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高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（二）
第一節　函數及其表示
一、必記3個知識點
1．函數與映射的概念
函數
映射
兩集合A，B
A，B是兩個非空數集
A，B是兩個①________
對應關系
f：A→B
按照某種確定的對應關系f，對于集合A中的②________
一個數x，在集合B中有③________的數f(x)和它對應
按某一個確定的對應關系f，對于集合A中的④________一個元素x，在集合B中都有⑤________的元素y與之對應
名稱
那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射
記法
y＝f(x)，x∈A
對應f：A→B是一個映射
2.函數的有關概念
(1)函數的定義域、值域
在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的⑥________；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的⑦________.顯然，值域是集合B的子集．
(2)函數的三要素
⑧________、⑨________和⑩________.
(3)相等函數
如果兩個函數的?________和?________完全一致，那么這兩個函數相等，這是判斷兩個函數相等的依據．
(4)函數的表示法
表示函數的常用方法有：?____________、?__________、?____________.
3．分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因?____________不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的?________，其值域等于各段函數的值域的?________，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．
二、必明3個易誤點
1．解決函數的一些問題時，易忽視“定義域優先”的原則．
2．易混“函數”與“映射”的概念：函數是特殊的映射，映射不一定是函數，從A到B的一個映射，A，B若不是數集，則這個映射便不是函數．
3．易誤把分段函數理解為幾種函數組成．
三、技法
1.求分段函數的函數值
(1)基本步驟
①確定要求值的自變量屬于哪一區間．
②代入該區間對應的解析式求值．
(2)兩種特殊情況
①當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．
②當自變量的值所在區間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數不同段的端點．
2．解分段函數與方程或不等式的綜合問題的策略
求解與分段函數有關的方程或不等式問題，主要表現為解方程或不等式．應根據每一段的解析式分別求解．若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則只需依據自變量的情況直接代入相應的解析式求解．解得值(范圍)后一定要檢驗是否符合相應段的自變量的取值范圍.
3．函數問題常見方法說明
參考答案
①非空集合　②任意　③唯一確定　④任意　⑤唯一確定　⑥定義域　⑦值域　⑧定義域　⑨值域　⑩對應關系　?定義域　?對應關系　?解析法　?列表法　?圖象法　?對應關系　?并集　?并集
第二節　函數的單調性與最值
一、必記2個知識點
1．函數的單調性
(1)單調函數的定義
增函數
減函數
定義
設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2
當x1當x1圖象描述
自左向右看圖象是③________
自左向右看圖象是④________
(2)單調性、單調區間的定義
若函數f(x)在區間D上是⑤________或⑥________，則稱函數f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，區間D叫做f(x)的⑦________.
(3)若函數y＝f(x)在區間D內可導，當⑧________時，f(x)在區間D上為增函數；當⑨________時，f(x)在區間D上為減函數．
(4)復合函數的單調性．若構成復合函數的內、外層函數單調性相同，則復合函數為增函數，否則為減函數．簡稱“同增異減”．
2．函數的最值
(1)函數最值的定義
前提
設函數f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足
條件
(1)對于任意的x∈I，都有⑩________；
(2)存在x0∈I，使得?________.
(1)對于任意的x∈I，都有?________；
(2)存在x0∈I，使得?________.
結論
M是y＝f(x)的最大值
M是y＝f(x)的最小值
(2)兩條結論：
①閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值．當函數在閉區間上單調時，最值一定在端點處取到；
②區間上的“單峰”函數一定存在最大(小)值．
二、必明2個易誤點
1．函數的單調區間是指函數在定義域內的某個區間上單調遞增或單調遞減．單調區間只能用區間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能用并集符號“∪”聯結，也不能用“或”聯結，只能用“，”“和”．
2．兩函數f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(減)函數，則f(x)＋g(x)也為增(減)函數，但f(x)·g(x)的單調性與其正負有關，切不可盲目類比．
三、技法
1.確定函數單調性(區間)的三種常用方法
(1)定義法：一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性確定它的單調性．
(3)導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調性．
2．熟記函數單調性的三個常用結論
(1)若f(x)，g(x)均是區間A上的增(減)函數，則f(x)＋g(x)也是區間A上的增(減)函數；
(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調性相反；
(3)復合函數單調性的確定方法：若兩個簡單函數的單調性相同，則這兩個函數的復合函數為增函數；若兩個簡單函數的單調性相反，則這兩個函數的復合函數為減函數，簡稱“同增異減”.
3．求函數的最值(值域)的常用方法
(1)單調性法：若所給函數為單調函數，可根據函數的單調性求最值．
(2)換元法：求形如y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函數的值域或最值，常用代數換元法、三角換元法結合題目條件將原函數轉化為熟悉的函數，再利用函數的相關性質求解．
(3)數形結合法：若函數解析式的幾何意義較明顯(如距離、斜率等)或函數圖象易作出，可用數形結合法求函數的值域或最值．
(4)有界性法：利用代數式的有界性(如x2≥0，≥0，－1≤sin
x≤1等)確定函數的值域．
(5)分離常數法：形如求y＝(ac≠0)的函數的值域或最值常用分離常數法求解．
另外，基本不等式法、導數法求函數值域或最值也是常用方法.
4．函數單調性應用問題的常見類型及解題策略
(1)比較大小．
(2)解不等式．利用函數的單調性將“f”符號脫掉，轉化為具體的不等式求解，應注意函數的定義域．
(3)利用單調性求參數
①依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較；
②需注意：若函數在區間[a，b]上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的；
③分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值.
參考答案
①f(x1)f(x2)　③上升的　④下降的　⑤增函數　⑥減函數　⑦單調區間　
⑧f′(x)>0　⑨f′(x)<0　⑩f(x)≤M　?f(x0)＝M　?f(x)≥M　?f(x0)＝M
第三節　函數的奇偶性與周期性
一、必記3個知識點
1．函數的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數
如果函數f(x)的定義域內①______x都有②________________，那么函數f(x)是偶函數
關于③______對稱
奇函數
如果函數f(x)的定義域內④______x都有⑤________________，那么函數f(x)是奇函數
關于⑥______對稱
2.奇偶函數的性質
(1)奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性⑦______，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性⑧________(填“相同”、“相反”)．
(2)在公共定義域內
(ⅰ)兩個奇函數的和函數是⑨________，兩個奇函數的積函數是⑩________.
(ⅱ)兩個偶函數的和函數、積函數是?________.
(ⅲ)一個奇函數與一個偶函數的積函數是?________.
(3)若f(x)是奇函數且在x＝0處有意義，則f(0)＝?________.
3．函數的周期性
(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝?________，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中?__________________的正數，那么這個?________就叫做f(x)的最小正周期．
二、必明2個易誤點
1．判斷函數的奇偶性，易忽視判斷函數定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱是判斷函數具有奇偶性的一個必要條件．
2．判斷函數f(x)的奇偶性時，必須對定義域內的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
三、技法
1.判斷函數奇偶性的三種方法
(1)定義法
　(2)圖象法
(3)性質法
設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函數奇偶性的應用
(1)求函數值：將特求值利用奇偶性轉化為求已知解析式的區間上的函數值．
(2)求解析式：將待求區間上的自變量轉化到已知解析式的區間上，再利用奇偶性的定義求出．
(3)求解析式中的參數：利用待定系數法求解，根據f(x)±f(－x)＝0得到關于參數的恒等式，由系數的對等性或等式恒成立的條件得方程(組)，進而得出參數的值．
(4)畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在另一對稱區間上的圖象．
(5)求特殊值：利用奇函數的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結構的函數值．
3.求函數周期的方法
方法
解讀
適合題型
定義法
具體步驟為：對于函數y＝f(x)，如果能夠找到一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函數y＝f(x)的周期
非零常數T容易確定的函數
遞推法
采用遞推的思路進行，再結合定義確定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a為f(x)的一個周期
含有f(x＋a)與f(x)的關系式
換元法
通過換元思路將表達式化簡為定義式的結構，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，則x＝t＋a，則f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a為f(x)的一個周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型關系式
4.函數周期性的應用
根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，即周期性與奇偶性都具有將未知區間上的問題轉化到已知區間的功能．在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期.
5.函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略
(1)函數單調性與奇偶性的綜合．解此類問題常利用以下兩個性質：①如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．
(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．
(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性、奇偶性轉化自變量所在的區間，然后利用單調性求解.
參考答案
①任意一個　②f(－x)＝f(x)　③y軸　④任意一個　⑤f(－x)＝－f(x)　⑥原點　⑦相同　⑧相反　⑨奇函數　⑩偶函數　?偶函數　?奇函數　?0　?f(x)　?存在一個最小　?最小正數
第四節　二次函數與冪函數
一、必記2個知識點
1．冪函數
(1)定義：形如①________________的函數稱為冪函數，其中底數x是自變量，α為常數．常見的五類冪函數為y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1.
(2)性質
(ⅰ)冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
(ⅱ)當α>0時，冪函數的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
(ⅲ)當α<0時，冪函數的圖象都過點(1,1)，且在(0，＋∞)上單調遞減．
2．二次函數
(1)二次函數解析式的三種形式
(ⅰ)一般式：f(x)＝②________________________；
(ⅱ)頂點式：f(x)＝③________________________；
(ⅲ)零點式：f(x)＝④________________________.
(2)二次函數的圖象和性質
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象
定義域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
單調性
在⑤____________上單調遞減；
在⑥____________上單調遞增
在⑦____________上單調遞增；
在⑧____________上單調遞減
奇偶性
當⑨________時為偶函數，當b≠0時為非奇非偶函數
頂點
⑩____________________
對稱性
圖象關于直線x＝－成軸對稱圖形
二、必明2個易誤點
1．研究函數f(x)＝ax2＋bx＋c的性質，易忽視a的取值情況的討論而盲目認為f(x)為二次函數．
2．形如y＝xα(α∈R)才是冪函數，如y＝不是冪函數．
三、技法
1.冪函數的性質與圖象特征的關系
(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式．
(2)判斷冪函數y＝xα(α∈R)的奇偶性時，當α是分數時，一般將其先化為根式，再判斷．
(3)若冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增，則α>0，若在(0，＋∞)上單調遞減，則α<0.
求二次函數的解析式，一般用待定系數法，其關鍵是根據已知條件恰當選擇二次函數解析式的形式，一般選擇規律如下：
2.二次函數最值問題的類型及處理思路
(1)類型：①對稱軸、區間都是給定的；②對稱軸動、區間固定；③對稱軸定、區間變動．
(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據函數的單調性及分類討論的思想即可完成．
3．由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵
(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數．
(2)兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數是否易分離．這兩個思路的依據是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
參考答案
①y＝xα(α∈R)　②ax2＋bx＋c(a≠0)　③a(x－m)2＋n(a≠0)　
④a(x－x1)(x－x2)(a≠0)　⑤　⑥　
⑦　⑧　⑨b＝0　
⑩
第五節　指數與指數函數
一、必記4個知識點
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念
符號表示
備注
如果①________，那么x叫做a的n次方根.
n>1且
n∈N
當n為奇數時，正數的n次方根是一個②________，負數的n次方根是一個③________.
零的n次
方根是零
當n為偶數時，正數的n次方根有④________________，它們互為⑤________________.
±
負數沒有
偶次方根
(2)一個重要公式
()n＝⑨________(注意a必須使有意義)．
2．分數指數冪
(1)正數的正分數指數冪是：＝⑩____________(a>0，m，n∈N
，n>1)．
(2)正數的負分數指數冪是：＝?___________＝?___________(a>0，m，n∈N
，n>1)．
(3)0的正分數指數冪是?________，0的負分數指數冪無意義．
3．有理指數冪的運算性質
(1)ar·as＝?________(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝?________(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝?________(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指數函數的圖象與性質
a>1
0圖象
定義域
?____________
值域
?____________
性質
(1)過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1
(2)在(－∞，＋∞)上是?________
(2)在(－∞，＋∞)上是?________
二、必明2個易誤點
1．在進行指數冪的運算時，一般用分數指數冪的形式表示，并且結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數．
2．指數函數y＝ax(a>0，a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意區分a>1還是0三、技法
1.
　[注意]　運算結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數，形式力求統一.
2.有關指數函數圖象問題的解題思路
(1)已知函數解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．
(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．
(3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往是利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解．
(4)根據指數函數圖象判斷底數大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷.
3.應用指數函數性質的常見3大題型及求解策略
題型
求解策略
比較冪值
的大小
(1)能化成同底數的先化成同底數冪再利用單調性比較大小；(2)不能化成同底數的，一般引入“1”等中間量比較大小
解簡單指數
不等式
先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用單調性轉化為一般不等式求解
探究指數型
函數的性質
與研究一般函數的定義域、單調性(區間)、奇偶性、最值(值域)等性質的方法一致
[提醒]　在研究指數型函數的單調性時，當底數與“1”的大小關系不明確時，要分類討論.
參考答案
①xn＝a　②正數　③負數　④兩個　⑤相反數　⑥a　⑦a　⑧－a　⑨a　⑩　?　?　?0　?ar＋s　?ars　?arbr　?R　?(0，＋∞)　?增函數　?減函數
第六節　對數與對數函數
一、必記4個知識點
1．對數的概念
(1)對數的定義
如果①________________________，那么數x叫做以a為底N的對數，記作②________，其中③________叫做對數的底數，④________叫做真數．
(2)幾種常見對數
對數形式
特點
記法
一般對數
底數為a(a>0且a≠1)
⑤________
常用對數
底數為⑥________
⑦________
自然對數
底數為⑧________
⑨________
2.對數的性質與運算法則
(1)對數的性質
(ⅰ)alogaN＝⑩________(a>0且a≠1)；
(ⅱ)logaaN＝?________(a>0且a≠1)．
(2)對數的重要公式
(ⅰ)換底公式：?________________(a，b均大于零且不等于1)；
(ⅱ)logab＝，推廣logab·logbc·logcd＝?________.
(3)對數的運算法則
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
(ⅰ)loga(MN)＝?________________；
(ⅱ)loga＝?________________；
(ⅲ)logaMn＝?________________(n∈R)；
(ⅳ)logamMn＝logaM(m，n∈R)．
3．對數函數的圖象與性質
a>1
0圖象
性質
(1)定義域：?________
(2)值域：?________
(3)過點?________，即x＝?________時，y＝________
(4)當x>1時，________
當0(4)當x>1時，________
當0(5)是(0，＋∞)上的
________
(5)是(0，＋∞)上的
________
4.反函數
指數函數y＝ax與對數函數________互為反函數，它們的圖象關于直線________對稱．
二、必明2個易誤點
1．在運算性質logaMn＝nlogaM中，易忽視M>0.
2．在解決與對數函數有關的問題時易漏兩點：
(1)函數的定義域；
(2)對數底數的取值范圍．
三、技法
1.對數運算的一般思路
(1)先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數的運算性質化簡合并．
(2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底數對數的真數的積、商、冪的運算．
(3)利用式子lg2＋lg5＝1進行化簡.
2.對數型函數圖象的考查類型及解題思路
(1)對有關對數型函數圖象的識別問題，主要依據底數確定圖象的變化趨勢、圖象的位置、圖象所過的定點及圖象與坐標軸的交點等求解．
(2)對有關對數型函數的作圖問題，一般是從基本初等函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到所要求的函數圖象．特別地，當底數與1的大小關系不確定時應注意分類討論．
(3)與對數型函數有關的方程或不等式問題常常結合對數函數的圖象來解決，即數形結合法.
3.比較對數值大小的方法
若底數相同，真數不同
若底數為同一常數，可由對數函數的單調性直接進行判斷；若底數為同一字母，則需對底數進行分類討論
若底數不同，真數相同
可以先用換底公式化為同底后，再進行比較
若底數與真數都不同
常借助1,0等中間量進行比較
4.求解對數不等式的兩種類型及方法
類型
方法
形如
logax>logab
借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0形如
logax>b
需先將b化為以a為底的對數式的形式，再借助y＝logax的單調性求解
5.解與對數函數有關的函數性質問題的三個關注點
(1)定義域，所有問題都必須在定義域內討論．
(2)底數與1的大小關系．(分類討論)
(3)復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.
參考答案
①ax＝N(a>0且a≠1)　②x＝logaN　③a　④N　⑤logaN　⑥10　⑦lgN　⑧e　⑨lnN　⑩N　?N　?logbN＝　?logad　?logaM＋logaN　?logaM－logaN　?nlogaM　?(0，＋∞)　?R　?(1,0)
?1　0　y>0　y<0　y<0
y>0　增函數　減函數　y＝logax
y＝x
第七節　函數的圖象
一、必記2個知識點
1．列表描點法作圖
其基本步驟是列表、描點、連線，首先：確定函數的定義域；化簡函數解析式；討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性)；其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值、最小值、與坐標軸的交點)，描點，連線．
2．圖象變換法作圖
(1)平移變換
(2)對稱變換
(ⅰ)y＝f(x)y＝①________；
(ⅱ)y＝f(x)y＝②________；
(ⅲ)y＝f(x)y＝③________；
(ⅳ)y＝ax(a>0且a≠1)y＝④________.
(3)翻折變換
(ⅰ)y＝f(x)y＝⑤________.
(ⅱ)y＝f(x)y＝⑥________.
(4)伸縮變換
y＝⑦________.
(ⅱ)y＝f(x)
y＝⑧________.
二、必明2個易誤點
1．圖象變換的根本是點的變換，如函數y＝f(2x)的圖象到函數y＝f(2x＋2)的平移變換，是點(x，y)到對應點(x＋1，y)，而不是到點(x＋2，y)或其他．
2．明確一個函數的圖象本身關于y軸對稱與兩個函數的圖象關于y軸對稱的不同，前者是自身對稱，后者是兩個不同的函數的對稱關系．
三、技法
1.圖象變換法作函數的圖象
(1)熟練掌握幾種基本函數的圖象，如二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、形如y＝x＋的函數．
(2)若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.
2.識圖3種常用的方法
3.函數圖象應用的常見題型與求解策略
(1)研究函數性質：
①根據已知或作出的函數圖象，從最高點、最低點，分析函數的最值、極值．
②從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性．
③從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性．
④從圖象與x軸的交點情況，分析函數的零點等．
(2)研究方程根的個數或由方程根的個數確定參數的值(范圍)：構造函數，轉化為兩函數圖象的交點個數問題，在同一坐標系中分別作出兩函數的圖象，數形結合求解．
(3)研究不等式的解：當不等式問題不能用代數法求解，但其對應函數的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上、下關系問題，從而利用數形結合求解.
