資源簡介

教
案
教學基本信息
課題
一次函數的綜合運用（二）
學科
數學
學段：7-9
年級
八年級
教材
書名：
人教版八年級下冊教科書
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2013年12月
教學目標及教學重點、難點
(
解釋
實際意義
函數
實際問題
設變量
找對應關系
函數問題的解
實際問題
的解
)
(
應用
函數
某些
現實問題中變量之間相互聯系
建立數學模型
定義
自變量取值范圍
表示法
一次函數
y=kx+b
（
k
≠
0
）
圖像
：一條直線
性質：
k＞
0，y
隨
x
的
增大而增大
k
＜
0，y
隨
x
的
增大而減小
一次函數與方程（組）、
不等式之間的關系
)教學目標
會用一次函數的坐標特征表示動點;
經歷用一次函數知識解決動點問題的過程，體會轉化思想、方程思想、分類討論思想以及數形結合思想;
提高分析問題，用數學知識解決問題的能力.
（二）重難點
教學重點：動點的坐標表示
教學難點：數形結合思想的運用
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
引入
同學們，函數是刻畫變量之間關系的模型，而一次函數，是諸多函數中，最為簡單的一類，
(
應用
函數
某些
現實問題中變量之間相互聯系
建立數學模型
定義
自變量取值范圍
表示法
一次函數
y=kx+b
（
k
≠
0
）
圖像
：一條直線
性質：
k＞
0，y
隨
x
的
增大而增大
k
＜
0，y
隨
x
的
增大而減小
一次函數與方程（組）、
不等式之間的關系
)我們先來復習一下一次函數的相關知識：
(
一次函數
y=kx+b
（
k
≠0）
圖
象：一條直線
性質：
k
＞0，
y
隨
x
的增大而增大
k
＜0，
y
隨
x
的增大而減小
)
通過學習相關知識，我們肯定對“運動變化和聯系對應”這句話有了一些感悟。今天，我們將一起通過對一次函數背景下動點問題的研究，繼續深入體會，運動變化和聯系對應的關系.
強調函數是刻畫變量之間關系的模型，點明本章學習的主旨.
例題
1.已知：在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸交于A點,與y軸交于B點，點P從點B出發，沿直線上向下運動.點Q的坐標為（4，0），連接OP，PQ.
（1）當PB=PO時,求點P的坐標；
（2）當△OPQ的面積等于△ABO面積的一半時，求P點坐標；
分析問題：條件分析，結論分析，圖形分析
任務1：根據題目描述，畫出一次函數圖象，并確定A,B,Q點的位置.
任務2：點P在運動的過程中，描述PB,PO及△OPQ面積的變化趨勢.
任務3：根據一次函數的表達式，表示點P的坐標.
任務4：PB與PO相等時，畫出點P的位置.
任務5：數形結合，用多種方法建立方程，并比較優劣.
任務6：用P點坐標表示△OPQ的面積.
任務7：數形結合，確定滿足條件的點P的位置.
任務8：總結本題，明確一次函數的作用.
歸納總結：
充分挖掘給定條件，明確不變量與不變性；
充分對圖形進行操作，分析動點的軌跡特征；
根據動點的量化特征，與其它點之間建立量化關系.
2.已知，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A（-4，0）,B（-1，0）C（-1，2）.
若直線l:y=kx-2經過點D,求直線L的表達式；
若直線l:y=kx-2與矩形ABCD有兩個公共點，求k的取值范圍.
任務1：根據題目中條件的描述，畫出滿足條件的矩形.
任務2：通過分析直線的表達式，描述這條直線的位置特征.
任務3：由直線經過點D的條件，列出滿足條件的方程.
任務4：在k變化的過程中，描述這條直線與矩形的公共點個數.
任務5：數形結合，確定恰好不滿足條件的直線.
任務6：分別列方程，求出兩種情況下的k值.
任務7：利用一次函數的性質，寫出k的取值范圍.
任務8：總結本題，明確一次函數的作用.
歸納總結：
充分挖掘給定條件，明確不變量與不變性；
充分對圖形進行操作，分析直線隨k值的變化特征；
找到臨界狀態，并結合圖形進行量化表示.
