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淺談二階導數在解高考函數題中的應用

在歷年高考試題中，導數部分是高考重點考查的內容，在六道解答題中必有一題是導數題。這類題主要考察函數的單調性、求函數的極值與最值以及利用導數的有關知識解決恒成立、不等式證明等問題。解決這類題的常規解題步驟為：①求函數的定義域；②求函數的導數；③求的零點；④列出的變化關系表；⑤根據列表解答問題。
而在有些函數問題中，如含有指數式、對數式的函數問題，求導之后往往不易或不能直接判斷出導函數的符號，從而不能進一步判斷函數的單調性及極值、最值情況，此時解題受阻。若遇這類問題，則可試用求函數的二階導數加以解決。本文試以2010年全國高考試題為例，說明函數的二階導數在解高考函數題中的應用。
例1.（全國卷Ⅰ第20題）
已知函數.
若，求的取值范圍；
證明：.
原解答如下:
解（1）函數的定義域為（0，+∞）， ，
，
.
令

從而當時，，
故所求的范圍是[-1,+∞﹚.
證明(2)由(1)知,,則
時，；
.
綜上可知，不等式成立.
對于（2）的證明，雖然過程簡單，但思維難度大，對學生的觀察能力和代數式的變形能力要求較高。我們可以運用二階導數的方法加以證明：
證法二:令.
因

，
顯然當時，，
當時，，
在（0,1﹚遞減；
當時，，
的符號仍不能判定，求二階導數得
，
從而在時遞增，
，在[ 1,+∞﹚遞增，
所以當時，，
故成立，原不等式成立.
例題2（2010年高考數學全國卷Ⅱ（22）小題）
設函數．
（Ⅰ）證明：當時，；
（Ⅱ）設當時，，求的取值范圍．
（原解答略）在原解答第（Ⅱ）問的解答中，用到了放縮代換，對考生的數學素質和解題能力要求很高，極少有考生能達到那樣的要求.若用求二階導數求解，則別有一番天地.
（Ⅱ）解法二：由題設，
若，則當；
若.
令，
，
,
∵,
∴，
∴
即原不等式成立.
當
從而當
此時，
∴.
綜上可知，.
由以上兩個例子可以看出，當需要判定函數的單調性而求導之后不能直接判定導數的符號時（導函數中常含有指數或對數形式），常可以考慮用二階導數法。建議高三教師在高考數學復習時，對學生適當加以針對此類題型的指導、訓練。
針對訓練：
1、（2010年新課標全國卷第（21）題）：
設函數。
（1）若，求的單調區間；
（2）若當時，求的取值范圍
2、（2008年湖南高考題改編）：
已知函數，求函數的單調區間。
參考答案：
1、解：（1）略.
（2）.
①當
從而
∴，
②
∴
∴
∴,不合題意.
綜上可知
2、解：的定義域是.
（1）
.
設
則.
.
當
當時，
所以
函數上是減函數.
當
當.
所以，函數的單調遞增區間是，遞減區間是.

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