參考答案
①－f(x)　②f(－x)　③－f(－x)　④logax　⑤|f(x)|　⑥f(|x|)　⑦f(ax)　⑧af(x)
第八節　函數與方程
一、必記4個知識點
1．函數的零點的概念
對于函數y＝f(x)，x∈D，我們把使①________的實數x叫做函數y＝f(x)，x∈D的零點．
2．方程的根與函數的零點的關系
由函數的零點的概念可知，函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根，也就是函數y＝f(x)的圖象與②________的交點的橫坐標．所以方程f(x)＝0有實數根?③________________________?函數y＝f(x)有零點．
3．函數零點的存在性定理
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是④__________的一條曲線，并且⑤________________，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得⑥________，這個c也就是方程f(x)＝0的根．
4．二分法的定義
對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷把函數f(x)的零點所在的區間⑦______，使區間的兩個端點逐漸逼近零點，進而得到⑧__________的方法叫做二分法．
二、必明2個易誤點
1．函數y＝f(x)的零點即方程f(x)＝0的實根，是函數圖象與x軸交點的橫坐標，是一個實數，易誤認為是一個點而寫成坐標形式．
2.
由函數y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點的充分不必要條件．
三、技法
1.確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法
(1)定義法：使用零點存在性定理，函數y＝f(x)必須在區間[a，b]上是連續的，當f(a)·f(b)<0時，函數在區間(a，b)內至少有一個零點．
(2)圖象法：若一個函數(或方程)由兩個初等函數的和(或差)構成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點的橫坐標即為函數f(x)的零點.
2.判斷函數零點個數的3種方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)定理法：利用定理不僅要求函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點．
(3)圖形法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題．先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.
3.已知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍常用3種方法
直接法
直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍
分離參
數法
先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決
數形結
合法
先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解
參考答案
①f(x)＝0　②x軸　③函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點　④連續不斷　⑤f(a)·f(b)<0　⑥f(c)＝0　⑦一分為二　⑧零點近似值
第九節　函數模型及其應用
一、必記2個知識點
1．三種函數模型的性質
　　函數
性質　　
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上
的增減性
①________
②________
③________
增長速度
④________
⑤________
相對平穩
圖象的變化
隨x增大逐漸
表現為與
⑥________平行
隨x增大逐漸
表現為與
⑦________平行
隨n值變化
而不同
2.函數y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增長速度比較
(1)指數函數y＝ax和冪函數y＝xn(n＞0)在區間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內ax會小于xn，但由于y＝ax的增長速度⑧________y＝xn的增長速度，因此總存在一個x0，當x＞x0時有⑨________.
(2)對于對數函數y＝logax(a＞1)和冪函數y＝xn(n＞0)在區間(0，＋∞)，盡管在x的一定范圍內可能會有logax＞xn，但由于y＝logax的增長速度慢于y＝xn的增長速度，因此在(0，＋∞)上總存在一個實數x0，使x＞x0時，⑩________.
(3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)與y＝xn(n＞0)盡管都是增函數，但由于它們?________不同，而且不在同一個“檔次上”，因此在(0，＋∞)上隨x的增大，總會存在一個x0，當x＞x0時，有?________________.
二、必明2個易誤點
1．易忽視實際問題對自變量的影響，單純考慮解析式下的函數定義域．
2．在解決函數模型后，要注意回歸實際，驗證這個數學結果對實際問題的合理性．
三、技法
1.一次函數、二次函數模型問題的常見類型及解題策略
(1)直接考查一次函數、二次函數模型．
解決此類問題應注意三點：
①二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯；
②確定一次函數模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數法；
③解決函數應用問題時，最后要還原到實際問題．
(2)以分段函數的形式考查．
解決此類問題應注意以下三點：
①實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解；
②構造分段函數時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏；
③分段函數的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒]　(1)構建函數模型時不要忘記考慮函數的定義域．
(2)對構造的較復雜的函數模型，要適時地用換元法轉化為熟悉的函數問題求解.
2.應用函數y＝x＋模型的關鍵點
(1)明確對勾函數是正比例函數f(x)＝ax與反比例函數f(x)＝疊加而成的．
(2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有時可以將所列函數關系式轉化為f(x)＝ax＋的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件.
3.應用指數函數模型應注意的問題
(1)指數函數模型的應用類型．常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數函數模型來解決．
(2)應用指數函數模型時的關鍵．關鍵是對模型的判斷，先設定模型，再將已知有關數據代入驗證，確定參數，從而確定函數模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數運算與對數函數的性質求解.
參考答案
①增函數　②增函數　③增函數　④越來越快　⑤越來越慢　⑥y軸　⑦x軸　⑧快于　⑨ax＞xn　⑩logax＜xn　?增長速度　?ax＞xn＞logax高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（八）
第一節　空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖
一、必記4個知識點
1．空間幾何體的結構特征
(2)旋轉體的結構特征：
幾何體
旋轉圖形
旋轉軸
圓柱
矩形
⑦__________所在的直線
圓錐
直角三角形
⑧__________所在的直線
圓臺
直角梯形
⑨__________所在的直線
球
半圓
⑩__________所在的直線
2.空間幾何體的三視圖
(1)三視圖的形成與名稱：
(ⅰ)形成：空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，在這種投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的?________和?________是完全相同的．
(ⅱ)名稱：三視圖包括?______、?______、?________.
(2)三視圖的畫法：
(ⅰ)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成?______.
(ⅱ)三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的?______方、?______方、?______方觀察幾何體畫出的輪廓線．
3．空間幾何體的直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：
(1)畫幾何體的底面：
在已知圖形中取互相垂直的x軸，y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝?________，已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度______，平行于y軸的線段，長度______.
(2)畫幾何體的高：
在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變．
4．正棱柱、正棱錐的結構特征
(1)正棱柱：側棱________于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是________的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是________，側棱________于底面，側面是矩形．
(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．
二、必明3個易誤點
1．臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側棱延長后必交于一點．
2．空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同．
3．對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實虛線的畫法．
三、技法
1.
空間幾何體結構特征的解題策略
　
(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定．
(2)通過舉反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.
2.
3.
根據幾何體確認三視圖的技巧
由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側一樣高，正俯一樣長，俯側一樣寬”的特點確認．
4．根據三視圖還原幾何體的技巧策略
(1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉．
(2)明確三視圖的形成原理，并能結合空間想象將三視圖還原為直觀圖．
(3)遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則．
參考答案
①平行且相等　②全等　③多邊形　④公共點　⑤平行于底面　⑥相似　⑦任一邊　
⑧任一直角邊　⑨垂直于底邊的腰　⑩直徑　?形狀　?大小　?正視圖　?側視圖　
?俯視圖　?虛線　?正前　?正左　?正上　?45°(或135°)　不變　減半　
垂直　正多邊形　正多邊形　垂直
第二節　空間幾何體的表面積和體積
一、必記4個知識點
1．柱、錐、臺和球的側面積和體積
面積
體積
圓柱
S側＝①________
V＝②________＝③________
圓錐
S側＝④________
V＝⑤________＝⑥________
＝πr2
圓臺
S側＝⑦________
V＝(S上＋S下＋)h
＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱
S側＝⑧________
V＝⑨________
正棱錐
S側＝⑩________
V＝?________
正棱臺
S側＝?________
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝?________
V＝?________
2.長方體的外接球
(1)球心：體對角線的交點．
(2)半徑：r＝(a，b，c為長方體的長、寬、高)．
3．正方體的外接球、內切球及與各條棱相切的球
(1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝a(a為正方體的棱長)．
(2)內切球：球心是正方體中心；半徑r＝(a為正方體的棱長)．
(3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝a(a為正方體的棱長)．
4．正四面體的外接球與內切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)
(1)外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝a(a為正四面體的棱長)．
(2)內切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝a(a為正四面體的棱長)．
二、必明3個易誤點
1．求組合體的表面積時：組合體的銜接部分的面積問題易出錯．
2．由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準確及幾何體的結構特征認識不準易導致失誤．
3．易混側面積與表面積的概念．
三、技法
1.
幾何體表面積的求法
(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和．
(2)旋轉體：其表面積等于側面面積與底面面積的和．
計算旋轉體的側面積時，一般采用轉化的方法來進行，即將側面展開化為平面圖形來解決．
(3)簡單組合體：應搞清各構成部分，并注意重合部分的處理．
(4)若以三視圖的形式給出，解題的關鍵是對給出的三視圖進行分析，從中發現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系，得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.
2.
空間幾何體體積的求法
(1)求簡單幾何體的體積．若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解．
(2)求組合體的體積．若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉換法、分割法、補形法等進行求解．
(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積．應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.
3.
空間幾何體與球接、切問題的求解方法
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截圖，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．
(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
參考答案
①2πrh　②Sh　③πr2h　④πrl　⑤Sh　⑥πr2h　⑦π(r1＋r2)l　⑧Ch　⑨Sh　⑩Ch′　
?Sh　?(C＋C′)h′　?4πR2　?
第三節　空間點、直線、平面之間的位置關系
一、必記6個知識點
1．平面的基本性質
表示
公理　　
文字語言
圖形語言
符號語言
公理1
如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內
公理2
①__________的三點，有且只有一個平面
A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有②______過該點的公共直線
?
α∩β＝l，且P∈l
2.空間兩條直線的位置關系
(1)位置關系分類：
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
平行公理：平行于同一條直線的兩條直線⑥________.
等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角⑦________.
(3)異面直線所成的角：
①定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的⑧________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：⑨____________.
3．空間直線與平面、平面與平面的位置關系
圖形語言
符號語言
公共點
直線與平面
相交
⑩________
1個
平行
?________
0個
在平面內
?________
無數個
平面與平面
平行
?________
0個
相交
?________
無數個
4.唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
5．異面直線的判定定理
經過平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線互為異面直線．
6．確定平面的三個推論
(1)經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．
(2)兩條相交直線確定一個平面．
(3)兩條平行直線確定一個平面．
二、必明2個易誤點
1．異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內的兩條直線為異面直線”，實質上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交．
2．直線與平面的位置關系在判斷時最易忽視“線在面內”．
三、技法
1.
證明空間點共線問題的方法
(1)公理法：一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上．
(2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上．
2．點、線共面的常用判定方法
(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內．
(2)輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.
3.
異面直線的判定方法
(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經常用到．
(2)定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線.
4.
求異面直線所成的角的三步曲
[提醒]　在求異面直線所成的角時，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.
參考答案
①過不在一條直線上　②一條　③相交　④平行　⑤任何一個平面　⑥平行　
⑦相等或互補　⑧銳角(或直角)　⑨　⑩a∩α＝A　?a∥α　?a?α　
?α∥β　?α∩β＝l
第四節　直線、平面平行的判定和性質
一、必記3個知識點
1．直線與平面平行的判定定理和性質定理
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)
因為①______，
______，
______，
所以l∥α
性質定理
一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)
因為②______，
______，
______，
所以l∥b
2.平面與平面平行的判定定理和性質定理
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)
因為③______，
______，
______，
______，
______，
所以α∥β
性質定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
因為④______，
______，
______，
所以a∥b
3.平行關系中的兩個重要結論
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
二、必明3個易誤點
1．直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內”這一關鍵條件．
2．面面平行的判定中易忽視“面內兩條相交線”這一條件．
3．如果一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質上也可以相交．
三、技法
1.
判定線面平行的4種方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點)．
(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
(3)利用面面平行的性質定理(α∥β，a?α?a∥β)．
(4)利用面面平行的性質(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．
2．解決直線與平面平行的3個思維趨向
(1)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線．
(2)構造平行的常見形式：三角形的中位線、平行四邊形、利用比例關系證明兩直線平行等．
(3)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”，而在應用性質定理時，其順序恰好相反.
3.
判定平面與平面平行的5種方法
(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)．
(2)面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題可用)．
(4)利用平面平行的傳遞性，兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題可用)．
(5)利用向量法，通過證明兩個平面的法向量平行證得兩平面平行.
4.
平行關系中的探索性問題，主要是對點的存在性問題的探索，一般用轉化方法求解，即先確定點的位置，把問題轉化為證明問題，而證明線面平行時又有兩種轉化方法，一是轉化為線線平行，二是轉化為面面平行．
5．這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結論出發“要使……成立”，“只需使……成立”.
參考答案
①l∥a　a?α　l?α　②l∥α　l?β　α∩β＝b　③a∥β　b∥β　a∩b＝P　a?α　b?α　④α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b
第五節　直線、平面垂直的判定和性質
一、必記6個知識點
1．直線與平面垂直
(1)定義：直線l與平面α內的①________一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．
(2)判定定理與性質定理
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
?l⊥α
性質定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
?a∥b
2.直線和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的④________叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0°的角．
(2)范圍：.
3．平面與平面垂直
(1)二面角：從一條直線出發的⑤________所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作⑥________的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角．
4．平面和平面垂直的定義
兩個平面相交，如果所成的二面角是⑦________，就說這兩個平面互相垂直．
5．平面與平面垂直的判定定理與性質定理
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
?α⊥β
性質定理
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
?l⊥α
6.垂直關系中的兩個重要結論
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．
二、必明3個易誤點
1．證明線面垂直時，易忽視面內兩條線為相交線這一條件．
2．面面垂直的判定定理中，直線在面內且垂直于另一平面易忽視．
3．面面垂直的性質定理在使用時易忘面內一線垂直于交線而盲目套用造成失誤．
三、技法
1.
判定線面垂直的四種方法
(1)利用線面垂直的判定定理．
(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”．
(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個也垂直”．
(4)利用面面垂直的性質定理.
2.
面面垂直的證明方法
(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線，把問題轉化成證明線線垂直加以解決．
[提醒]　兩平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面．這是把面面垂直轉化為線面垂直的依據．運用時要注意“平面內的直線”.
3.
對于翻折問題，應明確：在同一個平面上的性質不發生變化，不在同一個平面上的性質可能會發生變化．解決這類問題就是要據此研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和幾何量的度量值，這是解決翻折問題的主要方法.
參考答案
①任意　②a∩b＝O　③a⊥α　b⊥α　④銳角　⑤兩個半平面　⑥垂直于棱　
⑦直二面角　⑧l⊥α　l?β　⑨α∩β＝a
第六節　空間向量及其運算
一、必記3個知識點
1．空間向量及其有關概念
語言描述
共線向量
(平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相①________
共面向量
平行于②________的向量
共線向
量定理
對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使③________
共面向
量定理
若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝④________
空間向量
基本定理
定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}使得p＝⑤________
推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對平面ABC內任一點P都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2.數量積及坐標運算
(1)兩個向量的數量積：
(ⅰ)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(ⅱ)a⊥b＝⑥____________(a，b為非零向量)．
(ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝.
(2)向量的坐標運算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝⑦____________
向量差
a－b＝⑧____________
數量積
a·b＝⑨____________
共線
a∥b?⑩____________(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b??____________
夾角公式
cos〈a，b〉＝?____________________
3.直線的方向向量與平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l?________或?________，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的?________向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
二、必明4個易誤點
1．共線向量定理中a∥b?存在λ∈R，使a＝λb易忽視b≠0.
2．共面向量定理中，注意有序實數對(x，y)是唯一存在的．
3．一個平面的法向量有無數個，但要注意它們是共線向量，不要誤為是共面向量．
4．利用空間向量證明空間平行與垂直關系時，書寫步驟時一定明確判定定理的條件，否則，會犯步驟不規范的錯誤．
三、技法
1.
用已知向量表示某一向量的方法
(1)用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．
(3)在立體幾何中要靈活應用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立.
2.
證明點共線的問題可轉化為證明向量共線的問題，①如證明A，B，C三點共線，即證明A，A共線，亦即證明A＝λ(λ≠0)；②A，B，C三點共線，對空間內任意一點O，有O＝(1－t)O＋t.
3.
證明點共面問題可轉化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明P＝x＋y或對空間任一點O，有O＝O＋x＋y或O＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可.
4.
空間向量數量積的計算方法
(1)定義法：設向量a，b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)坐標法：設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
5．數量積的應用
(1)求夾角：設向量a，b所成的角為θ，則cos
θ＝，進而可求兩異面直線所成的角．
(2)求長度(距離)：運用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計算問題轉化為向量數量積的計算問題．
(3)解決垂直問題：利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉化為向量數量積的計算問題.
6.
用空間向量證平行的方法
(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．
(2)線面平行：
①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；
②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行．
(3)面面平行：證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)．
7．用空間向量證垂直的方法
(1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零．
(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示．
(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示.
參考答案
①平行或重合　②同一平面　③a＝λb　④xa＋yb　⑤xa＋yb＋zc　⑥a·b＝0　
⑦(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　⑧(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　⑨a1b1＋a2b2＋a3b3　
⑩a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　?　
?平行
?重合　?方向
第七節　立體幾何中的向量方法
一、必記4個知識點
1．異面直線所成角的求法
設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
范圍
[0，π]
①____________
求法
cos
β＝
cos
θ＝|cos
β|＝②____________
2.直線和平面所成角的求法
如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin
φ＝|cos
θ|＝③________________.
　
3．二面角的求法
(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β兩個半平面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．
①
　②
　③
(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos
θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
4．空間距離的求法
(1)利用||2＝·可以求空間中有向線段的長度．
(2)點面距離的求法．
已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為||＝||·|cos〈，n〉|＝.
二、必明3個易誤點
1．求異面直線所成角時，易求出余弦值為負值而盲目得出答案而忽視了夾角為.
2．求直線與平面所成角時，注意求出夾角的余弦值的絕對值應為線面角的正弦值．
3．利用平面的法向量求二面角的大小時，二面角是銳角或鈍角由圖形決定．由圖形知二面角是銳角時cos
θ＝；由圖形知二面角是鈍角時，cos
θ＝－.當圖形不能確定時，要根據向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內部，另一個平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(兩個法向量同時指向二面角的內部或外部)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點．
三、技法
1.
向量法求線面角的兩大途徑
(1)分別求出斜線和它所在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)．
(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．
[提醒]　在求平面的法向量時，若能找出平面的垂線，則垂線上取兩個點可構成一個法向量.
2.
利用向量法計算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小．
(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.
3.
探索性問題的求解策略
空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷．
4.
對于存在判斷型問題的求解，應先假設存在，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍內的解”等．
5.
對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數，綜合已知和結論列出等式，解出參數.
參考答案
①　②　③高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（七）：不等式
第一節　不等關系與不等式
一、必記4個知識點
1．實數的大小順序與運算性質的關系
(1)a>b?①________.
(2)a＝b?a－b＝0.
