資源簡介

直線
直線方程的五種形式及其局限性
⑴直線的點斜式或斜截式不能表示斜率不存在的直線，如果寫成就可以表示斜率不存在的直線。
⑵兩點式不能表示斜率不存在或斜率為0時的直線，寫成表示任意直線
⑶截距式不能表示截距為0與截距不存在的直線，所以要注意設成截距式時出現丟根問題，
相等與截距絕對值相等是兩個不同的概念(截距是直線與坐標軸交點的坐標,可正、負、0)
下列命題中的真命題是 ( )
經過定點的直線都可以用方程表示
B.經過任意兩個不同的點的直線都可以用方程 表示
C.不經過原點的直線都可以用方程表示
D.經過定點的直線都可以用方程表示
【解析】A答案不能表示斜率不存在的直線，C答案不表示平行于軸與平行于軸的直線，
D答案不表示斜率不存在的直線，選B
三點共線
⑴利用兩邊之和等于第三邊
⑵利用斜率相同且過同一點
⑶利用兩點求出直線方程，把第三點代入加以驗證
⑷利用向量
若三點、、共線,則=
【解析】由、兩點確定的直線方程為：，代入，得
兩直線平行
⑴斜率相等，但截距不等。
⑵在一般式中：直線。
，平行：；重合：。
⑶平行直線系方程：，與之平行的直線可設為:。
設,則“”是“直線與直線平行”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】選A
兩直線垂直
⑴利用斜率乘積等于－1。
⑵一般式中：直線,，垂直的充要條件是：。
⑶垂直直線系方程：，與之垂直的直線可設為：。
已知點,,，若為直角三角形，則必有( )
A. B.C. .
【解析】若A為直角,A、B縱坐標相等，；若B為直角，由，得,選C
距離
⑴點到直線的距離：
⑵平行直線;間的距離：
若直線被兩平行線，所截得的線段的長為，則的傾斜角可以是 ①；②；③；④；⑤。其中正確答案的序號是 .（寫出所有正確答案的序號）
【解析】間的距離為，而直線被兩平行線截得的線段長為，可知直線與兩平行線的夾角為，直線的傾斜角為，的傾斜角為：，選①⑤
點到直線距離的最大值為 ( )
A.1 B. C. D.2
【解析】選B
對稱
⑴點關于點對稱：點關于點(中點)的對稱點的坐標為。
⑵點關于線對稱：利用中、垂兩條件建立方程組,(注意特殊點的對稱)點關于直線
的對稱點：。
⑶線關于點對稱：關于點對稱的直線方程為：。
⑷線關于線對稱：(轉化為特殊點對稱)在直線上取一個特殊點，求這個點關于直線的對稱點，再求兩條直
線的交點，利用兩點式可求對稱線的方程。
特例：角的兩邊關于角分線對稱，線關于特殊線(軸、軸、、)對稱，直接交換坐標即可。
⑸反射問題均轉化為對稱問題解決。
已知直線，若直線關于直線對稱，則的方程為 (　　　)
A.　 B. C.　　 D.
【解析】因為對稱軸的斜率為1，由，得，選B
如果那么直線不通過 ( )
A.第一象限 B.第二角限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】選B
已知兩條直線和都過點,求過兩點的直線的方程.
【解析】
圓
圓的方程
⑴標準方程：，圓心，半徑。
⑵一般方程：圓心，。
(2016年全國卷II)圓的圓心到直線的距離為1，則__________
【解析】
已知，方程表示圓，則圓心坐標是 ，半徑是 。
【解析】，5
(2019年新高考浙江卷)已知圓的圓心坐標是，半徑長是，若直線與圓C相切于點，則=___________，=___________．
【解析】，
(2020 II)若過點(2,1)圓與兩坐標軸都相切，圓心到直線2x-y-3=0距離為（ ）
A. B. C. D.
【解析】選B
求由曲線圍成的圖形的面積。
【解析】
方程表示什么曲線?
【解析】上半圓
畫出方程表示的曲線?
【解析】右半圓
點與圓、線與圓、圓與圓位置關系
⑴點與圓：點到圓心距離為：
ⅰ.，在圓上；ⅱ.，在圓外；ⅲ.，在圓內。
⑵線與圓：圓心到直線的距離為：
ⅰ.，相切； ⅱ.，相離； ⅲ.，相交。
⑶圓與圓：兩圓圓心距為，半徑分別為：
ⅰ.，相離； ⅱ.，外切； ⅲ.，相交；iv.，內切； v.，內含。
(2014年全國卷II)設點M（,1），若在圓O:上存在點N，使得∠OMN=45°,則的取值范圍是 。
【解析】點在圓的切線上，當時，恰好存在圓上(0,1),(1,0)兩個點滿足，由圖象應向左移動，由對稱性可得。
2.若直線與圓有公共點，則 ( )
A. B. C. D.
【解析】利用圓心到直線的距離，選D。
3.已知直線與圓相切，則三條邊長分別為的三角形為 ( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不存在
【解析】選B。
4.若直線與曲線有公共點，則的范圍是 ( )
A. B. C. D.
【解析】選C。
5.若曲線與曲線有四個不同的交點，則實數的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【解析】選B。
6.過點引直線與曲線相交于兩點,為坐標原點,當的面積取最大值時,直線的斜率等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】曲線為上半圓，，當時面積最大，，選B。
7.與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方程是 。
【解析】配方得：，半徑最小的圓是過已知圓圓心向直線作垂線與直線與圓有兩交點，以兩交點為直徑的圓，即。
8.集合=其中若中有且只有一個元素,則的值是 。
【解析】3或7。
9.圓與圓的位置關系為 ( )
A.內切　　 B.相交　　 C.外切　 D.相離
【解析】選B。
圓上的點到直線距離為定值的點的個數
到直線距離為定值的點的軌跡是與已知直線平行的兩條直線，這兩條直線與圓的交點的個數即所求點的個數，即最多四個交點，可能是0、1、2、3、4，首先計算圓心到直線的距離，再考慮這個距離與半徑的關系，從直觀上得到答案。
1.圓上到直線的距離等于的點有 個。
【解析】配方得：，圓心到直線的距離為，而半徑為，可知兩條直線一條過圓心，一條與圓相切，即滿足條件的點有3個。
2.已知圓:，直線:()，設圓上到直線的距離等于1的點的個數為，則 。
【解析】4。
3.已知圓直線，當為何值時，圓上恰有3個點到直線的距離都等于1。
【解析】。
圓中弦中點性質
⑴弦中點與圓心連線與弦垂直；
⑵弦的中垂線過圓心。
1.直線與圓相交于兩點，弦的中點為，則直線的方程為 。
【解析】圓心為，圓心與中點確定直線與垂直，即，直線方程為
2設直線和圓相交于點，則弦的垂直平分線方程是 。
【解析】。
圓的切線
過圓上一點的切線方程：
⑴圓心在坐標原點:；
⑵圓心不在坐標原點的標準方程：；
⑶一般方程:。
※圓，點，則方程表示的直線與圓的位置關系：
，利用圓心到直線的距離可判斷。
幾何意義：
⑴點在圓外，則表示過作圓兩條切線，兩切點確定直線方程；⑵點在圓內，則表示過作圓割線(無數條)與圓有兩交點，過兩交點作圓的切線，兩切線交點在一條直線上。
過圓外一點引圓的切線(兩條)：方法：設斜率，利用點斜式設出直線方程，然后利用圓心到直線的距離等于可確定，如果求出一條，存在丟根問題，一定要補上斜率不存在直線。
1.過點P(2,2)的直線與圓相切，且與垂直，則 ( )
A. B.1 C.2 D.
【解析】選C。
2.已知點在圓外，則直線與圓的位置關系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定
【解析】選B。
3.過點作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選A。
4.過原點作圓的兩條切線，設切點分別為，則線段的長為 。
【解析】兩切點確定的直線方程為：求出圓心距為1，半徑為，弦長為4。
5.(2020年全國卷I11)已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】當時，取到最小值，求得，選D。
6.若直線與圓相交，則點與圓的位置關系是 ( )
A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內 D.不能確定
解析】選B。
切線長、弦長。
⑴過圓外一點作圓的切線，切點為，
則；
⑵弦長=2。
1.已知圓的方程是，圓的方程是，由動點向圓和圓所引的切線長相等，則動點的軌跡方程是 。
【解析】設，因為切線長相等，即，得。
2.(2015年新課標全國卷II7)過三點,,的圓交軸于兩點，則= ( )
A.2 B.8 C.4 D.10
【解析】得圓心為，選C。
3.(2020年新高考天津卷12)已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為 。
【解析】5。
4.(2016年新課標全國卷III16)已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點,若,則=_______.
【解析】代入弦長公式得，直線的傾斜角為，。
5.(2018年全國卷I)直線與圓交于兩點，則 。
【解析】。
6.在平面直角坐標系中,直線與圓相交于兩點，則弦的長等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】選B。
7.在平面直角坐標系中,直線被圓截得的弦長為 。
【解析】。
8.已知直線與圓心為的圓相交于兩點,且為等邊三角形,則實數________.
