資源簡(jiǎn)介

教
案
教學(xué)基本信息
課題
中位數(shù)的概念
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：
第三學(xué)段
年級(jí)
八年級(jí)
教材
書(shū)名：八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)
出版社：人民教育出版社出版
出版日期：2013年9月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)目標(biāo)：1.了解并掌握中位數(shù)的概念,體會(huì)其優(yōu)勢(shì)和研究必要性.
2.感受中位數(shù)在實(shí)際情境中的意義,能應(yīng)用其解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.
3.在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
教學(xué)重點(diǎn)：中位數(shù)的概念及特點(diǎn).
教學(xué)難點(diǎn)：中位數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用
教學(xué)過(guò)程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
引入
【引言】
在前兩節(jié)課中,我們學(xué)習(xí)了一個(gè)刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的重要統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù).它代表的是一組數(shù)據(jù)的平均水平,在我們的生活中應(yīng)用十分廣泛.那么,這個(gè)統(tǒng)計(jì)量它是不是萬(wàn)能的呢？是不是無(wú)論怎樣的數(shù)據(jù),都可以用平均數(shù)來(lái)很好地刻畫(huà)其特征呢？下面,就讓我們一起來(lái)看看小林遇到的這個(gè)問(wèn)題.
【問(wèn)題】
小林在應(yīng)聘一家公司時(shí),想要去了解其員工的薪酬水平.一位主管稱(chēng)全公司所有員工的平均工資為9200元.小林心想自己應(yīng)聘的中層崗位應(yīng)該可以達(dá)到和平均工資相近的水平,可一看合同才發(fā)現(xiàn),這個(gè)崗位的實(shí)際工資僅為6000元.他又詢問(wèn)了公司的另外幾位職員,發(fā)現(xiàn)他們中沒(méi)有一個(gè)人達(dá)到了9200元的平均水平.小林覺(jué)得很奇怪,懷疑是那位主管提供了虛假的信息,可這位主管拿出了公司員工的具體薪酬分布表格.
分析表格的意義,第一行是數(shù)據(jù),第二行是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為1+1+1+3+6+1+11+1=25.
求平均數(shù)：
由此看出,公司主管并沒(méi)有說(shuō)謊.
在仔細(xì)分析數(shù)據(jù)的特點(diǎn)后可發(fā)現(xiàn),只有60000、30000、18000這3個(gè)數(shù)高于平均數(shù)9200,其他數(shù)據(jù)均未達(dá)到.可由于前三個(gè)數(shù)與后面的數(shù)差距很大,對(duì)平均數(shù)的影響也大,這是一個(gè)典型的由少數(shù)極端值影響了整體平均數(shù)水平的例子.用平均數(shù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)顯然是片面的.由此,我們來(lái)引入一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量.
通過(guò)一個(gè)具體問(wèn)題,幫助學(xué)生感受平均數(shù)作為應(yīng)用廣泛的重要統(tǒng)計(jì)量,也有著容易被極端值所影響的局限性.由此引出學(xué)習(xí)和使用其他統(tǒng)計(jì)量的必要性.同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生在統(tǒng)計(jì)表中分析和提取信息的能力.
新課
【中位數(shù)的概念講解】
給出如下一組數(shù)據(jù)：
1、7、3、4、9、5、10
將這組數(shù)據(jù)按照由小到大的順序進(jìn)行排列,得到：
1、3、4、5、7、9、10
易知,這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是7,為一個(gè)奇數(shù).那么,一定可以找到位于其最中間位置的一個(gè)數(shù).
我們稱(chēng)這個(gè)中間位置的數(shù)5為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
如果將數(shù)據(jù)調(diào)整為：1、3、4、5、6、7、9、10
數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)變成了8,是一個(gè)偶數(shù).
此時(shí),我們可以找到這組數(shù)據(jù)最中間的兩個(gè)數(shù)5和6,再計(jì)算他們的平均數(shù)得到5.5.
