資源簡介

教
案
教學基本信息
課題
一次函數的復習
學科
數學
學段：
初中
年級
初二
教材
書名：
《人教版數學八年級下冊教科書》
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年11
月
教學目標及教學重點、難點
根據條件求出一次函數的解析式；會解決與一次函數有關的面積、最值問題；會用函數觀點看方程、不等式。
重點:運用數形結合的思想分析一次函數相關的問題。
難點:以圖象為工具研究函數有關的問題。
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
引入
本節課為一次函數復習課的第二課時，通過本節課的復習，能根據條件求出一次函數的解析式，熟練解決相關面積、最值問題的問題，并且會用函數觀點看方程及不等式。
通過典型例題，將基礎知識點進一步梳理，并且運用數形結合的思想去解決問題，加強對知識的靈活掌握，提升運用知識的解題能力。
讓學生對本節課學習有個整體的了解、明確本節課的學習目標
例題
例1.直線過點，且與直線相交于點.
求直線的表達式；
若直線與軸交于點，點在軸上，且，求出點的坐標。
例2.已知直線.
求它關于軸對稱的直線所對應的函數表達式；
將直線向左平移3個單位，求平移后所得直線所對應的函數表達式；
將直線繞原點順時針旋轉，求旋轉后所得直線所對應的函數表達式。
例3.已知點和點，分別求出滿足下列條件的點的坐標：
（1）在直線y=4上找一點C，使得AC+BC的值最小；
（2）在x軸上找一點D，使得的周長最小；
（3）在y軸上找一點E，使得|AE-BE|的值最大.
兩直線的交點體現了函數與方程的關系，從數的角度看，交點的坐標值是兩個一次函數組成的二元一次方程組的解；從形的角度講，是指兩條直線均經過該點.熟悉點的坐標和距離之間的關系。
運用數形結合的思想.
熟練運用待定系數法求一次函數的解析式；點的坐標就是函數解析式與函數圖像轉化的工具。充分利用數形結合的思想；求已知直線平移、翻折或者旋轉后所得直線的的解析式，本質上是考察變換前后坐標之間的關系。
這是幾何問題在函數中的體現，借助一次函數求最值問題，關鍵是求出有關直線的解析式及相應點的坐標。
總結
解析式是一次函數的很重要的一種表示形式，它從數的角度反映了變量之間的變化規律，而函數圖象的本質是，用坐標系中直線上點的坐標反映了變量之間的對應關系，函數的解析式和函數圖像可以相互轉化，這種轉化的工具就是點的坐標。因此，解決函數相關的問題，我們要理解題目的本質，熟練運用數形結合的思想。
提升思想高度，抓住事物本質
作業
1.若直線y=2x-4與直線y=4x+b的交點在第三象限,則b的取值范圍是
.
2.如圖，直線經過點，則關于的一元一次不等式的解集是_______.
3.直線與軸分別交于點，直線與軸分別交于點，這兩條直線交于點.
求點的坐標；
若為直線上一點，當的面積為時，求點的坐標.
鞏固本節課所學的方法和數學思想《一次函數復習（第一課時）》學習任務單
【學習目標】
本節課通過三道例題，體會函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型，復習函數的定義、三種表示方法，通過例題，復習一次函數的定義和性質，用待定系數法求一次函數的解析式，通過函數觀點看解方程（組）和不等式，嘗試用研究一次函數的方法探究新函數；從數形結合的角度，用運動變化的觀點進行分析，將前面所學的知識融會貫通，根據具體情況靈活地思考，解決問題。
【課上任務】
1．復習函數的定義；
2．通過一個實際應用問題，體會函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型，并復習函數的三種表示方法，關注從實際問題抽象為數學問題的過程，關注函數表示方法之間的關系。
例1：下表記錄了一輛汽車在實驗場地上做耗油實驗的數據。在行駛的過程中，油箱中剩余油量G和行駛時間t是否具有函數關系呢？
汽車行駛時間t/小時
0
1
2
3
…
油箱中剩余油量G/升
100
94
88
82
…
3．通過例題，梳理一次函數相關知識。
例2:已知一次函數y=kx+b
(k≠0)的圖象，經過點M(1,2)和點N(3,-2)，求一次函數的解析式.
4．運用研究函數的一般方法，畫出一個新函數的圖象.
通過所學的絕對值知識再次認識新函數中的變量.并結合圖象，數形結合考慮問題，解決有關不等式和方程的相關問題.
例3：畫出函數的圖象.根據函數圖象回答下列問題：
（1）求不等式的解集；
（2）若關于x的方程有解，求b的取值范圍.
【課后作業】
作業一：根據下表中一次函數的自變量x與函數y的對應值，可得p的值為（
）
x
－2
0
1
y
3
p
0
A．－1
B．1
C．3
D．－3
作業二：直線經過兩點A(2,1)和點B(-1,-2)，則不等式的解集為________________.