(3)a2．不等式的基本性質
(1)對稱性：a>b?③________.(雙向性)
(2)傳遞性：a>b，b>c?④________.(單向性)
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.(雙向性)
(4)同向可加性：a>b，c>d?⑤________.(單向性)
(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac(6)a>b>0，c>d>0?⑥________.(單向性)
(7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)．(單向性)
(8)開方法則：a>b>0?>(n∈N，n≥2)．(單向性)
3．倒數性質
(1)ab>0，則a.(雙向性)
(2)a<0(3)a>b>0,0.
(4)04．有關分數的性質
若a>b>0，m>0，則
(1)<；>(b－m>0)
(2)>；<(b－m>0)
二、必明2個易誤點
1．在應用傳遞性時，注意等號是否傳遞下去，如a≤b，b2．在乘法法則中，要特別注意“乘數c的符號”，例如當c≠0時，有a>b?ac2>bc2；若無c≠0這個條件，a>b?ac2>bc2就是錯誤結論(當c＝0時，取“＝”)．
三、技法
1.
用作差法比較兩個實數大小的四步曲
2.
不等式性質應用問題的3大常見類型及解題策略
(1)利用不等式性質比較大小．熟記不等式性質的條件和結論是基礎，靈活運用是關鍵，要注意不等式性質成立的前提條件．
(2)與充要條件相結合問題．用不等式的性質分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應用．
(3)與命題真假判斷相結合問題．解決此類問題除根據不等式的性質求解外，還經常采用特殊值驗證的方法.
3.
利用不等式性質求范圍
(1)此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關系，最后通過“一次性”使用不等式的運算求得整體范圍．
(2)求范圍問題如果多次利用不等式有可能擴大變量取值范圍.
參考答案
①a－b>0　②a－b<0　③bc　⑤a＋c>b＋d　⑥ac>bd
第二節　一元二次不等式及其解法
一、必記2個知識點
1．一元二次不等式的特征
一元二次不等式的二次項(最高次項)系數不等于0.
2．一元二次不等式的解法
判別式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函數
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的圖象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有兩不等實根
x1，x2，(x1＜x2)
有兩相等實根
x1＝x2＝－
沒有實根
ax2＋bx＋c
＞0(a＞0)
的解集
①____________
②____________
③____________
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
④____________
⑤____________
⑥____________
二、必明2個易誤點
1．二次項系數中含有參數時，則應先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數不為零時的情形，以便確定解集的形式．
2．當Δ<0時，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為R還是?.
三、技法
1.
解一元二次不等式的4個步驟
2.
含參數一元二次不等式求解步驟
(1)討論二次項系數的符號，即相應二次函數圖象的開口方向．
(2)討論判別式的符號，即相應二次函數圖象與x軸交點的個數．
(3)當Δ>0時，討論相應一元二次方程兩根的大小．
(4)最后按照系數中的參數取值范圍，寫出一元二次不等式的解集.
3.
一元二次不等式在R上恒成立的條件
不等式類型
恒成立條件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
4.
形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立問題的求解思路
(1)根據函數的單調性，求其最值，讓最值大于等于或小于等于0，從而求出參數的范圍；
(2)數形結合，利用二次函數在端點a，b處的取值特點確定不等式求參數的取值范圍.
5.
已知參數范圍求函數自變量的范圍的一般思路是更換主元法．把參數當作函數的自變量，得到一個新的函數，然后利用新函數求解.
參考答案
①{x|x＜x1或x＞x2}　②{x|x≠x1}　③R　④{x|x1＜x＜x2}　⑤?　⑥?
第三節　二元一次不等式(組)與簡單的線性規劃問題
一、必記6個知識點
1．二元一次不等式表示平面區域
在平面直角坐標系中，平面內所有的點被直線Ax＋By＋C＝0分成三類：
(1)滿足Ax＋By＋C＝0的點．
(2)滿足Ax＋By＋C>0的點．
(3)滿足Ax＋By＋C<0的點．
2．二元一次不等式表示平面區域的判斷方法
直線l：Ax＋By＋C＝0把坐標平面內不在直線l上的點分為兩部分，當點在直線l的同一側時，點的坐標使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符號，當點在直線l的兩側時，點的坐標使Ax＋By＋C的值具有相反的符號．
3．線性規劃中的基本概念
名稱
意義
約束條件
由變量x，y組成的不等式(組)
線性約束條件
由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)
目標函數
關于x，y的函數解析式，如z＝x＋2y
線性目標函數
關于x，y的一次解析式
可行解
滿足線性約束條件的解(x，y)
可行域
所有可行解組成的集合
最優解
使目標函數取得最大值或最小值的可行解
線性規劃問題
在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題
4.畫二元一次不等式表示的平面區域的直線定界，特殊點定域
(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線．
(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證．
5．利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區域
對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有
(1)當B(Ax＋By＋C)>0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的上方．
(2)當B(Ax＋By＋C)<0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．
6．最優解和可行解的關系
最優解必定是可行解，但可行解不一定是最優解，最優解不一定唯一，有時唯一，有時有多個．
二、必明2個易誤點
1．畫出平面區域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax＋by＋c>0(a>0)．
2．線性規劃問題中的最優解不一定是唯一的，即可行域內使目標函數取得最值的點不一定只有一個，也可能有無數多個，也可能沒有．
三、技法
1.
平面區域面積問題的解題思路
(1)求平面區域的面積：
①首先畫出不等式組表示的平面區域，若不能直接畫出，應利用題目的已知條件轉化為不等式組問題，從而再作出平面區域；
②對平面區域進行分析，若為三角形應確定底與高，若為規則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解．若為不規則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和即可．
(2)利用幾何意義求解的平面區域問題，也應作出平面圖形，利用數形結合的方法去求解.
2.
求目標函數的最值3步驟
(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區域和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；
(2)平移——將l平行移動，以確定最優解的對應點的位置；
(3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優解)，代入目標函數，即可求出最值．
3．常見的3類目標函數
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求這類目標函數的最值常將函數z＝ax＋by轉化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．
(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
[提醒]　注意轉化的等價性及幾何意義.
4.
解線性規劃應用題3步驟
(1)轉化——設元，寫出約束條件和目標函數，從而將實際問題轉化為線性規劃問題．
(2)求解——解這個純數學的線性規劃問題．
(3)作答——將數學問題的答案還原為實際問題的答案．
5．求解線性規劃應用題的3個注意點
(1)明確問題中的所有約束條件，并根據題意判斷約束條件是否能夠取到等號．
(2)注意結合實際問題的實際意義，判斷所設未知數x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數、是否是非負數等．
(3)正確地寫出目標函數，一般地，目標函數是等式的形式.
第四節　基本不等式
一、必記3個知識點
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件：①________.
(2)等號成立的條件：當且僅當②________時取等號．
(3)兩個平均數：稱為正數a，b的③________，稱為正數a，b的④________.
2．幾個重要不等式
(1)a2＋b2≥⑤________(a，b∈R)．
(2)ab≤⑥________(a，b∈R)．
(3)2≤⑦________(a，b∈R)．
(4)＋≥⑧________(a·b＞0)．
(5)≤≤≤(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值問題
已知x＞0，y＞0，則
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當⑨________時，x＋y有最小值是⑩________(簡記：“積定和最小”)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當?________時，xy有最大值是?________(簡記：“和定積最大”)．
二、必明2個易誤點
1．求最值時要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件．
2．多次使用基本不等式時，易忽視取等號的條件的一致性．
三、技法
1.
配湊法的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形；變形的目的是配湊出和或積為定值．
2.
常值代換法：根據已知條件或其變形確定定值(常數)，再把其變形為1，再把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式．
3.
消元法：根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解.
4.
利用基本不等式證明不等式時，要先觀察題中要證明的不等式的結構特征，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對代數式進行拆項、變形、配湊等，使之轉化為能使用基本不等式的形式；若題目中還有已知條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯系，當已知條件中含有“1”時，要注意“1”的代換，另外，解題時要時刻注意等號能否取到.
5.
利用基本不等式求解含參數的不等式的策略
(1)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或取值范圍．
(2)在處理含參數的不等式恒成立問題時，往往將已知不等式看作關于參數的不等式，體現了主元與次元的轉化.
參考答案
①a＞0，b＞0　②a＝b　③算術平均數　④幾何平均數　⑤2ab　⑥2　⑦　⑧2　⑨x＝y　⑩2　?x＝y　?
第五節　合情推理與演繹推理
必記知識點
二、必明1個易誤點
演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規范性．
技法
在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：①找兩類對象的對應元素，如：三角形對應三棱錐，圓對應球，面積對應體積等等；②找對應元素的對應關系，如：兩條邊(直線)垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等.
歸納推理問題的常見類型及解題策略
常見類型
解題策略
與數字有關的等式的推理
觀察數字特點，找出等式左右兩側的規律及符號可解
與式子有關的推理
觀察每個式子的特點，找到規律后可解
與圖形變化有關的推理
合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，并用賦值檢驗法驗證其真偽性
運用三段論時的注意事項
用三段論寫演繹推理的過程，關鍵是明確大前提、小前提，大前提提供了一個一般性的原理，在演繹推理的過程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一個特殊情況，只有將二者結合起來才能得到完整的三段論．一般地，在尋找大前提時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提.
參考答案
①歸納推理　②全部對象　③部分　④個別
⑤類比推理　⑥這些特征　⑦由特殊到特殊
⑧一般原理　⑨對象　⑩特殊問題　?一般
?特殊
第六節　直接證明與間接證明
一、必記3個知識點
1．綜合法
一般地，利用①______________________，經過一系列的②________，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法．
用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：
―→―→―→…―→
2．分析法
一般地，從要③________出發，逐步尋求使它成立的④________，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明的方法叫做分析法．
用Q表示要證明的結論，則分析法可用框圖表示為：
―→―→―→…―→
3．反證法
一般地，假設⑤____________，經過正確的推理，最后得出⑥________，因此說明⑦________，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
二、必明2個易誤點
1．用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規范性，常常用“要證(欲證)……”“即要證……”“就要證……”等分析到一個明顯成立的結論P，再說明所要證明的數學問題成立．
2．利用反證法證明數學問題時，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．
三、技法
1.
利用分析法證明問題的思路
分析法的證明思路：先從結論入手，由此逐步推出保證此結論成立的充分條件，而當這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證．
2．分析法證明問題的適用范圍
當已知條件與結論之間的聯系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，常考慮用分析法.
4.
反證法證明問題的一般步驟
(1)反設：假定所要證的結論不成立，而設結論的反面(否定命題)成立．(否定結論)
(2)歸謬：將“反設”作為條件，由此出發經過正確的推理，導出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾．(推導矛盾)
(3)立論：因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤．既然原命題結論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立)
參考答案
①已知條件和某些數學定義、公理、定理等　②推理論證　③證明的結論　④充分條件　
⑤原命題不成立　⑥矛盾　⑦假設錯誤
第七節　數學歸納法
一、必記3個知識點
1．歸納法
由一系列有限的特殊事例得出①________的推理方法叫歸納法．根據推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為②________歸納法和③________歸納法．
2．數學歸納法
數學歸納法：一個與自然數相關的命題，如果：(1)當n取第1個值n0時命題成立；(2)假設當n＝k，(k∈N＋，且k≥n0)時，命題成立的前提下，推出當n＝k＋1時命題也成立，那么可以斷定這個命題對于n取第1個值后面的所有正整數成立．
3．數學歸納法證題的步驟
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值④________時，命題成立．
(2)(歸納遞推)假設⑤________(k≥n0，k∈N
)時命題成立，證明當⑥________時命題也成立．
只要完成這兩個步驟就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．
二、必明2個易誤點
應用數學歸納法時應注意兩點：
1．數學歸納法證題時，誤把第一個值n0認為是1，如證明多邊形內角和定理(n－2)π時，初始值n0＝3.
2．數學歸納法證題的關鍵是第二步，證題時應注意：①必須利用歸納假設作基礎；②證明中可利用綜合法、分析法、反證法等方法；③解題時要搞清從n＝k到n＝k＋1增加了哪些項或減少了哪些項．
三、技法
1.
用數學歸納法證明恒等式應注意
　(1)明確初始值n0的取值并驗證n＝n0時等式成立．
(2)由n＝k證明n＝k＋1時，弄清左邊增加的項，且必須用上假設.
2.
數學歸納法證明與n有關的不等式兩種常見形式
一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小．對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結論，常用數學歸納法證明．
[注意]　用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時成立得n＝k＋1時成立，主要方法有：(1)放縮法；(2)利用基本不等式；(3)作差比較法等.
3.“歸納—猜想—證明”的一般環節
參考答案
①一般結論　②完全　③不完全　④n＝n0　⑤n＝k　⑥n＝k＋1高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（一）
第一節　集合
一、必記3個知識點
1．元素與集合
(1)集合中元素的特性：①________、②________、無序性．
(2)元素與集合的關系：若a屬于A，記作③________，若b不屬于A，記作④________.
(3)集合的表示方法：⑤________、⑥________、圖示法．
(4)常見數集及其符號表示
數集
自然數集
正整數集
整數集
有理數集
實數集
符號
⑦____
⑧____
⑨____
⑩____
?____
2.集合間的基本關系
(1)集合相等：若集合A與集合B中的所有元素?________，則稱A與B相等．
(2)子集：若集合A中?________________________均為集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作A?B或B?A，?________是任何集合的子集．
(3)真子集：若集合A中任意一個元素均為集合B中的元素，且集合B中?__________不是集合A中的元素，則稱A是B的真子集.
(4)空集是任何集合的子集，是任何?________集合的真子集．
(5)含有n個元素的集合的子集個數為?________，真子集個數為?________，非空真子集個數為?________.
3．集合的基本運算
集合的并集
集合的交集
集合的補集
符號
表示
A∪B
A∩B
若全集為U，則集合A的補集為?UA
圖形
表示
意義
?{x|______}
{x|______}
{x|________}
二、必明5個易誤點
1．認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件．
2．要注意區分元素與集合的從屬關系，以及集合與集合的包含關系．
3．易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身．
4．運用數軸圖示法易忽視端點是實心還是空心．
5．在解決含參數的集合問題時，要注意檢驗集合元素的互異性，否則很可能會因為不滿足互異性而導致解題錯誤．
三、技法
1.解決集合含義問題的關鍵有三點：一是確定構成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據元素的特性(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．
(1)判斷兩集合關系的3種常用方法
(2)根據兩集合的關系求參數的方法
2.思路
參考答案
①確定性　
②互異性　③a∈A　
④b?A　
⑤列舉法
　⑥描述法　
⑦N　
⑧N
(或N＋)　⑨Z　⑩Q　?R　?都相同　?每一個元素　?空集　?至少有一個元素　?非空　?2n　?2n－1　?2n－2　?x∈A或x∈B　x∈A且x∈B
x∈U且x?A
第二節　命題及其關系、充分條件與必要條件
一、必記3個知識點
1．命題
用語言、符號或式子表達的，可以________的陳述句叫做命題，其中________的語句叫做真命題，________的語句叫做假命題．
2．四種命題及其相互關系
(1)四種命題間的相互關系
(2)四種命題的真假關系
①兩個命題互為逆否命題，它們具有________的真假性；
②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性________.
二、必明2個易誤點
1．易混否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結論，而命題的否定是只否定命題的結論．
2．注意區別A是B的充分不必要條件(A?B且BA)與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)兩者的不同．
三、技法
1.求一個命題的其他三種命題時，需注意：
(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫為“若p，則q”的形式；
(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．
2．判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題為假命題，只需舉出反例．
3．當不易直接判斷一個命題的真假時，根據互為逆否命題的兩個命題同真同假，可轉化為判斷其等價命題的真假.
4.
充分、必要條件的三種判斷方法
(1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷．
(2)集合法：根據使p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷．
(3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題.
5.
根據充分、必要條件求解參數范圍的方法及注意事項
(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(組)求解．
(2)求解參數的取值范圍時，一定要注意區間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象.
參考答案
判斷真假　②判斷為真　③判斷為假　④若q，則p　
⑤若非p，則非q　⑥若非q，則非p　⑦相同　⑧沒有關系　
第三節　簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞
一、必記3個知識點
1．簡單的邏輯聯結詞
(1)命題中的____、____、____叫做邏輯聯結詞．
(2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
____
____
假
真
假
____
真
____
假
真
假
____
____
假
假
假
____
真
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任何一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用“?”表示；含有全稱量詞的命題叫做________.
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用“?”表示；含有存在量詞的命題叫做________.
3．含有一個量詞的命題的否定
命題
命題的否定
?x∈M，p(x)
________________________
?x0∈M，p(x0)
________________________
二、必明1個易誤點
對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再寫出命題的否定．
三、技法
1．全稱命題與特稱命題的否定
(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫．
(2)否定結論：對原命題的結論進行否定．
2．全稱命題與特稱命題真假的判斷方法
不管是全稱命題，還是特稱命題，若其真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假.
命題
名稱
真假
判斷方法一
判斷方法二
全稱
命題
真
所有對象使命題真
否定為假
假
存在一個對象使命題假
否定為真
特稱
命題
真
存在一個對象使命題真
否定為假
假
所有對象使命題假
否定為真
3.
判斷含有邏輯聯結詞的命題真假的一般步驟
(1)判斷復合命題的結構；
(2)判斷構成復合命題的每個簡單命題的真假；
(3)依據“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判斷即可.
4.
根據全(特)稱命題的真假求參數的思路
與全稱命題或特稱命題真假有關的參數取值范圍問題的本質是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數的值或范圍.
