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專題二 壓軸解答題
第四關(guān) 以極值為背景的解答題
【名師綜述】極值點(diǎn)不同于零點(diǎn)，極值點(diǎn)不僅導(dǎo)數(shù)值為零（中學(xué)只研究可導(dǎo)函數(shù)），而且在其附近導(dǎo)數(shù)值要變號(hào).因此以極值為背景的解答題，不僅要考慮等量關(guān)系，更要注意不等量關(guān)系，這也是考查分類討論思想的一個(gè)常見的載體.
類型一 求函數(shù)極值或單調(diào)區(qū)間或最值問題
典例1 已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，設(shè)函數(shù)在上的極值點(diǎn)為，求證： .
【答案】(1)當(dāng)時(shí)， 的極大值為，無極小值；(2) ；(3)證明見解析.
【解析】







極大值
當(dāng)時(shí)， 的極大值為，無極小值.
（2），由題意對(duì)恒成立.
， ，
對(duì)恒成立，
對(duì)恒成立.
令， ，則，
①若，即，則對(duì)恒成立，
在上單調(diào)遞減，
則， ， 與矛盾，舍去；
②若，即，令，得，
當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)， ，
.綜上.
（3）當(dāng)時(shí)， ， ，
令， ，
則 ，令，得，
①當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減， ，
恒成立， 單調(diào)遞減，且.
②當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

又 ，
存在唯一，使得， ，
當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，且，
由①和②可知， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)， 取極大值.
， ，
，
又， ， .
【名師指點(diǎn)】以導(dǎo)函數(shù)為研究對(duì)象，實(shí)質(zhì)討論研究方程的根與系數(shù)的關(guān)系.
【舉一反三】已知函數(shù)．
⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
⑵若存在與函數(shù)， 的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2）
【解析】
所以
所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為，無極大值；
（2）設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同，
則
所以
所以，代入得：

設(shè)，則
不妨設(shè)則當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
代入可得：
設(shè)，則對(duì)恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又
所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí),
又當(dāng)時(shí)

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)必有零點(diǎn)；即當(dāng)時(shí)，必存在使得成立；
即存在使得函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同．
又由得：
所以單調(diào)遞減，因此
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
類型二 由極值確定參數(shù)取值范圍問題
典例2 已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若直線為曲線的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，若在定義域上有極值點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】
（2）設(shè)，
當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，
則在上恒成立，
∴ 在上恒成立，
又
解得．
當(dāng)單調(diào)遞減時(shí)，
則在上恒成立，
∴在上恒成立，
綜上單調(diào)時(shí)的取值范圍為．
（3），
令則，
當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，
∴，即.
1）當(dāng)，即時(shí)，
∴，
則單調(diào)遞增，
在上無極值點(diǎn)．
2）當(dāng)即時(shí)，
∴
I）當(dāng)，即時(shí)，
在遞增，
，
在上遞增，
在上無極值點(diǎn)．
II）當(dāng)時(shí)，由
在遞減， 遞增，
又
使得
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上有一個(gè)極小值點(diǎn)．
3）當(dāng)時(shí)， ，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，
在上恒成立，
無極值點(diǎn)．
4）當(dāng)時(shí)，
在遞增，
使得，
當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ，
，
，
令，
下面證明，即證，
又
，
即證，所以結(jié)論成立，即，
在遞減， 遞增，
為的極小值.
綜上當(dāng)或時(shí)， 在上有極值點(diǎn)．
【名師指點(diǎn)】由極值的情況，探討導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的情況，進(jìn)而研究方程根的分布情況.
【舉一反三】已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
當(dāng)時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)， ，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，
當(dāng)時(shí)， ，
所以
∴
解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）得， ， ，兩式相加得
，
故
兩式相減可得，
故
所以等價(jià)于，
所以
所以，
即，
所以，
因?yàn)?，令，所?
即，令，
則在上恒成立， ，
令，
①當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，
所以符合題意
②當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)遞增
故在上單調(diào)遞減，
所以不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以所以在上單調(diào)遞減，
故不符合題意
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
類型三 利用極值證明不等式問題
典例3 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，區(qū)間， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。
（?。┤艉瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值分別為和，
求證： .
【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間，（2）詳見解析
【解析】
（2）（ⅰ）因?yàn)?，
所以 ， ，
若函數(shù) 在區(qū)間D上有兩個(gè)極值，等價(jià)于 在 上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
令 ，得 ，
設(shè) ，令