3.已知：在平面直角坐標系xOy中,點A（0，1），M（3，2），N（4，4）.動點P從點A出發，沿y軸
以每秒1個單位長的速度向上移動，且過點P的直線l：y=－x+b也隨之移動，設移動時間為t秒.
（1）當t=3時，求l的解析式；
（2）若點M，N位于l的異側，確定t的取值范圍；
（3）直接寫出t為何值時，點M關于直線l的對稱點落在坐標軸上.
任務1：根據題目中條件的描述，標出各點位置，并畫出一次函數圖象的初始狀態.
任務2：通過分析直線的表達式，描述這條直線的位置特征.
任務3：運動3秒時，寫出點P的坐標.
任務4：寫出此時直線的表達式.
任務5：在時間t的變化過程中，確定b與t的關系.
任務6：數形結合，確定恰好不滿足條件的直線.
任務7：分別列方程，求出兩種情況下的t值.
任務8：通過圖形操作，明確點M關于直線l的對稱點的位置特征.
任務9：數形結合，確定滿足條件點的坐標特征.
任務10：總結本題，明確一次函數的作用.
歸納總結：
充分挖掘給定條件，明確不變量與不變性；
充分對圖形進行操作，分析直線隨b值的變化特征；
找到臨界狀態，并結合圖形進行量化表示.
本題以解析式確定的函數圖象上的動點為背景，從圖形特征到數量特征，初步體會數形結合思想的運用.
第一問充分挖掘PB=PO這個數量特征對應的圖形特征，再回歸到點P的坐標特征，讓學生經歷方法的對比與優化，體會數形結合思想解題的重要性.
第二問中，對動點P與△OPQ面積的之間的關系進行研究，從動點P的坐標特征與一次函數解析式的關系入手，引導學生從數的角度入手，通過形的特征來描述面積的表示方法，進一步體會數形結合思想.
本題以過定點的一次函數圖象為背景，通過分析該圖象上點的坐標特征，結合一次函數的基本性質，解決問題.
第一問的設置，意在讓學生體會，要想確定解析式，只需要一個滿足條件的點坐標即可.使學生體會找到滿足條件的點坐標是解決問題的關鍵.
第二問的設置，希望學生體會，隨著k的變化，直線上的點如何運動？直線與矩形之間的位置關系如何變化.在操作的過程中，引導學生體會，尋找臨界位置的重要性.
本題以k確定的一次函數圖象特征為背景.通過分析圖象上點的坐標特征，結合一次函數的基本性質解決問題.
第一問仍然設置為利用點的坐標滿足函數解析式，確定參量b的值，初步體會方程思想.
第二問設置M,N異側背景的圖形描述，通過學生充分操作，了解一次函數圖象與點M,N之間的位置關系變化，結合第一問的解題經驗，確定t的范圍.
第三問的設置，意在讓學生初步體會該一次函數除了需要研究坐標特征外，還有豐富的圖形特征.利用幾何性質來建立變量之間的聯系的優勢.
