資源簡介

教
案
教學基本信息
課題
方差的應用
學科
數學
學段：第三學段
年級
八年級
教材
書名：八年級下冊數學
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年9月
教學目標及教學重點、難點
教學目標：
1．
進一步理解方差的意義，能熟練計算一組數據的方差，會借助工具計算一組數據方差；
2．
通過用樣本方差估計總體方差，及根據方差做出決策的過程，感受抽樣的必要性，體會用樣本估計總體的思想；
3．
在解決實際問題的過程中，感受統計與實際生活密切聯系．增強基于數據表達現實問題的意識，逐漸培養數據分析觀念．
教學的重點：方差的應用．
教學的難點：用數據的方差對實際問題做出解釋和決策．
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
復習回顧
環節一:復習回顧
1．數據的波動程度：
數據波動程度也是數據分布的一個主要特征，數據的波動大小，就是數據的離散程度，它反映的是各個數據遠離其中心值的程度．
2．方差的公式及統計意義
方差公式為
其中，n代表的是數據的個數，是這組數據的平均數．
方差的統計意義：方差正是衡量數據波動程度的常用統計量．方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動就越小．
新課
環節二：方差的進一步認識：方差與平均數
1．平均數是度量一組數據波動大小的基準．方差的定義是從各數據與他們的平均數的差入手的，計算的這些差的平方的平均數．
2．
方差全面、平均地反映了一組數據偏離其平均數的程度．
以上面四個數據為例說一說方差是如何衡量數據波動的？
這四組數據的平均數都是6，隨著偏離平均數的數據個數和偏離程度的增加，數據的波動越來越大，他們的方差也就越來越大．
3．方差對集中趨勢的特征數（平均數）的代表性的影響.
以上面的四個數據為例，學生對比各數據與平均數的關系，說一說平均數的代表性受哪一個量的影響．
歸納形成：
平均數的代表性，取決于數據的離散程度．方差能衡量平均數的代表性．方差越小，平均數的代表性越好．
練習1．
小天想要計算一組數據92，90，94，86，99，85的方差，在計算平均數的過程中，將這組數據中的每一個數都減去90，得到了一組新數據2，0，4，-4，9，-5．
記這組新數據的方差為，則
（填>,<或=）
(
x
y
)方法一：通過計算求方差．
方法二：通過折線圖觀察波動情況：
他們的波動程度是不變的．這說明當一組數據各中的每個數據減去90之后，改變的是數據的位置，但是各數據相對其平均數的偏離程度是不變的，方差不變．
結論推廣到一般情況：
如果數據的方差為s2=a,各數據都加上b，那么新數據的方差也是
分析
，所以方差不變．
計算、形成結論：
歸納形成一般性結論：
數據平均數方差aa
這個結論可用方差的簡便計算．
練習2．請舉例說明方差在實際生活中的應用．
利用魚塘養魚，會遇到因為某些魚的個頭太大，出現大魚吃小魚的情況，為防止這種情況的出現，工作人員要對魚的質量進行監測．
通過抽取一定數量的樣本，進行數據分析．一旦某個指標超標，就要實施撈捕，然后分開養殖或出售根據所學的知識，你知道工作人員關注哪個統計量呢？
為避免大魚吃小魚的情況，要關注魚質量的大小差異情況，也就是數據波動程度，能全面平均反映一組數據的波動情況的統計量就是方差．
因總體中的個體數量較多，或從總體中抽出樣本的實驗具有破壞性時只能采用抽樣的方式來檢測．用樣本方差去估計總體的方差，以此來了解魚塘內魚的質量的大小差異情況。可以按照下面的步驟去實施：
隨機捕撈-----稱量記錄------計算方差------做出決策．
如果樣本的方差過大，說明數據的波動程度就大．也就是魚的大小差異明顯，容易發生大魚吃小魚的情況，那就要采取措施，捕撈，分開養殖或出售．
收集、整理、描述和分析數據時數據處理的一個基本過程．應用樣本方差估計總體的波動情況，可以幫助我們解決生活中遇到的一些問題．
