資源簡(jiǎn)介

導(dǎo)數(shù)利器——30個(gè)導(dǎo)數(shù)與三角混合問(wèn)題
1．已知函數(shù)false．
（1）當(dāng)false時(shí)，判斷false在false，false上的單調(diào)性并加以證明；
（2）若false，false，求false的取值范圍．
解析：（1）當(dāng)false時(shí)，false在在false，false上的單調(diào)增，證明如下：
false，
設(shè)false，則false，
當(dāng)false時(shí)，false，false，
false，
故false在false，false上單調(diào)遞增，false，
即false，所以false在false，false上單調(diào)遞增；
（2）由題意得false，
令false，則false，
令false，則false，
當(dāng)false時(shí)，false，故false在false，false上單調(diào)遞增，
所以false在false，false上單調(diào)遞增，false，
①當(dāng)false即false時(shí)，false恒成立，false單調(diào)遞增，即false單調(diào)遞增，且false
所以false，false在false，false上單調(diào)遞增，
②當(dāng)false時(shí)，false，令false，false，
則false恒成立，
所以false在false上單調(diào)遞增，false即false，
false，
又false在false上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)判定定理可得，存在唯一的實(shí)數(shù)false，使得false，
當(dāng)false，false
false，false單調(diào)遞減即false單調(diào)遞減，false，
此時(shí)false在false上遞減，false，不合題意，舍去．
綜上，false的范圍false
2．已知函數(shù)false（其中false為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）證明：對(duì)任意的false都有false；
（2）設(shè)false，false
false若存在false，false，使得不等式false成立，求實(shí)數(shù)false的取值范圍；
false求函數(shù)false的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
解析（1）證明：false，
當(dāng)false時(shí)，false，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)false時(shí)，false，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)false時(shí)，函數(shù)取得最小值false，
所以false恒成立；
（2）解：false存在false，false，使得不等式false成立等價(jià)于false，
因?yàn)閒alse，false，
false，
false，false，且false恒成立，
所以false，false，
所以false即false在false上單調(diào)遞減，false，
false，
false，false，
①當(dāng)false時(shí)，由false知，false單調(diào)遞減，且false，
所以false在false時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)，
②當(dāng)false時(shí)，由（1）false，false，
所以false即false，沒(méi)有零點(diǎn)；
③當(dāng)false時(shí)，false，即false單調(diào)遞減，
又false，false，
所以false有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上false的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
3．已知函數(shù)false．
（1）求函數(shù)false的最小值；
（2）若函數(shù)false在false上有兩個(gè)零點(diǎn)false，false，且false，求證：false．
解析：（1）由于函數(shù)false為偶函數(shù)，要求函數(shù)false的最小值，只需求false，false時(shí)false的最小值即可．
因?yàn)閒alse，
所以，當(dāng)false時(shí)，設(shè)false，false，顯然false單調(diào)遞增，而false，false，由零點(diǎn)存在定理，存在唯一的false，使得false，false分
當(dāng)false，false，false單減，當(dāng)false，false，false，false單增，而false，
false，false，false，即false，false，false單減，false分
又當(dāng)false，false，false，false，false單增，所以false；false分
（2）只需證false，其中false，false，false，
構(gòu)造函數(shù)false，false，
false，即false單增，
所以，false，即當(dāng)false時(shí)，
false，
而false，
所以，false，又false，即false，
此時(shí)false，false，false，由第（1）問(wèn)可知，false在false，false上單增，所以，false，false，即證
4．已知函數(shù)false．
（1）若false，false，false恒成立，求正數(shù)false的取值范圍；
（2）求證false在false上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)．
解析：（1）令false，則false，false在false上恒成立，
所以false在false，false上單調(diào)遞增，且false，
①當(dāng)false時(shí)，false，即false單調(diào)遞增，且false，
所以false，滿足題意；
②當(dāng)false時(shí)，false，所以存在false使得false，
當(dāng)false時(shí)，false，false單調(diào)遞減，此時(shí)false，不符合，
綜上可得，false，
證明：（2）令false，false，
①false時(shí)，false，故此時(shí)false單調(diào)遞增，false，