【解析】。
9.已知圓截直線所得線段的長度是,則圓與圓的位置關系是 ( )
A.內切 B.相交 C.外切 D.相離
【解析】選B。
最值問題
⑴定點與圓上點距離最值問題：
點的確定：點與圓心連線與圓有兩交點，靠近為最小值點，遠離為最大值點；
最值確定：定點與圓心距離。
1.已知則最小值為 。
【解析】
2.(2020年北京卷)已知半徑為1的圓經過點，則其圓心到原點的距離的最小值為 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】選A
⑵線與圓距離最值問題：
點的確定：
①圓心作線的垂線交圓于兩點，靠近為最小值點，遠離為最大值點；
②平行移動直線與圓有兩切點；
最值確定：
圓心到直線距離。
1.(2018年北京卷)在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離，當變化時，的最大值為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】P為單位圓上一點，而直線恒過點A（2,0），幾何意義是d的最大值為OA+1=3。
2.圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是( )
A.36 B.18 C. D.
【解析】選C。
3.(2018年新課標全國卷III)直線分別與軸，軸交于,兩點，點在圓上,則面積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【解析】選A
4.在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為
【解析】直線恒過定點，當點與的距離為半徑時半徑最大，,
5.在平面直角坐標系中，分別是軸和軸上的動點，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為 ( )
A. B. C. D.
【解析】動圓恒過原點，當原點到直線距離為直徑時面積最小，選A
⑶構造斜率求最值：
形如最值的求法，可看作是圓上的點的斜率的范圍
1.如果實數滿足:則的最大值為
【解析】
⑷構造截距求范圍
形如:范圍，可設可看作是直線平行移動的截距
1.若直線與曲線恰有一個公共點，求實數的取值范圍。
【解析】或
⑸切線長最值：
圓心到動點距離最小或最大時切線長最小或最大。
1.由直線上的一點向圓引切線，則切線長的最小值為 ( )
A.1 B. C. D.
【解析】選C
⑹弦長最值：
轉化為弦心距最值。
1.已知圓的方程為，設該圓過點的最長弦和最短弦分別為和,則四邊形的面積為 ( )
A.　　 　 　B.　　 　C.　 　 　D.
【解析】最長弦為過圓心的弦即直徑，最短弦與最長弦垂直，而，選B
2.過點的直線，將圓形區域分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選A
3.過點作圓的弦，其中最短的弦長為 。
【解析】
4.設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于, 則的最大值是
【解析】可知P的軌跡是以，為直徑的圓，當PA=PB時最大為5
5.(2020年新課標全國卷I6)已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】選B。
6.已知圓直線:。
（1）求證：直線恒過定點。
（2）判斷直線被圓截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時的值以及最短長度。
【解析】（1）恒過定點(3,1)；（2）；。
對稱問題
⑴自身對稱：
①圓自身關于圓心成中心對稱；
②圓關于任意一條直徑成軸對稱。
1.已知圓(為實數)上任意一點關于直線的對稱點都在圓上，則 。
【解析】-2。
2.已知直線是圓的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則= ( )
A.2 B. C.6 D.
【解析】選C。
⑵圓關于點(或線)的對稱
只對稱圓心即可，轉化為點關于點(或點關于線)對稱。
1.已知圓:=1，圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（ ）
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】只對稱圓心，圓圓心為，關于對稱點坐標為，選B
2.圓關于原點對稱的圓的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選A。
3.已知圓，圓，分別是圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為 ( )
A. B. C. D.
【解析】其中一個圓關于軸對稱，兩圓心連線與軸的交點為所求點，連線距離減去兩圓半徑之和為最小值，選A。
4.一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為 (　 　)
A.或 B.或 C.或 D.或
【解析】選D。
圓錐曲線方程
橢圓：表示焦點在x軸的橢圓標準方程；表
示焦點在y軸的橢圓標準方程。
判斷焦點所在軸秒殺方法：分母大的為焦點所在軸。
幾何性質：①關于x軸、y軸成軸對稱圖形，關于原點成中心對稱圖形。
②，下圖中對應的特征直角三角形。
應用：作圖法找橢圓的焦點：以短軸的兩個端點為圓心，以半長軸為半徑作圓，與長軸的兩個交點為橢圓的焦點。
雙曲線：表示焦點在x軸上雙曲線的標準方程；表示焦點在y軸的雙曲線標準方程。
判斷焦點所在軸秒殺方法：系數為正的為焦點所在軸。
幾何性質：
①關于x軸、y軸成軸對稱圖形，關于原點成中心對稱圖形。
②，特征三角形：原點、虛軸端點、實軸端點構成的直角三角形；
拋物線：①焦點在軸上：;
②焦點在軸上：，表示焦點到準線的距離。
判斷焦點所在軸秒殺方法：一次對應焦點所在軸。
③焦點坐標:或。
④準線方程:或。
確定圓錐曲線的形狀
1.“”是“方程”表示焦點在軸上的橢圓”的 ( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】橢圓方程可化為：，如焦點在軸上，只需，即，所以是充要條件，選C。
2.若，則“”是“方程表示雙曲線”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】方程表示雙曲線只需，即或，所以是充分不必要條件，選A。
3.(2016年全國卷I5)已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【解析】可知焦點在軸上，，需，選A。
4.(2020年全國卷9)已知曲線 ( )
A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為
C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為
D.若m=0，n>0，則C是兩條直線
【解析】選A、C、D。
求圓錐曲線方程
1.(2017年全國卷III)已知雙曲線：()的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】由橢圓方程得，由漸近線得，，選B。
2.已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 。
【解析】由橢圓方程得，，所以雙曲線的離心率為，，由雙曲線的方程為：。
3.已知拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為 。
【解析】拋物線的準線為，所以雙曲線中，由離心率為2得，焦點在軸上，所以雙曲線的方程為。
4.下圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米。
【解析】設拱橋所在拋物線的方程為，將點代入得，轉化為求點中的，將點代入拋物線中可得，即水面寬為米。
求圓錐曲線方程中的量
1.(2019年全國卷II)若拋物線焦點是橢圓一個焦點，則= ( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【解析】，，選D。
2.(2012年全國卷8)已知等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在軸上，C與拋物線的準線交于A、B兩點，，則C的實軸長為 ( )
A. B. C.4 D.8
【解析】設等軸雙曲線方程為，拋物線準線方程為，解得，選C。
3.設是橢圓的長軸，點在橢圓上，且，若，則橢圓的兩個焦點之間的距離為 。
【解析】由得，由與得，代入橢圓得，，=。
4.曲線與曲線的 ( )
A.焦距相等 B.離心率相等 C.焦點相同 D.準線相同
【解析】表示焦點在軸上的橢圓，表示焦點在軸上的雙曲線
化簡為，可知焦距相等，選A。
5.，則雙曲線與的 ( )
A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.焦距相等 D.離心率相等
【解析】由方程得，，選D。
6.若實數滿足，則曲線與曲線的 ( )
A.焦距相等 B.實半軸長相等 C.虛半軸長相等 D.離心率相等
【解析】表示焦點在軸上的雙曲線，表示焦點在軸上的雙曲線，可知焦距相等，選A。
7.曲線與曲線 的 ( )
A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等
【解析】當時，表示焦點在軸上的橢圓，兩曲線焦距相等；當時，可化為，表示焦點在軸上的雙曲線，兩曲線焦距相等，選D。
8.(2020年全國卷II)設O為坐標原點，直線x=a與雙曲線C：=l(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】,,，選B。
圓錐曲線定義
利用橢圓定義解題
動點到兩定點(距離為)距離之和為定值()的點的軌跡
①，橢圓；
②，兩定點確定的線段；
③，無軌跡。
焦半徑公式：，(左加右減)
二級結論：
過拋圓的一個焦點作弦AB,與另一個焦點F構造三角形FAB，則FAB周長等于4
1.設是橢圓上點，若是橢圓兩個焦點，則等于( )
A.4 B.5 C.8 D.10
【解析】利用橢圓的定義得=，選D。
2.(2014年遼寧卷)已知橢圓：，點M與C的焦點不重合，若關于的焦點的對稱點分別為，線段的中點在上，則 。
【解析】如圖,，，。
3.(2019年全國卷III15)設、為橢圓C：的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為 。
【解析】，，代入得M
4.(2011年全國卷14)在平面直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點在軸上，離心率為，過直線交于兩點，且周長為16，那么方程為
【解析】，得方程為：
5.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，,則=
【解析】
6.已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是 ( )
A. B.6 C. D.12
【解析】周長為：，選C
7.已知橢圓:的左、右焦點為、，離心率為，過的直線交于兩點，若的周長為，則的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】，，，選A
8.已知經過橢圓的右焦點作垂直于軸的直線，交橢圓于兩點，是橢圓的左焦點。（1）求的周長；
（2）如果不垂直于軸，的周長有變化嗎？為什么？
【解析】（1）20；（2）不變。
利用雙曲線定義解題
1.雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值是常數。
2.注意定義中兩個加強條件：①絕對值； ②。
3.加絕對值表示兩支(或兩條),不加絕對值表示一支(或一條)。
4.①當時，表示雙曲線；②當時，表示以兩定點為端點向兩側的射線；③當時，無軌跡。
5.當時，表示兩定點的中垂線。
1.(2012年遼寧卷)已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則的值為 。
【解析】得=。
2.設橢圓的離心率為，焦點在軸上且長軸長為26，若曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線的標準方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】由雙曲線定義得，，，選A。
3.雙曲線離心率為2，焦點為、，點在上，若，則( )
A. B. C. D.
【解析】由雙曲線定義得：，，，，由余弦定理得：，選A。
4.若雙曲線 的左、右焦點分別為、，點在雙曲線上，且，則等于( )
A.11 　　 　B.9 C.5 　 　　D.3
【解析】由雙曲線定義得：，選B。
5.(2020年浙江卷8)已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數圖象上的點，則|OP|= ( )
