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詳解數列求和的常用方法
數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。
第一類：公式法
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。
1、等差數列的前項和公式
2、等比數列的前項和公式
3、常用幾個數列的求和公式
（1）、
（2）、
（3）、
第二類：乘公比錯項相減（等差等比）
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列的前n項和，其中，分別是等差數列和等比數列。
例1：求數列(為常數)的前項和。
解：Ⅰ、若=0，
則=0
Ⅱ、若=1，則
Ⅲ、若≠0且≠1，
則
①
②
①式—②式：
綜上所述：
解析：數列是由數列與對應項的積構成的，此類型的才適應錯位相減，（課本中的的等比數列前n項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行分類討論，最后再綜合成三種情況。
第三類：裂項相消法
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：
1、乘積形式，如：
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
2、根式形式，如：
例2：求數列，，，…，，…的前項和
解：∵=
例3：求數列，，，…，，…的前項和
解：由于：=）
則：
解析：要先觀察通項類型，在裂項求和時候，尤其要注意：究竟是像例2一樣剩下首尾兩項，還是像例3一樣剩下四項。
第四類：倒序相加法
這是推導等差數列的前項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到個。
例4：若函數對任意都有。
（1），數列是等差數列嗎？是證明你的結論；
（2）求數列的的前項和。
解：（1）、（倒序相加）
則，由條件：對任意都有。
從而：數列是的等差數列。
（2）、
=
=
故：=
解析：此類型關鍵是抓住數列中與首末兩端等距離的兩項之和相等這一特點來進行倒序相加的。
此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項相消法。在數列問題中，要學會靈活應用不同的方法加以求解。
第五類：分組求和法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。
例5：求數列{+}的前項和
解：令
令
①
②
①式—②式：
故：
例6：求數列{}的前項和
分析：將用完全平方和公式展開，再將其分為幾個數列的和進行求解。
解：===
（首項，公比等比數列）
（常數列）
（首項，公比等比數列）
Ⅰ、令
①時，=
②時，
=
Ⅱ、令
Ⅲ、令
①時，
②時，
===
==
=
綜上所述：
①時，
②時，
這個題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思想的應用。
第六類：拆項求和法
在這類方法中，我們先研究通項，通項可以分解成幾個等差或等比數列的和或差的形式，再代入公式求和。
例7：求數列9，99，999，…
的前n項和
分析：此數列也既不是等差數列也不是等比數列啟發學生先歸納出通項公式
可轉化為一個等比數列與一個常數列。分別求和后再相加。
解：由于：
則：
例8：=
解：由于：
則：=（等差+等比，利用公式求和）
=
=
解析：根據通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數列，然后再分別求和。
這篇文章中，有6類重要方法，8個典型例題，大部分常見數列的前n項和都可以求出來了，由于知識的不完備，在該類知識上還有些缺憾，在此希望這篇文章可以帶給學習數列的同

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