大于0 0 小于0
0 增 減
所以 的范圍為
（ⅱ）由（?。┲?，若函數(shù)在區(qū)間D上有兩個(gè)極值分別為 和，不妨設(shè) ，則 ，
所以
即 ，
要證 ，只需證 ，即證，
令 ，即證 ，即證 ，
令 ，因?yàn)?，
所以 在上單調(diào)增， ，所以 ，
即 所以 ，得證。
【名師指點(diǎn)】由極值的情況，揭示等量條件與不等量條件，進(jìn)而研究證明等式或不等式.
【舉一反三】設(shè)函數(shù),，其中
(I)求的單調(diào)區(qū)間；
(II) 若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；
【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析
（2）當(dāng)時(shí)，令，解得，或.
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：





＋ 0 － 0 ＋
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（Ⅱ）證明：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即，
進(jìn)而.
又
，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實(shí)數(shù)滿足 ，且，因此，所以；
【精選名校模擬】
1.已知函數(shù)f(x)= －，g(x)= ．
（1）若，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像相切，求的值；
（2）若， ，函數(shù)滿足對(duì)任意（x1x2），都有恒成立，求的取值范圍；
（3）若，函數(shù)=f(x)+ g(x),且G()有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,其中x1，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
設(shè)h(x)= F(x)+ = x2+1+2alnx+，則原不等式h(x)在(0,1]上遞減
即h＇(x)=2x+-在(0,1]上恒成立.所以2a-2x2在(0,1]上恒成立.
設(shè)y=-2x2,在(0,1]上遞減，所以ymin=3-2=1，所以2a1，又a>0，所以0(3)若b=1,函數(shù)G(x)=f(x)+g(x)=x+2alnx
G/(x)= ,(x>0),由題意知x1,x2是x2+2ax+1=0的兩根，
∴x1x2=1, x1+x2=－2a,x2=,2a=,
G(x1)-G(x2)=G(x1)-G()=
令H(x)=2[], H＇(x)=2()lnx=
當(dāng)時(shí)，H/(x)<0, H(x)在上單調(diào)遞減，H(x)的最小值為
即G(x1)-G(x2) 的最小值為
2.已知函數(shù)（， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）設(shè)函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處的切線為，求在軸上的截距的取值范圍.
【答案】（1）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得極大值，沒有極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得極小值，沒有極大值；（3）切線在軸上的截距的取值范圍是.
【解析】
經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)， 是上的單調(diào)減函數(shù)，
又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）由，得，
①當(dāng)時(shí)，有； ，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在取得極大值，沒有極小值．
②當(dāng)時(shí)，有； ，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在取得極小值，沒有極大值．
綜上可知: 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得極大值，沒有極小值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得極小值，沒有極大值．
（3）設(shè)切點(diǎn)為，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
當(dāng)時(shí)，切線的方程為，其在軸上的截距不存在．
當(dāng)時(shí)，令，得切線在軸上的截距為