A. B. C. D.
【解析】利用定義知P是雙曲線右支與橢圓的交點，
聯立得選D
二級結論：過雙曲線的一個焦點作弦AB（交到同一支上），與另一個焦點F構造三角形FAB，則FAB的周長等于4+2AB。
1.(2013年遼寧卷)已知為雙曲線的左焦點，為上的點，若的長等于虛軸長的2倍，點在線段上，則的周長為 。
【解析】
2.過雙曲線左焦點的直線交雙曲線的左支于兩點，為其右焦點，則的值為 。
【解析】①，②
①+②可得=，而，等于8
3.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與左支相交于兩點，如果，那么= 。
【解析】
利用拋物線定義解題
拋物線：到定點(焦點)距離等于到定直線(準線)距離
圖形



標準方程



對稱軸 軸 軸 軸 軸
焦半徑



幾何意義 參數表示焦點到準線的距離，越大，開口越開闊。
1.(2016年新課標全國卷I10)以拋物線的頂點為圓心的圓交于兩點，交的準線于兩點，已知=，=，則的焦點到準線的距離為 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】，，=，，選B。
2.拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標是 ( )
A. B. C. D.0
【解析】由拋物線定義可知：，選B。
3.設拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】選B。
4.已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為 ( )
A. B.1 C. D.
【解析】由拋物線定義可知：，選C。
5.(2020年全國卷I4)已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
【解析】12=9+，，選C。
6.(2020年北京卷7)設拋物線的頂點為O，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線 ( )
A.經過點 B.經過點 C.平行于直線 D.垂直于直線
【解析】選B。
7.(2020年全國卷II)橢圓C1：(a>b>0)右焦點F與拋物線C2焦點重合，C1中心與C2的頂點重合．過F且與x軸重直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的離心率；
（2）若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．
【解析】（1）由已知可設的方程為，其中.
不妨設在第一象限，由題設得的縱坐標分別為，；的縱坐標分別為，，，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.
（2）由（1）知，，故，所以的四個頂點坐標分別為，，，，的準線為.由已知得，即.所以的標準方程為，的標準方程為.
8.(2020年全國卷II)已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且．
（1）求C1的離心率；
（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程．
【解析】（1）由已知可設的方程為，其中.不妨設在第一象限，由題設得的縱坐標分別為，；的縱坐標分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.
（2）由（1）知，，故，設，則，，故.①由于的準線為，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.所以的標準方程為，的標準方程為.
二級結論：焦點在軸上的圓錐曲線,曲線上的點到同一個焦點的距離成等差數列，則橫坐標成等差數列，反過來亦成立。
1.(2007年全國卷6)已知拋物線的焦點為，點,,在拋物線上,且,則有 ( )
A. B.
C. D.
【解析】可知焦半徑成等差數列，選C.
二級結論：一般情況下，拋物線中已知到焦點的距離需轉化為到準線的距離，已知到準線的距離需轉化為到焦點的距離。
1.(2014年全國卷I10)已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則= ( )
A. B. C.3 D.2
【解析】利用相似成比例與拋物線上的點到焦點的距離等于到準線距離，得=3，選C。
2.(2017年全國卷II)已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點，若為的中點，則= 。
【解析】則，焦點為，準線，如圖，為、中點，知線段為梯形的中位線，∵，，∴，又由定義知，且，。
二級結論：作過拋物線焦點且傾斜角為60°或120°弦，兩段焦半徑分別為：。
1.(2017年全國卷II)過拋物線的焦點，且斜率為直線交于點(在軸上方)，為準線，點在上且，則到直線距離為 ( )
A. B. C. D.
【解析】斜率為可知為邊長為4的等邊三角形，則=，選C
2.設拋物線的焦點為，準線為,為拋物線上一點，，為垂足，如果直線的斜率為，那么= ( )
A. B.8 C. D.16
【解析】由二級結論知選B
3.設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為 。
【解析】由二級結論得
4.拋物線的焦點為，準線為，經過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，，垂足為，則的面積是 ( )
A.4 B. C. D.
【解析】由二級結論得
5.(2020年新高考全國卷13)斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A、B兩點，則= 。
【解析】
焦點三角形
橢圓上任意一點與兩焦點、構成的三角形：

焦點三角形周長及頂角的范圍
①焦點三角形周長為定值：。
②當點靠近短軸端點時增大，當點靠近長軸端點時減小；與短軸端點重合時最大。
注：橢圓中端點三角形(長軸兩端點與橢圓上一點構成)當P在短軸端點時頂角最大。
1.(2017年全國卷I)設、是橢圓長軸的兩個端點，若上存在點滿足，則的取值范圍是 (　　　)
A. B. C. D.
【解析】當時，橢圓的焦點在軸上，
要使C上存在點M滿足，則需，即，得；
當時，橢圓的焦點在軸上，
要使C上存在點M滿足，則，即，得。
故m的取值范圍為,選A。
焦點三角形面積
焦點三角形面積：（求坐標范圍或到坐標軸距離的范圍時。）=求或時。），即與短軸端點重合時面積最大。
1.已知,是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，,若的面積為9，則= 。
【解析】由橢圓焦點三角形面積公式得：，。
焦點直角三角形個數
焦點直角三角形：底角為，有四個(四個全等，點為通徑端點。)；
頂角為，即以為直徑的圓與橢圓交點為點：。
1.、是橢圓的焦點，在上滿足的點的個數為 。
【解析】，P點的個數是2個。
2.已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為 ( )
A. B.3 C. D.
【解析】，所以頂角為直角的不存在；而底角為直角時，P到x軸的距離為通徑的一半，即：，選D。
3.設、為橢圓的兩個焦點,為橢圓上的一點，已知,,是一個直角三角形的三個頂點，且，求的值。
【解析】，所以頂角為直角與底角為直角的均存在；
①如果底角為直角，，，=；
②如果頂角為直角，，，，=2。
雙曲線中的焦點三角形
焦點直角三角形的個數：一定為八個，頂角為直角與底角為直角的各為四個。
焦點三角形面積：為焦點三角形的頂角)=（求坐標范圍或到坐標軸距離的范圍時。）=（求或時。）。等面積思想在解題時非常重要。
1.(2015年新課標全國卷I5)已知是雙曲線上的一點,是的兩個焦點,若,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【解析】當時，由等面積：，選A。
2.已知、為雙曲線:的左、右焦點，點在上，，則 ( )
A.2 　　　 B.4 　 　 C.6 　　 　 D.8
【解析】由等面積得：，選B。
4.設為雙曲線上的一點,是該雙曲線的兩個焦點,若則的面積為　　　　
【解析】設，則，由雙曲線的定義得：，，，,所以由勾股定理得為焦點直角三角形，所以
5.設分別是雙曲線的左、右焦點,若點在雙曲線上,且,則　　　　
【解析】由向量中線定理得：=
6.(2020年全國卷I11)設是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為 ( )
A. B.3 C. D.2
【解析】由，得，選B。
8.已知雙曲線的左,右焦點分別為,為的右支上一點,且,則的面積等于 ( )
A.　　 B.　　 C.　 D.
【解析】=10，由雙曲線定義得：，是等腰三角形，底邊上的高為6，所以面積為48，選C。
9.(2020年新課標全國卷III11)設雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，P是C上一點，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面積為4，則a= ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】=，，選A。
離心率
利用焦點三角形求離心率
利用定義，求出
橢圓結論：設橢圓焦點三角形兩底角分別為、，(正弦定理)
雙曲線結論：利用焦點三角形兩底角來表示：
1.在平面直角坐標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則　　　　。
【解析】由二級結論得：。
2.(2013年新課標全國卷II)設橢圓的左、右焦點分別為，是上的點，，，則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】設，，則，即，，，
由二級結論得：，選D。
3.雙曲線(,)的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】設，，則，即，，，
由二級結論得：，選B。
4.設橢圓的兩個焦點分別為,過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點,若為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】，，則，即，，選D。
由二級結論得：，選D。
5.(2016年新課標全國卷II11)已知是雙曲線的左、右焦點，點在上,與軸垂直,,則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】設，則，，，，
由二級結論得：，選A。
6.(2018年新課標全國卷II)已知,是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若,且,則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】設，則，，選D。
由二級結論得：，選D。
7.(2018年北京卷)已知橢圓，雙曲線，若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為 ；雙曲線N的離心率為 。
【解析】設其中一個交點為，則為焦點直角三角形，設，則有，橢圓的離心率為，雙曲線漸近線的傾斜角為，雙曲線的離心率為2。
8.已知是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】設中點為P(右），，，，，，選D。
由二級結論得：，選D。
9.設分別是雙曲線的左、右焦點,若雙曲線上存在點,使且,則雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】設，則，，，，選B。
10.在中,,.若以為焦點的橢圓經過點,則該橢圓的離心率 。
【解析】設，則，，，。
由二級結論得：。
11.已知雙曲線，若矩形的四個頂點在上, 的中點為的兩個焦點，且，則的離心率是 。
【解析】取一個焦點三角形，設，則，，，，，。
12.設是等腰三角形,,則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【解析】，，，，選B
13.在中，，，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 ．
【解析】，由余弦定理得：，，，。
14.設圓錐曲線的兩個焦點分別為,若曲線上存在點滿足=4:3:2,則曲線的離心率等于 ( )
A. B.或2 C.2 D.
【解析】設，，，
當曲線為橢圓時，，，；
當曲線為雙曲線時，，，，選A。
15.設是雙曲線：的兩個焦點，是上一點，若且的最小內角為，則的離心率為 。
【解析】設P在雙曲線右支上，由雙曲線定義得，，，，且，最小，，由余弦定理：,，。
16.設，分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得則該雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C. D.3
【解析】設P在雙曲線右支上，由雙曲線定義得，，，，或（舍去），，選B。
17.橢圓為定值,且的左焦點為,直線與橢圓相交于點、,的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是 。
【解析】設右焦點為，由橢圓定義得：，
由，的周長的最大值是，，，。
18.設是雙曲線:的一個焦點，若上存在點，使線段的中點恰為其虛軸的一個端點，則的離心率為 。
【解析】法一：設F是雙曲線的左焦點，可得P，代入得
法二：F是雙曲線左焦點，是雙曲線右焦點，則，，，
尋找a、b、c的關系求離心率
如果建立或或的關系，一般情況要通過平方消去化簡為關系求離心率
19.(2019年新課標全國卷I)已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若，，則C的離心率為 。
【解析】，，設，，則，。
20.(2019年高考題天津卷)已知拋物線的焦點為，準線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C.2 D.
