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導數中的不等式證明
導數中不等式的證明是歷年的高考中是一個永恒的話題，由于不等式證明的靈活性，多樣性，該考點也備受命題者的青睞。本文通過四個方面系統介紹了一些常規的不等式證明的手段
命題角度1 構造函數
命題角度2 放縮法
命題角度3 切線法
命題角度4 二元或多元不等式的證明思路
命題角度5 函數凹凸性的應用
命題角度1 構造函數
【典例1】（贛州市2018屆高三摸底考試）已知函數，若曲線與曲線的一個公共點是，且在點處的切線互相垂直．
（1）求的值；
（2）證明：當時，．
【解析】（1）；
（2），，
令，則
，
，
因為，所以，
所以在單調遞增，，即，
所以當時，．
【審題點津】待證不等式的兩邊都含有同一個變量，一般地，可以直接構造“左減右”的函數，應用導數研究其單調性，借助于所構造函數的單調性加以證明.
命題角度2 放縮法
【典例2】（石家莊市2018屆高三下學期4月一模考試）已知函數，在處的切線方程為.
（1）求；
（2）若，證明：.
【解析】（1），；
（2）由（1）可知，，
由，可得，
令，則，
當時，，
當時，設，則，
故函數在上單調遞增，
又，所以當時，，當時，，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
故，即.
故.
【方法歸納】函數解析式中含有已知范圍的參數，可以考慮借助于常識或已知的范圍減少變量，對參數適當放縮達到證明的目標.
【典例3】（成都市2018屆高中畢業班二診理科）已知函數.
（1）當時，若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）當時，證明：
【解析】（1）；
（2）設數列的前項的和分別為，則
由于，解得；
同理，，
所以只需證明.
由（1）知時，有，即.
令，則，
所以，
所以；
再證明，亦即，
因為，，
所以只需證，
現證明.
令，則，
所以函數在上單調遞減，，
所以當時，恒成立，
令，則，
綜上，，
所以對數列分別求前項的和，得
.
【思路總結】待證數列不等式的一端是項之和（或積）的結構，另一端含有變量時，可以將它們分別視為兩個數列的前項的和（或積），從而將不等式的證明轉化為兩個數列的對應項之間的大小關系的證明.
【典例4】（安徽省安慶市2018屆重點中學聯考）已知函數.
（1）求函數的單調區間；
（2）證明：當時，都有.
【解析】（1），
令，則，
當時，，所以，
當時，，所以，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）要證明，即證，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，，
所以.
要證，只需再證即可.
易證，當且僅當時取等號（證明略），所以，
綜上所述，當時，都有.
【思路點睛】對于含有與型的超越函數，具體解決時須根據兩類函數的特點，挖掘結構特征，靈活變形，腦中有“形”，注意重要不等式的合理代換.
命題角度3 切線法
【典例5】（2018屆安徽省太和中學三模）已知函數.
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）求證：當時，.
【解析】（1），，
由題設得，
所以曲線在處的切線方程為，即；
（2）令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，
所以函數在上單調遞增，
由于曲線在處的切線方程為，，可猜測函數的圖象恒在切線的上方.
先證明當時，.
設，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
由，所以，
所以存在，使得，
所以當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.
因為，所以，即，當且僅當時取等號，
所以當時，，
變形可得，
又由于，當且僅當時取等號（證明略），
所以，當且僅當時取等號.
【審題點津】切線放縮法值得認真探究，若第一小題是求曲線的切線方程，就要注意是否運用切線放縮法進行放縮解決問題.
命題角度4 二元或多元不等式的解證思路
【典例6】（皖南八校2018屆高三第三次聯考）若均為任意實數，且，則的最小值為

【解析】由于均為任意實數，且，所以動點到定點的距離為定值1，亦即動點的軌跡是以
為圓心，半徑的圓，
又表示與動點
的距離，而的軌跡是曲線
，
如圖，，當且僅當共線，
且點在線段上時取等號，以為圓心作半徑為的圓
與相切，切點是，此時的公切線與半徑
垂直，，即，結合函數
與的圖象可知，所以，
故的最小值為.正確答案為D.
【審題點津】多元代數表達式的最值問題要根據其整體的結構特征，結合多元各自變化的規律，轉化為多個動點之間的對應關系，進而化“動”為“靜”解決問題.
【變式訓練】（2018年湖北省高三4月調考）設，其中，則的最小值為

【解析】由于表示點與點之間的距離，而點的軌跡是曲線，點的軌跡是曲線，
如圖所示，又點到直線的距離為，
自然想到轉化為動點到拋物線準線的距離，
結合拋物線的概念可得
，所以，當且僅當共線，
又以為圓心作半徑為的圓與相切，切點是，此時的公切線與半徑垂直，，即，所以，故.正確答案為C.