從而此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)，
②false時(shí)，false，故此時(shí)false單調(diào)遞增，false，false，
所以存在false使得false，此時(shí)false有一個(gè)極值點(diǎn)；
③false時(shí)，false，此時(shí)false單調(diào)遞增，且false，false，
所以存在false使得false即false，
故false在false上單調(diào)遞減，在false，false上單調(diào)遞增，
又false，false，
false，
所以存在false使得false，故false在false上有一個(gè)極大值．
綜上，false在false上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)．
5．已知函數(shù)false，函數(shù)false，false，false．
（1）討論false的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)false時(shí)，false．
（3）證明：false．
解析：（1）函數(shù)false的定義域false，false，
當(dāng)false，false時(shí)，false，則false在false上單調(diào)遞增；
當(dāng)false，false時(shí)，由false可得false，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令false可得false，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)false，false時(shí)，false，函數(shù)在false單調(diào)遞減，
當(dāng)false，false時(shí)，由false可得false，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令false可得false，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
（2）當(dāng)false時(shí)，false，
由（1）知，false（1）false，
所以false，
（3）因?yàn)閒alse，所以false，
由（2）可得false，
即false，
又false．
false，
即false．
6．已知函數(shù)false，false．
（1）當(dāng)false時(shí)，總有false，求false的最小值．
（2）對(duì)于false，false中任意false恒有false，求false的取值范圍．
解析：（1）令false，
則false，false，
false在false，false上單調(diào)遞增，且false，
若false，false在false，false上單調(diào)遞增，
false，
即false滿足條件，
若false，false，false存在單調(diào)遞減區(qū)間false，false，又false
所以存在false使得false與已知條件矛盾，所以false，false的最小值為1．
（2）由（1）知false，如果false，則必有false成立．
令false，則false，
false，則false，false，false．
若false，必有false恒成立，故當(dāng)false時(shí)，false恒成立，
下面證明false時(shí)，false不恒成立．
令false，false，
當(dāng)false時(shí)，false，false在區(qū)間false，false上單調(diào)遞增，
故false，即false，故false．
false，
令false，false，
所以false在false，false上單調(diào)遞增，false，則一定存在區(qū)間false（其中false，當(dāng)false時(shí)，false，
則false，故false不恒成立．
綜上所述：實(shí)數(shù)false取值范圍是false，false．
7．已知函數(shù)false．false是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求false的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)false，證明false在false上只有兩個(gè)零點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：false
解析：（1）false，定義域?yàn)閒alse．
由false得false，解得false．
false的單調(diào)遞減區(qū)間為false．
（2）false，false．
false，false當(dāng)false時(shí)，false；當(dāng)false時(shí)，false．
false在false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減，
又false，false，false，
false在false上圖象大致如右圖．
falsefalse，false，使得false，false，
且當(dāng)false或false，false時(shí)，false；當(dāng)false，false時(shí)，false．
false在false和false，false上單調(diào)遞減，在false，false上單調(diào)遞增．
false，false．
falsefalse，false，
又false，由零點(diǎn)存在性定理得，false在false，false和false，false內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，
false函數(shù)false在false上有兩個(gè)零點(diǎn)．false（12分）
8．已知函數(shù)false．
（1）證明：當(dāng)false時(shí)，false有最小值，無(wú)最大值；
（2）若在區(qū)間false上方程false恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求false的取值范圍，
解析：（1）false時(shí)，false，false，false，
當(dāng)false，false，false，false，則false；
當(dāng)false，false，false，false，則false；
即當(dāng)false，false；
false在false時(shí)單調(diào)遞增，
falsefalse，false，
存在false，使得false，