參考答案
①且　②或　③非　④真　⑤真　⑥假　⑦假　⑧真　⑨真　⑩假　?全稱命題　?特稱命題　??x0∈M，p(x0)　??x∈M，p(x)高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（十四）
第一節　算法初步
一、必記6個知識點
1．算法通常是指按照一定規則解決某一類問題的①______和②________的步驟．
2．程序框圖又稱③________，是一種用④________、⑤________及⑥________來表示算法的圖形．通常程序框圖由程序框和流程線組成，一個或幾個程序框的組合表示算法中的一個步驟：⑦________帶方向箭頭，按照算法步驟的執行順序將⑧________連接起來．
3．三種基本邏輯結構
順序結構
條件結構
循環結構
定義
由若干個依次執行的步驟組成，這是任何一個算法都離不開的基本結構
算法的流程根據條件是否成立有不同的流向，條件結構就是處理這種過程的結構
從某處開始，按照一定的條件反復執行某些步驟的情況，反復執行的步驟稱為循環體
程序
框圖
4．輸入語句、輸出語句、賦值語句的格式與功能
語句
一般模式
功能
輸入語句
INPUT“提示內容”；變量
輸入信息
輸出語句
PRINT“提示內容”；表達式
輸出常量、變量的值和系統信息
賦值語句
變量＝表達式
將表達式所代表的值賦給變量
5.條件語句
(1)程序框圖中的條件結構與條件語句相對應．
(2)條件語句的格式．
①IF－THEN模式
6．循環語句
(1)程序框圖中的循環結構與循環語句相對應．
(2)循環語句的格式．
二、必明6個易誤點
1．注意起止框與輸入框、輸出框、判斷框與處理框的區別．
2．注意條件結構與循環結構的聯系．
3．要弄清楚三種基本邏輯結構的構成方式及功能，以免使用時造成混亂或錯誤．
4．注意區分處理框與輸入框，處理框主要是賦值、計算，而輸入框只是表示一個算法輸入的信息．
5．循環結構中必有條件結構，其作用是控制循環進程，避免進入“死循環”，是循環結構必不可少的一部分．
6．注意區分當型循環與直到型循環．直到型循環是“先循環，后判斷，條件滿足時終止循環”，而當型循環則是“先判斷，后循環，條件滿足時執行循環”．兩者的判斷框內的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反．
三、技法
1.
應用順序結構與條件結構的注意點
(1)順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的順序進行的．
(2)條件結構：利用條件結構解決算法問題時，重點是判斷框，判斷框內的條件不同，對應的下一圖框中的內容和操作要相應地進行變化，故要重點分析判斷框內的條件是否滿足.
2.
利用循環結構表示算法應注意的問題
(1)注意是利用當型循環結構，還是直到型循環結構．
(2)注意準確選擇表示累計的變量．
(3)注意在哪一步開始循環，滿足什么條件不再執行循環體．
3.
循環結構的考查類型及解題思路
(1)確定循環次數：分析進入或退出循環體的條件，確定循環次數．
(2)完善程序框圖：結合初始條件和輸出結果，分析控制循環的變量應滿足的條件或累加、累乘的變量的表達式．
(3)辨析循環結構的功能：執行程序若干次，即可判斷.
4.
使用算法語句的注意點
(1)輸入、輸出語句
在輸入、輸出語句中加提示信息時，要加引號，變量之間用逗號隔開．
(2)賦值語句
左、右兩邊不能對換，賦值號左邊只能是變量．
(3)條件語句
條件語句中包含條件語句時，要分清內外條件結構，保證結構完整性．
(4)循環語句
分清WHILE—WEND和DO—LOOP
UNTIL的格式不能混用.
5.
解決算法的交匯性問題的方法
循環結構的程序框圖與數列、不等式、統計等知識綜合是高考命題的一個熱點，解決此類問題時應把握三點：一是初始值，即計數變量與累加變量的初始值；二是兩個語句，即循環結構中關于計數變量與累加變量的賦值語句；三是一個條件，即循環結束的條件，注意條件與流程線的對應關系．
6.
基本算法語句應用中需注意的問題
(1)賦值號“＝”的左、右兩邊不能對調，A＝B和B＝A的含義及運行結果是不同的．
(2)不能利用賦值語句進行代數式的演算(如化簡、因式分解等)，在賦值語句中的賦值號右邊的表達式中每一個“變量”都必須事先賦給確定的值．
(3)賦值號與數學中的等號意義不同，比如在數學中式子N＝N＋1一般是錯誤的，但在賦值語句中它的作用是將原有的N的值加上1再賦給變量N，這樣原來的值被“沖”掉．
參考答案
①明確　②有限　③流程圖　④程序框
⑤流程線　⑥文字說明　⑦流程線　⑧程序框　⑨循環體
第二節　數系的擴充與復數的引入
一、必記7個知識點
1．復數的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a，b分別是它的①________和②________.若③________，則a＋bi為實數，若④________，則a＋bi為虛數，若⑤______________，則a＋bi為純虛數．
2．復數相等：a＋bi＝c＋di?⑥____________(a，b，c，d∈R)．
3．共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?⑦________(a，b，c，d∈R)．
4．復平面
建立直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面．⑧________叫做實軸，⑨________________叫做虛軸．實軸上的點都表示________；虛軸上的點都表示?________；各象限內的點都表示?________________.
復數集C和復平面內的?________組成的集合是一一對應的，復數集C與復平面內所有以?________為起點的向量組成的集合也是一一對應的．
5．復數的模
向量的模r叫做復數z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝?
____________.
6．復數的加、減、乘、除運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝?____________.
(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝?____________.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝?____________.
(4)除法：＝＝＝
?__________________(c＋di≠0)．
7．復數加法的運算定律
復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明2個易誤點
1．判定復數是實數，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義．
2．利用復數相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．
三、技法
1.
求解與復數概念相關問題的技巧
　復數的分類、復數的相等、復數的模，共軛復數的概念都與復數的實部與虛部有關，所以解答與復數相關概念有關的問題時，需把所給復數化為代數形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據題意列方程(組)求解.
2.
復數代數形式運算問題的解題策略
(1)復數的乘法．復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．
(2)復數的除法．除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.
3.
復數幾何意義及應用
(1)復數z、復平面上的點Z及向量相互聯系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?＝(a，b)．
(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．
提醒：|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝，由此可知表示復數z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復平面內表示復數z1，z2的兩點之間的距離.
參考答案
①實部　②虛部　③b＝0　④b≠0　⑤a＝0且b≠0　⑥a＝c且b＝d　⑦　
⑧x軸　⑨y軸除去原點　⑩實數　?純虛數　?實部不為0的虛數　?點　?原點　
?　?(a＋c)＋(b＋d)i　?(a－c)＋(b－d)i　?(ac－bd)＋(ad＋bc)i
?高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（九）
第一節　直線的傾斜角與斜率、直線的方程
一、必記2個知識點
1．直線的傾斜角和斜率
(1)直線的傾斜角的定義
當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸①________與直線l②________之間所成的③__________α叫做直線的傾斜角．當直線和x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0°，因此，直線傾斜角α的取值范圍是④____________.
(2)斜率的定義
傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的⑤________叫做這條直線的斜率，常用k表示，即⑥________.傾斜角是90°的直線，斜率k不存在．
(3)斜率公式
當直線l經過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)時，l的斜率k＝⑦____________.
(4)直線的方向向量
經過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的方向向量的坐標可記為⑧____________，當直線的斜率k存在時，方向向量的坐標可記為⑨________.
2．直線方程的幾種基本形式
名稱
方程
適用范圍
斜截式
⑩____________
不能表示垂直于x軸的直線
點斜式
?____________
不能表示垂直于x軸的直線
兩點式
?____________
不能表示垂直于坐標軸的直線
截距式
?____________
不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線
一般式
?____________
能表示平面上任何直線
二、必明4個易誤點
1．利用兩點式計算斜率時易忽視x1＝x2時斜率k不存在的情況．
2．用直線的點斜式求方程時，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，否則會造成失誤．
3．直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當截距為0時可用點斜式．
4．由一般式Ax＋By＋C＝0確定斜率k時易忽視判斷B是否為0，當B＝0時，k不存在；當B≠0時，k＝－.
三、技法
1.
斜率的求法
(1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數值，一般根據k＝tan
α求斜率．(α≠90°)
(2)公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
2．斜率取值范圍的三種求法
(1)數形結合法：作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數的單調性確定．
(2)構建不等式法：利用不等式所表示的平面區域的性質，轉化為線線、線面的位置關系，構造不等式求范圍．
(3)利用斜率關于傾斜角的函數圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可.
3.
求直線方程的關注點
在求直線方程時，應選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線．故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況.
4.
直線方程的綜合應用
(1)含有參數的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過兩條定直線交點的直線系，即能夠看出“動中有定”．
(2)求解與直線方程有關的最值問題，先設出直線方程，建立目標函數，再利用基本不等式求解最值.
參考答案
①正向　②向上方向　③最小正角　④0°≤α＜180°　⑤正切值　⑥k＝tan
α　
⑦(其中x1≠x2)　⑧(x2－x1，y2－y1)　⑨(1，k)　⑩y＝kx＋b　?y－y0＝k(x－x0)　
?＝　?＋＝1　?Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
第二節　兩條直線的位置關系與距離公式
一、必記3個知識點
1．平行與垂直
若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則：
(1)直線l1∥l2的充要條件是①____________.
(2)直線l1⊥l2的充要條件是②____________.
若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行或重合．
若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則l1⊥l2.
2．兩直線相交
(1)交點：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組的解一一對應．
(2)相交?方程組有③________，交點坐標就是方程組的解．
(3)平行?方程組④________.
(4)重合?方程組有⑤________.
3．三種距離
(1)兩點間的距離
平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝⑥
____________.
特別地，原點(0,0)與任意一點P(x，y)的距離|OP|＝⑦________.
(2)點到直線的距離
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝⑧______.
(3)兩條平行線的距離
兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝⑨____________.
二、必明2個易誤點
1．在判斷兩條直線的位置關系時，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可據條件進行判斷，若無斜率，要單獨考慮．
2．運用兩平行直線間的距離公式時易忽視兩方程中的x，y的系數分別相等這一條件盲目套用公式導致出錯．
三、技法
1.
由一般式確定兩直線位置關系的方法
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1與l2垂直
的充要條件
A1A2＋B1B2＝0
l1與l2平行
的充分條件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1與l2相交
的充分條件
≠(A2B2≠0)
l1與l2重合
的充分條件
＝＝(A2B2C2≠0)
2.
處理距離問題的3種方法
(1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求，注意直線方程為一般式．
(2)動點到兩定點的距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉化為動點在兩定點所在線段的垂直平分線上，從而計算簡便．
(3)兩平行直線間的距離
①利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；
②利用兩平行線間的距離公式．
提醒：在應用兩條平行線間的距離公式時，應把直線方程化為一般形式，且使x，y的系數分別相等.
3.
中心對稱問題的2個類型及求解方法
(1)點關于點對稱：
若點M(x1，y1)及N(x，y)關于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得進而求解．
(2)直線關于點的對稱，主要求解方法是：
①在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；
②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
4．軸對稱問題的2個類型及求解方法
(1)點關于直線的對稱：
若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組
可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直線關于直線的對稱：
一般轉化為點關于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行.
參考答案
①k1＝k2且b1≠b2　②k1·k2＝－1
③唯一解　④無解　⑤無數個解
⑥　⑦　⑧　⑨
第三節　圓的方程
一、必記3個知識點
1．圓的標準方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圓心為①________，半徑為②________的圓．
2．圓的一般方程
對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(1)當D2＋E2－4F＞0時，表示圓心為③____________，半徑為④____________________的圓；
(2)當D2＋E2－4F＝0時，表示一個點⑤____________；
(3)當D2＋E2－4F＜0時，它不表示任何圖形．
3．點與圓的位置關系
圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，若點M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；
若點M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；
若點M(x0，y0)在圓內，則(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.
二、必明1個易誤點
對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時易忽視D2＋E2－4F>0這一成立條件．
三、技法
1.求圓的方程的兩種方法
(1)直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．
(2)待定系數法：
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；
②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值．
2．確定圓心位置的方法
(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．
(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．
提醒：解答圓的有關問題，應注意數形結合，充分運用圓的幾何性質.
3.
與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略
(1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．
(2)與圓上點(x，y)有關的代數式的最值的常見類型及解法．
①形如u＝型的最值問題，可轉化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；
②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉化為動點到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.
參考答案
①(a，b)　②r　③
④
⑤　
⑥r2　⑦＞r2　⑧＜r2
第四節　直線與圓、圓與圓的位置關系
一、必記4個知識點
1．直線與圓的位置關系
判斷直線與圓的位置關系常見的有兩種方法：
(1)代數法：利用判別式
(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系d＜r?④______；d＝r?⑤______；d＞r?⑥______.
2．圓的切線方程
若圓的方程為x2＋y2＝r2，點P(x0，y0)在圓上，則過P點且與圓x2＋y2＝r2相切的切線方程為⑦____________.
3．直線與圓相交
直線與圓相交時，若l為弦長，d為弦心距，r為半徑，則有r2＝⑧____________，即l＝2，求弦長或已知弦長求解問題，一般用此公式．
4．兩圓位置關系的判斷
兩圓(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)的圓心距為d，則
(1)d＞r1＋r2?兩圓⑨________；
(2)d＝r1＋r2?兩圓⑩________；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)?兩圓?________；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓?________；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓?________.
二、必明2個易誤點
1．對于圓的切線問題，尤其是圓外一點引圓的切線，易忽視切線斜率k不存在情形．
2．兩圓相切問題易忽視分兩圓內切與外切兩種情形．
三、技法
1.
判斷直線與圓的位置關系常見的方法
(1)幾何法：利用d與r的關系．
(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．
(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．
注：上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題.
2.
求過圓上一點(x0，y0)的切線方程的方法
先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結合圖形可直接寫出切線方程為y＝y0；若k＝0，則結合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關系知切線的斜率為－，由點斜式可寫出切線方程．
3．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的兩種方法
幾
何
法
當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程
代
數
法
當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出
4.
求直線與圓相交時弦長的兩種方法
(1)幾何法：直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓C的半徑為r，
則|AB|＝2.
(2)代數法：將直線方程與圓的方程聯立，設直線與圓的交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)．
則|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直線l的斜率k存在).
5.
判斷兩圓位置關系的方程
常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關系，一般不用代數法．
6．兩圓公共弦長的求法
兩圓公共弦長，先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解.
參考答案
①相交　②相切　③相離　④相交　⑤相切
⑥相離　⑦＋＝r2　⑧d2＋2　⑨外離　⑩外切　?相交　?內切　?內含高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（六）：數列
第一節　數列的概念與簡單表示法
一、必記5個知識點
1．數列的有關概念
概念
含義
數列
按照①________________排列的一列數
數列的項
數列中的②____________
數列的通項
數列{an}的第n項an
通項公式
數列{an}的第n項an與n之間的關系能用公式③____________表示，這個公式叫做數列的通項公式
前n項和
數列{an}中，Sn＝④________________________叫做數列的前n項和
2.數列的表示方法
列表法
列表格表示n與an的對應關系
圖象法
把點⑤____________畫在平面直角坐標系中
公式法
通項
公式
把數列的通項使用⑥________表示的方法
遞推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數列的方法
3.an與Sn的關系
若數列{an}的前n項和為Sn，
則an＝
4．數列的分類
單調性
遞增數列
?n∈N
，⑨____________
遞減數列
?n∈N
，⑩____________
常數列
?n∈N
，an＋1＝an
擺動數列
從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
周期性
周期數列
?n∈N
，存在正整數常數k，an＋k＝an
5.常見數列的通項公式
①自然數列：(1,2,3,4，…)　an＝n；
②奇數列：(1,3,5,7，…)　an＝2n－1；
③偶數列：(2,4,6,8，…)　an＝2n；
④平方數列：(1,4,9,16，…)　an＝n2；
⑤2的乘方數列：(2,4,8,16，…)　an＝2n；
⑥倒數列：　an＝；
⑦乘積數列：(2,6,12,20，…)
可化為(1×2,2×3,3×4,4×5，…)　an＝n(n＋1)；
⑧重復數串列：(9,99,999,9999，…)　an＝10n－1；
⑨(0.9,0.99,0.999,0.9999，…)　an＝1－10－n；
⑩符號調整數列：(－1,1，－1,1，…)　an＝(－1)n.
二、必明2個易誤點
1．數列是按一定“次序”排列的一列數，一個數列不僅與構成它的“數”有關，而且還與這些“數”的排列順序有關．
2．項與項數是兩個不同的概念，數列的項是指數列中某一確定的數，而項數是指數列的項對應的位置序號．
三、技法
1.
由數列的前幾項求數列通項公式的策略
(1)根據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征，并對此進行歸納、聯想，具體如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相鄰項的變化特征；
③拆項后的特征；
④各項符號特征等．
(2)根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是利用不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整.
2.
已知Sn求an的三個步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．
(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫
3.
典型的遞推數列及處理方法
遞推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
累加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
累乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B
(A≠0,1，B≠0)
化為等
比數列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
化為等
差數列
a1＝1，an＋1＝
參考答案
①一定順序　②每一個數　③an＝f(n)　④a1＋a2＋…＋an　⑤(n，an)　⑥公式　⑦S1　
⑧Sn－Sn－1　⑨an＋1>an　⑩an＋1第二節　等差數列及其前n項和
一、必記5個知識點
1．等差數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于①____________，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的②________，一般用字母d表示；定義的表達式為：③______________(n∈N
)．
2．等差數列的通項公式
設等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝④________________.等差數列的通項公式是關于n的一次函數形的函數．
3．等差中項
若a，A，b成等差數列，則A叫做a，b的等差中項，且A＝⑤________.
4．等差數列的前n項和公式
若已知首項a1和末項an，則Sn＝⑥____________，或等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則其前n項和公式為Sn＝⑦________________.等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數形的函數且無常數項．
5．等差數列與等差數列各項和的有關性質
(1)am＝an＋(m－n)d或＝d.(m、n∈N
)
(2)在等差數列中，若p＋q＝m＋n，則有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，則有ap＋aq＝⑧________，(p，q，m，n∈N
)．
(3)d＞0?{an}是遞增數列，Sn有最小值；d＜0?{an}是遞減數列，Sn有最大值；d＝0?{an}是常數數列．
(4)數列{λan＋b}仍為等差數列，公差為λd.
(5)若{bn}，{an}都是等差數列，則{an±bn}仍為等差數列．
(6)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數列，公差為kd.
(7)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列．
(8)S2n－1＝(2n－1)an.
(9)若n為偶數，則S偶－S奇＝d.
若n為奇數，則S奇－S偶＝a中(中間項)．
二、必明2個易誤點
1．要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列．
2．注意區分等差數列定義中同一個常數與常數的區別．
三、技法
1.
等差數列的判定方法
(1)等差數列的判定通常有兩種方法：第一種是定義法，an－an－1＝d(常數)(n≥2)；第二種是利用等差中項法，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)解答選擇題和填空題時也可以用通項公式與前n項和公式直接判定．
(3)若判定一個數列不是等差數列，則只需要說明某連續3項(如前三項)不是等差數列即可.
2.
應用等差數列的性質解題的三個注意點
(1)如果{an}為等差數列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N
)．因此，若出現am－n，am，am＋n等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與am(或其他項)有關的條件；若求am項，可由am＝(am－n＋am＋n)轉化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差數列通項公式及前n項和公式的靈活應用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N
)等．
(3)當項數為偶數2n時，S偶－S奇＝nd；項數為奇數2n－1時，S奇－S偶＝a中，S奇：S偶＝n：(n－1).
