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函數對稱性、周期性和奇偶性規律
同一函數的周期性、對稱性問題(即函數自身)
周期性：對于函數，如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有都成立，那么就把函數叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數，就把這個最小的正數叫做最小正周期。
對稱性定義（略），請用圖形來理解。
對稱性：
我們知道：偶函數關于y（即x=0）軸對稱，偶函數有關系式
奇函數關于（0，0）對稱，奇函數有關系式
上述關系式是否可以進行拓展？答案是肯定的
探討：（1）函數關于對稱
也可以寫成 或
簡證：設點在上，通過可知，，即點上，而點與點關于x=a對稱。得證。
若寫成：，函數關于直線 對稱
（2）函數關于點對稱
或
簡證：設點在上，即，通過可知，，所以，所以點也在上，而點與關于對稱。得證。
若寫成：，函數關于點 對稱
（3）函數關于點對稱:假設函數關于對稱，即關于任一個值，都有兩個y值與其對應，顯然這不符合函數的定義，故函數自身不可能關于對稱。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會出現關于對稱，比如圓它會關于y=0對稱。
周期性：
（1）函數滿足如下關系系，則
A、 B、
C、或（等式右邊加負號亦成立）
D、其他情形
（2）函數滿足且，則可推出即可以得到的周期為2(b-a)，即可以得到“如果函數在定義域內關于垂直于x軸兩條直線對稱，則函數一定是周期函數”
（3）如果奇函數滿足則可以推出其周期是2T，且可以推出對稱軸為，根據可以找出其對稱中心為（以上）
如果偶函數滿足則亦可以推出周期是2T，且可以推出對稱中心為，根據可以推出對稱軸為 （以上）
（4）如果奇函數滿足（），則函數是以4T為周期的周期性函數。如果偶函數滿足（），則函數是以2T為周期的周期性函數。
定理3：若函數在R上滿足，且（其中），則函數以為周期.
定理4：若函數在R上滿足，且（其中），則函數以為周期.
定理5：若函數在R上滿足，且（其中），則函數以為周期.
兩個函數的圖象對稱性
與關于X軸對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。
與關于Y軸對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。
與關于直線對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。
與關于直線對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。
關于點(a,b)對稱。
換種說法：與若滿足，即它們關于點(a,b)對稱。
與關于直線對稱。
函數的軸對稱：
定理1：如果函數滿足，則函數的圖象關于直線對稱.
推論1：如果函數滿足，則函數的圖象關于直線對稱.
推論2：如果函數滿足，則函數的圖象關于直線（y軸）對稱.特別地，推論2就是偶函數的定義和性質.它是上述定理1的簡化.
函數的點對稱：
定理2：如果函數滿足，則函數的圖象關于點對稱.
推論3：如果函數滿足，則函數的圖象關于點對稱.
推論4：如果函數滿足，則函數的圖象關于原點對稱.特別地，推論4就是奇函數的定義和性質.它是上述定理2的簡化.
三、總規律：定義在Ｒ上的函數，在對稱性、周期性和奇偶性這三條性質中，只要有兩條存在，則第三條一定存在。
四、試題
1．已知定義為R的函數滿足，且函數在區間上單調遞增.如果，且，則的值（A ）.
A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能為0 D．可正可負.
分析：形似周期函數，但事實上不是，不過我們可以取特殊值代入，通過適當描點作出它的圖象來了解其性質.或者，先用代替，使變形為
.它的特征就是推論3.因此圖象關于點對稱.在區間上單調遞增，在區間上也單調遞增.我們可以把該函數想象成是奇函數向右平移了兩個單位.
，且函數在上單調遞增，所以
，又由，
有，
.選A.
當然，如果已經作出大致圖象后，用特殊值代人也可猜想出答案為A.
2：在R上定義的函數是偶函數，且.若在區間上是減函數，則( B )
A.在區間上是增函數，在區間上是減函數
B.在區間上是增函數，在區間上是減函數
C.在區間上是減函數，在區間上是增函數
D.在區間上是減函數，在區間上是增函數
分析：由可知圖象關于對稱，即推論1的應用.又因為為偶函數圖象關于對稱，可得到為周期函數且最小正周期為2，結合在區間上是減函數，可得如右草圖.故選B
3.定義在R上的函數既是奇函數，又是周期函數，是它的一個正周期.若將方程在閉區間上的根的個數記為，則可能為（ D ）
A.0 B.1 C.3 D.5
分析：，，
∴，則可能為5，選D.
4．已知函數的圖象關于直線和都對稱，且當時，.求的值.
分析：由推論1可知，的圖象關于直線對稱，即，
同樣，滿足，現由上述的定理3知是以4為周期的函數.
，同時還知是偶函數，所以.
5．，則，，，…，中最多有（ B ）個不同的值.