則當(dāng)false，false，false單調(diào)遞減；
當(dāng)false，false，false單調(diào)遞增；
故false有最小值false，無(wú)最大值；
（2）若在區(qū)間false上方程false恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
則false在區(qū)間false上恰有一實(shí)根，
則函數(shù)false與false在區(qū)間false上恰有一交點(diǎn)，
因?yàn)閒alse，false，
令false，解之得false，或false，
當(dāng)false，false，false，false時(shí)，false；當(dāng)false，false時(shí)，false；
則false在false，false上單調(diào)遞增，在false，false上單調(diào)遞減，在false，false上單調(diào)遞增，
即極大值為false，極小值false，false，false，
因?yàn)楹瘮?shù)false與false在區(qū)間false上恰有一交點(diǎn)，
false，false．
9．已知函數(shù)false．
（1）當(dāng)false時(shí)，求false的單調(diào)區(qū)間；
（2）若false為false的極小值點(diǎn)，求false的取值范圍．
解析：（1）false時(shí)，false，
false，顯然false．
當(dāng)false時(shí)，false，false，false．
當(dāng)false時(shí)，false，因?yàn)閒alse，false，故false，
false在false上遞增，故false時(shí)，false．
所以false的增區(qū)間為false，false，減區(qū)間為false．
（2）false，false．
顯然false，下面研究false附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．
false，且false連續(xù)且可導(dǎo)．
①當(dāng)false，即false時(shí)，false必存在區(qū)間false，false，使得false；在區(qū)間false上，false．
所以此時(shí)false是原函數(shù)的極大值點(diǎn)；
②當(dāng)false，即false時(shí)，false必存在區(qū)間false，false，使得false，在區(qū)間false上，false，
所以此時(shí)false是原函數(shù)的極小值點(diǎn)；
③當(dāng)false，即false時(shí)，false．false．
false，false，
false，此時(shí)false，
false存在區(qū)間false使得false；在false上false．
false在false上false遞減，在false上false遞增．
所以在false上false，且只在false處，false．
故在區(qū)間false上，false是增函數(shù)，故在false左側(cè)附近false，右側(cè)附近false．
故此時(shí)false是原函數(shù)的極小值點(diǎn)．
綜上，若false為false的極小值點(diǎn)，false的取值范圍為false．
10．已知函數(shù)false是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求false的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記false，若false，試討論false在false上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)false
解析：（1）false的定義域?yàn)閒alse，false，
由false，得false，解得false，
false的單調(diào)遞減區(qū)間false，false，
（2）由已知得false，false，令false，則false，
false，false時(shí)，false，false，false時(shí)，false，
false在false上單調(diào)遞增，在false，false上單調(diào)遞減．
false，false，
①當(dāng)false，即false時(shí)，false，false，
false，false，使得false，
false當(dāng)false，false，
當(dāng)false，false時(shí)，false，
false在false上單調(diào)遞增，在false，false單調(diào)遞減；
false，false，
又false，false由零點(diǎn)存在定理得，此時(shí)false在false上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
②若false時(shí)，false，
又false，false上單調(diào)遞增，在false，false上單調(diào)遞減，又false，
false，false，false，使得false，false，
且當(dāng)false、false，false時(shí)，false，當(dāng)false，false時(shí)，false，
false在false和false，false上單調(diào)遞減，在false，false單調(diào)遞增．
false，false，false，false，又false，
由零點(diǎn)存在定理可得，false在false，false和false，false內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，
即此時(shí)false在false上有兩個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)false時(shí)，false在false上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)false時(shí)，false在false上有兩個(gè)零點(diǎn)．
11．設(shè)函數(shù)false，false是函數(shù)false的導(dǎo)數(shù)．
（1）若false，證明false在區(qū)間false上沒(méi)有零點(diǎn)；
（2）在false上false恒成立，求false的取值范圍．
解析：（1）證明：若false，則false，則false，
設(shè)false，則false，false，
且false，故函數(shù)false為奇函數(shù)，
當(dāng)false時(shí)，false，false，這時(shí)false，
