資源簡介

等比數(shù)列性質(zhì)
一、基礎(chǔ)知識
1、定義：數(shù)列從第二項開始，后項與前一項的比值為同一個常數(shù)，則稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為數(shù)列的公比
注：非零常數(shù)列既可視為等差數(shù)列，也可視為的等比數(shù)列，而常數(shù)列只是等差數(shù)列
2、等比數(shù)列通項公式：，也可以為：
3、等比中項：若成等比數(shù)列，則稱為的等比中項
（1）若為的等比中項，則有
（2）若為等比數(shù)列，則，均為的等比中項
（3）若為等比數(shù)列，則有
4、等比數(shù)列前項和公式：設(shè)數(shù)列的前項和為
當(dāng)時，則為常數(shù)列，所以
當(dāng)時，則
可變形為：，設(shè)，可得：
5、由等比數(shù)列生成的新等比數(shù)列
（1）在等比數(shù)列中，等間距的抽取一些項組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列
（2）已知等比數(shù)列，則有
①
數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列
②
數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列，特別的，當(dāng)時，即為等比數(shù)列
③
數(shù)列為等比數(shù)列
④
數(shù)列為等比數(shù)列
6、相鄰項和的比值與公比相關(guān)：
設(shè)，則有：
特別的：若
，則成等比數(shù)列
7、等比數(shù)列的判定：（假設(shè)不是常數(shù)列）
（1）定義法（遞推公式）：
（2）通項公式：（指數(shù)類函數(shù)）
（3）前項和公式：
注：若，則是從第二項開始成等比關(guān)系
（4）等比中項：對于，均有
8、非常數(shù)等比數(shù)列的前項和
與前項和的關(guān)系
，因為是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以有
例1：已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則________
思路：因為，代入條件可得：，因為，所以，
所以
答案：
例2：已知為等比數(shù)列，且，則（
）
A.
B.
C.
D.
思路一：由可求出公比：，可得，所以
思路二：可聯(lián)想到等比中項性質(zhì)，可得，則，由等比數(shù)列特征可得奇數(shù)項的符號相同，所以
答案：D
小煉有話說：思路二的解法盡管簡單，但是要注意雙解時要驗證項是否符合等比數(shù)列特征。
例3：已知等比數(shù)列的前項和為，則實數(shù)的值為（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由等比數(shù)列的結(jié)論可知：非常數(shù)列的等比數(shù)列，其前項和為的形式，所以，即
答案：A
例4：設(shè)等比數(shù)列的前項和記為，若，則（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由可得：，可發(fā)現(xiàn)只有分子中的指數(shù)冪不同，所以作商消去后即可解出，進而可計算出的值
解：
，解得：
所以
答案：A
例5：已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（
）
A.
B.
C.
D.
思路：與條件聯(lián)系，可將所求表達式向靠攏，從而，即所求表達式的值為
答案：C
例6：已知等比數(shù)列中，則其前5項的和的取值范圍是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：條件中僅有，所以考慮其他項向靠攏，所以有，再求出其值域即可
解：
，設(shè)，所以
答案：A
例7：已知數(shù)列是首項不為零的等比數(shù)列，且公比大于0，那么“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（
）
A.
充要條件
B.
必要不充分條件
C.
充分不必要條件
D.
既不充分也不必要條件
思路：在等比數(shù)列中，數(shù)列的增減受到的符號，與的影響。所以在考慮反例時可從這兩點入手。將條件轉(zhuǎn)為命題：“若，則數(shù)列是遞增數(shù)列”，如果，則是遞減數(shù)列，所以命題不成立；再看“若數(shù)列是遞增數(shù)列，則”，同理，如果，則要求，所以命題也不成立。綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件
答案：D
例8：在等比數(shù)列中，若，則（
）
A.
B.
C.
D.
解：條件與結(jié)論分別是的前項和與倒數(shù)和，所以考慮設(shè)，則
所以
答案：B
例9：已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，則（
）
A.
B.
C.
D.
思路：所求分式中的分子和分母為相鄰4項和，則兩式的比值與相關(guān)，所以需要求出。由條件，將等式中的項均用即可求出。從而解得表達式的值
解：成等差數(shù)列
將代入等式可得：
，而為正項數(shù)列，所以不符題意，舍去
答案：C
例10：在正項等比數(shù)列中，，則滿足的最大正整數(shù)的值為____________
思路：從已知條件入手可求得通項公式：，從而所滿足的不等式可變形為關(guān)于的不等式：，由
的指數(shù)冪特點可得：
，所以只需，從而解出的最大值
解：設(shè)的公比為，則有
解得：（舍）或
所以所解不等式為：
可解得：
的最大值為
答案：

展開更多......

收起↑