A.165 B.177 C.183 D.199
分析：由已知
.
又有
，
于是有周期352，于是能在中找到.
又的圖像關于直線對稱，故這些值可以在中找到.又的圖像關于直線對稱，故這些值可以在中找到.共有177個.選B.
6：已知，，，…，，則（ A ）.
A. B. C. D.3
分析：由，知，，.
為迭代周期函數，故，，.
選A.
7：函數在R上有定義，且滿足是偶函數，且，是奇函數，則的值為 .
解：，，令，則，即有，令，則，其中，，，
. 或有，得
.
8．設函數為奇函數，則（ c ）
A．0 B．1 C． D．5
分析：答案為B。先令f（1）= f（--1+2）=f（--1）+f（2）=1/2，根據奇函數的定義可求得f（--1）=--1/2，所以，
f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案為c。
9． 設f（x）是定義在R上以6為周期的函數，f（x）在(0,3)內單調遞減，且y=f（x）的圖象關于直線x=3對稱，則下面正確的結論是 （ B ）
(A)； (B)；
(C)； (D)
分析：答案為B。做這種帶周期性、單調性的試題，通常的做法是將f（x）設成正弦或余弦函數，具體到本題，可將f（x）設成正弦函數或余弦函數，令其周期為6，通過平移使其滿足在（0,3）內單調遞減，根據圖像，即可求出，答案為B。
10．設函數與的定義域是,函數是一個偶函數，是一個奇函數，且，則等于（C）
A. B. C. D.
分析：答案為C. 本題是考察函數奇偶性的判定，并不難，根據奇偶性的定義，即可得出答案為C 高考資源網
11：已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)為奇函數.
(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減. 令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由題意知f()<0，
即　f(x2)12. 已知函數y＝f (x)是定義在上的周期函數，周期T=5，函數是奇函數又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數，在[1,4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值.
①證明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.
解：∵f (x)是以為周期的周期函數，∴，
又∵是奇函數，∴，∴
②當時，由題意可設，
由得，∴，
∴
③∵是奇函數，∴，
又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數，∴可設，而，
∴，∴當時，f (x)=-3x，
從而當時，，故時，f (x)= -3x，_._
∴當時，有，∴0.
當時，，∴
∴
13．設ｆ（ｘ）是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線ｘ＝１對稱?對任意ｘ１，ｘ２∈［０］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．
(Ⅰ)求ｆ；
(Ⅱ)證明ｆ（ｘ）是周期函數；
（Ⅲ）記＝ｆ（２ｎ＋），求．
(Ⅰ)解：因為對ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,
所以
ｆ（１）＝ａ＞0，
∴
(Ⅱ)證明：依題設ｙ＝ｆ（ｘ）關于直線ｘ＝１對稱，
故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），
即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R
又由ｆ（ｘ）是偶函數知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，
∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，
將上式中－ｘ以ｘ代換，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ
這表明ｆ（ｘ）是R上的周期函數，且2是它的一個周期.
（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］
∵

∴
∵ｆ（ｘ）的一個周期是2
∴ｆ（２ｎ＋）=ｆ（）,因此an=
函數對稱性與周期性幾個重要結論賞析

湖南 周友良 黃愛民
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對稱性和周期性是函數的兩個重要性質，下面總結這兩個性質的幾個重要結論及運用它們解決抽象型函數的有關習題。 一、幾個重要的結論
（一）函數圖象本身的對稱性（自身對稱）
1、函數??滿足??（T為常數）的充要條件是??的圖象關于直線??對稱。
2、函數??滿足??（T為常數）的充要條件是??的圖象關于直線??對稱。
3、函數??滿足??的充要條件是??圖象關于直線?對稱。
4、如果函數??滿足??且??，（??和??是不相等的常數），則??是以為??為周期的周期函數。
5、如果奇函數??滿足??（??），則函數??是以4T為周期的周期性函數。
6、如果偶函數??滿足??（??），則函數??是以2T為周期的周期性函數。
（二）兩個函數的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）
1、曲線??與??關于X軸對稱。
2、曲線??與??關于Y軸對稱。
3、曲線??與??關于直線??對稱。
4、曲線??關于直線??對稱曲線為??。
5、曲線??關于直線??對稱曲線為??。
6、曲線??關于直線??對稱曲線為??。
7、曲線??關于點??對稱曲線為??。
二、試試看，練練筆
1、定義在實數集上的奇函數??恒滿足??，且??時,?,則??________。
2、已知函數??滿足??，則??圖象關于__________對稱。
3、函數??與函數??的圖象關于關于__________對稱。
4、設函數??的定義域為R，且滿足??，則??的圖象關于__________對稱。
5、設函數??的定義域為R，且滿足??，則??的圖象關于__________對稱。??圖象關于__________對稱。
6、設??的定義域為R，且對任意??，有??，則??圖象關于__________對稱，??關于__________對稱。
7、已知函數??對一切實數x滿足??，且方程??有5個實根，則這5個實根之和為（????）
A、5????????B、10????????C、15????????D、18
8、設函數??的定義域為R，則下列命題中，①若??是偶函數，則?圖象關于y軸對稱；②若??是偶函數，則??圖象關于直線??對稱；③若?，則函數??圖象關于直線??對稱；④??與?圖象關于直線??對稱，其中正確命題序號為_______。
9、函數??定義域為R，且恒滿足??和??，當
?時，??，求??解析式。
10、已知偶函數??定義域為R，且恒滿足??，若方程??在?上只有三個實根，且一個根是4，求方程在區間??中的根．
附參考答案：
?：?????：???：??????：y軸即?????：①y軸②?