又函數(shù)false為奇函數(shù)，
false當(dāng)false時(shí)，false，
綜上，當(dāng)false時(shí)，false單調(diào)遞增，當(dāng)false時(shí)，false單調(diào)遞減，
又false，故false在false上恒成立，
false在false上沒(méi)有零點(diǎn)；
（2）false，由false，false可知，false恒成立，
若false，則false恒成立，
記false，
則false，
故當(dāng)false時(shí)，false，false單調(diào)遞增，又false，
false當(dāng)false時(shí)，false，符合題意；
當(dāng)false時(shí)，有false，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)false時(shí)，令false，則false，
又false，故false在false上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，設(shè)最小的零點(diǎn)為false，則當(dāng)false時(shí)，false，因此false在false上單調(diào)遞增，
故當(dāng)false時(shí)，false，故false，
于是，當(dāng)false時(shí)，false，得false，與題設(shè)矛盾．
綜上，實(shí)數(shù)false的取值范圍為false．
12．已知函數(shù)false，false，
（1）判斷函數(shù)false在區(qū)間false上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）記函數(shù)false在區(qū)間false上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為false，false，求證：false．
解析：（1）false，false，
當(dāng)false時(shí)，false，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)false時(shí)，false，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)false時(shí)，false，函數(shù)單調(diào)遞增，且false，false，false，false，false，
故函數(shù)false在false，false上不存在零點(diǎn)，
存在false，使得false，同理false使得false
綜上，false在區(qū)間false上的零點(diǎn)有2個(gè)，
（2）false，
由（1）可得，false在區(qū)間false，false上存在零點(diǎn)，
所以false在false，false上存在極值點(diǎn)false，false，false，
又因?yàn)閒alse在false上單調(diào)遞減，則false，
false即false，
又因?yàn)閒alse，即false，
false，
又false，
falsefalse即false，
false，
false，false，false，
由false在false上單調(diào)遞增可得false．
false
再由false在false上單調(diào)遞減，得false，
false，
所以false．
13．已知函數(shù)false．
（1）當(dāng)false時(shí)，求false的最小值；
（2）若false，false時(shí)，false，求實(shí)數(shù)false的取值范圍．
解析：（1）false，
false當(dāng)false時(shí)，false，當(dāng)false時(shí)，false，
false當(dāng)false，false時(shí)，false的極小值為false，
當(dāng)false時(shí)，false，
false當(dāng)false時(shí)，false的最小值為false；
（2）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為false，false，false，設(shè)false，則false，
令false，則false，
當(dāng)false時(shí)，false，false單調(diào)遞增，當(dāng)false時(shí)，false，false單調(diào)遞減，
false在false，false先增后減，
又false，
①當(dāng)false，即false時(shí)，false，false，false，
false單調(diào)遞減，又false，則false，不合題意；
②當(dāng)false，即false時(shí)，
false若false，false，則一定存在false，使得false，
false在false單調(diào)遞增，在false單調(diào)遞減，
則false，解得false，而false，故false；
false若false，false，則false在false，false上單調(diào)遞增，且false，則false在false，false上恒成立，
此時(shí)false，解得false；
false若false，則false，
false存在false，使得false，
false在false 上單調(diào)遞減，又false，
false時(shí)，false，不合題意．
綜上，實(shí)數(shù)false的取值范圍為false，false．
14．已知函數(shù)false．
（1）判斷函數(shù)false在false上的單調(diào)性；
（2）若false，求證：當(dāng)false時(shí)，false．
解析：（1）依題意，false，
令false，則false，
故當(dāng)false時(shí)，false，當(dāng)false時(shí)，false．
故false，故false在false上恒成立，
故false，
即函數(shù)false在false上單調(diào)遞減．
（2）證明：依題意，false．
下面證明：①當(dāng)false時(shí)，false；②當(dāng)false時(shí)，false；
事實(shí)上，false，則false，所以false在false上單調(diào)遞增，
故false，則false，
又false，false，則false①；
令false，則false．
由false，得false的極小值點(diǎn)為false，
若false，則false，
則false，故false，
若false，即false，則false在false上單調(diào)遞減，故false．
綜上所述，當(dāng)false時(shí)，false②；