3.
求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法
(1)函數法：等差數列前n項和的函數表達式Sn＝an2＋bn＝a2－，求“二次函數”最值．
(2)鄰項變號法
①當a1＞0，d＜0時，滿足an?0，an+1?0的項數m使得Sn取得最大值為Sm；
②當a1＜0，d＞0時，滿足an?0，an+1?0的項數m使得Sn取得最小值為Sm.
參考答案
同一個常數　②公差　③an＋1－an＝d　④a1＋(n－1)d　⑤　⑥　
⑦na1＋d　⑧2am
第三節　等比數列及其前n項和
一、必記6個知識點
1．等比數列及其相關概念
等比數列
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的①________的比都等于②____________
公比
等比數列定義中的③________叫做等比數列的公比，常用字母q(q≠0)表示
公式表示
{an}為等比數列?④____________(n∈N
，q為非零常數)
等比中項
如果a，G，b成等比數列，則G叫做a，b的等比中項，此時⑤________
2.等比數列的通項公式
若等比數列{an}的首項是a1，公比是q，則其通項公式為⑥________________(n∈N
)．
3．等比數列的前n項和公式
(1)當公比q＝1時，Sn＝⑦________.
(2)當公比q≠1時，Sn＝⑧____________＝⑨________.
4．項的性質
(1)an＝amqn－m.
(2)am－kam＋k＝a(m>k，m，k∈N
)．
(3)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
)，則am·an＝⑩____________＝a.
(4)若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則{λan}，{|an|}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數列．
(5)在等比數列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，則an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數列，公比為qk.
5．和的性質
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm.
(2)若等比數列{an}共2k(k∈N
)項，則＝q.
(3)公比不為－1的等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，?____________仍成等比數列，其公比為qn，當公比為－1時，Sn，S2n－Sn，?____________不一定構成等比數列．
6．等比數列{an}的單調性
(1)滿足或時，{an}是?________數列．
(2)滿足或時，{an}是?________數列．
(3)當時，{an}為?________數列．
(4)當q<0時，{an}為擺動數列．
二、必明2個易誤點
1．在等比數列中易忽視每項與公比都不為0.
2．在運用等比數列的前n項和公式時，必須對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形導致解題失誤．
三、技法
1.
等比數列的基本運算方法
(1)等比數列可以由首項a1和公比q確定，所有關于等比數列的計算和證明，都可圍繞a1和q進行．
(2)對于等比數列問題，一般給出兩個條件，就可以通過列方程(組)求出a1，q.如果再給出這三個條件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”問題．
[注意]　等比數列求和要討論q＝1和q≠1兩種情況.
2.
等比數列的4種常用判定方法
定義法
若＝q(q為非零常數，n∈N
)或＝q(q為非零常數且n≥2，n∈N
)，則{an}是等比數列
中項
公式法
若數列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N
)，則數列{an}是等比數列
通項
公式法
若數列通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數，n∈N
)，則{an}是等比數列
前n項和
公式法
若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數列
[提醒]　(1)前兩種方法是判定等比數列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．
(2)若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續三項不成等比數列即可.
3.
掌握運用等比數列性質解題的2個技巧
(1)在等比數列的基本運算問題中，一般是列出a1，q滿足的方程組求解，但有時運算量較大，如果可利用等比數列的性質，便可減少運算量，提高解題的速度，要注意挖掘已知和隱含的條件．
(2)利用性質可以得到一些新數列仍為等比數列或為等差數列，例如：
①若{an}是等比數列，且an>0，則{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1為首項，logaq為公差的等差數列．
②若公比不為1的等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為qn.
4．牢記與等比數列前n項和Sn相關的幾個結論
(1)項的個數的“奇偶”性質：等比數列{an}中，公比為q.
①若共有2n項，則S偶：S奇＝q；
②若共有2n＋1項，則S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝(q為公比).
參考答案
前一項　②同一個常數　③常數　④＝q⑤G2＝ab　⑥an＝a1qn－1　
⑦na1　⑧　⑨　⑩ap·aq　?S3n－S2n　?S3n－S2n　?遞增　?遞減　?常
第四節　數列求和
一、必記6個知識點
1．公式法求和
使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比數列或可化為等差等比數列的求和方法．
2．裂項相消法求和
把數列的通項拆分為兩項之差，使之在求和時產生前后相互抵消的項的求和方法．
3．錯位相減法求和
(1)適用的數列：{anbn}，其中數列{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q≠1的等比數列．
(2)方法：設Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(
)，
則qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(
)，
(
)－(
)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就轉化為根據公式可求的和．
4．倒序相加法求和
如果一個數列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和等于首末兩項之和，可把正著寫與倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數列的和，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，例如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的．
5．分組求和法求和
若一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉化求和法，分別求和而后相加減．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.
6．并項求和法求和
把數列中的若干項結合到一起，形成一個新的可求和的數列，此時，數列中的項可能正、負相間出現或呈現周期性．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩個項合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
二、必明2個易誤點
1．使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點．
2．在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
三、技法
1.
分組轉化法求和的常見類型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．
(2)通項公式為an＝的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和．
[提醒]　某些數列的求和是將數列轉化為若干個可求和的新數列的和或差，從而求得原數列的和，注意在含有字母的數列中對字母的討論.
2.
掌握解題“3步驟”
3．注意解題“3關鍵”
(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形．
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．
(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．
4．謹防解題“2失誤”
(1)兩式相減時最后一項因為沒有對應項而忘記變號．
(2)對相減后的和式的結構認識模糊，錯把中間的n－1項和當作n項和.
5.
常見的裂項方法(其中n為正整數)
數列
裂項方法
(k為非零常數)
＝
＝
＝(－)
a>0，a≠1
loga＝loga(n＋1)－logan高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（十一）
第八節　曲線與方程
一、必記3個知識點
1．曲線與方程
一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數解建立了如下關系：
(1)曲線上點的坐標都是①____________.
(2)以這個方程的解為坐標的點都是②______________.那么這個方程叫做③__________________，這條曲線叫做④______________.
2．求動點的軌跡方程的一般步驟
(1)建系——建立適當的坐標系．
(2)設點——設軌跡上的任一點P(x，y)．
(3)列式——列出動點P所滿足的關系式．
(4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡．
(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程．
3．兩曲線的交點
(1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的⑤________，即兩個曲線方程組成的方程組的實數解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點，方程組⑥________，兩條曲線就沒有交點．
(2)兩條曲線有交點的⑦________條件是它們的方程所組成的方程組有實數解．可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數解問題．
二、必明2個易誤點
1．曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，前者指曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)．
2．求軌跡方程時易忽視軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響．
三、技法
1.
直接法求軌跡方程的方法
在不能確定軌跡形狀時，要根據題設條件，通過“建(系)、設(點)、限(條件)、代(代入坐標)、化(化簡與證明)”的步驟求軌跡方程，關鍵是把位置關系(如垂直、平行、距離等)轉化為坐標關系.
2.
定義法求軌跡方程的解題策略
(1)在利用圓錐曲線的定義法求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據曲線的方程，寫出所求的軌跡方程．
(2)利用定義法求軌跡方程時，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制.
3.
代入法也叫坐標轉移法，是求軌跡方程常用的方法，其題目特征是：點P的運動與點Q的運動相關，且點Q的運動有規律(有方程)，只需將點P的坐標轉移到點Q的方程中，整理可得點P的軌跡方程.
參考答案
①這個方程的解　②曲線上的點　③曲線的方程　④方程的曲線　⑤公共解　⑥無解　
⑦充要
第九節
圓錐曲線的綜合問題
一、必記3個知識點
1．直線與圓錐曲線的位置關系
判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一個關于變量x(或變量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ＞0?直線與圓錐曲線C相交；
Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；
Δ＜0?直線與圓錐曲線C相離．
(2)當a＝0，b≠0時，即得到一個一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關系是平行或重合．
2．弦長公式
設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝
·|y1－y2|
＝
·.
3．用“點差法”求解弦中點問題的解題步驟
二、必明2個易誤點
1．直線與雙曲線交于一點時，易誤認為直線與雙曲線相切，事實上不一定相切，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點．
2．直線與拋物線交于一點時，除直線與拋物線相切外易忽視直線與對稱軸平行時也相交于一點．
三、技法
1.直接與圓錐曲線位置關系的判定方法
(1)代數法：即聯立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數即為交點個數，方程組的解即為交點坐標．
(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據圖象判斷公共點個數．
2．判定直線與圓錐曲線位置關系的注意點
(1)聯立直線與圓錐曲線的方程消元后，應注意討論二次項系數是否為零的情況．
(2)判斷直線與圓錐曲線位置關系時，判別式Δ起著關鍵性的作用，第一：可以限定所給參數的范圍；第二：可以取舍某些解以免產生增根.
3.
有關圓錐曲線弦長問題的求解方法
涉及弦長的問題，應熟練地利用根與系數的關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數的關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.
4.
處理中點弦問題常用的求解方法
(1)用“點差法”求解．
(2)用“根與系數的關系”求解：即聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解．
提醒：中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數的關系在解題過程中易產生漏解，需關注直線的斜率問題；點差法在確定范圍方面略顯不足.
5.
圓錐曲線中定點問題的兩種解法
(1)引進參數法：引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定點．
(2)特殊到一般法：根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
6.
圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法
(1)特點：待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值．
(2)兩大解法：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
②變量法：其解題流程為
7.
求范圍問題的關鍵是建立求解關于某個變量的目標函數，通過求這個函數的值域確定目標的范圍．在建立函數的過程中要根據題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時為了運算的方便，在建立關系的過程中也可以采用多個變量，只要在最后結果中把多變量歸結為單變量即可，同時要特別注意變量的取值范圍.
8.
求解存在性問題時，通常的方法是首先假設滿足條件的幾何元素或參數值存在，然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現矛盾，并且得到了相應的幾何元素或參數值，就說明滿足條件的幾何元素或參數值存在；若在推理與計算中出現了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程.高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（十三）
第一節　隨機事件的概率
一、必記4個知識點
1．隨機事件和確定事件
(1)在條件S下，①____________的事件，叫做相對于條件S的必然事件，簡稱必然事件．
(2)在條件S下，②____________的事件，叫做相對于條件S的不可能事件，簡稱不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定事件．
(4)在條件S下，③________________________的事件，叫做相對于條件S的隨機事件，簡稱隨機事件．
2．頻率與概率
(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例④____________為事件A出現的頻率．
(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的⑤________fn(A)穩定在某個⑥________上，把這個⑦________記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．
3．事件的關系與運算
定義
符號表示
包含關系
如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B⑧____事件A(或稱事件A包含于事件B)
⑨______(或A?B)
并事件
(和事件)
若某事件發生當且僅當A發生或事件B發生，稱此事件為事件A與事件B的______(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(積事件)
若某事件發生當且僅當?____________且?______發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然條件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
4.概率的幾個基本性質
(1)概率的取值范圍：?____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝?____________.
(3)不可能事件的概率P(F)＝?____________.
(4)互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝?____________.
②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝?____________.
二、必明3個易誤點
1．正確區別互斥事件與對立事件的關系：對立事件是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．
2．從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此不相交，事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．
3．需準確理解題意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等語句的含義．
三、技法
1.
互斥、對立事件的判別方法
(1)在一次試驗中，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件．
(2)兩個互斥事件，若有且僅有一個發生，則這兩個事件為對立事件.
2.
計算簡單隨機事件頻率或概率的解題思路
(1)計算所求隨機事件出現的頻數及總事件的頻數．
(2)由頻率公式得所求，由頻率估計概率.
3.
求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：
一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；
二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．當題目涉及“至多”、“至少”時，多考慮間接法.
參考答案
①一定會發生　②一定不會發生　③可能發生也可能不發生　④fn(A)＝　
⑤頻率　⑥常數　⑦常數　⑧包含　⑨B?A　⑩并事件
?事件A發生　
?事件B　?0≤P(A)≤1　?1　?0　?P(A)＋P(B)　?1－P(B)
第二節　古典概型
一、必記3個知識點
1．基本事件的特點
(1)任何兩個基本事件是①________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成②________的和．
2．古典概型
具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)試驗中所有可能出現的基本事件③________.
(2)每個基本事件出現的可能性④________.
3．古典概型的概率公式
一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率為P(A)＝⑤________.
二、必明2個易誤點
1．古典概型的重要思想是事件發生的等可能性，一定要注意在計算基本事件數和事件發生數時，他們是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，當A∩B＝?時，A、B互斥，此時P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要計算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)該公式可以看作一個方程，知三可求一．
三、技法
1.
基本事件個數的確定方法
(1)列舉法：此法適合于基本事件較少的古典概型．
(2)列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標法.
2.
與平面幾何有關概率的求法
(1)結合幾何圖形的結構特征，找到符合條件的基本事件總數．
(2)根據事件的幾何特征求出其基本事件數．
(3)代入古典概型公式．
3．求較復雜事件的概率問題的方法
(1)將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解.
4.
解決與古典概型結合的問題時，把相關的知識轉化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算.
參考答案
①互斥　②基本事件　③有限　④相等　⑤
第三節　幾何概型
一、必記2個知識點
1．幾何概型
如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的①________(②________或③________)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為④________.
2．在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：
P(A)＝⑤
________________________________________________________________________.
二、必明2個易誤點
1．計算幾何概型問題的關鍵是怎樣把具體問題(如時間問題等)轉化為相應類型的幾何概型問題．
2．幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內不影響所求結果．
三、技法
1.
解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍．當考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考察對象為線時，一般用角度比計算，即當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比.
2.
與體積有關的幾何概型
對于基本事件在空間的幾何概型，要根據空間幾何體的體積計算方法，把概率計算轉化為空間幾何體的體積計算.
3.幾何概型與平面幾何、解析幾何等知識交匯問題的解題思路
利用平面幾何、解析幾何等相關知識，先確定基本事件對應區域的形狀，再選擇恰當的方法和公式，計算出其面積，進而代入公式求概率．
4．幾何概型與線性規劃交匯問題的解題思路
先根據約束條件作出可行域，再確定形狀，求面積大小，進而代入公式求概率．
5．幾何概型與定積分交匯問題的解題思路
先確定基本事件對應區域的形狀構成，再將其面積轉化為某定積分的計算，并求其大小，進而代入公式求概率.
參考答案
①長度　②面積　③體積　④幾何概型
⑤
第四節　離散型隨機變量及其分布列
一、必記3個知識點
1．離散型隨機變量的分布列
如果隨機試驗的結果可以用一個①________來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量；按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做②____________.
2．離散型隨機變量的分布列及性質
(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P＝(X＝xi)＝pi，則表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
稱為離散型隨機變量X的③________________________，簡稱為X的④__________.有時為了表達簡單，也用等式⑤__________表示X的分布列．
(2)離散型隨機變量的分布列的性質
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
3．常見離散型隨機變量的分布列
(1)兩點分布：
若隨機變量X服從兩點分布，即其分布列為
X
0
1
P
1－p
p
，其中p＝⑥________稱為成功概率．
(2)超幾何分布列：
在含有M件次品數的N件產品中，任取n件，其中含有X件次品，則事件{X＝k}發生的概率為：P(X＝k)＝
(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝⑦____________，且⑧____________________，則稱分布列為超幾何分布列．
X
0
1
…
m
P
…
二、必明2個易誤點
1．分布列的結構為兩行，第一行為隨機變量X所有可能取得的值；第二行是對應于隨機變量X的值的事件發生的概率．看每一列，實際上是：上為“事件”，下為事件發生的概率，只不過“事件”是用一個反映其結果的實數表示的．每完成一列，就相當于求一個隨機事件發生的概率．
2．要會根據分布列的兩個性質來檢驗求得的分布列的正誤．
三、技法
1.
離散型隨機變量分布列
(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數．
(2)求隨機變量在某個范圍內的概率時，根據分布列，將所求范圍內各隨機變量對應的概率相加即可，其依據是互斥事件的概率加法公式.
2.
離散型隨機變量分布列的求解步驟
(1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義．
(2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率．
(3)畫表格：按規范要求形式寫出分布列．
(4)做檢驗：利用分布列的性質檢驗分布列是否正確．
提醒：求隨機變量某一范圍內取值的概率，要注意它在這個范圍內的概率等于這個范圍內各概率值的和.
3.
隨機變量是否服從超幾何分布的判斷
(1)若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：①該試驗是不放回地抽取n個；②隨機變量X表示抽取到的次品件數(或類似事件)，反之亦然．
(2)一般地，設有N件產品，其中次品和正品分別為M1件，M2件(M1，M2≤N)，從中任取n(n≤N)件產品，用X，Y分別表示取出的n件產品中次品和正品的件數，則隨機變量X服從參數為N，M1，n的超幾何分布，隨機變量Y服從參數為N，M2，n的超幾何分布．
4．求超幾何分布的分布列的步驟
第一步，驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N，M，n的值；
第二步，根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列.
參考答案
①變量　②離散型隨機變量　③概率分布列
④分布列　⑤P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n　
⑥P(X＝1)　⑦min{M，n}　⑧n≤N，M≤N，n、M、N∈N
第五節　二項分布、正態分布及其應用
一、必記3個知識點
1．條件概率的定義
設A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝①________為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率．
2．條件概率的性質
(1)條件概率具有一般概率的性質，即0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B，C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝②________＋P(C|A)．
3．相互獨立事件的定義及性質
(1)定義：設A，B是兩個事件，若P(AB)＝③________，則稱事件A與事件B相互獨立．
(2)性質：若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
4．獨立重復試驗概率公式
在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝④____________________________.
5．二項分布的定義
在n次獨立重復試驗中，設事件A發生的次數為X，在每次試驗中事件A發生的概率為p，則P(X＝k)＝⑤____________，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(N，p)，并稱p為成功概率．
6．正態曲線的定義
函數φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中實數μ和σ(σ>0)為參數，稱φμ，σ(x)的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．
7．正態分布的定義及表示
如果對于任何實數a，b(a8．正態曲線的特點
(1)曲線位于x軸的上方，與x軸不相交；
(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
(3)曲線在x＝μ處達到峰值；
(4)曲線與x軸之間的面積為1；
(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿著x軸平移；
(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
9．3σ原則
(1)P(μ－σ7；
(2)P(μ－2σ5；
(3)P(μ－3σ3.