，
令， ，考慮函數(shù)，則，
列表如下：












↗ 極大值 ↘ ↘ 極小值 ↗
所以．
故切線在軸上的截距的取值范圍是
3. 設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）證明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析．
【解析】
試題解析：（Ⅰ）．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
因此，． ………4分
當(dāng)時(shí)，將變形為．
令，則是在上的最大值，，，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為．
令，解得（舍去），．
（?。┊?dāng)時(shí)，在內(nèi)無極值點(diǎn)，，，，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，知．
又，所以．
綜上，．　　　………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，所以.
當(dāng)時(shí)，，所以.
4. (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；
(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．
【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.
【解析】
且僅當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，
所以
（II）
由（I）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意
因此，存在唯一使得即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
因此在處取得最小值，最小值為
于是，由單調(diào)遞增
所以，由得
因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的
使得所以的值域是
綜上，當(dāng)時(shí)，有，的值域是
5. 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
（1）求，的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間.
【答案】（Ⅰ），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)，，求，的值；
（2）由題意知判斷，即判斷的單調(diào)性，知，即，由此求得的單調(diào)區(qū)間.
試題解析：（1）因?yàn)椋?
依題設(shè)，即
解得；（2）由（Ⅰ）知.
由即知，與同號(hào).
令，則.
所以，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
故是在區(qū)間上的最小值，
從而.
綜上可知，，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.
6. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；
（Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，<0，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，>0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）.
【解析】
，的解不易確定，因此結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論，縮小的范圍，設(shè)=，并設(shè)=，通過研究的單調(diào)性得時(shí)，，從而，這樣得出不合題意，又時(shí)，的極小值點(diǎn)，且，也不合題意，從而，此時(shí)考慮得，得此時(shí)單調(diào)遞增，從而有，得出結(jié)論．
試題解析：（I）
<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.
由=0，有.
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，<0，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，>0，單調(diào)遞增.
（II）令=，=.
則=.
而當(dāng)時(shí)，>0，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
又由=0，有>0，
從而當(dāng)時(shí)，>0.
當(dāng)，時(shí)，=.
故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí)，必有.
當(dāng)時(shí)，>1.
由（I）有,從而，
所以此時(shí)>在區(qū)間內(nèi)不恒成立.
當(dāng)時(shí)，令，
當(dāng)時(shí)，，
因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， ，即 恒成立.
綜上，．
7. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（2）令是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且滿足求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，使成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）（3）.
【解析】
，則，即恒成立，即在上單調(diào)遞增，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：在恒成立.最后利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，求參數(shù).（3）不等式有解問題與恒成立問題一樣，先利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，的最大值，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，這要用到二次求導(dǎo)，才可確定函數(shù)單調(diào)性：在上單調(diào)遞增，進(jìn)而確定函數(shù)最值
試題解析：解（1），令，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
的最小值為； ………………………1分
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，
的最小值為.
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. …………………3分
（2）,對(duì)于任意的，不妨取，則,
則由可得，
變形得恒成立， ………………………5分
令，
則在上單調(diào)遞增，
故在恒成立， ………………………7分
在恒成立.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，
. ………………………10分
（3），
.
，，使得成立.
令，則， ………………………12分
令，則由 可得或（舍）
當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增.
在上恒成立.
在上單調(diào)遞增.
，即. ………………………15分
實(shí)數(shù)的最大值為. ………………………16分
8. 已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)使得，若存在求出，否則說明理由；
（3）若存在不等實(shí)數(shù)，，使得，證明：．
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）不存在（3）詳見解析
【解析】
（3）為研究方便不妨設(shè)，，則需證明，構(gòu)造函數(shù)，可證在上單調(diào)增，即，因此，而在上遞減，即
試題解析：解：（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）不存在正實(shí)數(shù)使得成立，
事實(shí)上，由（1）知函數(shù)在上遞增，
而當(dāng)，有，在上遞減，有，
因此，若存在正實(shí)數(shù)使得，必有．
令，
令，因?yàn)椋?，所以為上的增函?shù)，所以，即，
故不存在正實(shí)數(shù)使得成立．
（3）若存在不等實(shí)數(shù)，，使得，則和中，必有一個(gè)在，另一個(gè)在，不妨設(shè)，．
①若，則，由（1）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；
②若，由（2）知：當(dāng)，則有，
而，所以，即，
而，，由（1）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴，即有，
由（1）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；
綜合①，②得：若存在不等實(shí)數(shù)，，使得，則總有．
9. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是和（），求證：.
【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）詳見解析（3）詳見解析
【解析】
最小值.因?yàn)?()－(bx1－bx2)＋ln，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個(gè)根，所以bx=2x2＋1，bx1－bx2=2（）；再由x1x2＝得－－ln(2)，最后根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定x2取值范圍：x2∈(1，＋∞)，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間(2，＋∞)單調(diào)遞增，即φ(t)＞φ(2)＝－ln2，
試題解析：（1）因?yàn)閍＝b＝1，所以f(x)＝x?2－x＋lnx，
從而f ′(x)＝2x?－1＋ ．
因?yàn)閒(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y－0＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0． …………………… 3分
（2）因?yàn)閎＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，
從而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0． ………… 5分
當(dāng)a≤0時(shí)，x∈(0，1)時(shí)，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)＜0，
所以，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．…………………… 7分
當(dāng)0＜a＜時(shí)，
由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，
所以f(x)在區(qū)間(0，1)和區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＝時(shí)，
因?yàn)閒 ′(x)≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)），
所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞時(shí)，