由①②得：false，即false，證畢．
15．已知函數(shù)false．
（Ⅰ）求函數(shù)false的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)false時(shí)，對(duì)任意false，false，證明：false．
【解析】：false函數(shù)的定義域false，false，false，
設(shè)false，則false，
所以false在false，false上單調(diào)遞增，
所以false，
所以false，false，
所以false的單調(diào)遞增區(qū)間false，false，
false由false可知false，
即false，即false，
因?yàn)閒alse，
所以false，
falsefalse①，
false知，false，
false，false②，
由①②知，要證原不等式，知false即false，
設(shè)false，則false，
設(shè)false，則false，
false，則false，
則false在false，false上單調(diào)遞增，false，
即false，
故false在false，false上單調(diào)遞增，故false，
所以false，
故false．
16．已知函數(shù)false是false的導(dǎo)數(shù)．
（1）當(dāng)false時(shí)，令false，false為false的導(dǎo)數(shù)，證明：false在區(qū)間false存在唯一的極小值點(diǎn)；
（2）已知函數(shù)false在false上單調(diào)遞減，求false的取值范圍．
【解析】：：（1）false時(shí)，false，false，false，
令false，則false，
當(dāng)false時(shí)，false單調(diào)遞增，且false（1）false，false，
故false在false上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為false，
當(dāng)false時(shí)，false，false單調(diào)遞減，當(dāng)false時(shí)，false，false單調(diào)遞增，
故false在false上有唯一的極小值點(diǎn)即false在false上有唯一的極小值點(diǎn)，
（2）設(shè)false，false，false，
所以false在false上單調(diào)遞增，false，即false，從而false，
因?yàn)閒alse在false上單調(diào)遞減，
所以false在false上恒成立，
令false，則false，
所以false在false上單調(diào)遞減，false，
當(dāng)false時(shí)，false，false在false上單調(diào)遞減，false，符合題意；
當(dāng)false時(shí)，false在false上單調(diào)遞減，且false，所以一定存在false，
當(dāng)false時(shí)，false即false在false，false上單調(diào)遞增，false與題意不符合，舍去．
故false的范圍false，false．
17．已知函數(shù)false，false是false的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若false，當(dāng)false時(shí)，函數(shù)false在false有唯一的極大值，求false的取值范圍．
（2）若false，false，試研究false的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】：：（1）當(dāng)false時(shí)，false，
則false在false上是減函數(shù)，且false，
①當(dāng)false時(shí)，false恒成立，false在false上是增函數(shù)，無(wú)極值；
②當(dāng)false時(shí)，存在false使得false，且false，false，false單增，false單減，
故false為false唯一極大值點(diǎn)，符合題意；
綜上，實(shí)數(shù)false的取值范圍為false；
（2）依題意，false，false，false，可知，
false，false時(shí)，false，無(wú)零點(diǎn)；故只需研究false，false，
false時(shí)，false，可知此時(shí)false單減，又false，
故存在唯一的false，使得false；
false當(dāng)false時(shí)，false是減函數(shù)，且false，
則存在false，則false在false是增函數(shù)，在false是減函數(shù)，并且false，
故存在false，false，存在false，且false在false是減函數(shù)，在false，false是增函數(shù)，在false是減函數(shù)，
又因?yàn)閒alse，故存在false，使得false，存在false，使得false；
綜上所述，false有3個(gè)零點(diǎn)．
18．已知函數(shù)false，其中false．
（1）求證：當(dāng)false時(shí)，false無(wú)極值點(diǎn)；
（2）若函數(shù)false，是否存在false，使得false在false處取得極小值？并說(shuō)明理由．
【解析】：（1）證明：false，顯然false，false，
當(dāng)false時(shí)，false，即false，
false函數(shù)false在其定義域上為增函數(shù)，故false無(wú)極值點(diǎn)；
（2）解：false，false，
顯然false是false的極小值點(diǎn)的必要條件為false，即false，
此時(shí)false，
顯然當(dāng)false時(shí)，false，
當(dāng)false時(shí)，false，故false，
令false，則false，故false是減函數(shù)，
故當(dāng)false時(shí)，false，即false，
令false，則false，當(dāng)false時(shí)，false，故false在false單調(diào)遞增，
故當(dāng)false時(shí)，false，即false，
故當(dāng)false時(shí)，
false，
因此，當(dāng)false時(shí)，false是false的極小值點(diǎn)，即充分性也成立．
綜上，存在false，使得false在false處取得極小值．
19．設(shè)函數(shù)false．
（1）討論函數(shù)false在false，false上的單調(diào)性；