將這個(gè)平均數(shù)稱(chēng)為是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
【中位數(shù)的概念梳理】
將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列,若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù),則稱(chēng)位于中間位置的數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù),則稱(chēng)中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
【中位數(shù)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用】
下面通過(guò)幾道練習(xí)進(jìn)一步熟悉中位數(shù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量.
練習(xí)1.（1）一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為13,將其按從大到小的
順序重新排列后,中位數(shù)應(yīng)是第____個(gè)數(shù).
（2）一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為20,將其按從小到大的順序重新排列后,中位數(shù)應(yīng)是第___個(gè)和第___個(gè)數(shù)的_____.
解答：
由中位數(shù)的概念易得
（1）第7個(gè)數(shù).
（2）第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)
練習(xí)2.一組數(shù)據(jù)中包括3個(gè)25,
2個(gè)23,
1個(gè)30和1個(gè)27,那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_____.
解答：
數(shù)據(jù)需要先排序（此處按從大到小）得到：
30,27,25,25,25,23,23.
再根據(jù)定義找到中位數(shù)為25.
練習(xí)3.若一組數(shù)據(jù)
20,30,40,m,35,10的平均數(shù)是30,
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.
解答：
需先確定字母m的值.
根據(jù)平均數(shù)為30可列：
,解得m=45.
再將整組數(shù)據(jù)按順序排序得到：
10,20,30,35,40,45.
從而易得其中位數(shù)為30和35的平均數(shù)32.5.
在具體數(shù)據(jù)的例子中逐步操作給出中位數(shù)的概念,便于學(xué)生理解.
在帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷過(guò)具體數(shù)據(jù)的操作后,再次梳理歸納概念,便于學(xué)生完整敘述并掌握.
通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單例子對(duì)中位數(shù)的概念及求法進(jìn)行鞏固,便于學(xué)生落實(shí)掌握.
例題
【例1】
例1.
在一次男子馬拉松長(zhǎng)跑比賽中,抽得12位選手所
用的時(shí)間（單位：min）如下所示：
136
140
129
180
124
154
146
145
158
175
165
148
（1）這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是多少？
（2）一名選手的成績(jī)是148min,你認(rèn)為他的成績(jī)?nèi)绾危?br/>解答：
（1）先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并排序,得到
124
129
136
140
145
146
148
154
158
165
175
180
數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為12,根據(jù)定義,易得中位數(shù)應(yīng)是第6個(gè)數(shù)146和第7個(gè)數(shù)148的平均數(shù),即這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是147.
它代表了這12名運(yùn)動(dòng)員中,位于中間位置的水平.換句話說(shuō),就是有一半人的成績(jī)比147min快,而另一半人的成績(jī)比147min慢.
（2）用中位數(shù)147來(lái)比較,148大于147,說(shuō)明該選手的用時(shí)比至少一半的選手要長(zhǎng),即他比至少一半的選手要慢.
用平均數(shù)為150來(lái)比較,148小于150,說(shuō)明該選手的用時(shí)比平均用時(shí)要短,即其成績(jī)比整組選手的平均成績(jī)快.
這里需要根據(jù)不同的需求,從不同的角度去進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,從而得到相應(yīng)的結(jié)果.在比賽更關(guān)心排名、順序等問(wèn)題時(shí),中位數(shù)作為位置代表值,應(yīng)用性更強(qiáng).
【根據(jù)情境選擇統(tǒng)計(jì)量】
（1）了解某小區(qū)居民家庭每年的用電量水平.
（2）給一批應(yīng)聘者劃定初試達(dá)標(biāo)線,使得其中一半左右的人可以進(jìn)入復(fù)試.
（3）了解你所在班級(jí)同學(xué)的視力水平.
解答：
（1）平均數(shù)更合適
（2）中位數(shù)更合適
（3）根據(jù)需求和角度不同,平均數(shù)和中位數(shù)均可
【例2】
例2.學(xué)校開(kāi)展線上防疫知識(shí)大賽,將八年級(jí)（1）班40
名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)(百分制)進(jìn)行整理、描述和分
析．下面給出了部分信息．
a.競(jìng)賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下:
b.競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0≤x＜90這一組的數(shù)據(jù)如下：
82
83
84
84
85
85
85
86
87
88
88
89
（1）求該班級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù).