總結
一次函數是我們學習的較為簡單的函數，通過對它的研究，我們可以掌握研究函數問題的基本方法，并能深入體會數形結合思想的運用.通過本節課的學習，我們應該對與一次函數相關的動點問題有以下歸納：對于一次函數的動點問題的解決建議：
（1）通過分析條件，明確一次函數的幾何與代數特征
（2）利用數形結合思想，建立圖形與坐標之間的聯系
（3）通過數量關系構造方程進行求解
作業
如圖，有一種動畫程序，屏幕上正方形是藍色區
域（含正方形邊界），其中A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),
用信號槍沿直線發射信號，當信號遇到藍色
區域時，區域便由藍變紅，則能夠使藍色區域變紅的b
的取值范圍為　
　　　　．
(
0
1
2
2
1
)《一次函數的綜合運用（二）》學習任務單
【學習目標】
利用一次函數的解析式，圖象及性質，綜合解決問題。借助函數的數量特征與圖形特征，深化對數形結合思想的理解。
【課上任務】
1.通過復習一次函數的基本知識，你能想到這一章的主要數學思想方法是什么？
2.通過對題目1的分析，初步體會動點問題中，存在的變量與定量，并嘗試發現變量與定量之間的關系；
3.通過對題目1的分析，體會從定量計算的角度刻畫數學模型的分析思路；
4.通過對題目1的分析，體會從定性分析的角度轉化條件及結論的分析思路；
5.通過對題目2的分析，體會k的變化對一次函數圖像的影響，深化對b為定值的一次函數圖形特征的理解和掌握；
6.通過對題目2的分析，初步體會求取值范圍問題中，確定邊界值，進行邊界值驗證，深入把握數形結合思想方法的運用；
7.通過對題目3的分析，體會b的變化對一次函數圖象的影響，深化對k為定值的一次函數圖形特征的理解和掌握；
8.通過對題目3的分析，深入體會圖形語言與符號語言之間的互相轉化，尋找連續運動變化過程中的不變性與不變量，并用其解決運動變化問題的基本方法。
9.通過對3道題目的學習，嘗試總結，對含有參量的一次函數問題的理解和把握，形成解題策略，深化數形結合的思想方法的運用。
【學習疑問】（可選）
10．哪段文字沒看明白？
11．哪個環節沒弄清楚？
12．有什么困惑？
13．您想向同伴提出什么問題？
14．您想向老師提出什么問題？
15．沒看明白的文字，用自己的話怎么說？
16．本節課有幾個環節，環節之間的聯系和順序？
17．同伴提出的問題，您怎么解決？
【課后作業】
19．作業1（本節例題相似題目2）
【課后作業參考答案】3≤b≤8教
案
教學基本信息
課題
一次函數綜合：實際問題應用
學科
數學
學段：
7-9
年級
八年級
教材
書名：人教版八年級下冊教科書
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2019
年
11
月
教學目標及教學重點、難點
教學目標
會用一次函數的知識解決生活中的問題；
經歷用一次函數知識解決實際問題的過程，體會轉化思想、方程思想、函數模型思想以及數形結合思想；
提高分析問題，用數學知識解決實際問題的能力。
（二）重難點
教學重點：用一次函數知識解決生活中的實際問題
教學難點：將實際問題轉化為數學問題
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
一、知識回顧
通過前面的學習，我們已經研究了一次函數的相關知識，主要有哪些內容呢？
2.我們通過幾道題目回憶一下相關知識：
（1）某通訊公司每月收取月租費50元，每通話1分鐘再收費0.4元，若某月通話x分鐘，則話費y與x之間的函數表達式為____________；
（2）畫出函數y=0.4x+50的圖象；
（3）如圖：
兩直線a和b分別表示甲乙兩人跑步路程和時間的關系，由圖象可知，當t_____時，甲跑步的路程等于乙跑步的路程；
當t_____時，甲跑步的路程大于乙跑步的路程。
通過上面的題目，我們回憶了一次函數的知識。在一次函數學習過程中，首先我們是從實際生活中的例子引出，抽象出一次函數的概念，可見數學來源于生活,之后我們對一次函數的圖象和性質進行了研究，在生活中有很多問題都符合一次函數的模型，如勻速行駛的汽車、水費付費、手機通訊話費….可以用一次函數的知識來解決。今天我們繼續用一次函數的知識解決生活中的問題。
回憶一次函數的相關內容，為后面解決問題做鋪墊。
復習利用函數模型解決實際問題的基本過程。
列函數解析式，
有了函數解析式可以畫出它
的圖像，
利用函數圖像數形結合解決問題，熟悉交點的含義，以及利用函數圖像比較函數值的大小。
二、探究學習，解決問題
例1：
某廠家在甲、乙兩家商場銷售同一商品所獲利潤分別為y甲，y乙（單位：元），y甲，y乙與銷售量x（單位：件）的函數關系如圖所示，請你根據圖象解決下列問題：
（1）分別求出y甲、y乙與x的函數關系式；
（2）現在廠家有商品500件，單獨分配給甲商場或乙商場，分配給哪個商場，廠家獲得的利潤更高？
（3）現在廠家有商品1200件，分配給甲商場和乙商場，如何分配，廠家獲得的總利潤最大？
分析問題：圖像條件分析
任務1：圖形給了哪些條件？如何利用這些條件求出y甲、y乙與x的函數關系式；