（2）證明：函數(shù)false在false上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．
【解析】：（1）解：false，
false，
false為偶函數(shù)．
false，
false當(dāng)false，false時(shí)，false，當(dāng)false，false時(shí)，false，
false在區(qū)間false，false上單調(diào)遞減，在區(qū)間false，false單調(diào)遞增；
又false為偶函數(shù)．
false在區(qū)間false，false單調(diào)遞減，在區(qū)間false，false上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)false，false，false，false，false單調(diào)遞減；當(dāng)false，false，false，false，false單調(diào)遞增；
（2）證明：false函數(shù)false為false上的偶函數(shù)，
要證明函數(shù)false在false上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
只需證明false在false上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)false，令false，即false，即false．
令false，
false，且false．
則false，
當(dāng)false時(shí)，false，false，false時(shí)，false，
false在區(qū)間false上單調(diào)遞增，在區(qū)間false，false單調(diào)遞減，
false，false，
false與false在false上有一個(gè)交點(diǎn)．
在同一坐標(biāo)系中作出false與false的圖象，
false
由圖可知，當(dāng)false為兩函數(shù)的第一象限的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）時(shí)，false的圖象恒在false圖形的上方，
false在false上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)false為false上的偶函數(shù)，
false函數(shù)false在false上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．
20．已知函數(shù)false．
①當(dāng)false時(shí)，證明：false；
②若false在false，false有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求false的范圍．
【解析】：：①證明：當(dāng)false時(shí)，false，
令false，則false，
當(dāng)false時(shí)，false，當(dāng)false時(shí)，false，
false（1）false，故false，即false，即得證．
②依題意，方程false在false上只有一個(gè)解，記false，false，則函數(shù)false與false的圖象在false上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
又false在false上恒成立，故函數(shù)false在false上單調(diào)遞增，
false當(dāng)false時(shí)，函數(shù)false在false單調(diào)遞增，在false單調(diào)遞減，且false，如圖，
顯然，此時(shí)滿足函數(shù)false與false的圖象在false上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
false當(dāng)false時(shí)，false，顯然在false上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)false，符合題意；
false當(dāng)false時(shí)，函數(shù)false在false單調(diào)遞減，在false單調(diào)遞增，且false，如圖，
要使函數(shù)false與false的圖象在false上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，只需false，即false，即false，又false，故false；
綜上，實(shí)數(shù)false的取值范圍為false．
21．已知函數(shù)false．
（Ⅰ）求false在點(diǎn)false，false處的切線方程；
（Ⅱ）求證：false在false上存在唯一的極大值；
（Ⅲ）直接寫(xiě)出函數(shù)false在false上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】：false，false，
false，
故false在點(diǎn)false，false處的切線方程為false，
即：false；
false證明：false，false
false，故false在false遞減，
又false，false，
由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一一個(gè)零點(diǎn)false，false，
當(dāng)false時(shí)，false遞增；當(dāng)false時(shí)，false遞減，
故false在false只有唯一的一個(gè)極大值；
false函數(shù)false在false有3個(gè)零點(diǎn)．
22．已知函數(shù)false，證明：
（1）false在區(qū)間false存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）false有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
【解析】：證明：（1）函數(shù)false，false，
false，
令false，false，
false，false函數(shù)false在false上單調(diào)遞減，
又false當(dāng)false時(shí)，false，而false，
false存在唯一false，使得false，
false當(dāng)false時(shí)，false，即false，函數(shù)false單調(diào)遞增；當(dāng)false，false時(shí)，false，即false，函數(shù)false單調(diào)遞減，
false函數(shù)false在區(qū)間false存在唯一極大值點(diǎn)false；