【能力提升】（2018年甘肅省高中畢業班第一次診斷性考試）對于任意，不等式恒成立，則實數的最大值為
【答案】.
命題角度4 二元或多元不等式的解證思路
【典例7】（2018年安慶市二模）已知函數，曲線在點處的切線方程為.
（1）求實數的值；
（2）設分別是函數的兩個零點，求證：.
【解析】（1）；
（2），，，
因為分別是函數的兩個零點，所以，
兩式相減，得，
，
要證明，只需證.
思路一：因為，只需證.
令，即證.
令，則，
所以函數在上單調遞減，，即證.
由上述分析可知.
【規律總結】這是極值點偏移問題，此類問題往往利用換元把轉化為的函數，常把的關系變形為齊次式，設等，構造函數來解決，可稱之為構造比較函數法.
思路二：因為，只需證，
設，則
，
所以函數在上單調遞減，，即證.
由上述分析可知.
【規律總結】極值點偏移問題中，由于兩個變量的地位相同，將待證不等式進行變形，可以構造關于（或）的一元函數來處理．應用導數研究其單調性，并借助于單調性，達到待證不等式的證明．此乃主元法.
思路三：要證明，只需證.
即證，由對數平均數易得.
【規律總結】極值點偏移問題中，如果等式含有參數，則消參，有指數的則兩邊取對數，轉化為對數式，通過恒等變換轉化為對數平均問題，利用對數平均不等式求解，此乃對數平均法.
【知識拓展】對于，則，其中稱之為對數平均數.簡證如下：不妨設，只需證明即可，即（下略）.
【典例8】（A10聯盟2018年高考最后一卷）已知函數.
（1）當時，方程在區間上有兩個不同的實數根，求的取值范圍；
（2）當時，設是函數兩個不同的極值點，
證明：.
【解析】（1）因為，所以，即，
設，則，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
，當時，，當時，，
要使方程在區間上有兩個不同的實數根，則，解得，
故的取值范圍是；
【一題多解】本題也可以變形為，轉化為過原點的直線與函數圖象有兩個交點問題，應用數形結合思想求解，直線與曲線相切對應所求范圍的界點.
（2）由題意，，，
因為是函數兩個不同的極值點，
不妨設，，即，
兩式相減得.
要證，即證明，
只需證，即，亦即.
令，只需證當時，不等式恒成立，
設，則
，
易證，所以，
所以在上單調遞減，，即.
綜上所述，成立.
【審題點津】函數的拐點偏移問題的證明思路可以根據類似的結構特征，適當變形為兩個變量之差（或比值）的關系，整體換元，構造函數，借助于導數的應用解決問題.
【典例9】（2018屆合肥三模）已知函數有兩個極值點 (為自然對數的底數).
（1）求實數的取值范圍；
（2）求證：.
解析：（1）由于，則，
設，則.
令，解得.
所以當時，；當時，.
所以.
①當時，，所以函數單調遞增，沒有極值點；
②當時，，且當時，；當時，.
此時，有兩個零點，不妨設，則，
所以函數有兩個極值點時，實數的取值范圍是；
【答案速得】函數有兩個極值點實質上就是其導數有兩個零點，亦即函數與直線有兩個交點，如圖所示，顯然實數的取值范圍是.
（2）由（1）知，為的兩個實數根，，在上單調遞減.
下面先證，只需證.
由于，得，
所以.
設，則，
所以在上單調遞減，
所以，，所以.
由于函數在上也單調遞減，所以.
要證，只需證，
即證.
設函數，則.
設，則，
所以在上單調遞增，，即.
所以在上單調遞增，.
故當時，，則，
所以，亦即.
【規律總結】本題是極值點偏移問題的泛化，是拐點的偏移，
依然可以使用極值點偏移問題的有關方法來解決.只不過需要挖掘出拐點偏移中隱含的拐點的不等關系，如本題中的，如果“腦中有‘形’”，如圖所示，并不難得出.
命題角度5 函數凹凸性的應用
【典例10】（2018屆合肥三模）已知函數有零點，函數有零點，且，則實數的取值范圍是


解析：思路1：因為，如圖所示，
結合函數圖象，則，
，
若，則，不適合題意，則；當時，，所以，即，
所以實數的取值范圍是.正確答案為C.
【評注】同理，，，所以，
故，即，所以實數的取值范圍是.
思路2：因為函數有零點，所以的解分別為，
因為函數有零點，所以的解分別為，
令，①若，如圖，總有，不適合題意；
②若，如圖，總有，欲使，亦即，
所以，即，
兩邊平方，化簡可得，所以.
所以實數的取值范圍是.正確答案為C.