二、必明2個易誤點
1．獨立重復試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發生，要么不發生，并且任何一次試驗中某事件發生的概率相等．注意恰好與至多(少)的關系，靈活運用對立事件．
2．二項分布要注意確定成功概率．
三、技法
1.
條件概率的2種求法
(1)定義法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)．
(2)基本事件法
當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再在事件A發生的條件下求事件B包含的基本事件數n(AB)，得
P(B|A)＝.
2.
求相互獨立事件同時發生的概率的方法
(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算．
(3)獨立重復試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣.
3.
獨立重復實驗與二項分布
⑴獨立重復試驗是在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗．在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發生，要么不發生，并且任何一次試驗中發生的概率都是一樣的．
⑵二項分布滿足的條件：①每次試驗中，事件發生的概率是相同的；②各次試驗中的事件是相互獨立的．③每次試驗只有兩種結果：事件要么發生，要么不發生．④隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發生的次數.
參考答案
①　②P(B|A)　③P(A)P(B)
④P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)　⑤Cpk(1－p)n－k
第六節　離散型隨機變量的均值與方差
一、必記6個知識點
1．離散型隨機變量X的分布列
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
2.離散型隨機變量X的均值與方差
均值(數學期望)
方差
計算
公式
E(X)＝①___________________________
D(X)＝②____________________________
作用
反映了離散型隨機變量取值的③________________
刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的④________
標準
差
方差的算術平方根為隨機變量X的標準差
3.均值與方差的性質
(1)E(aX＋b)＝⑤____________________(a，b為常數)．
(2)D(aX＋b)＝⑥____________________(a，b為常數)．
4．兩點分布的均值與方差
若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝⑦________.
5．二項分布的均值與方差
若隨機變量X服從參數為n，p的二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝⑧________，D(X)＝⑨________.
6．兩個常用結論
(1)均值與方差的關系
D(X)＝E(X2)－E2(X)．
(2)超幾何分布的均值
若X服從參數為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝.
二、必明2個易誤點
1．兩點分布，二項分布，超幾何分布的均值與方差的計算公式容易記混淆，準確記憶公式是解題的必要條件．
2．在實際問題中注意深刻理解題意，準確判斷實際問題是何種類型的分布是解題的關鍵．
三、技法
1.
求離散型隨機變量均值的方法步驟
(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；
(2)求ξ取每個值的概率；
(3)寫出ξ的分布列；
(4)由均值的定義求E(ξ).
2.
解決二項分布的分布列問題一般遵循以下三個步驟
第一步，先判斷隨機變量是否服從二項分布，即若滿足：①對立性：一次試驗中只有兩種結果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個發生；②重復性：試驗在相同條件下獨立重復地進行n次，保證每一次試驗中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機變量服從二項分布，否則不服從二項分布．
第二步，若該隨機變量服從二項分布，還需要通過古典概型或相互獨立事件的概率計算公式計算出試驗中“成功”“不成功”的概率分別是多少．
第三步，根據二項分布的分布列P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)列出相應的分布列.
3.
均值與方差的實際應用
利用隨機變量的期望與方差可以幫助我們作出科學的決策，其中隨機變量X的期望的意義在于描述隨機變量的平均水平，而方差則描述了隨機變量穩定與波動或集中與分散的狀況．品種的優劣、儀器的好壞、預報的準確與否、機器的性能好壞等很多指標都與這兩個特征量有關．
(1)若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量X1，X2的期望，當E(X1)＝E(X2)時，不應誤認為它們一樣好，需要用D(X1)，D(X2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度，穩定者就更好．
(2)若我們希望比較穩定時，應先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近．
(3)若沒有對平均水平或者穩定性有明確要求時，一般先計算期望，若相等，則由方差確定哪一個更好．若E(X1)與E(X2)比較接近，且期望較大者(此時期望表示較好的方面，如利潤、產量)的方差較小，顯然該變量更好；若E(X1)與E(X2)比較接近且方差相差不大時，應根據不同選擇給出不同的結論，即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩定的.
參考答案
①x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
②(xi－E(X))2pi　③平均水平
④平均偏離程度　⑤aE(X)＋b　⑥a2D(X)
⑦p(1－p)　⑧np　⑨np(1－p)高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（十五）
第一節　隨機抽樣
一、必記3個知識點
1．簡單隨機抽樣
(1)簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個①________地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會②________，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．
(2)最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種——③________法和④______________法．
(3)一般地，抽簽法就是總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，⑤______________后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本．
(4)隨機數表法就是利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產生的隨機數進行抽樣．
(5)簡單隨機抽樣有操作簡便易行的優點，在總體個數不多的情況下是行之有效的．
2．系統抽樣
(1)一般地，假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，我們可以按下列步驟進行系統抽樣：
(ⅰ)先將總體的N個個體編號．有時可直接利用個體自身所帶的號碼，如學號、準考證號、門牌號等；
(ⅱ)確定分段間隔k，對編號進行分段．當(n是樣本容量)是整數時，取k＝⑥________；
(ⅲ)在第1段用⑦________確定第一個個體編號l(l≤k)；
(ⅳ)按照一定的規則抽取樣本．通常是將l⑧________得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號⑨________，依次進行下去，直到獲取整個樣本．
(2)當總體中元素個數較少時，常采用簡單隨機抽樣，當總體中元素個數較多時，常采用⑩________.
3．分層抽樣
(1)分層抽樣的概念：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
(2)當總體是由?________的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣的方法．
(3)分層抽樣時，每個個體被抽到的機會是?________的．
二、必明2個易誤點
1．認清簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣三者間的區別與聯系，是正確選擇抽樣方法的前提．
2．在系統抽樣中，應先確定分段間隔，然后再確定入樣個體編號間的關系．
三、技法
1.
解決簡單隨機抽樣應注意的問題
(1)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．
(2)在使用隨機數表時，如遇到三位數或四位數時，可從選擇的隨機數表中的某行某列的數字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍去.
2.
系統抽樣應注意的問題
⑴系統抽樣又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對應的號碼就是一個等差數列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數，根據等差數列的通項公式就可以確定每一組內所要抽取的樣本號碼．
⑵系統抽樣時，如果總體中的個數不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統抽樣進行.
參考答案
①不放回　②都相等　③抽簽　④隨機數表　⑤攪拌均勻　⑥　⑦簡單隨機抽樣　
⑧加上間隔k　⑨(l＋2k)　⑩系統抽樣　?差異明顯　?均等
第二節　用樣本估計總體
一、必記3個知識點
1．頻率分布直方圖
(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種．一種是用樣本的①________估計總體的分布．另一種是用樣本的②________估計總體的數字特征．
(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示③________，數據落在各小組內的頻率用各小長方形的④________表示．各小長方形的面積總和⑤________.
(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．隨著⑥________的增加，作圖時所分的⑦________增加，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統計中稱之為⑧________________，它能夠更加精細地反映出總體在各個范圍內取值的⑨________.
(4)當樣本數據較少時，用莖葉圖表示數據的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數據的記錄和表示都帶來方便．
2．眾數，中位數，平均數
(1)眾數：在一組數據中，出現次數⑩________的數據叫做這組數據的眾數．
(2)中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在?________位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的?________.
(3)平均數：樣本數據的算術平均數．即＝?__________.在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該?________.
3．樣本方差，標準差
標準差
s＝
，
其中xn是樣本數據的第n項，n是樣本容量，是?________.標準差是反映總體波動大小的特征數，樣本方差是標準差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量?________總體容量時，樣本方差越接近總體方差．
二、必明1個易誤點
不要把直方圖錯認為條形圖，兩者的區別在于條形圖是離散隨機變量，縱坐標刻度為頻數或頻率，直方圖是連續隨機變量，縱坐標刻度為頻率/組距，連續隨機變量在某一點上是沒有頻率的．
三、技法
1.
眾數、中位數、平均數及方差的意義及計算公式
(1)平均數與方差都是重要的數字特征，是對總體的一種簡明地描述，平均數、中位數、眾數描述數據集中趨勢，方差和標準差描述波動的大小．
(2)平均數、方差的公式推廣．
①若數據x1，x2，…，xn的平均數為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是m＋a.
②數據x1，x2，…，xn的方差為s2.
(ⅰ)數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
(ⅱ)數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
(3)方差的簡化計算公式．
s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]或寫成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方.
　
2.
莖葉圖的應用
(1)莖葉圖中的“莖”上的數字代表十位上的數字，“葉”上的數字代表個位上的數字(若沒有則表示該數據不存在)；
(2)解題時，可把莖葉圖中的數字按大小順序轉化為總體的個體數字再求解.
3.
繪制頻率分布直方圖時的2個注意點
(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確．
(2)頻率分布直方圖的縱坐標是，而不是頻率．
4．由頻率分布直方圖進行相關計算時，需掌握的2個關系式
(1)×組距＝頻率．
(2)＝頻率，此關系式的變形為＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數.
參考答案
①頻率分布　②數字特征　③　④面積
⑤等于1　⑥樣本容量　⑦組數　⑧總體密度曲線　⑨百分比　⑩最多　?最中間
?中位數　?(x1＋x2＋…＋xn)　?相等
?平均數　?接近
第三節　變量間的相關關系與統計案例
一、必記4個知識點
1．兩個變量的線性相關
(1)正相關
在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關．
(2)負相關
在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關．
(3)線性相關關系、回歸直線
如果散點圖中點的分布從整體上看大致在①__________附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．
2．回歸方程
(1)最小二乘法
求回歸直線，使得樣本數據的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回歸方程
方程＝x＋是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中，是待定參數．
3．回歸分析
(1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．
(2)樣本點的中心
對于一組具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中②____________稱為樣本點的中心．
(3)相關系數
當r＞0時，表明兩個變量③________________；
當r＜0時，表明兩個變量④________________.
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性⑤________.
r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常|r|大于⑥________時，認為兩個變量有很強的線性相關性．
4．獨立性檢驗
(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．
(2)列聯表：列出兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為：
y1
y2
總計
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
總計
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
構造一個隨機變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．
(3)獨立性檢驗
利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．
二、必明4個易誤點
1．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義．
2．根據回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發生的值．
3．r的大小只說明是否相關，并不能說明擬合效果的好壞，R2才是判斷擬合效果好壞的依據，必須將二者區分開來．
4．獨立性檢驗的隨機變量K2＝2.706是判斷是否有關系的臨界值，K2＜2.706應判斷為沒有充分依據顯示X與Y有關系，而不能作為小于90%的量化值來作出判斷．
三、技法
1.
判定兩個變量正、負相關性的方法
(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關．
(2)相關系數：r＞0時，正相關；r＜0時，負相關．
(3)線性回歸方程中：＞0時，正相關；＜0時，負相關.
2.
求線性回歸方程的基本步驟
(1)先把數據制成表，從表中計算出、，x＋x＋…＋x、x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值．
(2)計算回歸系數，.
(3)寫出線性回歸方程＝x＋.
注：回歸方程一定過點(，).
3.
解獨立性檢驗的應用問題的關注點
(1)兩個明確：
①明確兩類主體；
②明確研究的兩個問題．
(2)兩個關鍵：
①準確畫出2×2列聯表；
②準確理解K2.
提醒：準確計算K2的值是正確判斷的前提.
參考答案
①一條直線　②(，)　③正相關　④負相關　⑤越強　⑥0.75考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（五）
第一節　平面向量的概念及其線性運算
一、必記3個知識點
1．向量的有關概念
名稱
定義
備注
向量
既有①________又有②________的量；向量的大小叫做向量的③________(或④________)
平面向量是自由向量
零向量
長度為⑤________的向量；其方向是任意的
記作⑥________
單位向量
長度等于⑦________的向量
非零向量a的單位向量為±
平行向量
方向⑧__________或⑨________的非零向量
共線向量
________________的向量又叫做共線向量
0與任一向量
?________或共線
相等向量
長度?________且方向?________的向量
相反向量
長度?________且方向?________的向量
0的相反向量為0
2.向量的表示方法
(1)字母表示法：如a，等．
(2)幾何表示法：用一條?____________表示向量．
3．向量的線性運算
向量
運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
?____________法則
?______________法則
(1)交換律：
a＋b＝?____________.
(2)結合律：
(a＋b)＋c＝?________________.
減法
求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差
____________法則
a－b＝a＋(－b)
數乘
求實數λ與向量a的積的運算
(1)|λa|＝________.
(2)當λ＞0時，λa與a的方向______；當λ＜0時，λa與a的方向________；當λ＝0時，λa＝________
λ(μa)＝______________；
(λ＋μ)a＝________________；
λ(a＋b)＝________________.
二、必明3個易誤點
1．作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點．
2．在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數個．
3．要注意向量共線與三點共線的區別與聯系．
三、技法
1.
向量有關概念的5個關鍵點
(1)向量：方向、長度．
(2)非零共線向量：方向相同或相反．
(3)單位向量：長度是一個單位長度．
(4)零向量：方向沒有限制，長度是0.
(5)相等向量：方向相同且長度相等.
2.
平面向量的線性運算技巧
(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解．
(2)含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解．
3．利用平面向量的線性運算求參數的一般思路
(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置．
(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式．
(3)比較、觀察可知所求.
4.
共線向量定理的應用
(1)證明向量共線，對于向量a，b，若存在實數λ，使a＝λb，則a與b共線．
(2)證明三點共線，若存在實數λ，使＝λ，則A，B，C三點共線．
(3)求參數的值，利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值．
[提醒]　證明三點共線時，要說明共線的兩向量有公共點.
參考答案
大小　②方向　③模　④長度　⑤零　⑥0　⑦1個單位長度　⑧相同　⑨相反　
⑩方向相同或相反　?平行　?相等　?相同　?相等　?相反　?有向線段　
?三角形　?平行四邊形　?b＋a　?a＋(b＋c)　三角形　|λ||a|　相同　相反　0　λμa　λa＋μa　λa＋λb
第二節　平面向量基本定理及坐標表示
一、必記3個知識點
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個①____________向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝②____________.
我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組③____________.
2．平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系內，分別取與x軸、y軸④____________的兩個單位⑤____________i、j作為基底，對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數x，y，使得a＝⑥____________，則有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作⑦____________，其中x，y分別叫做a在x軸、y軸上的坐標，a＝(x，y)叫做向量a的坐標表示，相等的向量其⑧________相同，⑨________相同的向量是相等向量．
3．平面向量的坐標運算
(1)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝________________，||＝?
____________________.
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝?____________，a－b＝?______________，λa＝?________________，a∥b(b≠0)的充要條件是?________________.
(3)非零向量a＝(x，y)的單位向量為?________________或?________________.
(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b??__________.
二、必明3個易誤點
1．若a、b為非零向量，當a∥b時，a，b的夾角為0°或180°，求解時容易忽視其中一種情形而導致出錯．
2．要區分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2－x2y1＝0.
三、技法
1.
平面向量基本定理的實質及解題思路
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．
(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.
2.
求解向量坐標運算問題的一般思路
(1)向量問題坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，通過建立平面直角坐標系，使幾何問題轉化為數量運算．
(2)巧借方程思想求坐標：向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，求解過程中要注意方程思想的運用．
(3)妙用待定系數法求系數：利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標，再用待定系數法求出系數.
3.
利用兩向量共線的條件求向量坐標，一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.
4.
平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
(1)利用兩向量共線求參數，如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標，一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線.
參考答案
①不共線　②＋　③基底　④同向　⑤向量　⑥xi＋yj　⑦a＝(x，y)　⑧坐標　
⑨坐標　⑩(－，－)　?　?(＋，＋)　?(－，－)　?(λ，λ)　?－＝0　?±　
?±
(x，y)　?＝且＝
第三節　平面向量的數量積與應用舉例
一、必記4個知識點
1．平面向量的數量積的定義
(1)已知兩個①____________a、b，過O點作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的②________.
很顯然，當且僅當兩非零向量a、b同方向時，θ＝③________，當且僅當a、b反方向時，θ＝④________，特別地，0與其他任何非零向量之間不談夾角這一問題．
(2)如果a，b的夾角為90°，則稱a與b垂直，記作⑤________.
(3)a，b是兩個非零向量，它們的夾角為θ，則數|a|·|b|·cos
θ叫做a與b的數量積．記作a·b，即a·b＝⑥________________.
規定0·a＝0.
當a⊥b時，θ＝90°，這時⑦________＝0.
(4)a·b的幾何意義
a·b等于a的長度與b在a的方向上的⑧____________.
2．向量數量積的性質
(1)如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝⑨____________.
(2)a⊥b?⑩________且a·b＝0??____________.(a，b為非零向量)
(3)a·a＝?________，|a|＝?
____________.
(4)cos〈a，b〉＝?________________.
(5)|a·b|?________|a||b|.
3．數量積的運算律
(1)交換律a·b＝?________.
(2)分配律(a＋b)·c＝?________________.
(3)對λ∈R，λ(a·b)＝?________________＝?________________.
4．數量積的坐標運算
設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則
(1)a·b＝?________________.
(2)a⊥b?________________.
(3)|a|＝____________.
(4)cos〈a，b〉＝____________________.
二、必明2個易誤點
1．若a，b，c是實數，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對于向量就沒有這樣的性質，若向量a，b，c滿足a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．
2．數量積運算不適合結合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．
三、技法
1.
平面向量數量積應用的技巧
⑴．求兩向量的夾角，cos
θ＝，要注意θ∈[0，π]．
⑵．兩向量垂直的應用.兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
⑶．求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉化為數量積運算．
②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
2.
平面向量與三角函數的綜合問題的解題思路
(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解．
(2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求值域等.
參考答案
非零向量　②夾角　③0°　④180°　⑤a⊥b　⑥|a|·|b|·cos
θ　⑦a·b　⑧投影的乘積　
⑨|a|cos〈a，e〉　⑩a·b＝0　?a⊥b　?|a|2　?　?　?≤　?b·a　?a·c＋b·c　?(λa)·b　?a·(λb)　?　＝0　
　高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（四）
第一節　任意角和弧度制及任意角的三角函數
一、必記4個知識點
1．角的分類
(1)任意角可按旋轉方向分為①________、②________、③________.
(2)按終邊位置可分為④________和終邊在坐標軸上的角．
(3)與角α終邊相同的角連同角α在內可以用一個式子來表示，即
β＝⑤________________.
2．象限角
第一象限角的集合
⑥________________________
第二象限角的集合
⑦________________________
第三象限角的集合
⑧________________________
第四象限角的集合
⑨________________________
3.角的度量
(1)弧度制：把等于⑩________長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．
(2)角的度量制有：?________制，?________制．
(3)換算關系：1°＝?________rad,1
rad＝?________.