【解析】將代入漸近線，得，令，則，，選D。
21.(2012年新課標全國卷4)設是橢圓的左,右焦點,為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】，得，選C。
22.(2019年全國卷II11)設為雙曲線C：的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于、兩點，若|，則C離心率為( )
A. B. C. D.
【解析】、是互相垂直的直徑，，，選A。
23.(2016年全國卷III)已知為坐標原點，是橢圓的左焦點，分別為的左、右頂點，為上一點，且軸，過點的直線與線段交于點，與軸交于點，若直線經過的中點，則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】由線段成比例得：，，得，選A。
24.(2017年新課標全國卷I15)已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點，若，則的離心率為 。
【解析】可得為等邊三角形，到漸近線的距離為，得，。
秒殺方法：由可得(利用焦點到漸近線的距離為)。
25.(2017年全國卷III)已知橢圓:()的左、右頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】因為圓與直線相切，即圓心到直線距離等于得：，，，選A。
26.過雙曲線的左焦點且垂直于軸的直線與雙曲線相交于兩點，以為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于 。
【解析】設右頂點為，左焦點為，為等腰直角三角形，可得，即，得，，（舍去）。
27.如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】在雙曲線中，可得，在橢圓中，利用焦點三角形面積公式得，在雙曲線中，，， ，，選D。
28.(2020年新課標全國卷I15)已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為 。
【解析】，得。
29.(2020年新高考江蘇卷6)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是 。
【解析】。
黃金橢圓
成等比數列，即，橢圓:，叫優美橢圓；類比：雙曲線：
求離心率的范圍
建立不等式，求出范圍
30.(2017年全國卷II)若，則雙曲線的離心率的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【解析】，選C。
31.已知雙曲線的左右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為 ( )
A. B. C. D.
【解析】由得，即，。
雙曲線的漸近線
由雙曲線的方程求漸近線
①已知雙曲線方程求漸近線方程：
②若焦點在x軸上，漸近線為；若焦點在y軸上，漸近線為
1.(2019年新高考江蘇卷)在平面直角坐標系中，若雙曲線經過點（3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是 。
【解析】代入得，漸近線方程是：。
2.雙曲線的對稱軸為坐標軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為 ( )
A.5或 B.或 C.或 D.5或
【解析】焦點在x軸上，則，；焦點在y軸上，則，；選B。
3.(2018年新課標全國卷II5)雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】秒殺方法：設，則，選A。
4.已知橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】，得，選A。
有共同漸近線雙曲線方程的設法
1.求與雙曲線有公共的漸近線，且經過點A的雙曲線的方程。
【解析】設雙曲線方程為：，代入點A得，雙曲線方程為：。
2.設雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，則的方程為 ；漸近線方程為 。
【解析】設雙曲線方程為：，代入點得=-3，雙曲線的方程為：，漸近線方程為。
已知漸近線方程設雙曲線方程
1.(2015年全國卷II)已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為 。
【解析】設雙曲線，將點代入得，所以雙曲線方程為。
2.若雙曲線漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是 。
【解析】設雙曲線方程為：，因為焦點在x軸上，化簡為，得，雙曲線方程為：。
3.(2020年天津卷7)設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為，若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】漸近線垂直可知為等軸雙曲線，設方程為：，可知，選D。
雙曲線的焦點到漸近線的距離
雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長
二級結論：焦點到漸近線的距離與頂點到漸近線的距離之比等于雙曲線的離心率
1.已知雙曲線:，以的右焦點為圓心且與的漸近線相切的圓的半徑是 ( )
A. B. C. D.
【解析】以的右焦點為圓心且與的浙近線相切的圓的半徑等于右焦點到漸近線的距離，選D。
2.雙曲線的漸近線與圓相切，則= ( )
A. B.2 C.3 D.6
【解析】因為圓心恰為雙曲線的右焦點，所以r=b=，選A。
3.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓:相切，且雙曲線的右焦點為圓的圓心，則該雙曲線的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】c=3，r=b=2，a=，選A。
4.(2007年新課標全國卷13)已知雙曲線的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為　 　。
【解析】 由相似成比例可得：。或由上面的二級結論直接得到答案。
5.(2014年新課標全國卷I4)已知是雙曲線:的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為 ( )
A. B.3 C. D.
【解析】由二級結論得，選A。
6.已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 ( )
A. B. C.3 D.5
【解析】拋物線與雙曲線的焦點為，則b=，所以雙曲線焦點到其漸近線距離等于，選A。
7.(2018年新高考江蘇卷)在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是 。
【解析】，設，所以離心率為2。
8.已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，設到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】秒殺方法：由梯形中位線知,焦點到此漸近線的距離為3，即，選C。
9.(2018年新課標全國卷I11)已知雙曲線，為坐標原點，為的右焦點,過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，若為直角三角形，則= ( )
A. B.3 C. D.4
【解析】漸近線方程為，∵為直角三角形，
假設，,
∴，∴，選B。
10.(2018年新課標全國卷III11)設是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為 ( )
A. B.2 C. D.
【解析】,，又因為，所以，
在中，，
∵在中，，
∴
。
11.(2020年新高考北京卷12)已知雙曲線，則C的右焦點的坐標為_________；C的焦點到其漸近線的距離是 。
【解析】，。
直線與圓錐曲線
答題步驟:
步驟1：設直線方程：注意設直線的技巧。
①當斜率不存在的直線不滿足，斜率為零的直線滿足時，一般設為；
②當斜率為零的直線不滿足，斜率不存在的直線滿足時，一般設為；
③兩類直線均滿足或均不滿足時，兩種設法均可，但兩類直線均滿足時，注意要對取不到的直線補充驗證。)。
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程。
步驟3：寫出根與系數的關系（如果求范圍或直線與曲線不是恒有公共點，則寫出）。
步驟4：轉化已知條件，轉化為兩根的關系。
步驟5：把根與系數的關系代入轉化的條件中。
※注：若題目中不涉及根與系數，則步驟4\步驟5可省略。
弦長公式：弦長：直線與曲線相交中兩交點的距離。
弦長公式：直線與曲線聯立，若消y，轉化為關于x一元二次方程，則弦長=；若消x，則轉化為關于y一元二次方程:弦長=
直線與橢圓的位置關系
直線，橢圓:；
判定方法：法：
直線與橢圓方程聯立：。
1.已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點。
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。
【解析】(1)c=2，設橢圓方程為：，代入點A得橢圓方程為。
法二：（最佳方法）左焦點為(-2,0)，則A到兩焦點距離分別為：3、5；所以2a=8，a=4，所以橢圓方程為。
步驟1：設直線：假設存在符合題意的直線，其方程為；
步驟2：直線方程與橢圓方程聯立：由，得；
步驟3：判別式：直線與橢圓有公共點，有，解得
步驟4：利用已知條件：由直線OA與的距離4得：，，
由于，所以符合題意的直線不存在。
2. (2007年新課標全國卷)在平面直角坐標系中,經過點且斜率為的直線與橢圓 有兩個不同的交點和。
（1）求的取值范圍；
（2）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為、,是否存在常數,使得向量與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由。
【解析】（1）)步驟1：設直線：直線；
步驟2：直線方程與橢圓方程聯立：由得；
步驟3：判別式：由得。
步驟4：：轉化已知條件：,
,；
步驟5：把根與系數的關系代入轉化的條件中：
利用共線可得，因為，故不存在。
3.(2010年新課標全國卷)設分別是橢圓: 的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且，，成等差數列。
（1）求的離心率；
（2）設點滿足，求的方程。
【解析】（1），,；
步驟1：設直線：:；
步驟2：直線方程與橢圓方程聯立：由,化簡后得；
步驟3：韋達定理：；
步驟4：代公式：直線斜率1，，得
，的離心率；
（2）利用的中垂線過點，得橢圓方程為：。
直線與雙曲線的位置關系
①第一角度:;
②第二角度:(從交點個數);
