左向右上升）k<0，y隨x的增大而減小。（從左向右下降）
傾斜度
|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
圖像的平
移
b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移個單位；b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移個單位.
6、直線（）與（）的位置關系
（1）兩直線平行且
（2）兩直線相交
（3）兩直線重合且
（4）兩直線垂直
7、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟：
　　（1）根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；
　　（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程；
　　（3）解方程得出未知系數的值；
　　（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式.
8、一元一次方程與一次函數的關系
任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值.
從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.
9、一次函數與一元一次不等式的關系
任何一個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大（小）于0時，求自變量的取值范圍.
10、一次函數與二元一次方程組
（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數y=的圖象相同.
二元一次方程組的解可以看作是兩個一次函數y=和y=的圖象交點.
二次函數
一、二次函數概念：
1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。
這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數．
2.
二次函數的結構特征：
⑴
等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2．
⑵
是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．
二、二次函數的基本形式
一般式：
頂點式：
零點式：
圖像
定義域
對稱軸
頂點坐標
值域
單調區間
遞減遞增
遞增遞減
當時，二次函數的圖像和軸有兩個交點，，
線段．
當時，二次函數的圖像和軸有兩個重合的交點．
特別地，當且僅當時，二次函數為偶函數．
1.
二次函數基本形式：的性質：
a
的絕對值越大，拋物線的開口越小。
的符號
開口方向
頂點坐標
對稱軸
性質
向上
軸
時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下
軸
時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
2.
的性質：
上加下減。
的符號
開口方向
頂點坐標
對稱軸
性質
向上
軸
時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下
軸
時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
3.
的性質：
左加右減。
的符號
開口方向
頂點坐標
對稱軸
性質
向上
X=h
時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下
X=h
時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
4.
的性
質：
的符號
開口方向
頂點坐標
對稱軸
性質
向上
X=h
時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下
X=h
時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
三、二次函數圖象的平移
1.
平移步驟：
方法一：⑴
將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；
⑵
保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2.
平移規律
在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．
概括成八個字“左加右減，上加下減”．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成
（或）
⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
四、二次函數與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函數圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
六、二次函數的性質
1.
當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2.
當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
七、二次函數解析式的表示方法
1.
一般式：（，，為常數，）；
2.
頂點式：（，，為常數，）；
3.
兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系
1.
二次項系數
二次函數中，作為二次項系數，顯然．
⑴
當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵
當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2.
一次項系數
在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴
在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵
在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”
3.
常數項
⑴
當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；
⑵
當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；
⑶
當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．
二次函數解析式的確定：
根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1.
已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；
2.
已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3.
已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；
4.
已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函數圖象的對稱
二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1.
關于軸對稱
關于軸對稱后，得到的解析式是；
關于軸對稱后，得到的解析式是；
2.
關于軸對稱
關于軸對稱后，得到的解析式是；
關于軸對稱后，得到的解析式是；
3.
關于原點對稱
關于原點對稱后，得到的解析式是；
關于原點對稱后，得到的解析式是；
4.
關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關于頂點對稱后，得到的解析式是；
關于頂點對稱后，得到的解析式是．
5.
關于點對稱
關于點對稱后，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．
十、二次函數與一元二次方程：
1.
二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
①
當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
②
當時，圖象與軸只有一個交點；
③
當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2.
拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；
3.
二次函數常用解題方法總結：
⑴
求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；
⑵
求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；
⑶
根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷
二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.
拋物線與軸有兩個交點
二次三項式的值可正、可零、可負
一元二次方程有兩個不相等實根
拋物線與軸只有一個交點
二次三項式的值為非負
一元二次方程有兩個相等的實數根
拋物線與軸無交點
二次三項式的值恒為正
一元二次方程無實數根.
二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系
從函數觀點來看，
一元二次不等式的解集就是二次函數的圖像上，位于軸上方的點的橫坐標的集合；
一元二次不等式的解集就是二次函數的圖像上，位于軸下方的點的橫坐標的集合；
一元二次不等式的解集就是二次函數的圖像上，位于軸上方的點和與軸的交點的橫坐標的集合；
一元二次不等式的解集就是二次函數的圖像上，位于軸下方的點和與軸的交點的橫坐標的集合．
一元二次方程的解就是二次函數的圖像上，與軸的交點的橫坐標．
反比例函數
1、反比例函數圖象：反比例函數的圖像屬于以原點
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?25440.htm"
\t
"_blank?)為對稱中心的中心對稱的雙曲線
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?286910.htm"
\t
"_blank?)