(4)弧長及扇形面積公式：弧長公式為?________，扇形面積公式為?________________________.
4．任意角的三角函數
三角函數
正弦
余弦
正切
定義
設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么
?________叫做α的正弦，記作sin
α
?________叫做α的余弦，記作cos
α
?________叫做α的正切，記作tan
α
各象限符號
Ⅰ
?________
________
________
Ⅱ
________
________
________
Ⅲ
________
________
________
Ⅳ
________
________
________
口訣
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函
數線
有向線段________為正弦線
有向線段________為余弦線
有向線段________為正切線
二、必明3個易誤點
1．易混概念：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區間角．
2．利用180°＝π
rad進行互化時，易出現度量單位的混用．
3．三角函數的定義中，當P(x，y)是單位圓上的點時有sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝，但若不是單位圓時，如圓的半徑為r，則sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
三、技法
1.終邊在某直線上角的求法4步驟
(1)數形結合，在平面直角坐標系中畫出該直線；
(2)按逆時針方向寫出[0,2π)內的角；
(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合；
(4)求并集化簡集合．
2．確定kα，(k∈N
)的終邊位置3步驟
(1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍；
(2)再寫出kα或的范圍；
(3)然后根據k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置.
3.
應用弧度制解決問題的方法
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
4.
三角函數定義應用策略
(1)已知角α的終邊與單位圓的交點坐標，可直接根據三角函數的定義求解．
(2)已知角α終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解．
(3)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數的定義的推廣形式求解．
(4)已知角α的某三角函數值(含參數)或角α終邊上一點P的坐標(含參數)，可根據三角函數的定義列方程求參數值．
(5)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標．
5．三角函數值符號的記憶口訣
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
6．三角函數線的兩個主要應用
(1)三角式比較大小．
(2)解三角不等式(方程).
參考答案
①正角　②負角　③零角　④象限角　⑤k·360°＋α(k∈Z)　⑥{α|2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z}　⑦{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z}　⑧{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}　
⑨{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}　⑩半徑　?角度　?弧度　?　?°　
?l＝|α|r　?S＝lr＝|α|r2　?y　?x　?　?正　正　正　正　負　負　
負　負　正　負　正　負　MP　OM　AT
第二節　同角三角函數的基本關系及誘導公式
一、必記3個知識點
1．同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：①________________.
(2)商數關系：②________________.
2．三角函數的誘導公式
組數
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
③______
④______
⑤______
⑥______
⑦______
余弦
cos
α
⑧______
⑨______
⑩______
?______
?______
正切
tan
α
?______
?______
?______
3.特殊角的三角函數值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的
弧度數
0
π
sin
α
?___
?____
?____
1
?____
?____
0
cos
α
___
____
____
0
____
____
－1
tan
α
___
____
1
____
____
____
0
二、必明2個易誤點
1．在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號．
2．注意求值與化簡后的結果一般要盡可能有理化、整式化．
三、技法
1.利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟
2．利用誘導公式化簡三角函數的要求
(1)化簡過程是恒等變形；
(2)結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的求出值.
3.
同角三角函數關系式的應用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現α的正弦、余弦的互化，利用＝tan
α可以實現角α的弦切互化．
(2)由一個角的任意一個三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，因為利用“平方關系”公式，需求平方根，會出現兩解，需根據角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論.
4.
已知角α的正切值，求由sin
α和cos
α構成的代數式的值，構成的代數式通常是分式齊次式或整式齊次式．
(1)形如的分式，可將分子、分母同時除以cos
α；形如的分式，可將分子、分母同時除以cos2α，將正、余弦轉化為正切，從而求值．
(2)形如asin2α＋bsin
αcos
α＋ccos2α的式子，可將其看成分母為1的分式，再將1變形為sin2α＋cos2α，轉化為形如的分式求解.
5.
在同角三角函數的基本關系中，sin2α＋cos2α＝1可變換成(sin
α＋cos
α)2－2sin
αcos
α＝1，其中sin
α＋cos
α與sin
α·cos
α很容易與一元二次方程的根與系數的關系產生聯系．若以sin
α，cos
α為兩根構造一元二次方程，則可利用上述關系解決相關問題．如本題中，易知sin
θ，cos
θ是關于x的方程x2－x－＝0的兩個實數根，解方程可求出sin
θ和cos
θ.
6.
同角三角函數式化簡過程中常用的方法：
(1)對于含有根號的，常把被開方數(式)去根號達到化簡的目的；
(2)化切為弦，從而減少函數名稱，達到化簡的目的；
(3)對于含高次的三角函數式，往往借助于因式分解或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低次數，達到化簡的目的.
參考答案
①sin2α＋cos2α＝1　②tan
α＝　③－sin
α　④－sin
α　⑤sin
α　⑥cos
α　
⑦cos
α　⑧－cos
α　⑨cos
α　⑩－cos
α　?sin
α　?－sin
α
?tan
α　
?－tan
α　?－tan
α　?0　??　?　?　1　　　
－　－　0　　
－　－
第三節　三角函數的圖象與性質
一、必記2個知識點
1．周期函數
(1)周期函數的定義
對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有①________________，那么函數f(x)就叫做周期函數．②________________叫做這個函數的周期．
(2)最小正周期，如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個③________________，那么這個④________________就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質
函數
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
圖
象
定義
域
x∈R
x∈R
{x|x∈R且x≠
＋kπ，k∈Z}
值域
⑤____________
⑥____________
⑦__________
單調
性
⑧______________上遞增，k∈Z；
⑨______________上遞減，k∈Z
⑩______________上遞增，k∈Z；
?______________上遞減，k∈Z
?____________上遞增，k∈Z
最
值
x＝
?__________時，ymax＝1(k∈Z)；
x＝?__________時，ymin＝－1(k∈Z)
x＝?________時，
ymax＝1(k∈Z)；
x＝?________時，ymin＝－1(k∈Z)
無最值
奇偶性
?________
?________
?________
對稱
性
對稱中心：
?______________
對稱中心：
____________
對稱中心：
__________
對稱軸l：
______________
對稱軸l：
____________
無
周期性
____________
____________
____________
二、必明2個易誤點
1．三角函數存在多個單調區間時易錯用“∪”聯結．
2．研究三角函數單調性、對稱中心、奇偶性及對稱軸時易受基本函數影響，遺漏問題的多解，同時也可能忽視“k∈Z”這一條件．
三、技法
1.
求與三角函數有關的函數定義域的基本方法是“數形結合”，也就是在求這類函數定義域時，往往需要解有關的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲線，正切曲線，要么利用單位圓等圖形的直觀形象來解決問題.
2.
三角函數最值或值域的三種求法
(1)直接法：利用sin
x，cos
x的值域．
(2)化一法：化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域．
(3)換元法：把sin
x或cos
x看作一個整體，轉化為二次函數，求給定區間上的值域(最值)問題.
3.奇偶性與周期性的判斷方法
(1)奇偶性：由正、余弦函數的奇偶性可判斷y＝Asin
ωx和y＝Acos
ωx分別為奇函數和偶函數．
(2)周期性：利用函數y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期為，函數y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期為求解．
4．求三角函數單調區間的兩種方法
(1)代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角u(或t)，利用基本三角函數的單調性列不等式求解．
(2)圖象法：畫出三角函數的圖象，結合圖象求它的單調區間.
參考答案
①f(x＋T)＝f(x)　②T　③最小正數　④最小正數　⑤{y|－1≤y≤1}　⑥{y|－1≤y≤1}　⑦R　⑧
⑨　⑩[(2k－1)π，2kπ]
?[2kπ，(2k＋1)π]　?
?＋2kπ　?－＋2kπ　?2kπ　
?π＋2kπ　?奇函數　?偶函數　?奇函數　?(kπ，0)，k∈Z　，k∈Z　
，k∈Z　x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z　2π　2π　π
第四節
函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及簡單三角函數模型的應用
一、必記3個知識點
1．函數y＝sin
x的圖象變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的步驟
2．用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖
用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點．如下表所示．
x
－
ωx＋φ
⑦____
⑧____
⑨____
____
?____
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.簡諧振動y＝Asin(ωx＋φ)中的有關物理量
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)表
示一個振動量時
振幅
周期
頻率
相位
初相
A
T＝?____
f＝?______
＝?______
ωx＋φ
φ
二、必明3個易誤點
1．函數圖象變換要明確，要弄清楚是平移哪個函數的圖象，得到哪個函數的圖象．
2．要注意平移前后兩個函數的名稱是否一致，若不一致，應先利用誘導公式化為同名函數．
3．由y＝Asin
ωx的圖象得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，需平移的單位數應為，而不是|φ|.
三、技法
1.
函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種作法
五點法
設z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象
圖象變
換法
由函數y＝sin
x的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，有兩種主要途徑“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”
[提醒]　平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值.
2.
確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步驟
(1)求A，B，確定函數的最大值M和最小值m，則A＝，B＝.
(2)求ω，確定函數的周期T，則ω＝.
(3)求φ，常用方法有
①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區間上還是在下降區間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口.
3.
函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質
(1)奇偶性：φ＝kπ時，函數y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數；φ＝kπ＋(k∈Z)時，函數y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)具有周期性，其最小正周期為T＝.
(3)單調性：根據y＝sin
t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的單調性來研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得單調增區間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得單調減區間．
(4)對稱性：
利用y＝sin
x的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得對稱中心坐標．
利用y＝sin
x的對稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其對稱軸方程.
參考答案
①|φ|　②　③　④　⑤A　⑥A　⑦0　⑧　⑨π　⑩　?2π　?
?　?
第五節　三角恒等變換
一、必記3個知識點
1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
名稱
公式
簡記符號
使用條件
兩角和
的余弦
cos(α＋β)
＝①________________
C(α＋β)
α，β∈R
兩角差
的余弦
cos(α－β)
＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
C(α－β)
兩角和
的正弦
sin(α＋β)
＝②____________
S(α＋β)
α，β∈R
兩角差
的正弦
sin(α－β)
＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
S(α－β)
兩角和
的正切
tan(α＋β)
＝③______________
T(α＋β)
α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z)
兩角差
的正切
tan(α－β)
＝④______________
T(α－β)
α，β，α－β≠＋kπ(k∈Z)
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
記法
公式
S2α
sin
2α＝⑤____________
C2α
cos
2α＝⑥____________
T2α
tan
2α＝⑦____________
3.與二倍角有關的公式變形
(1)2sin
αcos
α＝sin
2α，sin
αcos
α＝sin
2α，cos
α＝，cos2α－sin2α＝cos
2α，＝tan
2α.
(2)1±sin
2α＝sin2α＋cos2α±2sin
αcos
α＝(sin
α±cos
α)2.
(3)降冪公式：
cos2α＝⑧________________.
sin2α＝⑨________________.
二、必明2個易誤點
1．實施簡單的三角恒等變換首先要準確記憶相關的三角公式．由于本章三角公式多，記錯、記混三角公式是屢見不鮮的．
2．凡是涉及“開平方”的問題，必須注意符號的選取，而符號的選取最終取決于角的范圍．如果不能確定，則要進行分類討論，防止丟解．
三、技法
1.
三角函數公式的應用策略
(1)使用兩角和、差及倍角公式，首先要記住公式的結構特征和符號變化規律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”．
(2)使用公式求值，應注意與同角三角函數基本關系、誘導公式的綜合應用.
2.
三角函數公式活用技巧
(1)逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創造條件逆用公式．
(2)tan
αtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用
3.
利用角的變換求三角函數值的策略
(1)當“已知角”有兩個時，一般把“所求角”表示為兩個“已知角”的和或差的形式．
(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．
(3)常見的角變換技巧：
α＝2·；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]；
＋α＝－.
(4)特殊角的拆分：＝＋，＝＋，＝－.
4.
(1)三角函數式的化簡要遵循“三看”原則
(2)三角函數式化簡的方法
弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．
在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次．如“考點一”第2題.
5.
三角函數求值的3類求法
(1)“給值求值”：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．
(2)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數而得解．
(3)“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，最后確定角.
6.
求函數周期、最值、單調區間的方法步驟
(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式．
(2)利用公式T＝(ω＞0)求周期．
(3)根據自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據所給關系式的特點，也可換元轉化為二次函數的最值．
(4)根據正、余弦函數的單調區間列不等式求函數y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的單調區間.
特別注意：常見方法與技巧：
1．巧用公式變形：
和差角公式變形：tan
x±tan
y＝tan(x±y)·(1?tan
x·tan
y)；倍角公式變形：降冪公式cos2α＝，sin2α＝，
配方變形：1±sin
α＝2，
1＋cos
α＝2cos2
，1－cos
α＝2sin2.
2．重視三角函數的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數等．在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當的三角公式恒等變形．
失誤與防范：
1．運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升次、降次的靈活運用，要注意“1”的各種變通．
2．在三角函數求值時，一定不要忽視題中給出的或隱含的角的范圍．
參考答案
①cos
αcos
β－sin
αsin
β　②sin
αcos
β＋cos
αsin
β　③　④
⑤2sin
αcos
α　⑥cos2α－sin2α　⑦　⑧　⑨
第六節　正弦定理和余弦定理
一、必記3個知識點
1．正弦定理
①____________________，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：(1)abc＝②______________________；(2)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，③________；(3)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝④________等形式，以解決不同的三角形問題．
2．余弦定理
a2＝⑤________________，b2＝⑥____________________，c2＝⑦________________________.余弦定理可以變形為：cos
A＝⑧________________，cos
B＝⑨____________________，cos
C＝⑩________________.
3．三角形面積公式
S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算R、r.
二、必明2個易誤點
1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角時易忽視解的判斷．
2．在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．
三、技法
1.解三角形
(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
(2)三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.
2.應用正、余弦定理轉化邊角關系的技巧
技巧
解讀
邊化角
將表達式中的邊利用公式a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C化為角的關系．
角化邊
將表達式中的角利用公式轉化為邊，出現角的正弦值用正弦定理轉化．
和積互化
a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos
A)．可聯系已知條件，利用方程思想進行求解三角形的邊
3.利用正、余弦定理判斷三角形形狀的基本方法
(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．
(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論.
4.
三角形面積公式的應用原則
(1)對于面積公式S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式．
(2)已知三角形的面積解三角形．與面積有關的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化.
參考答案
①＝＝＝2R　②sin
A
B
C　③c＝2Rsin
C　④　
⑤b2＋c2－2bccos
A　⑥a2＋c2－2accos
B　⑦a2＋b2－2abcos
C　
⑧　⑨
⑩
第七節　解三角形應用舉例
一、必記5個知識點
1．仰角和俯角
與目標視線同在一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線①________時叫仰角，目標視線在水平視線②________時叫俯角．(如圖所示)
2．方位角
一般指正北方向線順時針到目標方向線的水平角，如方位角45°，是指③__________________，即東北方向．
3．方向角
相對于某一正方向的角(如圖)
(1)北偏東α：指從正北方向順時針旋轉α到達目標方向．
(2)東北方向：指北偏東45°或東偏北45°
.
(3)其他方向角類似．
4．坡角
坡面與④________的夾角．(如圖所示)
5．坡比
坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝＝tan
α(i為坡比，α為坡角)．
二、必明1個易誤點
　易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向與目標方向線按順時針之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角．
三、技法
1.
測量問題中距離問題的解法
(1)選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題．
(2)根據已知條件，選擇正弦定理或者余弦定理求解.
2.
求解高度問題應注意的3個問題
(1)在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵．
(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題.
3.
求解角度問題應注意
(1)明確方位角的含義；
(2)分析題意，分清已知與所求，再根據題意正確畫出示意圖，這是最關鍵、最重要的一步；
(3)將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯袂”使用.
4.
平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解．
(2)尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果.
參考答案
①上方　②下方　③北偏東45°　④水平面高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（十）
第五節　橢圓
一、必記3個知識點
1．橢圓的定義
條件
結論1
結論2
平面內的動點M與平面內的兩個定點F1，F2
M點的
軌跡為
橢圓
①________為橢圓的焦點
|MF1|＋|MF2|＝2a
(2a＞|F1F2|)
②________為橢圓的焦距
2.橢圓的簡單幾何性質(a2＝b2＋c2)
標準方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
圖形
性
質
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：③________
對稱中心：④________
頂點
A1⑤_____，A2⑥_____
B1⑦_____，B2⑧_____
A1⑨_____，A2⑩_____
B1?_____，B2?_____
性
質
軸
長軸A1A2的長為?________
短軸B1B2的長為?________
焦距
|F1F2|＝?________
離心率
e＝∈?________
a，b，c
的關系
?________
3.橢圓中的4個常用結論
(1)設橢圓＋＝1(a>b>0)上任意一點P(x，y)，則當x＝0時，|OP|有最小值b，這時，P在短軸端點處；當x＝±a時，|OP|有最大值a，這時，P在長軸端點處．
(2)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形，其中a是斜邊長，a2＝b2＋c2.
(3)已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a.
(4)若P為橢圓上任一點，F為其焦點，則a－c≤|PF|≤a＋c.
二、必明3個易誤點
1．橢圓的定義中易忽視2a>|F1F2|這一條件，當2a＝|F1F2|其軌跡為線段F1F2，當2a<|F1F2|不存在軌跡．
2．求橢圓的標準方程時易忽視判斷焦點的位置，而直接設方程為＋＝1(a>b>0)．
3．注意橢圓的范圍，在設橢圓＋＝1(a>b>0)上點的坐標為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點P有關的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因．
三、技法
1.
求橢圓標準方程的2種常用方法　
定義法
根據橢圓的定義，確定a2，b2的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程
待定系
數法　
若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸和y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)
2.
求橢圓離心率的三種方法
(1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．
(2)構造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解．
(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．
提醒：在解關于離心率e的二次方程時，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進行根的取舍，否則將產生增根.
3.
求解最值、取值范圍問題的技巧
(1)與橢圓幾何性質有關的問題要結合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯想到一個圖形．
(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0(3)最值問題，將所求列出表達式，構造基本不等式或利用函數單調性求解.
4.
判斷直線與橢圓位置關系的四個步驟
第一步：確定直線與橢圓的方程．
第二步：聯立直線方程與橢圓方程．
第三步：消元得出關于x(或y)的一元二次方程．
第四步：當Δ>0時，直線與橢圓相交；當Δ＝0時，直線與橢圓相切；當Δ<0時，直線與橢圓相離．
5．直線被橢圓截得的弦長公式
設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝
＝
(k為直線斜率).