任務2：已知函數關系式和圖像，如何比較函數值的大小？本題中函數值的大小對應的實際意義是什么？
任務3：請回答例題的第二問。你能用兩種方法說明嗎？
任務4：如何求利潤總和？如果設分配給乙商場x件商品，則分配給甲商場多少件？用含x的關系式表示出利潤總和y。
做一件事情，有時有不同的實施方案，比較這些方案，從中選擇最佳方案作為行動計劃，是非常必要的。應用數學的知識和方法對各種方案進行比較分析，可以幫助我們清楚地認識各種方案，作出合理的選擇。
在選擇方案時，怎樣從數學角度進行分析，這就涉及變量的問題，常會用到函數．
請看下面問題：
例2：怎樣選取上網收費方式？
下表給出A、B、C三種上寬帶網的收費方式
收費方式月使用費/元包時上網時間/h超時費/（元/min）A30250．05B50500．05C120不限時
選取哪種方式能節省上網費？
任務1：哪種方式上網費是會變化的？哪種不變？影響網費變化的因素是什么？
任務2：一定會產生超時費嗎？什么情況下產生超時費？
不一定，和上網時間有關，超過包時上網時間后才會產生超時費。
任務3：設上網時間為t小時，所需費用為y，你能表示出方式A的上網費用嗎？
當0≤t≤25時，y＝30；
?當t＞25時，y＝30＋0.05×60（t－25），即y＝3t－45；
∴
任務4：類比方式A，你能用數學關系式表示出方式B中上網費用y與上網時間t的關系嗎？方式C呢？
=120.
例1選取閱讀兩較少的，已知函數圖像的題目，體會函數在實際問題中的應用方法以及重要作用，近一步體會數形結合的直觀性。
已經給出變量和函數圖像，從解決函數問題的環節開始。
已知x求函數值，關注分段函數的取其范圍。
數形結合。
例2并未給出變量，需要學生自己找出變量，建立函數模型。
通過問題1引導學生找出問題中的變量，為抽象函數模型準備。
問題2，超時費不一定會產生，時間不超過25不會產生，超過25會產生，為學生表達A的費用需討論時間的范圍，需要分段打下基礎，
讓學生從粗到細的感知問題的整體結構和數量關系，感知上網費用隨上網時間的變化而變化，并把這兩個變量作為研究對象，引導學生最終把問題轉化為一次函數問題．
三、建立模型，解決問題
任務5：你能在同一坐標系下畫出三個函數關系式的圖像嗎？
任務6：函數交點是什么意思？如何求交點坐標？
時，
3t－45=50，解方程，得；
時，
3t－100＝120，解方程，得；
任務7：比較函數、、的大小呢？
任務8：上述比較函數值大小結果的實際意義是什么？
當上網時間不超過31小時40分鐘時，選擇方式
A最省錢；
當上網時間為31小時40分鐘至73小時20分鐘時，選擇方案B最省錢；
當上網時間超過73小時20分鐘時，選擇方案C最省錢．
例3：A地有肥料200噸，B地有肥料300噸，現要把這些肥料全部運往C、D兩城．從A地往C、D兩城運肥料的費用分別為每噸20元和25元；從B地往C、D兩城運肥料的費用分別為每噸15元和24元，現C城需要肥料240噸，D城需要肥料260噸，怎樣調運總運費最少？
任務1：分析整理已知條件：
任務2：如果設A地運往C城x噸，則運往D地多少噸？
B地需要運往C城多少噸？B地運往D地多少噸？
A地運往C城的肥料量為x噸，
則運往D城的肥料量為（200-x）噸．
B地運往C、D城的肥料量分別為（240-x）噸與（60+x）噸．
任務3：總運費包括哪些？請分別表示出來。
總運費包括：
A→C的運費：20x
A→D的運費：25（200-x）
B→C的運費：15（240-x）
B→D的運費：24（60+x）
任務4：設總運費為y元，則y與x的關系式是什么？x的取值范圍是多少？你能畫出它的圖像嗎？
解：設總運費為y元，
y與x的關系式為：
y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x），
即y=4x+10040（0≤x≤200）．
任務5：上述函數有沒有最小值？它的實際意義是什么？
由圖象（或函數關系式子）可看出：
當x=0時，y有最小值10040，
因此，從A地運往C城0噸，運往D城200噸；從B地運往C城240噸，運往D城60噸，此時總運費最少，總運費最小值為10040元．
上述分段函數問題，需要在畫出函數圖象觀察函數圖象的基礎上對上網時間進行分段討論，讓學生感受函數圖象與方程、不等式數形結合的方法．
教師引導學生解釋上述結果的實際意義．解釋函數模型中解的實際意義，從而解決實際問題．
四、歸納總結、提升思想方法
小結
用一次函數解決實際問題的基本思路：
（1）明確問題的目標，發現問題中數量之間的關系；
（2）分析變量，找出問題中變量之間的函數關系；
（3）利用所學函數知識解決函數問題，如已知自變量求函數值，函數值的和，函數的最值，比較函數值的大小等等；
（4）說明函數問題的解的實際意義，從而說明實際問題的解．
提高學生反思過程的針對性，展示函數的應用價值，突出建立數學模型的思想方法和實際意義．
五、鞏固應用
鞏固練習：某學校計劃在總費用2300元的限額內，租用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師.現有甲、乙兩種大客車.它們的載客量和租金如下表所示.
甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）4530租金/（元/輛）400280
（1）共需租多少輛汽車？
（2）給出最節省費用的租車方案.《一次函數的綜合運用（第一課時）》學習任務單
【學習目標】
1．會用一次函數的知識解決生活中的問題；
2．經歷用一次函數知識解決實際問題的過程，體會轉化思想、方程思想、
函數模型思想以及數形結合思想；
3．提高分析問題，用數學知識解決實際問題的能力。
【課上任務】
1．一次函數的相關知識，主要有哪些內容呢？
2．
利用函數模型解決實際問題的基本過程
3．回憶一下相關知識，三道題，
4．圖形給了哪些條件？如何利用這些條件求出y甲、y乙與x的函數關系式；
5．已知函數關系式和圖像，如何比較函數值的大小？本題中函數值的大小對應的實際意義是什么？
6．請回答例題的第二問。你能用兩種方法說明嗎？
7．如何求利潤總和？如果設分配給乙商場x件商品，則分配給甲商場多少件？用含x的關系式表示出利潤總和y。
8．哪種方式上網費是會變化的？哪種不變？影響網費變化的因素是什么？
9．一定會產生超時費嗎？什么情況下產生超時費？
10.
設上網時間為t小時，所需費用為y，你能表示出方式A的上網費用嗎？
11.
你能在同一坐標系下畫出三個函數關系式的圖像嗎？
12.
函數交點是什么意思？如何求交點坐標？上述比較函數值大小結果的實際意義是什么？
13.
如果設A城運往C鄉x噸，則運往D城多少噸？
B城需要運往C鄉多少噸？B城運往D城多少噸？
14.總運費包括哪些？請分別表示出來
15.
設總運費為y元，則y與x的關系式是什么？x的取值范圍是多少？你能畫出它的圖像嗎？
【課后作業】
某學校計劃在總費用2300元的限額內，租用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師.現有甲、乙兩種大客車.它們的載客量和租金如下表所示.
甲種客車
乙種客車
載客量/（人/輛）
45
30
租金/（元/輛）
400
280
（1）共需租多少輛汽車？
（2）給出最節省費用的租車方案.
【課后作業參考答案】
（1）要保證240名師生都有車坐，汽車總數不能小于6；每輛汽車最少有1名老師，汽車總數不能大于6；所以可知汽車總數為6.
（2）設租甲種客車x輛、則學校租車所需的總費用y（單位：元）是x得函數，依題意，得
y=400x+280（6-x）
整理，得:
y=120x+1680．
為使240名師生有坐，則45x+30(6-x)≤240，得4≤x；
為使租車費用不超過2300，則400x+280(6-x)≤2300，得x≤5；∴4≤x≤5．x應為整數，
∴x=4或5
在y=120x+1680中，
∵k=120＞0，
∴y隨x的增大而增大．
∴當x取最小值，即x=4時，y有最小值．
所以最節省費用的租車方案是：租用4輛甲種客車，2輛乙種客車．

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