如交到同一支上條件的限定：
右支： ；左支：，
或者直接利用與漸近線的關系旋轉得到
1.直線與雙曲線C：的右支交于不同的兩點A、B。
（1）求實數k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。
【解析】步驟1：直線方程與雙曲線方程聯立：得：；
步驟2：判別式：由得；
步驟3：條件轉化：以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F，等價于FAFB，即，代入坐標得：；
步驟4：把根與系數關系代入條件：，得或（舍）
直線與拋物線的位置關系
①第一角度:位置關系：
②第二角度:交點個數：
1.拋物線線關于x軸對稱，頂點在坐標原點,點P(1,2)、A()、B均在拋物線上。
（1）寫出該拋物線的方程及其準線方程；
（2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值及直線AB的斜率。
【解析】（1）設拋物線方程，代入點P得拋物線的方程為：，準線為：;
（2）法一：步驟1：設直線：：；
步驟2：直線方程與拋物線方程聯立：，得；
步驟3：韋達定理：，；
步驟4：轉化已知條件：，得；
步驟5：代入根與系為關系：。
法二：拋物線特有方法（繞開直線與拋物線聯立，設點的技巧。）：設A，B，，則有，得，
圓錐曲線直角弦
直角弦定義：直線與圓錐曲線相交于A、B兩點，若存在點P，使得PAPB，則弦AB叫做相對于點P的直角弦。
直角弦有三種考法：
①PAPB以AB為直徑的圓過點P；
②APB是鈍角點P在以AB為直徑的圓內；
③APB是銳角點P在以AB為直徑的圓外；
橢圓中的直角弦。
方法一答題規范模板：
步驟1：設直線的方程；
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程；
步驟3：寫出根與系數的關系；
步驟4：利用，把根與系數的關系代入。
方法二答題規范模板：
步驟1：設直線的方程；
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程；
步驟3：利用根與系數的關系求出點的坐標，把點的坐標中的換為得到點的坐標；
步驟4：由兩點式求出的方程，進而求出直線的特點。
相對于橢圓中心的直角弦
直線與曲線交于兩點，若(為曲線中心)，則稱為相對于中心的直角弦，由，得二級結論：中心到直線的距離為定值：。
1.(2008年新課標全國卷20)在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為、，也是拋物線的焦點，點為與在第一象限的交點，且。
（1）求的方程；
（2）平面上的點滿足直線，且與交于、兩點，若，求直線的方程。
【解析】（1），代入拋物線得，M到距離之和為，得:。
由，所以，
步驟1：設直線方程：設:;
步驟2：直線與曲線聯立：直線與橢圓聯立：，化簡得：；
步驟3：寫出根與系數的關系：設交點A、B，由韋達定理得：，；
步驟4：利用：由，，得。
秒殺方法：由點到直線的距離，得。
相對于其它點的直角弦
利用。
二級結論 ：上一點，過作互相垂直的兩條直線，與橢圓交于兩點，則恒過定點。
秒殺方法：一般情況，直線AB（設直線AB方程為：y=kx+m。)與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，使，會出現一個固定型關系式：（記住，因運算較繁瑣.)，
即，AB恒過定點（舍去），
注意：若條件中以或以AB為直徑的圓過點P的形式給出，則不能舍去，答案有兩個值。或，AB恒過定點。
1.(2020年新高考全國卷22)已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）點M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值。
【解析】（1）代入點A得，另，得，，C的方程為。
（2）步驟1：兩類特殊直線均滿足，兩種設法均可，最后補回不能表示的直線：當斜率存在時，設直線MN的方程為：；
步驟2：直線與曲線聯立：直線與橢圓聯立得；
步驟3：寫出根與系數的關系：設M，N，則有：，；
步驟4:轉化關系：,，得，
A不在直線MN上，，，的方程為，過點；
當直線與軸垂直時，可得，由得，又，可得，解得（舍去），，此時直線亦過點。
令為的中點，即，若與不重合，則由題設知是的斜邊，，若與重合，則，綜上，存在點，使得為定值。
秒殺方法：利用前面秒殺方法很快可以做出。
2.(2014年遼寧卷)圓的切線與軸正半軸、軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為(如圖)，雙曲線過點且離心率為。
（1）求的方程；
（2）橢圓過點且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于兩點，若以線段為直徑的圓過點，求的方程。

【解析】（1）設，則切線方程為：，，，當且僅當時等號成立，即，代入雙曲線方程中，可得，的方程為。
（2)可得橢圓方程為：；
步驟1：設直線方程：斜率為0的直線不滿足，設;
步驟2：直線與曲線聯立：直線與曲線聯立得：，設交點A、B；
步驟3：寫出根與系數的關系：由韋達定理得：，；
步驟4：利用：代入得或，為:或。
秒殺方法：直線與曲線聯立，利用，代入根與系數的關系，得一固定關系式：，即或。
拋物線中的直角弦。
相對于原點的直角弦
拋物線中相對于曲線中心的直角弦：直線交于()，()兩點(注意設點技巧），為原點，若，把叫做相對于的直角弦，
得秒殺結論：
①直線l恒過定點（2p，0），，反之亦然。
推導過程：設直線AB：，與拋物線聯立得：，
設A、B，
由，得，，
恒過定點。
②△AOB面積的最小值為
推導過程：
先證明恒過定點，
，
當時，即時，。
③點的軌跡為：
推導過程：先證明恒過定點，設，則有，
即，化簡即得。
④弦的中點的軌跡方程為：
推導過程：先證明恒過定點，利用點差法可得，
即，化簡即得。
1.(2017年新課標全國卷III20)已知拋物線,過點的直線交于,兩點，圓是以線段為直徑的圓。
（1）證明：坐標原點在圓上；
（2）設圓過點，求直線與圓的方程。
【解析】（1）設直線方程：當斜率為時，直線與拋物線交于一點，不符合，設
直線與曲線聯立：聯立：，得;
根與系數的關系：，，，;
代入條件驗證：，，即在圓上。
（2）若圓過點，，，得或
則圓或。
秒殺方法：由（1）知圓過兩點，的中垂線的方程為：，圓心為的中點,
代入得或。
相對于其它點的直角弦
利用。
二級結論 ：上一點，過作互相垂直的兩條直線，與拋物線交于兩點，則恒過定點
秒殺方法：一般情況，直線AB（設直線AB方程為：y=kx+m。)與拋物線方程聯立，利用根與系數的關系，使，會出現一個固定型關系式：（記住，因運算較繁瑣.)，即AB恒過定點
圓錐曲線焦點弦
焦點弦定義：過焦點的直線與曲線相交于兩點A、B，弦AB叫做曲線的焦點弦。
橢圓與雙曲線焦點弦中常考的二級結論。
焦點弦長公式
焦點弦長公式：(為直線與焦點所在軸的夾角)，
通徑：(最短焦點弦)。
1.(2017年新課標全國卷I)已知是雙曲線的右焦點，是上一點，且與軸垂直，點的坐標是，則的面積為 (　　　)
A. B. C. D.
【解析】，而P（2，0），，選D。
2.(2008年新課標全國卷)過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則的面積為 。
【法一】利用弦長公式（一般弦長公式）求出，再利用到直線距離求出高，可求出三角形的面積.
【法二】由焦點弦長公式得：，，。
【法三】直線方程為：，與橢圓聯立可得兩個交點的坐標,，從圖中可直觀得到。
焦點弦中的定值
焦點弦被焦點分成兩部分，則(定值)(取通徑即可)。
1.設分別是橢圓的左、右焦點,過點的直線交橢圓于兩點，若軸，則橢圓的方程為 。
【解析】設，則有,，=，得。
2.(2019年新課標全國卷I10)已知橢圓C的焦點為，過的直線與C交于A、B兩點，若，，則C的方程為 ( )
A. B. C. D.
【法一】設，則，,
利用橢圓定義得：，，則有，，
而，選B。
【法二】由法一可知，A為橢圓的頂點，
設，則，
在中，由余弦定理得，得，
選B。
離心率與焦點弦的關系
焦點弦被焦點分為兩段、,，則有(為直線與焦點所在軸的夾角)。
※圓錐曲線中簡答題中已知(為直線與曲線兩交點。)條件時，答題模板。
步驟1：設(或寫出)直線的方程；
步驟2：直線方程與曲線方程聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程(如果P為x軸上的點，則整理成關于y的一元二次方程，反之整理成關于x的一元二次方程。)；
步驟3：寫出根與系數的關系；
步驟4：利用，找(或)的關系，代入根與系數的關系中，消去(或)，建立關于參數的方程。
1.(2014年新課標全國卷II20)設，分別是橢圓：的左、右焦點，是上一點，且與軸垂直，直線與的另一個交點為。
（1）若直線的斜率為，求的離心率；
（2）若直線在軸上的截距為2，且，求。
【解析】（1），得，即，，或（舍去）；
（2）由三角形中位線可知：，，代入橢圓中得：。
2.(2010年遼寧卷)設橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓相交于兩點，直線的傾斜角為，。
（1）求橢圓的離心率；
（2）如果，求橢圓的方程。
【解析】（1）步驟1：設出直線的方程：設，由題意知＜0，＞0，直線l的方程為；
步驟2：直線與曲線方程聯立：直線與曲線聯立：得，
步驟3：韋達定理：，；
步驟4：因為，所以，得，，消去得。
秒殺方法：由二級結論得：，得。
（2）因為，由得，所以，得a=3，，橢圓C的方程為。
秒殺方法：==，即，得，即，，橢圓C的方程為。
3.(2019年新課標全國卷I19)已知拋物線：的焦點為，斜率為的直線與的交點為、，與軸的交點為。
（1）若，求的方程；
（2）若，求。
【解析】（1）設直線方程為：，，，由拋物線焦半徑公式得：，，聯立得：，
，解得：。直線的方程為：。
（2）設直線方程為：；聯立得：；
步驟3：韋達定理：，；
，，，，，則代入弦長公式得：。
拋物線的焦點弦中常考的二級結論
焦點弦兩端點坐標定值關系
過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，則：，
。(焦點在y軸上的性質對比給出。)
引伸：在拋物線的對稱軸上，過的直線交拋物線于兩點。，=(定值)。
焦點弦長
(是直線與焦點所在軸的夾角)（小題或簡答題用于驗證答案。）=(焦點在軸正半軸上)(其它三種同理可以推導。)（簡答題常用。），焦點弦中通徑(垂直于對稱軸的焦點弦，長為)最短。
焦點弦被焦點分成兩段焦半徑的關系及焦半徑公式
，則有：(定值)。，，(為直線與焦點所在軸的夾角。)
1.(2013年新課標全國卷II)設拋物線的焦點為，直線過且與交于，兩點，若，則的方程為 ( )
A.或 B.或
C.或 D.或
【解析】法一：由，得，得，或，選C。
秒殺方法：，或，選C。
由焦點弦圍成圖形的面積
面積：，過A、B分別向準線作垂線，垂足分別為M、N。(是直線與焦點所在軸的夾角。)。
1.(2014年新課標全國卷II10)設為拋物線:的焦點,過且傾斜角為30°的直線交于兩點,為坐標原點,則的面積為 ( )