參考答案
①F1，F2　②|F1F2|　③x軸，y軸　④坐標原點　⑤(－a,0)　⑥(a,0)　⑦(0，－b)　⑧(0，b)　⑨(0，－a)　⑩(0，a)　?(－b,0)　?(b,0)　?2a　?2b　?2c　?(0,1)　?c2＝a2－b2
第六節　雙曲線
一、必記3個知識點
1．雙曲線的定義
(1)平面內與兩個定點F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距離①________________為非零常數2a(2a<2c)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的②________，兩焦點間的距離叫做③________.
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0.
(ⅰ)當④________________時，M點的軌跡是雙曲線；
(ⅱ)當⑤________________時，M點的軌跡是兩條射線；
(ⅲ)當⑥________________時，M點不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
圖形
性
質
范圍
⑦________　y∈R
⑧________　x∈R
對稱性
對稱軸：⑨________
對稱中心：⑩________
對稱軸：?________
對稱中心：?________
頂點
頂點坐標：A1?______，
A2?________
頂點坐標：A1?______，
A2?________
漸近線
?____________
?____________
離心率
e＝?________，e∈(1，＋∞)其中c＝?________
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝________；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝________；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a、b、c關系
c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.雙曲線中的4個常用結論
(1)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直．
(2)漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置的關系：當焦點在x軸上時，漸近線斜率為±，當焦點在y軸上時，漸近線斜率為±.
(3)漸近線與離心率．
－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為＝.
(4)若P為雙曲線上一點，F為其對應焦點，則|PF|≥c－a.
二、必明4個易誤點
1．雙曲線的定義中易忽視2a<|F1F2|這一條件．若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線，若2a>|F1F2|則軌跡不存在．
2．雙曲線的標準方程中對a，b的要求只是a>0，b>0，易誤認為與橢圓標準方程中a，b的要求相同．
若a>b>0，則雙曲線的離心率e∈(1，)；
若a＝b>0，則雙曲線的離心率e＝；
若0.
3．注意區分雙曲線中的a，b，c大小關系與橢圓a，b，c關系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.
4．易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置關系．當焦點在x軸上，漸近線斜率為±，當焦點在y軸上，漸近線斜率為±.
三、技法
1.
雙曲線定義的應用
(1)判定滿足某條件的平面內動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出曲線方程；
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關系．
[注意]　在應用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支.
2.
求雙曲線標準方程的一般方法
(1)待定系數法：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出參數a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線－＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為：
－＝λ(λ≠0)．
(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關系式，求出a的值，由定點位置確定c的值.
3.
求雙曲線離心率或其范圍的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解．
4．求雙曲線的漸近線方程的方法
求雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令－＝0，即得兩漸近線方程為：
±＝0.
參考答案
①之差的絕對值　
②焦點　③焦距
④2a<|F1F2|　⑤2a＝|F1F2|
⑥2a>|F1F2|　
⑦x≥a或x≤－a
⑧y≥a或y≤－a　⑨x軸，y軸　⑩坐標原點
?x軸，y軸　
?坐標原點　?(－a,0)
?(a,0)　?(0，－a)　?(0，a)　?y＝±x
?y＝±x　
?　?
　2a　2b　a2＋b2
第七節　拋物線
一、必記2個知識點
1．拋物線定義、標準方程及幾何性質
定義(幾
何條件)
平面上，到定直線與到該定直線外一定點的距離①________的點的軌跡叫做拋物線
標準方程
y2＝2px
(p＞0)
②________
________
③________
________
④________
________
圖形
對稱軸
x軸
⑤________
y軸
⑥________
頂點坐標
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
焦點坐標
F(，0)
⑦________
⑧________
⑨________
離心率e
e＝1
e＝1
⑩________
e＝1
準線方程
?________
x＝
y＝
?________
焦半徑
公式
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0＋
?|PF|＝
________
?|PF|＝
________
范圍
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
?________
x∈R
?________
x∈R
2.拋物線焦點弦的幾個常用結論
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)．
(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切．
(4)通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦，長等于2p.
二、必明2個易誤點
1．拋物線的定義中易忽視“定點不在定直線上”這一條件，當定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與直線垂直的直線．
2．拋物線標準方程中參數p易忽視，只有p>0，才能證明其幾何意義是焦點F到準線l的距離，否則無幾何意義．
三、技法
1.
應用拋物線定義的2個關鍵點
(1)由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉化．
(2)注意靈活運用拋物線上一點P(x，y)到焦點F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
2.
求拋物線的標準方程的方法
(1)求拋物線的標準方程常用待定系數法，因為未知數只有p，所以只需一個條件確定p值即可．
(2)因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．
3．確定及應用拋物線性質的技巧
(1)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線等性質時，關鍵是將拋物線方程化為標準方程．
(2)要結合圖形分析，靈活運用平面幾何的性質以圖助解.
4.
解決直線與拋物線位置關系問題的常用方法
(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系．
(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．
提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解.
參考答案
①相等　②y2＝－2px(p＞0)　③x2＝－2py(p＞0)　④x2＝2py(p＞0)　⑤x軸　⑥y軸
⑦F(－，0)　⑧F(0，－)　⑨F(0，)
⑩e＝1　?x＝－　?y＝－　?－y0＋　
?y0＋　?y≤0　?y≥0高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（十二）
第一節　分類加法計數原理與分步乘法計數原理
一、必記3個知識點
1．分類加法計數原理
完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N＝①____________________種不同的方法．
2．分步乘法計數原理
完成一件事情需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，…，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N＝②____________________種不同的方法．
3．兩個原理的區別與聯系
分類加法計數原理與分步乘法計數原理，都涉及③____________________的不同方法的種數．它們的區別在于：分類加法計數原理與④________有關，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數原理與⑤________有關，各個步驟⑥________，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．
二、必明2個易誤點
1．分類加法計數原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的．
2．分步乘法計數原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關聯的．
三、技法
1.分類加法計數原理的實質
分類加法計數原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，每類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事．
2．使用分類加法計數原理遵循的原則
有時分類的劃分標準有多個，但不論是以哪一個為標準，都應遵循“標準要明確，不重不漏”的原則.
3.
分步乘法計數原理的實質
分類乘法計數原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成其中的任何一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事．
4．使用分步乘法計數原理的原則
(1)明確題目中的“完成這件事”
是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．
(2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎，也是關鍵．從計數上來看，各步的方法數的積就是完成事件的方法總數.
5.兩個注意：
(1)注意在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，在分步時可能又用到分類加法計數原理．
(2)注意對較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當地列出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化.
6.
解決涂色問題的要點
(1)要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當的涂色順序．
(2)切實選擇好分類標準，分清哪些可以同色，哪些不同色.
參考答案
①m1＋m2＋…＋mn　②m1×m2×…×mn　③完成一件事情　④分類　⑤分步　⑥相互依存
第二節　排列與組合
一、必記2個知識點
1．排列與排列數
(1)排列的定義：一般地，從n個①________元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的②________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
(2)排列數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的③____________的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記為A.
(3)排列數公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④____________.
A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤__________，規定0！＝1.
2．組合與組合數
(1)組合的定義：一般地，從n個⑥________的元素中取m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
(2)組合數的定義：從n個⑦________元素中取出m(m≤n)個元素的⑧__________的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號C表示．
(3)組合數公式
C＝⑨____________＝⑩__________________________＝?__________________.
(4)組合數的性質
性質1：C＝?____________.
性質2：C＝?____________(m≤n，n∈N
，m∈N
)．
二、必明3個易誤點
1．要注意均勻分組與不均勻分組的區別，均勻分組不要重復計數．
2．解受條件限制的組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時標準應統一，避免出現遺漏或重復．
3．解組合應用題時，應注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義．
三、技法
1.
求解排列應用問題的6種主要方法
直接法
把符合條件的排列數直接列式計算
優先法
優先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
插空法
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中
定序問題
除法處理
對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反、等價轉化的方法
2.
兩類含有附加條件的組合問題的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直解法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，用間接法求解.
3.
解排列組合問題要遵循兩個原則：
一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．
參考答案
①不同　②順序　③所有不同排列
④　⑤n！　⑥不同　⑦不同　
⑧所有不同組合　⑨　⑩　?
?　?C＋C
第三節　二項式定理
一、必記3個知識點
1．二項式定理
(a＋b)n＝①______________________________________.
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數C(r＝0,1,2，…，n)叫做②________________________.式中的Can－rbr叫做二項展開式的③________，用Tr＋1表示，即展開式的第④________項；Tr＋1＝⑤____________.
2．二項展開式形式上的特點
(1)項數為n＋1.
(2)每一項的次數之和都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為⑥________.
(3)字母a按⑦________排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按⑧________排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.
(4)二項式的系數從⑨______________，C，一直到C，⑩____________.
3．二項式系數的性質
(1)對稱性：與首末兩端?________的兩個二項式系數相等，即C＝C.
(2)增減性與最大值：二項式系數C，當?________時，二項式系數是遞增的；當?________時，二項式系數是遞減的．
當n是偶數時，中間的一項?________取得最大值．
當n是奇數時，中間兩項?________和?________相等，且同時取得最大值．
(3)二項式系數的和：
(a＋b)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即?__________________________________________＝2n.
二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝?________.
二、必明3個易誤點
1．要把“二項式系數的和”與“各項系數和”，“奇(偶)數項系數和與奇(偶)次項系數和”嚴格地區別開來．
2．應用通項公式時常用到根式與冪指數的互化，容易出錯．
3．通項公式是第r＋1項而不是第r項．
三、技法
1.
求展開式中的指定項或特定項
解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項.
2.
二項式系數或項系數的和問題涉及的兩個方法
⑴
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法；只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．
⑵若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
3.
求解二項式系數或展開式系數的最值問題的一般步驟
第一步，求系數的最大值問題，要先弄清所求問題是“展開式中項的系數最大”“二項式系數最大”以及“最大項”三者中的哪一個；
第二步，若是求二項式系數最大值，則依據(a＋b)n中n的奇偶及二項式系數的性質求解．若是求展開式中項的系數的最大值，由于展開式中項的系數是離散型變量，設展開式各項的系數分別為A1，A2，…An＋1，且第k項系數最大，因此在系數均為正值的前提下，求展開式中項的系數的最大值只需解不等式組即得結果.
4.
利用二項式定理解決整除問題時，基本思路：
要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可．因此，一般將被除式化為含有相關除式的二項式，然后再展開，此時常用“配湊法”、“消去法”結合有關整除知識來處理.
參考答案
①Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N
)　②二項式系數　③通項　
④r＋1　⑤Can－rbr　⑥n　⑦降冪　⑧升冪　⑨C　⑩C　?“等距離”　?k＜　
?k＞　?Cn　?Cn　?Cn
?C＋C＋C＋…＋C＋…＋C　?2n－1高考數學考前30天回歸課本知識技法精細過（三）
第一節　變化率與導數、導數的計算
一、必記5個知識點
1．平均變化率及瞬時變化率
(1)f(x)從x1到x2的平均變化率是：＝①________________.
(2)f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是：
＝②________________.
2．導數的概念
(1)f(x)在x＝x0處的導數就是f(x)在x＝x0處的③______________，記作或f′(x0)，即f′(x0)＝
.
(2)當把上式中的x0看作變量x時，f′(x)即為f(x)的導函數，簡稱導數，即y′＝f′(x)＝④________________.
3．導數的幾何意義
函數f(x)在x＝x0處的導數就是⑤____________________________，即曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k＝f′(x0)，切線方程為⑥________________.
4．基本初等函數的導數公式
(1)C′＝⑦________(C為常數)．
(2)(xn)′＝⑧________(n∈Q
)．
(3)(sin
x)′＝⑨________，(cos
x)′＝⑩________.
(4)(ex)′＝?________，(ax)′＝?________.
(5)(ln
x)′＝?________，(logax)′＝?________.
5．導數運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝?____________________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝?____________________.
(3)′＝(g(x)≠0)．
二、必明3個易誤點
1．利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．
2．求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過P點的切線的區別，前者只有一條，而后者包括了前者．
3．曲線的切線與曲線的交點個數不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別．
三、技法
1.
　
[注意]　求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數的商的形式時，如能化簡則先化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量.
2.
導數幾何意義的應用及解決
(1)已知切點A(x0，y0)求斜率k，即求該點處的導數值k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求過某點M(x1，y1)的切線方程時，需設出切點A(x0，f(x0))，則切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把點M(x1，y1)代入切線方程，求x0.
(4)根據導數的幾何意義求參數的值時，一般是利用切點P(x0，y0)既在曲線上又在切線上構造方程組求解．
[提醒]　當切線方程中x(或y)的系數含有字母參數時，則切線恒過定點.
3.
利用導數求函數的單調區間的方法
(1)當導函數不等式可解時，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調區間．
(2)當方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實根，按實根把函數的定義域劃分區間，確定各區間f′(x)的符號，從而確定單調區間．
(3)若導函數的方程、不等式都不可解，根據f′(x)的結構特征，利用圖象與性質確定f′(x)的符號，從而確定單調區間.
4.
利用導數求函數的單調區間的方法
(1)確定函數y＝f(x)的定義域．
(2)求導數f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定義區間內的一切實根．
(3)把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間．
(4)確定f′(x)在各個區間內的符號，根據符號判定函數在每個相應區間內的單調性．
[提醒]　研究含參數函數的單調性時，需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論.
5.
已知函數單調性，求參數范圍的兩個方法
(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區間(a，b)是相應單調區間的子集．
(2)轉化為不等式的恒成立問題來求解：即“若函數單調遞增，則f′(x)≥0；若函數單調遞減，則f′(x)≤0”．
[提醒]　f(x)為增函數的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內的任一非空子區間上f′(x)≠0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.
6.
利用導數研究函數極值問題的一般流程
7．已知函數極值點或極值求參數的兩個要領
(1)列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．
(2)驗證：因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性．
[注意]　若函數y＝f(x)在區間(a，b)內有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調函數沒有極值.
8.
求函數f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函數在區間[a，b]上單調遞增或遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值；
(2)若函數在區間[a，b]內有極值，則要先求出函數在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值；可列表完成；
(3)函數f(x)在區間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)值點，此結論在導數的實際應用中經常用到.
9.
10.
不等式恒成立問題的求解策略
(1)已知不等式f(x·λ)>0(λ為實參數)對任意的x∈D恒成立，求參數λ的取值范圍．利用導數解決此類問題可以運用分離參數法．
(2)如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數與判別式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解.
11.
判斷函數零點個數的3種方法
直接法
令f(x)＝0，則方程解的個數即為零點的個數
畫圖法
轉化為兩個易畫出圖象的函數，看其交點的個數
定理法
利用零點存在性定理判定，可結合最值、極值去解決
參考答案
①　②
　③瞬時變化率　④
　
⑤曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率　
⑥y－y0＝f′(x0)(x－x0)　
⑦0　⑧nxn－1　⑨cos
x　⑩－sin
x　?ex　?axln
a　?　?　?f′(x)±g′(x)　
?f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
第二節　導數在研究函數中的應用
一、必記3個知識點
1．函數的導數與單調性的關系
函數y＝f(x)在某個區間內可導：
(1)若f′(x)＞0，則f(x)在這個區間內①____________.
(2)若f′(x)＜0，則f(x)在這個區間內②____________.
(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區間內③____________.
2．函數的極值與導數
(1)函數的極小值與極小值點
若函數f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值④________，而且在x＝a附近的左側⑤________，右側⑥________，則a點叫做函數的極小值點，f(a)叫做函數的極小值．
(2)函數的極大值與極大值點
若函數f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值⑦__________，左側⑧________；右側⑨________，則b點叫做函數的極大值點，f(b)叫做函數的極大值．
3．函數的最值與導數
(1)函數f(x)在[a，b]上有最值的條件
如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條________的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟
(ⅰ)求函數y＝f(x)在(a，b)內的?________.
(ⅱ)將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
二、必明2個易誤點
1．求函數極值時，誤把導數為0的點作為極值點；極值點的導數一定為0，但是導數為0的點不一定是極值點．
2．易混極值與最值：注意函數最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念．
參考答案
①單調遞增　②單調遞減　③不具備單調性　④都小　⑤f′(x)＜0　⑥f′(x)＞0　
⑦都大　⑧f′(x)＞0　⑨f′(x)＜0　⑩連續不斷　?極值
第三節　定積分與微積分基本定理
一、必記6個知識點
1．定積分的定義及相關概念
一般地，如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，用分點a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，將區間[a，b]等分成n個小區間，在每個小區間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，當n→∞時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx.
在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間①________叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做②________，③________叫做被積式．
2．定積分的幾何意義
f(x)
f(x)dx的幾何意義
f(x)≥0
表示由直線④________，⑤________，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積
f(x)＜0
表示由直線⑥________，⑦________，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數
f(x)在[a，b]
上有正有負
表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積
3.定積分的性質
(1)kf(x)dx＝⑧________(k為常數)．
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝⑨________.
(3)________＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
4．微積分基本定理
一般地，如果f(x)是區間[a，b]上的連續函數，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝?________，這個結論叫做微積分基本定理，又叫牛頓—萊布尼茨公式．
5．定積分與曲線梯形面積的關系
(1)
　　
(2)
(3)
　　
(4)
設陰影部分的面積為S.
(1)S＝f(x)dx.
(2)S＝?________.
(3)S＝?________.
(4)S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
6．定積分與變速直線運動的路程及變力做功間的關系
(1)s＝?________；(2)W＝?________.
二、必明4個易誤點
1．被積函數若含有絕對值號，應去絕對值號，再分段積分．
2．若積分式子中有幾個不同的參數，則必須先分清誰是被積變量．
3．定積分式子中隱含的條件是積分上限不小于積分下限．
4．定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結果可以為負．
三、技法
1.
求定積分的4大常用方法
2.
利用定積分求平面圖形面積的4步驟
(1)根據題意畫出圖形．
(2)借助圖形確定出被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限．
(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和．
(4)計算定積分，寫出答案.
3.
定積分在物理中的兩個應用
(1)變速直線運動的位移：如果變速直線運動物體的速度為v＝v(t)，那么從時刻t＝a到t＝b所經過的路程s＝v(t)dt.
(2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a移動到x＝b時，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
參考答案
①[a，b]　②積分變量　③f(x)dx　④x＝a
⑤x＝b　⑥x＝a　⑦x＝b　⑧kf(x)dx　
⑨f1(x)dx±f2(x)dx　⑩f(x)dx　?F(b)－F(a)　?－f(x)dx
?f(x)dx－f(x)dx　
?v(t)dt　?F(x)dx

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