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圓錐曲線中的存在性問題
一、基礎知識
1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時，通常先假定所求的要素（點，線，圖形或是參數）存在，并用代數形式進行表示。再結合題目條件進行分析，若能求出相應的要素，則假設成立；否則即判定不存在
2、存在性問題常見要素的代數形式：未知要素用字母代替
（1）點：坐標
（2）直線：斜截式或點斜式（通常以斜率為未知量）
（3）曲線：含有未知參數的曲線標準方程
3、解決存在性問題的一些技巧：
（1）特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。
（2）核心變量的選取：因為解決存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去。
（3）核心變量的求法：
①直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進行求解
②間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關于該變量與輔助變量的方程（組），運用方程思想求解。
二、典型例題：
例1：已知橢圓的離心率為，過右焦點的直線與相交于兩點，當的斜率為時，坐標原點到的距離為。
（1）求的值
（2）上是否存在點，使得當繞旋轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的的坐標和的方程，若不存在，說明理由
解：（1）
則，依題意可得：，當的斜率為時
解得：
橢圓方程為：
（2）設，
當斜率存在時，設
聯立直線與橢圓方程：
消去可得：，整理可得：
因為在橢圓上
當時，，
當時，，
當斜率不存在時，可知
，，則不在橢圓上
綜上所述：，或，
例2：過橢圓的右焦點的直線交橢圓于兩點，為其左焦點，已知的周長為8，橢圓的離心率為
（1）求橢圓的方程
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由
解：（1）由的周長可得：
橢圓
（2）假設滿足條件的圓為，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應含在橢圓內
若直線斜率存在，設，
與圓相切
即
聯立方程：
對任意的均成立
將代入可得：
存在符合條件的圓，其方程為：
當斜率不存在時，可知切線為
若，則
符合題意
若，同理可得也符合條件
綜上所述，圓的方程為：
例3：已知橢圓的左右焦點分別為，短軸兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形
（1）求橢圓的方程
（2）若分別是橢圓長軸的左，右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明是定值
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點。若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由
解：（1）四邊形是邊長為2的正方形
可得：
橢圓方程為
（2）由橢圓方程可得：，由可設，
，與橢圓方程聯立可得：
由韋達定理可知：
代入直線可得：
　　　　　
設
若以為直徑的圓恒過直線的交點，則
恒成立，　　　
存在定點
例4：設為橢圓的右焦點，點在橢圓上，直線與以原點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切
（1）求橢圓的方程
（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，過點且平行于的直線與橢圓交于另一點，問是否存在直線，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由
解：（1）與圓相切
將代入橢圓方程可得：
橢圓方程為：
（2）由橢圓方程可得：
設直線，則
聯立直線與橢圓方程：
消去可得：
同理：
聯立直線與橢圓方程：
消去可得：
因為四邊形的對角線互相平分
四邊形為平行四邊形
解得：
存在直線時，四邊形的對角線互相平分
例5：橢圓的左右焦點分別為，右頂點為，為橢圓上任意一點，且的最大值的取值范圍是，其中
（1）求橢圓的離心率的取值范圍
（2）設雙曲線以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點，是雙曲線在第一象限上任意一點，當取得最小值時，試問是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由
解：（1）設
由可得：代入可得：
（2）當時，可得：
雙曲線方程為，，設，
當軸時，
因為
所以，下面證明對任意點均使得成立
考慮
由雙曲線方程，可得：
結論得證
時，恒成立
例6：如圖，橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為
（1）求橢圓的方程
（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使得對于任意直線，恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由
解：（1）
橢圓方程為
由直線被橢圓截得的線段長為及橢圓的對稱性可得：
點在橢圓上
橢圓方程為
（2）當與軸平行時，由對稱性可得：
即
在的中垂線上，即位于軸上，設
當與軸垂直時，則
可解得或
不重合
下面判斷能否對任意直線均成立
若直線的斜率存在，設，
聯立方程可得：
由可想到角平分線公式，即只需證明平分
只需證明
①
因為在直線上，代入①可得：
聯立方程可得：
成立
平分
由角平分線公式可得：
例7：橢圓的上頂點為，是上的一點，以為直徑的圓經過橢圓的右焦點
（1）求橢圓的方程
（2）動直線與橢圓有且只有一個公共點，問：在軸上是否存在兩個定點，它們到直線的距離之積等于1？若存在，求出這兩個定點的坐標；如果不存在，請說明理由
解：由橢圓可知：
為直徑的圓經過
由在橢圓上，代入橢圓方程可得：
橢圓方程為
（2）假設存在軸上兩定點，
設直線
所以依題意：
①
因為直線與橢圓相切，聯立方程：
由直線與橢圓相切可知
化簡可得：，代入①可得：
，依題意可得：無論為何值，等式均成立
所以存在兩定點：
例8：已知橢圓的左右焦點分別為，點是上任意一點，是坐標原點，，設點的軌跡為
（1）求點的軌跡的方程
（2）若點滿足：，其中是上的點，且直線的斜率之積等于，是否存在兩定點，使得為定值？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由
（1）設點的坐標為，點的坐標為，則
由橢圓方程可得：
且
代入到可得：
（2）設點，
設直線的斜率分別為，由已知可得：
考慮
是上的點
即的軌跡方程為，由定義可知，到橢圓焦點的距離和為定值
為橢圓的焦點
所以存在定點
例9：橢圓的焦點到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，斜率為的直線過的焦點與交于，與交于
（1）求橢圓及拋物線的方程
（2）是否存在常數，使得為常數？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由
解：（1）設的公共焦點為
（2）設直線，
與橢圓聯立方程：
直線與拋物線聯立方程：
是焦點弦
若為常數，則
例10：如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，當直線垂直于軸且點為橢圓的右焦點時，弦的長為
（1）求橢圓的方程
（2）是否存在點，使得為定值？若存在，請求出點的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由
解：（1）依題意可得：
當與軸垂直且為右焦點時，為通徑
（2）思路：本題若直接用用字母表示坐標并表示，則所求式子較為復雜，不易于計算定值與的坐標。因為要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出點及定值，再取判定（或證明）該點在其它直線中能否使得為定值。
解：（2）假設存在點，設
若直線與軸重合，則
若直線與軸垂直，則關于軸對稱
設，其中，代入橢圓方程可得：
，可解得：
若存在點，則。若，設
設，與橢圓聯立方程可得：，消去可得：
，同理：
代入可得：
所以為定值，定值為
若，同理可得為定值
綜上所述：存在點，使得為定值

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