作業三：在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形，叫做此一次函數的坐標三角形．例如，圖中的一次函數的圖象與x、y軸分別交于點A、B，則△OAB為此函數的坐標三角形．
（1）求函數y＝x＋3的坐標三角形的面積；
（2）若一次函數y＝kx＋4（k為常數）的坐標三角形的面積
為,
求一次函數的解析式．
【課后作業參考答案】
作業一：B；
作業二：
-1作業三：(1)6,(2)
或教
案
教學基本信息
課題
一次函數復習（第一課時）
學科
數學
學段：
初中
年級
初二
教材
書名：
《人教版數學八年級下冊教科書》
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年11
月
教學目標及教學重點、難點
教學目標：復習函數的定義、三種表示方法、正比例函數和一次函數的關系，一次函數的相關知識，能結合圖象數形結合地理解解不等式、方程（組），體會函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型，嘗試用研究一次函數的方法探究新函數；
重點:
結合圖象數形結合地分析簡單的函數關系；
難點:
用研究一次函數的方法探究新函數。
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
引入
前面幾節課上，我們從認識變量與函數開始，學習了一類最基本的函數——一次函數，本節課我們就對前面學過的知識進行一個小結。
在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，對于變量x的每一個確定的值，變量y都有唯一確定的值與其對應，那么就說y是x的函數，稱x為自變量。
函數的定義作為復習的起點。
例題
例1：下表記錄了一輛汽車在實驗場地上做耗油實驗的數據。在行駛的過程中，油箱中剩余油量G和行駛時間t是否具有函數關系呢？
汽車行駛時間t/小時0123…油箱中剩余油量G/升100948882…
通過觀察行駛時間，我們發現在實驗過程中每隔一個小時會進行一次監測，觀察剩余油量的變化，發現每小時都減少6升。在這個變化過程中，行駛時間和剩余油量是兩個變量。剩余油量隨著行駛時間的變化而變化，并且對于行駛時間中每一個確定的t值，剩余油量都有唯一確定的值與其對應，滿足函數的定義。因此G是t的函數，其中t為自變量，解析式為G=100-6t。函數圖象為連接點（0，100）和（，0）的一條線段。和列表法、解析式法相比，圖象法則更加直觀、形象。
在一次函數的學習中，就始終貫穿著數形結合的思想。已知一次函數的解析式，我們可以得到滿足條件的兩組x、y的對應值，以每組對應值中的x作為橫坐標，y作為縱坐標，就可以在平面直角坐標系中確定兩個點，連接兩個點的直線就是一次函數的圖象；反之（按）如果已知圖象，可以在上面任取兩個點，分別將這兩個點的橫縱坐標代入解析式中的x、y，從而得到關于k、b的一個二元一次方程組，解出k、b的值，進而得到一次函數的解析式。這種求函數解析式的方法稱為待定系數法。
例2:已知一次函數y=kx+b
(k≠0)的圖象，經過點M(1,2)和點N(3,-2)，求一次函數的解析式.
將點M、N代入y=kx+b中，解得k=-2，b=4，因此解析式為y=-2x+4.
結合這個一次函數，從以下幾個方面回顧一次函數的有關知識：
1、圖象的位置：
（1）正比例函數y=kx（k≠0）可以看作是一次函數中b=0的特殊情況。正比例函數的圖象經過原點，一次函數的圖象經過（0，4），正比例函數圖象經過第二、四象限，向上平移4個單位長度后，一次函數的圖象經過第二、一、四象限；
（2）圖象與坐標軸的交點.
2、函數變化規律：
從數的角度看，
k=-2<0，因此y隨x的增大而減小,從形的角度看，直線從左到右逐漸下降；
從形的角度看，在這條直線上選取兩點（，）、(,)，對比他們的橫縱坐標，可以發現，當<時,
>，這也說明了y隨x的增大而減小.
3、從函數的觀點看不等式、方程（組）：
（1）一元一次不等式-2x+4≤2：將不等號左邊的-2x+4對應函數y=-2x+4，不等式-2x+4≤2就理解為求y≤2時，自變量x的取值范圍，進一步借助函數圖象找到對應的橫坐標的取值范圍為；
（2）二元一次方程2x+y=4：將方程改寫為y=-2x+4的形式，這個方程對應著一次函數y=-2x+4，同時也對應直線
y=-2x+4，這條直線上每個點的坐標都是二元一次方程的一個解，直線上的無數個點也就對應了方程的無數個解；
（3）二元一次方程組：兩個方程對應著兩個一次函數y=-2x+4和y=x-5，同時也對應著兩條直線；從數的角度看，解這樣的方程組，相當于求自變量為何值時，相應的兩個函數值相等，以及這個函數值是多少；從形的角度看，解這個方程組，相當于確定兩條相應直線y=-2x+4與
y=x-5交點的坐標.