A. B. C. D.
【解析】代入公式中，得，選D。
以焦點弦為直徑的圓的性質
過A、B分別向準線作垂線，垂足分別為M、N。以為直徑的圓與準線相切，切點為中點，分別是拋物線的切線，并且分別是的角平分線。
1.(2018年全國卷III16)已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于,兩點.若,則= 。
【解析】依題意得，拋物線的焦點為，設直線AB：x=my+1，與拋物線聯立：，得，設A、B，，，由，代入根與系數的關系，得，即。
或由性質知AB中點的縱坐標為1，即，得，即。
秒殺方法：以為直徑的圓與準線相切，而在準線上，是切，知AB中點的縱坐標為1，由點差法得，。
2.(2018年新課標全國卷II)設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于,兩點，。
（1）求的方程；
（2）求過點、且與的準線相切的圓的方程。
【解析】（1）由題意得，的方程為，設，，由,得,，故，
所以，由題設知，解得(舍去)，，因此的方程為。
秒殺方法：AB=，得，。
（2）由(1)得AB中點坐標為，所以AB垂直平分線方程為，即
設所求圓的圓心坐標為，r=圓心到準線的距離=，=+圓心到直線AB距離的平方，，解得或，
因此所求圓的方程為或。
如圖兩圓的性質
以為直徑的圓與相切，切點為焦點。以焦半徑為直徑的圓與y軸相切。
1.(2013年新課標全國卷II11)設拋物線：的焦點為，點在上，|，若以MF為直徑的圓過點，則的方程為 (　 　)
A.或 B.或
C.或 D.或
【解析】可知M的橫坐標為，縱坐標為：，(0,2)是切點，
即=4，得或，選C。
圓錐曲線中點弦
圓、橢圓、雙曲線的中點弦問題。
注：方程：，
①當且時，表示橢圓；
②當且時，表示圓；
③當異號時，表示雙曲線。
點差法：
步驟1：設直線與曲線 ：設直線與曲線：交于兩點、，中點為，則有既在直線上又在曲線上，設,；
步驟2：代入點坐標：即;；
步驟3：作差得出結論：（1）-（2）得：。
求值，利用結論求k或斜率乘積定值
1.(2013年新課標全國卷I10)已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢
圓于兩點，若的中點坐標為，則的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】由結論可得：，得，，選D。
2.(2010年新課標全國卷12)已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于兩點，且的中點為，則的方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】由結論可得：，得，，選B。
3.已知傾斜角為的直線過點和點，在第一象限，。
（1）求點的坐標；
（2）若直線與雙曲線相交于、兩點，且線段的中點坐標為，求的值。
【解析】(1)4，，點B的坐標為。
(2)點差法：步驟1：設直線與曲線 ：設直線與曲線交于兩點E、F，EF中點為（4，1），則有E、F既在直線上又在曲線上；
步驟2：代入點坐標：即；；
步驟3：作差得出結論：（1）-（2）得：，代入點，得。
4.(2015年新課標全國卷II20)已知橢圓，直線不過原點且不平行于坐標軸， 與有兩個交點，線段的中點為。
（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
（2）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否平行四邊行？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由。
【解析】:（1）點差法：步驟1：設直線與曲線 ：設直線與曲線交于兩點、，中點為，則有既在直線上又在曲線上，設,；
步驟2：代入點坐標：即；；
步驟3：作差得出結論：（1）-（2）得：；
（2）設的斜率為，由①，②，聯立得，得，代入橢圓中得：，
，，即存在。
5.(2013年新課標卷II)平面直角坐標系中，過橢圓M:()右焦點的直線交M于A、B兩點，且P為AB的中點，OP的斜率為。
（1）求M的方程；
（2）C,D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值。
【解析】(1)代入右焦點可得，仿照前面步驟，由點差法得，，橢圓的方程為：。
(2)設CD方程：，AB、CD方程與橢圓聯立，由弦長公式得：，，，，
當時，。結論：平行直線系，過橢圓中心（原點）時弦長最大。
求當為定值時，平行弦中點軌跡
法一：直線與曲線聯立，利用根與系數的關系，求出中點坐標的參數方程，消參數即得中點弦軌跡方程。
法二：利用點差法得：，即（過原點的直線在曲線內部的部分）。
1.（1）求右焦點坐標是，且經過點的橢圓的標準方程；
已知橢圓的方程是，設斜率為的直線，交橢圓于 兩點，的中點為，證明：當直線平行移動時，動點在一條過原點的定直線上；
利用（2）所揭示的橢圓幾何性質，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出橢圓的中心。
【解析】(1)法一：設橢圓標準方程為：，，即
∵ 點()在橢圓上，∴ ，解得或(舍)，得，即橢圓的方程為：。
法二：利用橢圓的定義，點到兩焦點、距離之和為=，，。
（2）步驟1：設直線與曲線：設直線的方程為，與橢圓交于()，()兩點；
步驟2：直線與曲線聯立：，得；
步驟3：由韋達定理寫出根與系數的關系：∵ ，∴ ，即
，則；
步驟4：代入得出結論：∴中點的坐標為，即線段的中點在過原點的直線上。
法二：利用點差法可得（步驟同上）：，即，即在過原點的定直線上。
如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于、和，并分別取、的中點，連接直線；再作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于、和，并分別取、的中點，連接直線，那么直線和的交點即為橢圓中心。
當直線恒過定點時，得定點弦中點軌跡：用消去
法一：直線與曲線聯立，利用根與系數的關系，求出中點坐標的參數方程，消參數即得中點弦軌跡方程。
法二：利用點差法得：，即。
1.設橢圓方程為:，過點的直線交橢圓于點，是坐標原點，點滿足，點的坐標為，當繞點旋轉時。
求:（1）動點的軌跡方程；（2）求的最值。
【解析】（1）法一：步驟1：設直線方程：當k存在時，設的方程為
直線與曲線聯立：，得；
由韋達定理寫出根與系數的關系：；
代入關系式：，設點的坐標為則，消去參數得；
當k不存在時，得P(0,0)，滿足，即P點的軌跡為：。
法二：利用點差法可得（步驟同上）：，化簡得：。
（2），，
當時，取最小值，最小值為時，取得最大值，最大值為。
拋物線中點弦問題。
拋物線：①。
簡答題步驟規范模板：
方法一：
①設直線的方程；
②直線與曲線聯立，整理成關于(或)的一元二次方程；
③寫出根與系數的關系；
④利用，把根與系數的關系代入。
方法二：點差法：
步驟1：設直線與曲線 ：設直線與曲線：交于兩點、，中點為，則有既在直線上又在曲線上，設,；
步驟2：代入點坐標：即，；
步驟3：作差得出結論：（1）-（2）得：。
同理可推出其余三類方程的中點弦結論：
②。
③。
④。
求值(求k或p)
1.(2009年新課標全國卷13)已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，直線與拋物線相交于兩點，若的中點為(2,2)，則直線的方程為 。
【解析】拋物線方程為：，由結論得：，，直線方程為。
2.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為 ( )
A. B. C. D.
【解析】由結論得：2×k=p，k=1，p=2，拋物線方程為：，選B。
3.已知是拋物線的焦點，是上的兩個點，線段的中點為，則的面積等于 。
【解析】由結論得：，，直線AB方程為，A(0,0)，B(4,4)，S=2。
4.設為拋物線:的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點為線段的中點，若，則直線的斜率等于 。
【解析】設，，代入直線得，代入，得。
圓錐曲線中最值
定點與橢圓上動點的距離的最值問題。
定點與橢圓上動點的距離的最值：寫出定點與橢圓上動點的距離表示，利用點在橢圓上可
消去x或y，然后轉化為關于y或x的二次函數，利用橢圓的有界性確定最值；或設橢圓的參數方程，利用三角函數的有界性去限定。
橢圓上的點到兩焦點距離最大、最小值的點為長軸兩端點：。
1.設分別為圓和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是( )
