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?高中數學“導數”類壓軸題，無非這10種解法！
FLx=xe'-Inx+(1-b)x
由F(x)21恒成立可得xe-hmx+(1-b)x21恒成立
In
x
即b-1≤e
恒成立
Xx
設g(x)=e
In
x
,則g(x)
x
e+In
x
h(x)=xe+Inx,
h(x)=(x2+2x)e'
當x>0時,h(x)>0,
h(x)在(0+x)上單調遞增,且有h()=e>0,b(5=
√e
ln2<0,
函數h(x)有唯一的零點x,且當x∈(0,x),h(x)<0,g(x)<0,g(x)單調遞減,
當x∈(x,+∞),h(x)>0,g(x)>0,g(x)單調遞增
g(x)是g(x)在定義域內的最小值
b
h(x0)=0得x2_h
)
令k(x)=xe,方程(
)等價為k(x)=k(-nx)
,k(x)=k(-lmx)等價為x=-1mx,1m(x)=x+hnx,0,
x是m(x)的唯一零點
nx
g(x)的最小值g(x)=e
b-1<1恒成立
b的范圍是(-∞,2]
例6已知函數f(x)=alnx-x,且函數f(x)在x=1處取到極值
(1)求曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程;
(2)若函數g(x)=
(x-m)
(0f(x)+x
x(x12
導引:(1)求出原函數的導函數,由∫(1)=0求解a值,則曲線y=f(x)在(1,f(1)處的
切線方程可求;
(2)求出函數g(x)的解析式,由
(x-m)2lnx+"-1
,根據已知g(x)=0有
n
x
三個解,21nx+--1=0存在兩個不同于m的零點,設h(x)=2lx+
,求出m取
值范圍,結合h(x)的函數特征,可判斷x2=m,x,x3是函數h(x)的兩個零點,構造函數
0(x)=2xlnx-x,0(x)=9(x),研究以(x)的單調性,把證明h(x+x2)、1轉化為
證明p()>o(2=x)即可
解析:(1)f(x)=alnx-x,f(x)=--1,
∵函數f(x)在x=1處取到極值,f(1)=a-1=0,即a=1
yl
f(x)=Inx-x,
f(1)=-1
.曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為y=-1
x-m)2(x-m)2(x-m)2
f(x)+x
Inx+x-x
Inx(0函數的定義域為(0,+∞)且x≠1,
2(x-m)mx-(x-)2、1(x-m)21mx+
Inx
Inx
2.
X-m
令h(x)=2lnx+--1,∴h(x)=
X
h(x)在0,上單調遞減,在,+上單調遞增
h()是h(x)的最小值;∵:g(x)有三個極值點x1h|=2ln+1<0,得m<
2
m的取值范圍為0,
2
當0x2=m;即x1,x是函數h(x)的兩個零點
h
2lnx1+--1=0
,消去m得2xnx1
2x
Inx-x
2Inx
t
A(r)=2xInx-x,
(x)=2In
x+
9(x)的零點為r、1
且x1<-r<

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