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等差等比數(shù)列綜合問(wèn)題
一、基礎(chǔ)知識(shí)：
1、等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)：
等差數(shù)列
等比數(shù)列
遞推公式
通項(xiàng)公式
等差（比）中項(xiàng)
等間隔抽項(xiàng)
仍構(gòu)成等差數(shù)列
仍構(gòu)成等比數(shù)列
相鄰項(xiàng)和
成等差數(shù)列
成等比數(shù)列
2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的互化：
（1）若為等差數(shù)列，，則成等比數(shù)列
證明：設(shè)的公差為，則為一個(gè)常數(shù)
所以成等比數(shù)列
（2）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，，則成等差數(shù)列
證明：設(shè)的公比為，則為常數(shù)
所以成等差數(shù)列
二、典型例題：
例1：已知等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則公比（
）
A.
B.
或
C.
D.
思路：由“成等差數(shù)列”可得：，再由等比數(shù)列定義可得：，所以等式變?yōu)椋航獾没颍?jīng)檢驗(yàn)均符合條件
答案：B
例2：已知是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和是，若成等比數(shù)列，則（
）
A.
B.
C.
D.
思路：從“成等比數(shù)列”入手可得：，整理后可得：，所以，則，且，所以符合要求
答案：B
小煉有話說(shuō)：在等差數(shù)列（或等比數(shù)列）中，如果只有關(guān)于項(xiàng)的一個(gè)條件，則可以考慮將涉及的項(xiàng)均用（或）進(jìn)行表示，從而得到（或）的關(guān)系
例3：已知等比數(shù)列中的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則_______________
思路：由等比數(shù)列性質(zhì)可得：，從而，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以為等差數(shù)列，求和可用等差數(shù)列求和公式：
答案：
例4：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減，則成等差數(shù)列，則這三個(gè)數(shù)為_(kāi)__________
思路：可設(shè)這三個(gè)數(shù)為，則有，解得，而第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減2，新的等差數(shù)列為，所以有：，即，解得或者，時(shí)，這三個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，這三個(gè)數(shù)為
答案：
小煉有話說(shuō)：三個(gè)數(shù)成等比（或等差）數(shù)列時(shí)，可以中間的數(shù)為核心。設(shè)為（或），這種“對(duì)稱”的設(shè)法便于充分利用條件中的乘積與和的運(yùn)算。
例5：設(shè)是等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比，且，若，則有（
）
A.
B.
C.
D.
或
思路：抓住和的序數(shù)和與的關(guān)系，從而以此為入手點(diǎn)。由等差數(shù)列性質(zhì)出發(fā)，，因?yàn)椋鵀榈缺葦?shù)列，聯(lián)想到與有關(guān)，所以利用均值不等式可得：（故，均值不等式等號(hào)不成立）所以即
答案：B
小煉有話說(shuō)：要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長(zhǎng)的運(yùn)算，等差數(shù)列擅長(zhǎng)加法，等比數(shù)列擅長(zhǎng)乘積。所以在選擇入手點(diǎn)時(shí)可根據(jù)表達(dá)式的運(yùn)算進(jìn)行選擇。
例6：數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，則有（
）
A.
B.
C.
D.
與的大小不確定
思路：比較大小的式子為和的形式，所以以為入手點(diǎn)，可得，從而作差比較，由為正項(xiàng)等比數(shù)列可得：，所以
答案：B
小煉有話說(shuō)：要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長(zhǎng)的運(yùn)算，等差數(shù)列擅長(zhǎng)加法，等比數(shù)列擅長(zhǎng)乘積。所以在選擇入手點(diǎn)時(shí)可根據(jù)表達(dá)式的運(yùn)算進(jìn)行選擇。
例7：設(shè)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則（
）
A.
B.
C.
D.
思路：求和看通項(xiàng)，考慮，所以，，所以
答案：A
例8：(2011,江蘇）設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是___________
思路：可知等比數(shù)列為，等差數(shù)列為
，依題意可得①，若要最小，則要達(dá)到最小，所以在①中，每一項(xiàng)都要盡量取較小的數(shù)，即讓不等式中的等號(hào)成立。所以，所以，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，
，①式為，滿足題意。
答案：
例9：已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列是公比為的正整數(shù)，前項(xiàng)和為，若，且是正整數(shù)，則等于（
）
A.
B.
C.
D.
解：本題的通項(xiàng)公式易于求解，由可得，而處理通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是要解出，由可得，所以，由，可得，所以可取的值為，可得只有才有符合條件的，即，所以，所以，，則
答案：D

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