解答：
先分析統(tǒng)計(jì)圖.橫軸表示的是競(jìng)賽的成績(jī),分為四組.而縱軸表示的頻數(shù)是每組內(nèi)學(xué)生的人數(shù),即每組中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).這組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為40,中位數(shù)從小到大排序后的第20個(gè)與第21個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
從圖中易看出,前兩組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為4+15=19,那么第20和21個(gè)數(shù)顯然在80到90這一組里.該組的具體數(shù)據(jù)均以給出,所需的第20、21個(gè)數(shù)為82和83.
由此,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是他們的平均數(shù)82.5.
（2）學(xué)校要求每班按成績(jī)高低推薦一半左右的同學(xué)參加復(fù)賽.兩個(gè)班的班長(zhǎng)在對(duì)成績(jī)進(jìn)行初步統(tǒng)計(jì)后,列出了如下的表格：
小江同學(xué)說(shuō)：“雖然我沒(méi)達(dá)到班平均,但肯定能進(jìn)復(fù)賽！”而小張同學(xué)說(shuō)“我超過(guò)了班平均分,卻也要被淘汰了.”
你是否能夠判斷他們來(lái)自于哪個(gè)班級(jí)？
解答：
是否被推薦參加復(fù)賽,取決于個(gè)人的成績(jī)是否能排在班級(jí)的前一半里.要想晉級(jí),成績(jī)至少應(yīng)不低于全班成績(jī)的中位數(shù).
小江說(shuō)他沒(méi)有達(dá)到平均數(shù),卻可以晉級(jí),說(shuō)明他的分?jǐn)?shù)應(yīng)低于班平均,卻高于班中位數(shù).也就是說(shuō),他所在的班級(jí)成績(jī)的平均數(shù)高于中位數(shù).觀察表格發(fā)現(xiàn)八年級(jí)2班的數(shù)據(jù)滿足這個(gè)特點(diǎn).
同理,小張說(shuō)他達(dá)到了平均分卻沒(méi)有晉級(jí),說(shuō)明他的成績(jī)高于平均數(shù)卻低于中位數(shù).因此,他所在的班級(jí)中位數(shù)比平均數(shù)高.觀察得,八年級(jí)1班滿足這個(gè)條件.
所以,所以小江來(lái)自2班,而小張來(lái)自1班.
（3）你認(rèn)為在本次競(jìng)賽中哪個(gè)班級(jí)的成績(jī)更好？
解答：
2班同學(xué)認(rèn)為自己班級(jí)的平均分高于1班,說(shuō)明在這次競(jìng)賽中他們的平均水平更強(qiáng).
而1班的同學(xué)認(rèn)為他們班級(jí)成績(jī)的中位數(shù)高于2班,說(shuō)明他們得到高分的優(yōu)秀同學(xué)更多.
兩個(gè)班同學(xué)選取不同的統(tǒng)計(jì)量從不同角度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析和比較,都是具有實(shí)際意義的.此處的答案并不唯一.
【對(duì)引入部分問(wèn)題的解答】
根據(jù)定義,可求出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6000.
相比于平均數(shù)的9200而言,顯然中位數(shù)更好的描述了該公司中層崗位的薪酬水平.如果公司主管沒(méi)有只選擇平均數(shù),而是也給出其中位數(shù)作參考,小林也就不至于面對(duì)期望和現(xiàn)實(shí)的巨大落差了.看來(lái),學(xué)好不同的統(tǒng)計(jì)量,會(huì)從不同的角度去分析和描述數(shù)據(jù),真的是很有必要的.
通過(guò)例題,鞏固求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的基本過(guò)程.體會(huì)中位數(shù)在實(shí)際情境中所代表的的意義,感受從不同的需求出發(fā),選取不同的統(tǒng)計(jì)量從不同角度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,可能會(huì)得到不同的結(jié)論.關(guān)鍵在于具體情境的具體需要.
通過(guò)幾個(gè)具體情境,幫助學(xué)生體會(huì)根據(jù)需要選擇統(tǒng)計(jì)量的重要性.