A. B. C. D.
【解析】法一：轉化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）,,轉化為二次函數，，
當時，取到最大值，選D。
法二：參數法，設，代入轉化為關于（或）的二次函數。
2.設橢圓方程為:，過點的直線交橢圓于點，是坐標原點，點滿足，點的坐標為，當繞點旋轉時。
求:（1）動點的軌跡方程； （2）求的最值。
【解析】（1）法一：設直線方程：當k存在時，設的方程為；
直線與曲線聯立：，得；
由韋達定理寫出根與系數的關系：；
代入關系式：，設點的坐標為則，消去參數得；
當k不存在時，得P(0,0)，滿足，即P點的軌跡為：。
法二：利用點差法可得（步驟同上）：，化簡得：。
（2），
，
當時，取最小值，最小值為時，取得最大值，最大值為。
橢圓或雙曲線上的動點到一個定點與一個焦點的距離的和或差的最值問題。
橢圓或雙曲線上一點M與一定點P，最大或最小，轉化為橢圓(或雙曲線)上點M到另一個焦點的距離，連線與橢圓(或雙曲線)的交點為所求的點。
1.(2009年遼寧卷)已知是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為 。
【解析】，，即最小值為9。
2. (2015年新課標全國卷I)已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，，當周長最小時，該三角形的面積為 。
【解析】到右焦點的距離轉化為到左焦點的距離，設左焦點為，則有
=，當A、P、F1三點共線時周長最小為32，可求得P，則。
3.已知點，而且是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，求的最小值和最大值。
【解析】，A、F2與橢圓的兩個交點為所求的P點。
拋物線上的動點到定點(定直線)與焦點（或準線或y軸）的距離之和的最值問題。
拋物線上的點到焦點的距離到準線（或y軸）的距離(轉化后連線與拋物線的交點為所求的點。)。
1.(2008年新課標全國卷11)已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物 線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為 ( )
A. B. C. D.
【解析】點P到焦點的距離轉化為到準線的距離，即點P到準線的距離與到點Q的距離之和最小，即Q到準線的距離最小，選A。
2.已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與到該拋物線準線的距離之和的最小值為
【解析】點P到準線的距離轉化為到焦點的距離，即焦點與點（0，2）兩點之間距離最小，
3.已知直線和直線,拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是 ( )
A.2 B.3 C. D.
【解析】是拋物線的準線，點到直線的距離等于點到焦點的距離，即在拋物線上找一點到焦點的距離與到的距離之和最小，只需過焦點向作垂線，與拋物線的交點為所求的點，最小值為到直線的距離，即最小值為2，選A。
拋物線上的動點到定點或定直線的距離的最值問題。
設出拋物線上的點的坐標，利用距離公式表示，然后轉化為二次函數的最值問題。到定直線的距離亦可以利用切線（導數）。
1.若拋物線的頂點是拋物線上到點的距離最近的點，求的取值范圍。
【解析】設拋物線上的點P，，
只需二次函數的對稱軸：，。
秒殺結論：
當拋物線對稱軸上的點P到拋物線上的點距離最近的點是頂點時，需點P到頂點的距離p。
應用：在拋物線型酒杯(軸截面是拋物線)中放入一小球，當小球的半徑rp時，小球會落到杯底，當r>p時，小球會卡到中間。
1.對于拋物線上任意一點，點都滿足，則的范圍是( )
A. B. C. D.
【解析】法一：設Q(x,y)，
，平方得：
因為，即，只需，即，選B。
或分離參數：只需，即，選B。
法二：同上，轉化為拋物線的頂點是拋物線上到點P(a,0)的距離最近的點，即，選B。
2.拋物線上到直線的距離最小的點的坐標是
【解析】法一：設P，則，當時最小，選B。
法二：設P，當過點P的切線與已知直線平行時，切點為所求的點，，，即P(1,1)
3.(2011年新課標全國卷20)在平面直角坐標系中，已知點，B點在直線上，點滿足:，，M點的軌跡為曲線C。
（1）求的方程；
（2）為上的動點，為在點處得切線，求點到距離的最小值。
【解析】:（1）設M(x,y)，B(x0,3)，代入向量關系得：x=x0，C的方程為：;
（2）轉化為關于的函數，利用基本不等式求最值：設點P，利用導數求切線斜率，k==，得切線方程為：，(或設點P)，則O點到的距離，又，
(僅當=0取等號，點到距離最小為2。)。
弦長或面積最值問題。
答題步驟：
步驟1：設直線的方程；
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程；
步驟3：寫出根與系數的關系；
步驟4：寫出面積(或弦長)的幾何表示(在求面積時最好選底或高其中一個為定值。)，把根與系數的關系
代入。
步驟5：轉化為某個變量的函數，根據函數的特點求最值(一般利用基本不等式或二次函數或導數求最值。)。
二級結論：
①在橢圓中，過焦點作互相垂直的兩條弦，構成四邊形的面積與兩條弦長度之和的最值為：當斜率不存在與斜率為0時面積與長度和最大；當斜率為時面積與長度和最小。
②在拋物線中，過焦點作互相垂直的兩條弦，構成四邊形的面積與兩條弦長度之和最值為：當斜率為時面積與長度和最小，無最大值。
1.(2017年新課標全國卷I10)已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為 ( )
A.16 B.14 C.12 D.10
【解析】設，與拋物線聯立得：，，
將，得，=，僅當時取等號。
秒殺方法：設的傾斜角為，
則=。
2.(2014年新課標全國卷I20)已知點，橢圓E：的離心率為，F是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點。
（1）求E的方程；
（2）設過點A的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程。
【解析】（1）由，得，由離心率得，橢圓E的方程為：;
法一：步驟1：設直線方程 ：i.當不存在時，不符合題意；ii.當存在時，設；
步驟2：直線與曲線聯立：將直線與橢圓聯立得：，
由，得，，
點到直線的距離；
步驟3：寫出面積關于k的函數關系式：S==，設，
；
步驟4：利用基本不等式求最值：則基本不等式得，當且僅當，即時等號成立，即。
法二：S==，同上。
3.(2020年新高考全國卷21)已知橢圓過點，點為其左頂點，且的斜率為.
（1）求的方程；
（2）點為橢圓上任意一點，求的面積的最大值.
【解析】（1）根據題意，把點代入橢圓得到①，設，又，∴，代入①式，求得，∴橢圓的方程為.
（2）法一：轉化為橢圓上的點到直線AM距離的最值，
由題意，可知的直線方程為，
設與之平行的直線：，
當與橢圓相切時，切點為所求的點N，切點到直線的距離為最大距離，
直線與橢圓聯立，得，，得，
由題意知當時，面積最大，
兩條平行直線與的距離，，∴。
法二：參數法，設N，
則，，同上。
圓錐曲線中定值與定點
圓錐曲線中的定值與定點。
解析幾何中證明(求)直線(曲線)過定點，一般是先選擇一個參數建立直線(曲線)系方程，再
根據直線(曲線)系過定點時與參數沒有關系，得到一個關于的方程組，以這個方程組的解為坐標的點為所求定點；定值問題是通過已知條件(主要利用根與系數的關系)，化簡為與參數沒有關系的常數。
簡答題步驟規范模板：
步驟1：設直線的方程；
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于(或)的一元二次方程；
步驟3：寫出根與系數的關系；
步驟4：把根與系數的關系代入已知條件；
步驟5：如果直線中兩量有一定關系，則恒過定點；如果消去參數，則為定值。
【二級結論1】
過橢圓或拋物線上一點作兩條弦，與曲線交于A，B，PA，PB的斜率互為相反數(傾斜角互補或與軸圍成等腰三角形。)。則AB的斜率為定值。
拋物線：，橢圓：，亦可理解為過作曲線切線斜率的相反數。
方法一答題規范模板：
步驟1：設直線的方程；
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程；
步驟3：寫出根與系數的關系；
步驟4：利用，把根與系數的關系代入。
方法二答題規范模板：
步驟1：設直線的方程；
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程；
步驟3：利用根與系數的關系求出點的坐標，把點的坐標中的k換為-k得到點坐標；
步驟4：由兩點式求出的方程，進而求出斜率為定值。
1.(2009年遼寧卷)已知橢圓過點，兩個焦點為，。
（1）求橢圓的方程；
（2）是橢圓上的兩個動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數，證明直線的斜率
為定值，并求出這個定值。
【解析】（1）方法一：待定系數法，由題意知，，設橢圓方程為：，代入點A得：，解得，(舍去)，所以橢圓方程為。
方法二：定義法，A到兩焦點距離之和分別是、，則，c=1，橢圓方程為。
方法二：步驟1：設直線方程：設直線的方程為：；
步驟2：直線與曲線聯立：代入得；
步驟3：利用根與系數的關系求點E、F的坐標：設E，F，因為點在橢圓上，所以，，又直線的斜率與的斜率互為相反數，在上式中以代，可得，；
步驟4：求出直線EF的斜率：(定值)。
秒殺方法：由k==。
【二級結論2】
①直線與拋物線交于A、B，在x軸上存在定點P（-n,0），使PA、PB的斜率互為相反數(傾斜角互補或斜率和為0或對稱軸是APB的平分線。)。逆過來亦成立。即AB恒過定點（n,0）。
②過橢圓焦點的直線與橢圓交于A、B，存在定點P(對應準線與焦點所在軸的交點.)，使PA、PB的斜率互為相反數(傾斜角互補或與斜率和為0或x軸是APB的平分線。)。逆過來亦成立。即AB恒過定點焦點。
方法一答題規范模板：
步驟1：設直線AB的方程；
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程；
步驟3：寫出根與系數的關系；
步驟4：利用，把根與系數的關系代入。
方法二答題規范模板：
步驟1：設直線PA的方程；
步驟2：直線與曲線聯立，整理成關于x(或y)的一元二次方程；
步驟3：利用根與系數的關系求出點A的坐標，把點A的坐標中的k換為-k得到點B的坐標；
步驟4：由兩點式求出AB的方程，進而求出恒過的定點。
1.(2015卷I)直角坐標系中，曲線與直線()交于M、N兩點
（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；