溫習所學內容，回顧方差的統計意義．
進一步的認識方差的本質：描述的一組數據偏離平均數的程度。
簡單體驗是數據處理的收集、整理、描述和分析數據的一個基本過程。應用樣本方差估計總體的波動情況，可以解決生活中遇到的一些問題。
環節三：應用方差解決實際問題
例．為了解甲、乙兩種甜玉米種子的相關情況，農科院各用10塊自然條件相同的試驗田進行試驗．得到各試驗田每公頃的產量(單位：t)
甲7．657．507．627．597．657．647．507．407．417．41乙7．557．567．537．447．497．527．587．467．537．49
思考：
甜玉米的產量用什么統計量來比較？
如何考察甜玉米的產量的穩定性？
教師提出問題，再通過兩個追問進行引導；學生獨立思考，發表自己的意見，提出問題的解決方案，重點關注學生收集數據、整理（描述）數據的設計過程，關注選擇適當的統計量進行數據分析的意識與能力．
追問：分析樣本數據就能幫助農科院做出選擇，依據是什么？
師生活動：教師出示問題，學生獨立思考，并計算解決問題．
重點關注學生是否準確掌握方差的計算步驟，是否懂得用方差衡量數據的波動大小，能否結合實際理解“樣本估計總體”統計思想的合理性．
環節四：練習反饋：
練習1．某快餐公司的香辣雞腿很受消費者歡迎．現有甲、乙兩家農副產品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質相近．快餐公司決定通過檢查雞腿的質量來確定選購哪家的雞腿．
追問1．：可通過哪些統計量來描述雞腿的質量？
追問2：如何獲取數據？
檢查人員從兩家的雞腿中各隨機抽取15個，記錄它們的質量（單位：g）如下表所示．根據表中的數據，你認為快餐公司應該選購哪家加工廠的雞腿？
甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175
學生計算獨立的計算并解決問題,教師關注學生是否能正確的應用樣本去估計總體．
本題的數據計算中，可以適當的引入方差筆算的方法．
題后的反思：用方差解決實際問題，做出決斷的一般過程：
我們在運用方差解決問題時，
1)先計算樣本數據平均數，再計算方差；
(2)當兩組數據的平均數相等或相近時，再利用樣本方差來估計總體數據波動情況，做出決策．
練習2．短跑比賽可以鍛煉人的靈活性，增強人的爆發力，因此小明和小亮在課外活動中，報名參加了短跑訓練小組．教練記錄了他們在最近7次百米訓練中的成績．
如圖所示．
補全信息
第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次小明11．411．411．411．511．411．5小亮11．211．511．111．611．511．4
（2）請從平均數與方差的角度來分析兩人的成績特點．
（3）現在有一個初中生的百米田徑的比賽。需要從兩人中選取一人去參加比賽經查閱歷屆比賽的資料，成績若達到11．45秒
，就很可能得到冠軍，你認為應該選誰去參加比賽奪冠軍比較有把握？說明理由；
（4）若以往的該項初中生的最好成績的記錄11．20秒，若要想打破紀錄，你認為應該選誰去參賽？
（5）根據7次的測試成績對于小明和小亮的今后的訓練，你有什么建議呢？
引導學生將實際問
題與平均數及方差關聯。
學習運用方差解決實際問題，促使學生理解用樣本方差估計總體方差的統計思想．
進一步運用方差解決實際問題，促使學生理解用樣本方差估計總體方差的統計思想．
總結
本節課中我們主要學習了什么？
1．本節課中，我們進一步的認識了方差．方差作為刻畫數據波動程度常用統計量，它全面、平均的反映了一組數據偏離其平均數的程度．一般來說，方差越小，數據的波動越小，數據越整齊、穩定．
當一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個數時，方差不變。利用這個結論能簡化方差的計算．