（2）由（1）可知，函數(shù)false在false上單調(diào)遞增，在false，false上單調(diào)遞減，
false是函數(shù)false的極大值點(diǎn)，且false，
false，
又false當(dāng)false時(shí)，false；false，
false在區(qū)間false內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間false，false上存在一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)false時(shí)，設(shè)false，則false，
false在false上單調(diào)遞減，false，
①當(dāng)false時(shí)，false，false當(dāng)false時(shí)，false，無(wú)零點(diǎn)，
②false時(shí)，false，又false，false當(dāng)false時(shí)，false，無(wú)零點(diǎn)，
false當(dāng)false時(shí)，false，false函數(shù)false在區(qū)間false內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，
false函數(shù)false有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
23．已知函數(shù)false．
（1）證明：false；
（2）當(dāng)false時(shí)，不等式false恒成立，求實(shí)數(shù)false的最大值和false的最小值．
【解析】：：（1）當(dāng)false，false時(shí)，false，false，
當(dāng)false，false時(shí)，false，則false，
當(dāng)false，false時(shí)，false，則false，
則當(dāng)false，false時(shí)，false，false在false，false上單調(diào)遞增，
false，又函數(shù)false為偶函數(shù)，
false對(duì)任意的false，false成立；
（2）false，
當(dāng)false時(shí)，false，即false；false，即false．
令false，則false，
當(dāng)false時(shí)，在false上，false，
false在false上為增函數(shù)，false，false；
當(dāng)false，在false上，false，
false在false上為減函數(shù)，false，false；
當(dāng)false時(shí)，存在唯一的false，使得false，
false當(dāng)false時(shí)，false；當(dāng)false時(shí)，false，
false在false上單調(diào)遞增，在false上單調(diào)遞減，false，
false當(dāng)false時(shí)，false，
當(dāng)且僅當(dāng)false，falsefalse，
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)false時(shí)，false在false上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)false時(shí)，false在false上恒成立，
false的最大值為false，false的最小值為1．
24．（1）證明函數(shù)false在區(qū)間false上單調(diào)遞增；
（2）證明函數(shù)false在false上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)false，且false．
【解析】：（1）求導(dǎo)，false，false，
因?yàn)閒alse，false，false，故false，
函數(shù)false在定義區(qū)間遞增；
（2）由false，
令false，false
當(dāng)false，由（1）得false，false遞減，
由false，false，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在唯一零點(diǎn)false，false，
當(dāng)false時(shí)，false，false遞增；
當(dāng)false，false時(shí)，false，false遞減，
當(dāng)false，false時(shí)，false，所以false遞減，
故false在false，false為減函數(shù)，
所以false有唯一的極大值點(diǎn)false，
由false在false，false遞減，得false，
又false，當(dāng)false時(shí)，false，false，
故false，
綜上，命題成立．
25．已知函數(shù)false，false，false是false的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若false，求false在false處的切線方程；
（2）若false在false上單調(diào)遞增，求false的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)false時(shí)false在區(qū)間false內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn)．
【解析】：：（1）當(dāng)false，false，false，又false，
所以false在false處的切線方程為false；
（2）由false，
所以false，
令false，false，則false，
因?yàn)閒alse，false，所以false，
false在false遞減，所以false，false；
（3）因?yàn)閒alse，
令false，false，false，
顯然false單調(diào)遞減，又false，
得false，
取false，則false，
故存在false，使得false，
false，false單調(diào)遞增，false單調(diào)遞減，
false為false的唯一極大值點(diǎn)，故命題成立．
26．設(shè)函數(shù)false（其中false，false，false為常數(shù)）
（1）當(dāng)false時(shí)，對(duì)false有false恒成立，求實(shí)數(shù)false的取值范圍；
（2）若曲線false在false處的切線方程為false，函數(shù)false的零點(diǎn)為false，求所有滿足false，false的整數(shù)false的和．