?：①??②???????：C?????：②④???
?：?
?：方程的根為??共9個根
抽象函數的對稱性與周期性
一、抽象函數的對稱性。
性質1、若函數y＝f(x)關于直線x＝a軸對稱，則以下三式成立且等價：
　　　（1）f(a＋x)＝f(a－x)。
　　　（2）f(2a－x)＝f(x)。
　　　（3）f(2a＋x)＝f(－x)。
性質2、若函數y＝f(x)關于點(a,0)中心對稱，則以下三式成立且等價：
　　　（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。
　　　（2）f(2a－x)＝－f(x)。
　　　（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。
注：y＝f(x)為偶函數是性質1當a＝0時的特例，f(－x)＝f(x)。
　　y＝f(x)為奇函數是性質2當a＝0時的特例，f(－x)＝-f(x)。
二、復合函數的奇偶性。
性質1、復數函數y＝f[g(x)]為偶函數，則f[g(－x)]＝f[g(x)]。
　　復合函數y＝f[g(x)]為奇函數，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]。
性質2、復合函數y＝f(x＋a)為偶函數，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；
　　復合函數y＝f(x＋a)為奇函數，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)。
性質3、復合函數y＝f(x＋a)為偶函數，則y＝f(x)關于直線x＝a軸對稱。
　　復合函數y＝f(x＋a)為奇函數，則y＝f(x)關于點(a,0)中心對稱。
三、函數的周期性。
性質、若a是非零常數，若對于函數y＝f(x)定義域內的任一變量x點，有下
　　列條件之一成立，則函數y＝f(x)是周期函數，且2|a|是它的一個周期。
　　　①f(x＋a)＝f(x－a)，
　　　②f(x＋a)＝－f(x)，
　　　③f(x＋a)＝1/f(x)，
　　　④f(x＋a)＝－1/f(x)。
四、函數的對稱性與周期性。
性質1、若函數y＝f(x)同時關于直線x＝a與x＝b軸對稱，則函數f(x)必為
　　　周期函數，且T＝2|a－b|。
性質2、若函數y＝f(x)同時關于點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數
　　　f(x)必為周期函數，且T＝2|a－b|。
性質3、若函數y＝f(x)既關于點（a，0）中心對稱，又關于直線x＝b軸對稱，
　　　則函數f(x)必為周期函數，且T＝4|a－b|。
五、復合函數的對稱性。
性質1、已知函數y＝f(x)，則復合函數y＝f(a＋x)與y＝f(b-x)關于直線
　　　x＝(b-a)/2軸對稱。
性質2、已知函數y＝f(x)，則復合函數y＝f(a＋x)與y＝-f(b-x)關于點
　　　((b-a)/2,0)中心對稱。
推論1、已知函數y＝f(x)，則復合函數y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關于y軸
　　　軸對稱。
推論2、已知函數y＝f(x)，則復合函數y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關于原點
　　　中心對稱。
六、鞏固練習
1、函數y＝f(x)是定義在實數集R上的函數，那么y＝－f(x＋4)與y＝
　　f(6－x)的圖象（ ?）。
　　　A．關于直線x＝5對稱 ??　???B．關于直線x＝1對稱
　　　C．關于點（5，0）對稱???　 ?D．關于點（1，0）對稱
2、設f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，
　　f(x)＝x，則f(7.5)=（? ?）。
　　A．0.5 ????????B．－0.5??????? ?C．1.5 ??????????D．－1.5
3、設f(x)是定義在（－∞，＋∞）上的函數，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，
　　f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（? ?）。
　　A．偶函數，又是周期函數 ????B．偶函數，但不是周期函數
　　C．奇函數，又是周期函數??? ?D．奇函數，但不是周期函數
4、f(x)是定義在R上的偶函數，圖象關于x＝1對稱，證明f(x)是周期函數。
參考答案：D，B，C，T＝2。

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