（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有？說明理由。
【解析】 （1），交點坐標為，，切線方程分別為、；
（2）設點（拋物線特有思路）：設；
代入關系：，設，則有，化簡得：=0；
直線與曲線聯立：直線與拋物線聯立得：，由根與系數的關系代入得：，，即，即存在點，使得。
2.(2018年卷I)設橢圓右焦點為F，過F的直線與C交于A、B兩點，點M
的坐標為。
（1）當與軸垂直時，求直線AM的方程；
（2）設O為坐標原點，證明：。
【解析】（1）將代入橢圓方程得：，，∴，∴，∴直線AM的方程為：。
（2）證明：設直線方程：當斜率不存在時，由（1）可知，結論成立；當斜率存在時，設其方程為，設；
直線與曲線聯立：直線與橢圓聯立，即；
寫出根與系數的關系：∴，；
將根與系數的關系代入：
，∴，∴。
秒殺方法：=(2,0)。
4.(2020年新高考北京卷20)已知橢圓過點，且。
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點的直線交橢圓C于點M、N，直線分別交直線于點，求的值。
【解析】（1）橢圓方程可設為：，將點A代入，得，橢圓的方程為：。
（2）步驟1：設直線方程：設直線MN的方程為：；
步驟2：直線與曲線聯立：將直線MN與橢圓聯立得：；
步驟3：寫出根與系數的關系：設M、N，則有：，；
步驟4：將根與系數的關系代入：設P、Q，由M、A、P三點共線得：，同理由N、A、Q三點共線得：。，
。
5.(2020年新課標全國卷I21)已知A、B分別為橢圓E：（）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D。
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點。
【解析】（1）G，A，B，，，由得，橢圓的方程為：。
（2）方法一：設直線方程：設直線CD方程為：x=my+n；
直線與曲線聯立：直線CD與橢圓聯立得：，；
寫出根與系數的關系：設C、D，則有：，；
將根與系數的關系代入：設P(6,t)，當t0時，由P、A、C三點共線得：，同理由P、B、D三點共線得：，消去t得：，
由于①，得②，
①②得：=，
，代入得：n=-3(舍去)，n=,即過
當t=0時，CD的方程為y=0，亦過定點，
即直線CD過定點
方法二：設直線PA的方程為：，與橢圓聯立，求出點C的坐標，同理求出點D的坐標，由兩點式求出CD的方程，再求定點
圓錐曲線中切線
當拋物線開口向上或開口向下時（此時拋物線可看作函數），主要利用導數解決，當拋物線
開口向左或開口向右時利用解決。橢圓利用解決。
過曲線上一點作曲線的切線
二級結論：
①過橢圓上一點作切線，則切線方程為：。
證明：（此步驟必須牢記，在大題中要體現）設過的切線方程為：，與橢圓方程聯立，利用。
②過拋物線上一點作切線，則切線方程為：。
證明：（此步驟必須牢記，在大題中要體現）設過的切線方程為：，與拋物線方程聯立，利用。若為開口向上或開口向下的拋物線，求導，代點，求出切線的斜率，利用點斜式求出切線的方程 。
1.拋物線上到直線的距離最小的點的坐標是 ( )
A. B. C. D.
【解析】法一：設P，則，當時最小，選B。
法二：設切點為，則切線方程為：，，即切點為，由點到直線的距離可求得，選B。
法三：設P，過P的切線與直線平行，切點為所求的點，，，選B。
過曲線外一點作曲線的切線
設過的切線方程為：，與曲線方程聯立，利用。
二級結論：
①過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，則兩切點連線方程為：。
證明：（此步驟必須牢記，在大題中要體現）設兩切點為、，則切線PA：；同理，切線PB：；點P在兩切線上，則有：①，②，構造直線：，則由①②可知點A、B均在直線上，即直線AB的方程為。
②過外一點作拋物線的兩條切線，則兩切點連線方程為：。
阿基米德三角形
圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線圍成的叫做阿基米德三角形。
拋物線中阿基米德三角形的性質：
①當AB過焦點時，則P在準線上；；。
證明：（此步驟必須牢記，在大題中要體現。）
方法一：設拋物線方程為：，AB方程為：，直線與曲線方程聯立：，得：，設，，由前面步驟可知，同理，兩直線求交點可得，，即點P在準線上，，。，。
方法二：設兩條切線PA、PB的交點，則由前面步驟可知AB方程：，焦點在直線上，代入得，點在準線上。
※當拋物線方程為時可利用導數求切線。
②當點P在準線上時，AB過焦點，底邊AB的中線平行于對稱軸，且的最小值為。
證明：設拋物線方程為：，設，由前面步驟可知AB：，即過焦點。的中點為，由上面步驟可知：，即底邊AB的中線平行于對稱軸。
==，
當時，其面積最小為。
1.(2014年遼寧卷)已知點在拋物線：的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切
于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為 ( )
A. B. C. D.
【解析】可知拋物線：，設，則切線方程為：，代入點A，得，則，。選D。
二級結論：阿基米德三角形：由，選D。
蒙日圓。
過橢圓外一點作橢圓的兩條互相垂直的切線，則P點的軌跡為圓，方程為：。
證明：（此步驟必須牢記，在大題中要體現。）
步驟1：當k存在時，設過的直線為；
步驟2：直線與橢圓聯立；
步驟3：由韋達定理，（利用相切），得到關于的一元二次方程；
步驟4：由韋達定理，，得的關系，即軌跡方程。
當k不存在時，P(a,b)、(-a,b)、(a,-b)、(-a,-b)亦滿足。
1.已知橢圓的一個焦點為，離心率為。
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。
【解析】（1）。
步驟1：設直線方程為：當k存在時，設過P點的直線方程為：；
步驟2：直線與橢圓聯立得：；
步驟3：由得：；
步驟4：當時，，得，當k不存在時，即，亦滿足。
圓錐曲線中軌跡
題型一：定義法求軌跡
【二級結論1】
一般涉及到動圓與兩定圓相切問題(包括內切、外切)，利用定義求圓心軌跡，軌跡為橢圓或雙曲線，主要確定和還是差能消去動圓半徑r。
1.與兩圓都外切的圓的圓心在 ( )
A.一個橢圓上 B.雙曲線的一支上 C.一條拋物線上 D.一個圓上
【解析】選B
2.(2013年新課標全國卷I20)已知圓，圓，動圓P與圓M外切并 且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）是與圓P，圓M都相切的一條直線，與曲線C交于A、B兩點，當圓P的半徑最長時，求
【解析】（1）設圓P的半徑為r，，，，動點P到兩定點M、N距離之和等于定值4，所以P的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，，，C的方程為：。
（2）從圖得半徑最長時圓的方程為：，公切線有三條：，與橢圓聯立，代入弦長公式得弦長分別為：，
【二級結論2】
如圖，圓的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上的動點，線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是以O、A為焦點，r為長軸長的橢圓。
1.已知，B是圓(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為 。
【解析】關于原點對稱，，，，點P到兩定點A、F距離之和為定值2，動點p的軌跡是以A、F為焦點，以為的橢圓，即，所以橢圓方程為：。
【二級結論3】
如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓上的動點，線段AP的垂直平
分線和直線OP交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是以O、A為焦點，r為實軸長的雙曲線。
【二級結論4】
已知定點F和定直線，F不在直線上，動圓M過F且與直線相切，則圓心M的軌跡是一條拋物線。
1.點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小2，求點M的軌跡方程。
【解析】轉化為點M到定點(4,0)的距離等于到定直線x=-4的距離，即。
2.設圓與圓外切,與直線相切,則的圓心軌跡為 ( )
A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓
【解析】方法一：設圓心為(x,y)，半徑為r，則有，，消去r，選A。
方法二：轉化為圓心到定點(0,3)的距離等于到定直線y=-1的距離，選A。
題型二：直接法求軌跡。
設動點坐標（x，y），寫出動點的幾何關系，轉化為方程，建立x、y的關系。
1.兩個頂點A、B的坐標分別是，AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點C的軌跡方程。
【解析】。
2.已知的兩個頂點A、B的坐標分別是，且AC，BC所在直線的斜率之積等于，試探求頂點C的軌跡。
【解析】當時，點C的軌跡是橢圓、或者圓，并除去兩點；當
時，點C的軌跡是雙曲線，并除去兩點。
二級結論：
是曲線上關于原點對稱的兩點，曲線上任意一點滿足：。
兩類型題：
①求軌跡，代入關系化簡，但一定要注意挖去兩定點。
②求定值(直接利用結論)。
1.(2009年新課標全國卷20)已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1。
（1）求橢圓C的方程；、
（2）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
【解析】（1）a+c=7，a-c=1，得a=4，c=3，所以橢圓的方程為：。
（2）設,，由已知及點P在橢圓C上得，整理得：，(ⅰ)當時，，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
(ⅱ)當時，方程變形為，當時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足的部分，當時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓。
題型三：代換法（相關點法）求軌跡
已知點的軌跡確定，所求點與已知點有相關關系，用代換法求軌跡。
步驟
步驟1：設點：設所求點坐標（x，y），已知點坐標（x0，y0）；
步驟2：建立坐標關系：建立x、y與x0、y0的關系；
步驟3：代換：把已知點方程中的x0、y0代換為x、y。
題型四：參數法求軌跡
步驟
步驟1：選中間變量t作為參數；
步驟2：與t建立關系：；

展開更多......

收起↑