??
(?http:?/??/?baike.?/?image?/?d4239b351066995691ef3920"
\o
"查看圖片"
\t
"_blank?)
反比例函數圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?547315.htm"
\t
"_blank?)相交（K≠0）。
2、性質：
1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?579171.htm"
\t
"_blank?)內，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖象分別位于二、四象限
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?2122308.htm"
\t
"_blank?)，同一個象限內,y隨x的增大而增大。
　　2.k>0時，函數在x<0上同為減函數、在x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。
定義域
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?432831.htm"
\t
"_blank?)為x≠0；值域
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?543477.htm"
\t
"_blank?)為y≠0。
3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。
4.
在一個反比例函數圖象
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?567786.htm"
\t
"_blank?)上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?67614.htm"
\t
"_blank?)，與坐標軸圍成的矩形
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?150124.htm"
\t
"_blank?)面積為S1，S2則S1＝S2=|K|
5.
反比例函數的圖象既是軸對稱圖形
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?957825.htm"
\t
"_blank?)，又是中心對稱圖形
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?314203.htm"
\t
"_blank?)，它有兩條對稱軸
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?204893.htm"
\t
"_blank?)
y=x
y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?314200.htm"
\t
"_blank?)是坐標原點。
6.若設正比例函數
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?432820.htm"
\t
"_blank?)y=mx與反比例函數y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A
B兩點關于原點對稱
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?3157296.htm"
\t
"_blank?)。
7.設在平面
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?425685.htm"
\t
"_blank?)內有反比例函數y=k/x和一次函數
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?91620.htm"
\t
"_blank?)y=mx+n，要使它們有公共交點，則n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函數y=k/x的漸近線
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?152611.htm"
\t
"_blank?)：x軸與y軸。
9.反比例函數關于正比例函數y=x,y=-x軸對稱
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?811624.htm"
\t
"_blank?),并且關于原點中心對稱.
　　10.反比例上一點m向x、y分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k|
11.k值相等的反比例函數重合，k值不相等的反比例函數永不相交。
12.|k|越大，反比例函數的圖象離坐標軸的距離
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?21812.htm"
\t
"_blank?)越遠。
　　13.反比例函數圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點
指數函數
概念：一般地，函數y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R。
注意：⒈指數函數對外形要求嚴格，前系數要為1，否則不能為指數函數。
⒉指數函數的定義僅是形式定義。
指數函數的圖像與性質：
規律：1.
當兩個指數函數中的a互為倒數時，兩個函數關于y軸對稱
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?811624.htm"
\t
"_blank?)，但這兩個函數都不具有奇偶性
(?http:?/??/?baike.?/?view?/?580425.htm"
\t
"_blank?)。
2.當a＞1時，底數越大，圖像上升的越快，在y軸的右側，圖像越靠近y軸；
當0＜a＜1時，底數越小，圖像下降的越快，在y軸的左側，圖像越靠近y軸。
在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。
3.四字口訣：“大增小減”。即：當a＞1時，圖像在R上是增函數；當0＜a＜1時，圖像在R上是減函數。
4.
指數函數既不是奇函數也不是偶函數。
比較冪式大小的方法：
當底數相同時，則利用指數函數的單調性進行比較；
當底數中含有字母時要注意分類討論；
當底數不同，指數也不同時，則需要引入中間量進行比較；
對多個數進行比較，可用0或1作為中間量進行比較
底數的平移：
　　
在指數上加上一個數，圖像會向左平移；減去一個數，圖像會向右平移。
　　
在f(X)后加上一個數，圖像會向上平移；減去一個數，圖像會向下平移。
對數函數
1.對數函數的概念
由于指數函數y=ax在定義域(-∞，+∞)上是單調函數，所以它存在反函數，
我們把指數函數y=ax(a＞0，a≠1)的反函數稱為對數函數，并記為y=logax(a＞0，a≠1).
因為指數函數y=ax的定義域為(-∞，+∞)，值域為(0，+∞)，所以對數函數y=logax的定義域為(0，+∞)，值域為(-∞，+∞).
2.對數函數的圖像與性質
對數函數與指數函數互為反函數，因此它們的圖像對稱于直線y=x.