例3：畫出函數的圖象.根據函數圖象回答下列問題：
（1）求不等式的解集；
（2）若關于x的方程有解，求b的取值范圍.
解：確定自變量x的取值范圍應為任意實數。
列表：
x…-3-2-1012345…y…432101234…
描點、連線：
（1）解這個不等式，相當于求函數的函數值大于1時，自變量的取值范圍。從圖象上看，可得x<0或x>2.
（2）將方程左右兩邊分別看作是兩個函數和，方程有解就對應著兩個函數的圖象有交點：
當b=0時，與的圖象有交點，因此對應方程有解，滿足題意；
當向上移動時，與始終有兩個交點，對應方程有解；
當向下移動時，交點從2個減少到1個，最后沒有交點；
因此經過點（1，0）的直線為臨界狀態。
將（1，0）代入中，解得此時b=.再結合剛才的分析可知，當時，方程有解。
通過一個實際問題幫助學生理解函數的概念，體會函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型，并復習函數的三種表示方法。
從函數定義過渡到一次函數的相關知識復習。
一次函數是本章的學習重點，學生已經習慣于給出一次函數，回答相應問題。但是如何全面地理解一次函數，利用所學知識，由淺入深地分析函數則是對學生能力的考察。因此本例旨在從解析式出發，幫助學生梳理所學的有關一次函數的有關性質，加強對基礎知識和基本技能的掌握，提高基本能力，達到舉一反三的效果。
通過本例，力求滲透研究函數的一般方法，經歷觀察、猜想、取點、畫圖，考察函數概念學習的全過程，最后利用數形結合的思想解決相關問題。
總結
本章的主要內容包括變量與函數的概念，函數表示法，一次函數（包括正比例函數）的解析式、圖象及性質.通過本章的學習，可以判斷具體問題中的函數關系，轉換函數的不同表示方法，利用圖象數形結合地分析簡單的函數關系.通過對初等函數“一次函數”的學習，經歷學習和探究一個具體函數的一般過程，即從定義、圖象、性質、函數與方程及不等式的關系等方面進行研究。希望通過本節的學習，學生可可以對所學知識之間的相互關系更加清晰，學會全面地分析問題、思考問題。
回顧本章所學內容，對本節課所學內容的一個小結。
作業
1.
根據下表中一次函數的自變量x與函數y的對應值，可得p的值為（
）
x－201y3p0
A．1
B．－1
C．3
D．－3
2．
直線經過兩點A(2,1)和點B(-1,-2)，則不等式的解集為________________.
3.
在平面直角坐標系中，給出如下定義：一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形，我們稱之為一次函數的坐標三角形．
例如，圖中的一次函數的圖象與x、y軸分別交于點A、B，則△OAB為此函數的坐標三角形．
(1)求一次函數的坐標三角形的面積；
(2)若一次函數
（k為常數）的坐標三角形的面積為，求一次函數的解析式．
鞏固本節課所學的知識，注重數形結合、綜合所學知識分析、解決問題。《課題名稱》學習任務單
【學習目標】
會根據條件求出一次函數的解析式；
會解決與一次函數有關的面積、最值問題；
會用函數觀點看方程、不等式。
【課前預習任務】
總結用待定系數法求一次函數解析式的步驟；
總結一次函數與一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組之間的關系。
【課上學習任務】
例1.直線過點，且與直線相交于點.
求直線的表達式；
若直線與軸交于點，點在軸上，且，求出點的坐標。
例2.已知直線y=2x-1.
求它關于軸對稱的直線所對應的函數表達式；
將直線y=2x-1向左平移3個單位，求平移后所得直線所對應的函數表達式；
將直線y=2x-1繞原點O順時針旋轉，求旋轉后所得直線所對應的函數表達式。
例3.已知點和點，分別求出滿足下列條件的點的坐標：
（1）在直線y=4上找一點C，使得AC+BC的值最小；
（2）在x軸上找一點D，使得的周長最小；
（3）在y軸上找一點E，使得|AE-BE|的值最大.
【課后作業】
1.若直線y=2x-4與直線y=4x+b的交點在第三象限,則b的取值范圍是
.
2.如圖，直線經過點，則關于的一元一次不等式的解集是_______.
3.直線y=x+1與x、y軸分別交于點A、B，直線y=-2x+4與x、y軸分別交于點D、C，這兩條直線交于點E.
求E點的坐標；
若P為直線CD上一點，當的面積為時，求點P的坐標.
【課后作業參考答案】
1.-42..
3.（1）點E的坐標為（1,2）；
（2）點P的坐標為（-1,6）或（5,6）.

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