2．在統計中，我們經常利用樣本去估計總體．在本節課中，我們利用樣本方差去估計總體方差，在平均數相等或相近時，利用方差比較兩組數據的波動大小，進而做出決策，可以解決產量穩定，質量均衡，長勢整齊等方面的實際問題．
3．
在數據分析中，我們學習了刻畫一組數據的集中趨勢的特征數---平均數、中位數、眾數。他們是對數據一般水平的概括性的度量．他們對一組數據的代表性取決于數據的離散程度．
方差是刻畫數據離散程度常用的統計量，它反映的是一組數據偏離平均數的程度．
平均數是度量數據波動大小的基準，方差的定義就是從其中各數據與他們平均數的差入手的．用方差來衡量表示集中趨勢的特征數（平均數）的代表性與可靠性。
設計意圖：通過問題引導學生小結所學內容，促進學生進一步地認識方差，理解用樣本方差估計總體
方差的思想，并能主動應用它解決生活中的統計問題．
作業
全班同學分成幾個小組完成下面的活動
(1)
收集全班同學每個家庭在某個月的用水量；
(2)
將本組同學每個家庭在這個月的用水量作為樣本數據，計算樣本數據的平均數和方差，并根據樣本數據的結論估計全班同學家庭用水量的情況；
(3)
與其他小組進行交流，談談你對平均數、方差以及用樣本估計總體的認識．《方差的應用》學習任務單
【學習目標】
1.
進一步理解方差的意義，能熟練計算一組數據的方差，會借助工具計算一組數據方差；
2.
通過用樣本方差估計總體方差，及根據方差做出決策的過程，感受抽樣的必要性，體會用樣本估計總體的思想；
3.
在解決實際問題的過程中，感受統計與實際生活密切聯系.增強基于數據表達現實問題的意識，逐漸培養數據分析觀念.
【課上任務】
1．方差與平均數的關系：
2．小天想要計算一組數據92，90，94，86，99，85的方差，在計算平均數的過程中，將這組數據中的每一個數都減去90，得到了一組新數據2，0，4，-4，9，-5.
記這組新數據的方差為，則
（填>,<或=）
歸納：
平均數
a
3．某快餐公司的香辣雞腿很受消費者歡迎.現有甲、乙兩家農副產品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質相近.快餐公司決定通過檢查雞腿的質量來確定選購哪家的雞腿.
檢查人員從兩家的雞腿中各隨機抽取15個，記錄它們的質量（單位：g）如下表所示.根據表中的數據，你認為快餐公司應該選購哪家加工廠的雞腿？
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
總結：運用“平均數+方差：解決實際問題的一般步驟
4.短跑比賽可以鍛煉人的靈活性，增強人的爆發力，因此小明和小亮在課外活動中，報名參加了短跑訓練小組.教練記錄了他們在最近7次百米訓練中的成績.
如圖所示.
補全信息
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
小明
11.4
11.4
11.4
11.5
11.4
11.5
小亮
11.2
11.5
11.1
11.6
11.5
11.4
（2）請從平均數與方差的角度來分析兩人的成績特點.
（3）現在有一個初中生的百米田徑的比賽。需要從兩人中選取一人去參加比賽經查閱歷屆比賽的資料，成績若達到11.45秒
，就很可能得到冠軍，你認為應該選誰去參加比賽奪冠軍比較有把握？說明理由；
（4）若以往的該項初中生的最好成績的記錄11.20秒，若要想打破紀錄，你認為應該選誰去參賽？
（5）根據7次的測試成績對于小明和小亮的今后的訓練，你有什么建議呢？
【課后作業】
全班同學分成幾個小組完成下面的活動
(1)
收集全班同學每個家庭在某個月的用水量；
(2)
將本組同學每個家庭在這個月的用水量作為樣本數據，計算樣本數據的平均數和方差，并根據樣本數據的結論估計全班同學家庭用水量的情況；
(3)
與其他小組進行交流，談談你對平均數、方差以及用樣本估計總體的認識.

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