由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，
所以f(x)在區(qū)間(0，)和區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減．
…………………… 10分
（3）方法一：因?yàn)閍＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，從而f ′(x)＝ (x＞0)．
由題意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個(gè)根，故x1x2＝．
記g(x) ＝2x2－bx＋1，因?yàn)閎＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，
所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2＋1 (i＝1，2)． …………………… 12分
f(x1)－f(x2)＝()－(bx1－bx2)＋ln＝－()＋ln．
因?yàn)閤1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝－－ln(2)，x2∈(1，＋∞)． ……………… 14分
令t＝2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－lnt．
因?yàn)棣铡?t)＝≥0，所以φ(t)在區(qū)間(2，＋∞)單調(diào)遞增，
所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2． …………………… 16分
方法二：因?yàn)閍＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，從而f ′(x)＝ (x＞0)．
由題意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的兩個(gè)根．
記g(x) ＝2x2－bx＋1，因?yàn)閎＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，
所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在[x1，x2]上為減函數(shù)． …………………… 12分
所以f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)＝(－＋ln)－(1－b)＝－＋－ln2．
因?yàn)閎＞3，故f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2． …………………… 16分
10. 已知函數(shù)．
(1) 求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2) 當(dāng)時(shí)，的最小值是，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1) 時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)
【解析】
試題解析：(1) ………………………………………2分
時(shí)，在上恒成立，
則的單調(diào)遞減區(qū)間為， ………………………………………4分
時(shí)，令得：，
則的單調(diào)遞減區(qū)間為． ………………………………………6分
①時(shí)，在上單調(diào)遞減，
，無解 ………………………………………8分
②時(shí)， 在上單調(diào)遞增，，
解得：，適合題意； ………………………………………12分
③時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，解得：，舍去；
綜上：． ………………………………………14分
11. 已知函數(shù)，，．
（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)，處的切線分別為，，若，，且，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是（2）（3）
【解析】
，無零點(diǎn)，單調(diào)減；當(dāng)，有一個(gè)零點(diǎn)，列表分析得在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；最后綜合函數(shù)圖像得函數(shù)單調(diào)區(qū)間（2）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，即，因此轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值：當(dāng)，時(shí)，，求其定于區(qū)間上零點(diǎn)為1，列表分析函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值，即最值，最后解不等式得負(fù)數(shù)的取值范圍；（3）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，由分段點(diǎn)可確定，而需分類討論：若，則；若，則，分別代入，探求實(shí)數(shù)的解的情況：，，先求出的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值
試題解析：函數(shù)求導(dǎo)得
（1）當(dāng)，時(shí)，
①若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減；
②若，則，令，解得或（舍去），
若，則，在上單調(diào)遞減；
若，則，在上單調(diào)遞增；
綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．
（2）當(dāng)，時(shí)，，而，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
所以函數(shù)在上的最小值為，
所以恒成立，解得或（舍去），
又由，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（3）由知，，而，則，
若，則，
所以，解得，不合題意，
故，則，
整理得，
由，得，令，則，，
所以，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
所以函數(shù)的最小值為，
故實(shí)數(shù)的最小值為．
12. 已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若在上恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1) (2) 詳見解析(3)
【解析】
，先求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)兩個(gè)零點(diǎn)大小分類討論：時(shí)，，；時(shí)，；時(shí)，
試題解析：：(1)當(dāng) 時(shí)，， …………2分
…………3分
所以，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為
即： …………4分
(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)椋?
…………6分
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在和上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，令，即：，
，
所以，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． …………10分
(Ⅲ)因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?
在上恒成立．
所以，令，
則．
令則
若，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又
所以，在上恒成立；
若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
所以，在上的最小值為，
因?yàn)樗圆缓项}意．
即時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，在上的最小值為
又因?yàn)?，所以恒成?
綜上知，的取值范圍是． …………16分
13. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在上的最大值是，求的值；
（3）記,當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，總有
成立，試求的最大值.
【答案】(1)增區(qū)間；減區(qū)間；(2)；(3).
【解析】
（2）①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù); 故在上的最大值是 ,顯然不合題意. ②若, 即時(shí), ,則在上是增函數(shù)，故在上的最大值是 ,不合題意，舍去.
③ 若, 即時(shí)，在上是增函數(shù) ，在上是減函數(shù)，故在上的最大值是 , 解得，符合. 綜合①、②、③得: .
（3）, 則,當(dāng)時(shí)，,故時(shí)，當(dāng)在上是減函數(shù)，不妨設(shè)，則，故等價(jià)于，即，記
，從而在上為減函數(shù)，由得:
,故恒成立，，又
在上單調(diào)遞減，,.故當(dāng)時(shí)，的最大值為.
14. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）方程的根的個(gè)數(shù)能否達(dá)到3，若能，請(qǐng)求出此時(shí)的范圍，若不能，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）極小值，無極大值；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是；（3）不能，理由見解析．
【解析】
所以時(shí)，有極小值為，無極大值．
15. 已知函數(shù)．
（Ⅰ）若,求在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：不等式對(duì)一切的恒成立．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，當(dāng)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅲ）證明見解析．
【解析】
16. 已知函數(shù)．
(I)討論的單調(diào)性；
(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】：
17. 已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若,在區(qū)間恒成立,求a的取值范圍．
【解析】：
18. 已知函數(shù) f (x) = +ax
若 f (x) 在 x =0處取極值，求a的值，
討論 f(x) 的單調(diào)性，
證明 ，( e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), )
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞減；（3）證明如下.
【解析】
試題分析：（1）本小題利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，構(gòu)建關(guān)于a的方程即可；（2）本小題可得，其中，所以關(guān)鍵判斷的符號(hào)，對(duì)a分如下幾類討論：，，，確定的符號(hào)進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；（3）本小題利用（2）中得到的不等式入手證明，注意利用對(duì)數(shù)的性質(zhì).

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