培養(yǎng)學(xué)生閱讀統(tǒng)計(jì)圖,從圖中分析和提取信息的能力.進(jìn)一步經(jīng)歷求數(shù)據(jù)中位數(shù)的過(guò)程,體會(huì)中位數(shù)在實(shí)際情境中的意義,明確根據(jù)情境與需求,可以從不同的角度選取不同的統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.
呼應(yīng)本節(jié)課開(kāi)篇的問(wèn)題,當(dāng)平均數(shù)描述數(shù)據(jù)特征有片面性時(shí),對(duì)引入新統(tǒng)計(jì)量有了需求.而利用本節(jié)課學(xué)習(xí)的中位數(shù),描述這組數(shù)據(jù)的特征更加適合.幫助學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)中位數(shù)的作用與優(yōu)勢(shì).
總結(jié)
【課堂小結(jié)】
今天,我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了中位數(shù)的概念及求法.給出一組數(shù)據(jù),先要將其按從小到大或從大到小的順序排列好.找到這組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù),判斷其奇偶性.若個(gè)數(shù)為奇數(shù),則取最中間位置的那個(gè)數(shù),若個(gè)數(shù)為偶數(shù),則最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),所得到的結(jié)果即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).有時(shí),數(shù)據(jù)是以統(tǒng)計(jì)圖或統(tǒng)計(jì)表的形式給出的,那就需要我們先仔細(xì)分析,將數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的提取,再按照前面的求法操作.
我們還學(xué)習(xí)了中位數(shù)的特點(diǎn).它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的位置代表量,且只與一組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān).相比于平均數(shù),中位數(shù)更不易受極端數(shù)據(jù)的影響.在研究與中等水平,排名,順序等相關(guān)的問(wèn)題時(shí),具有較強(qiáng)的實(shí)際意義,是我們進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的好幫手.
對(duì)本節(jié)課所學(xué)進(jìn)行歸納總結(jié),幫助學(xué)生再次鞏固求一組數(shù)據(jù)中位數(shù)的基本步驟,明確中位數(shù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)、優(yōu)勢(shì)及作用.
作業(yè)
在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參加男子跳高的15名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?br/>（1）分別求出這15名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù).
（2）若小張?zhí)?.75米,你認(rèn)為他成績(jī)?nèi)绾危?br/>鞏固落實(shí),檢測(cè)學(xué)習(xí)效果.《中位數(shù)的概念》學(xué)習(xí)任務(wù)單
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),了解并掌握中位數(shù)的概念,體會(huì)其作為刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)勢(shì)和研究的必要性并能應(yīng)用其解決簡(jiǎn)單問(wèn)題,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.共設(shè)置2道例題和2組練習(xí)
【課上學(xué)習(xí)任務(wù)】
如何分析和提取統(tǒng)計(jì)表中的信息？
用平均數(shù)去描述引入問(wèn)題中的數(shù)據(jù)，存在怎樣的片面性？
中位數(shù)的概念是什么？
求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的基本步驟是什么？
在具體情境中，如何說(shuō)明中位數(shù)所代表的實(shí)際意義？
在關(guān)注排名、順序等問(wèn)題的情境中，選擇哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更合適？
根據(jù)什么去選擇不同的統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)特征？
如何分析和提取統(tǒng)計(jì)表中的信息？
選取不同的統(tǒng)計(jì)量去分析和描述數(shù)據(jù)時(shí)，所得到的結(jié)論一定唯一嗎？
【課后作業(yè)】
在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參加男子跳高的15名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?br/>（1）分別求出這15名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù).
（2）若小張?zhí)?.75米,你認(rèn)為他成績(jī)?nèi)绾危?br/>【課后作業(yè)參考答案】
（1）平均數(shù)：
中位數(shù)：數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)為15，中位數(shù)應(yīng)為從小到大排列后第8個(gè)數(shù)據(jù).
即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70
（2）小張的成績(jī)1.75米高于這組選手的平均水平1.67米，也高于排名在中間位置的1.70米，屬于成績(jī)較好的那一半人.

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