思路3：因為函數有零點，
所以的解分別為，
因為函數有零點，
所以的解分別為，
令，兩個函數的交點的坐標分別為，如圖所示，結合函數圖象，欲使，則，所以實數的取值范圍是.正確答案為C.
思路4：（特例法）令，則函數有零點，函數有零點，此時滿足，因此排除B；
再令，則函數有零點，函數有零點， 此時滿足，因此排除A，D；
所以實數的取值范圍是.正確答案為C.
命題角度5 函數凹凸性的應用
【考法點撥】不等式恒成立問題中，許多試題的幾何背景是曲線與切線靜態或動態的上下位置關系，進而應用曲線的凸凹性可獲得思路自然、過程簡潔的圖解.
【知識拓展】一般地，對于函數的定義域內某個區間上的不同
的任意兩個自變量的值，
①總有（當且僅當時，取等號），
則函數在上是凸函數，其幾何意義：函數的圖象上的
任意兩點所連的線段都不落在圖象的上方.，則單調
遞減，在上為凸函數；
②總有（當且僅當時，取等號），
則函數在上是凹函數，其幾何意義：函數的圖象上的
任意兩點所連的線段都不落在圖象的下方.，則單調遞增，在上為凹函數.
【典例11】（安徽省太和中學2018屆5月質檢）已知函數，曲線在處的切線方程為．
（1）求證：時，；
（2）求證：．
【解析】（1）函數的定義域為，，
又，，所以該切線方程為．
設，則，
令，則，
當時，，所以在上單調遞增，
又，所以，即在上單調遞增，
所以，故時，；
（2）由（1）知：當時，.
令，則，
所以，
所以，
化簡可得，得證.
【方法歸納】本題，其，，說明函數為凹函數，因此有.此類問題實質上，第（1）小題的研究正是為第（2）小題的解決而服務的，呈現“層層遞進”的特點.
【典例12】（成都市2018屆高中畢業班二診文科）已知函數.
（1）當時，若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）當時，證明：.
【解析】（1）由，得恒成立，
令，則，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為，
所以，即，故的取值范圍是；
（2）有（1）知時，有，
所以.
①要證，可證，只需證，
易證（證明略），所以；
②要證，可證，
易證（證明略），由于，所以，
所以，
綜上所述，當時，證明：.
【方法歸納】若第（1）小題是探求參數的范圍問題，第（2）小題的解決往往運用第（1）小題所求范圍的界點對于的不等關系進行放縮，此類問題實質就是應用函數凸凹性進行切線放縮法.
【典例13】（咸陽市2018屆三模）已知函數，.
（1）若在上恒成立，求實數的取值范圍；
（2）求證：.
【解析】（1）等價于，即，
記，則，
當時，，在上單調遞增，由，，
所以，即不恒成立；
當時，時，，單調遞增，不恒成立；
當時，，，在上單調遞減，，所以，即恒成立；
故在上恒成立，實數的取值范圍是；
（2）當時，在上成立，即，
令，則，
所以
，
所以
【方法歸納】當時，，由于在上單調遞減，所以為凸函數，則切線在函數的圖象的上方，所以.
【典例14】（福建泉州市2018年5月質檢）函數的圖像與直線相切．
（1）求的值；
（2）證明：對于任意正整數，.
【解析】（1）．
設直線與曲線相切于點．依題意得：
，整理得，，……（*）
令，．
所以，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．當時，取得最小值，
所以，即.
故方程（*）的解為，此時．
（2）①要證明，即證，
只需證.
由（1）知，，即，
因此，，…，．
上式累加得：，得證；
②要證明，即證，
只需證.
令，則．
所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.當時，取得最大值，即，．
由得：
，，…，．
上式累加得：，得證；
綜上，.
【審題點津】第（2）小題待證不等式的證明途徑只有從第（1）小題的探究切線的過程中挖掘，這是切線放縮法的拓展運用.
【典例15】（石家莊市2018屆高中畢業班一模）已知函數在處的切線方程為.
（1）求；
（2）若方程有兩個實數根，且，證明：.
【解析】（1）；
（2）由（1）可知， ，，
設在處的切線方程為，易得，
令， ，
則，
當時，，
當時，
設，則，
故函數在上單調遞增，
又，所以當時，，當時，，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
故，即，所以，
設的根為，則，
又函數單調遞減，故，故，
再者，設在處的切線方程為，易得，
令，，
當時，，
當時，
令，則，
故函數在上單調遞增，
又，所以當時，，當時，，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以，即，所以，
設的根為，則，
又函數單調遞增，故，故，
又，所.
【能力提升】結合函數的凸凹性應用切線放縮法證明不等式
必須做到“腦中有形”，結合示意圖易得，
顯然.腦海中有這樣的示意圖，我們的思路不就清晰了嗎？
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