據此即可以畫出對數函數的圖像，并推知它的性質.
為了研究對數函數y=logax(a＞0，a≠1)的性質，我們在同一直角坐標系中作出函數
y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草圖
由草圖，再結合指數函數的圖像和性質，可以歸納、分析出對數函數y=logax(a＞0，a≠1)的圖像的特征和性質.見下表.
圖象
a＞1
a＜1
性質
(1)x＞0
(2)當x=1時，y=0
(3)當x＞1時，y＞00＜x＜1時，y＜0
(3)當x＞1時，y＜00＜x＜1時，y＞0
(4)在(0，+∞)上是增函數
(4)在(0，+∞)上是減函數
補充性質
設y1=logax
y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1
0＜b＜1)當x＞1時“底大圖低”即若a＞b則y1＞y2當0＜x＜1時“底大圖高”即若a＞b，則y1＞y2
比較對數大小的常用方法有：
(1)若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行判斷.
(2)若底數為同一字母，則按對數函數的單調性對底數進行分類討論.
(3)若底數不同、真數相同，則可用換底公式化為同底再進行比較.
(4)若底數、真數都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進行比較.
3.指數函數與對數函數對比
名稱
指數函數
對數函數
一般形式
y=ax(a＞0，a≠1)
y=logax(a＞0，a≠1)
定義域
(-∞，+∞)
(0，+∞)
值域
(0，+∞)
(-∞，+∞)
函數值變化情況
當a＞1時，當0＜a＜1時，
當a＞1時當0＜a＜1時，
單調性
當a＞1時，ax是增函數；當0＜a＜1時，ax是減函數.
當a＞1時，logax是增函數；當0＜a＜1時，logax是減函數.
圖像
y=ax的圖像與y=logax的圖像關于直線y=x對稱.
冪函數
冪函數的圖像與性質
冪函數隨著的不同，定義域、值域都會發生變化，可以采取按性質和圖像分類記憶的方法．熟練掌握，當的圖像和性質，列表如下．
從中可以歸納出以下結論：
它們都過點，除原點外，任何冪函數圖像與坐標軸都不相交，任何冪函數圖像都不過第四象限．
時，冪函數圖像過原點且在上是增函數．
時，冪函數圖像不過原點且在上是減函數．
任何兩個冪函數最多有三個公共點．
奇函數
偶函數
非奇非偶函數
定義域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增減性
在第Ⅰ象限單調遞增
在第Ⅰ象限單調遞增
在第Ⅰ象限單調遞增
在第Ⅰ象限單調遞增
在第Ⅰ象限單調遞減
冪函數（R，是常數）的圖像在第一象限的分布規律是：
①所有冪函數（R，是常數）的圖像都過點；
②當時函數的圖像都過原點；
③當時，的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如）；
④當時，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）
⑤當時，的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如）
⑥當時，的的圖像不過原點，且在第一象限是“下滑”曲線（如）
當時，冪函數有下列性質：
（1）圖象都通過點；
（2）在第一象限內都是增函數；
（3）在第一象限內，時，圖象是向下凸的；時，圖象是向上凸的；
（4）在第一象限內，過點后，圖象向右上方無限伸展。
當時，冪函數有下列性質：
（1）圖象都通過點；
（2）在第一象限內都是減函數，圖象是向下凸的；
（3）在第一象限內，圖象向上與軸無限地接近；向右無限地與軸無限地接近；
（4）在第一象限內，過點后，越大，圖象下落的速度越快。
無論取任何實數，冪函數的圖象必然經過第一象限，并且一定不經過第四象限。
對號函數
函數（a>0,b>0）叫做對號函數，因其在（0，+∞）的圖象似符號“√”而得名，利用對號函數的圖象及均值不等式，當x>0時，（當且僅當即時取等號），由此可得函數（a>0,b>0,x∈R+）的性質:
當時，函數（a>0,b>0,x∈R+）有最小值，特別地，當a=b=1時函數有最小值2。函數（a>0,b>0）在區間（0，）上是減函數，在區間（，+∞）上是增函數。
因為函數（a>0,b>0）是奇函數，所以可得函數（a>0,b>0,x∈R-）的性質：
當時，函數（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-，特別地，當a=b=1時函數有最大值-2。函數（a>0,b>0）在區間（-∞，-）上是增函數，在區間（-，0）上是減函數。
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
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