【解析】：：（1）當(dāng)false時(shí)，false，
所以false對(duì)任意的false都成立，
故false在false單調(diào)遞增，
所以false，
要使得對(duì)false有false恒成立，則false即false，
（2）因?yàn)閒alse，
所以false即false，又false，即false，
false，false，
顯然false不是false的零點(diǎn)，所以false可化為false，
令false，則false，
所以false在false，false上單調(diào)遞增，
又false（1）false，false（2）false，false，false
故false在false，false上各有1個(gè)零點(diǎn)，
所以false在false，false，false，false上各有1個(gè)零點(diǎn)，
所以false，false，false．
27．已知false．
（1）已知函數(shù)false在點(diǎn)false，false的切線與圓false相切，求實(shí)數(shù)false的值．
（2）當(dāng)false時(shí)，false，求實(shí)數(shù)false的取值范圍．
【解析】：：（1）由題知，false，false，
false在點(diǎn)false，false的切線斜率為false，
false在點(diǎn)false，false的切線方程為false，即false，
由題知，false，解得false．
（2）設(shè)false，false，
設(shè)false，false，
false當(dāng)false時(shí)，false，false，false，
false即false在false，false上是增函數(shù)，false，
當(dāng)false時(shí)，false，則當(dāng)false時(shí)，false，
false函數(shù)false在false，false上是增函數(shù)，
false當(dāng)false時(shí)，false，滿足題意，
當(dāng)false時(shí)，false，
false在false，false上是增函數(shù)，false趨近于正無(wú)窮大時(shí)，false趨近于正無(wú)窮大，
false存在false上，使false，
當(dāng)false時(shí)，false，false函數(shù)false在false是減函數(shù)，
false當(dāng)false時(shí)，false，不滿足題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)false的取值范圍為false，false．
28．已知函數(shù)false，其中false．
（1）試討論函數(shù)false的單調(diào)性；
（2）若false，試證明：false．
【解析】：證明：（1）false，false，
當(dāng)false時(shí)，false恒成立，故false在false上單調(diào)遞增，
當(dāng)false時(shí)，易得，當(dāng)false時(shí)，false，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)false時(shí)，false，函數(shù)單調(diào)遞增，
（2）當(dāng)false時(shí)，要證false，只需證false，
false當(dāng)false時(shí)，false，由false，故顯然成立；
false當(dāng)false時(shí)，令false，
false，
設(shè)false，false，
顯然false在false遞增，故false（1）false，
故false在false遞增，可得false（1）false，
由false，false在false遞增，
所以false（1）false，
綜上，false成立，
故原命題成立．
29．已知函數(shù)false．
（Ⅰ）討論false的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)false，且false，求證：false．
【解析】：：（Ⅰ）false的定義域?yàn)閒alse，false，
當(dāng)false時(shí)，false恒成立，false在false上單調(diào)遞減；
當(dāng)false時(shí)，由false解得false，
由false，解得false，
所以false在false上單調(diào)遞增，
在false，false上單調(diào)遞減．
當(dāng)false時(shí)，false在false單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)false時(shí)，false在false上單調(diào)遞減；
當(dāng)false時(shí)，false在false上單調(diào)遞增，
在false，false上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：當(dāng)false時(shí)，false，false，
則false在false上單調(diào)遞增．
設(shè)false，false，且false，則false，
即false，
所以false，可得false．
因?yàn)閒alse，所以false，
所以false，
即false．
因?yàn)閒alse，所以false，
所以false，false，false，false，
所以false．
綜上可得false，且false，
即false．
30．已知false．
（1）求false；
（2）設(shè)false，求證：false在false內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
（3）求證：當(dāng)false時(shí)，false．
【解析】：：（1）false，
false
false，
false
（2）false，
則false，false恒成立，
false在false上單調(diào)遞增．
falsefalse，false
false使得false，
false
false
false
false，false
false
false
0
false
false
false
極小值
false
false，false
false使false
由false單調(diào)性知false是false的小于零的唯一零點(diǎn)
false在false內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)
（3）false時(shí)，false在false單調(diào)遞增．
false，
false在false單調(diào)遞增，
false．

展開(kāi)更多......

收起↑