資源簡介

核心素養導向的
高中數學教材變革
一、如何理解數學學科核心素養
“教育的根本任務在于立德樹人”，這就是整個教育改革的核心任務。
如何落實“立德樹人”的根本任務？抓手在哪里？
教育部的頂層設計是“以學生發展核心素養為統領”，各學科教學都要為學生核心素養的發展作出獨特的貢獻，從而實現“立德樹人”根本任務。
數學教育中的“立德樹人”，以數學學科核心素養為統領。
定義：數學學科核心素養是通過數學學習而逐步形成的具有數學特征的關鍵能力、必備品格與價值觀念。
要素：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。
表現：會用數學眼光觀察世界；會用數學思維思考世界；會用數學語言表達世界。
理解數學學科核心素養的幾個角度
數學教育中“立德樹人”的內涵；
從與學生發展核心素養關系的角度；
從數學學科特點出發；
數學課程目標的發展角度。
——數學學科核心素養“是什么”？深化數學教育改革中提出核心素養導向有什么歷史的必然性？能否“舉例子”？
數學教育“立德樹人”的基本內涵
幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法；
提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界；
促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展；
在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發揮獨特作用。
數學學科核心素養與學生發展核心素養
中國學生發展核心素養：文化基礎（人文底蘊、科學精神）、自主發展（學會學習、健康生活）、社會參與（責任擔當、實踐創新）
數學教育對發展學生核心素養的獨特貢獻，主要體現在科學精神（理性思維、批判質疑、勇于探究）、學會學習（樂學善學、勤于反思、信息意識）和實踐創新（勞動意識、問題解決、技術應用）上。
數學學科核心素養與數學的特點
數學課程目標的發展
是“三維目標”的進一步融合；
是義教的八個“核心概念”（ 數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想）的進一步整合；
以“四基”“四能”為載體；
雙基、三大能力是數學育人目標的內核——與時俱進豐富內涵，萬變不離其宗！
新一輪數學課改的核心任務是提升學生的數學學科核心素養，為學生發展核心素養作出獨特貢獻。
要有具體措施，要把數學學科核心素養落實在數學教育的各個環節。
二、新教材的體系
普通高中教科書·數學（A版）結構體系
（略）
三、關于落實核心素養的思考
1．理性思維是數學素養的靈魂
發展學生的理性思維（特別是邏輯思維），使學生學會有邏輯地、創造性地思考，學會使用數學語言表達與交流，成為善于認識和解決問題的人才，是數學課程的主要任務。
回歸數學的本質，體現數學的思考方式：以典型、簡單的數學對象為載體，在數學知識的發生發展過程中，培養學生的理性思維，發展學生的數學學科核心素養。
例1 幾何教材中蘊含的理性思維
從最基本的開始：如何研究“相交線”
研究對象是什么？
兩條直線相交所形成的幾何圖形
研究對象的抽象——什么叫“相交線”？
接下來的研究內容是什么？
性質——兩條直線相交形成四個角，這些角之間的相互關系
如何發現這些角的相互關系？
探究過程
四個角的關系
∠1+∠2+∠3+∠4=360°
三個角的關系
變化中不存在不變性——沒有固定的關系
兩個角的關系
（1）兩兩配對有6對角，即∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4，∠2和∠3，∠2和∠4，∠3和∠4。
（2）∠1和∠2的關系如何研究？
從角的定義出發：兩個角的頂點的關系、邊的關系，得到∠1與∠2的位置特點。
頂點重合；一邊重合，稱這兩個角“相鄰”；另一邊互為反向延長線，所以兩個角“互補”。
用幾何語言準確表達即為鄰補角的定義：∠1與∠2有一條公共邊OA，它們的另一邊互為反向延長線，即∠1與∠2互補，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．
（3）其余5對角的關系的研究
讓學生類比∠1與∠2的位置關系的研究過程，對其余5對角的邊的位置關系進行自主探究，并作出分類，得出對頂角的定義，再得出：兩條直線相交所形成的4個角中，兩兩之間的位置關系，根據兩個角的邊之間特殊的位置關系，分成兩類，一類是鄰補角，一類是對頂角。
接下去研究什么？
已經研究了兩條直線相交形成的6對角的位置關系，發現可以分為兩類。那么，鄰補角、對頂角分別有怎樣的數量關系呢？這就是接下來要研究的問題。
定性到定量——研究幾何問題的基本之道。
如何讓學生感受證明“對頂角相等”的必要性
從一個給定的圖形中得到“對頂角相等”，但任意兩個對頂角都相等嗎？
觀察剪刀剪紙的過程，這個過程中什么在變化？對頂角的相等關系總能保持嗎？為什么？
在一個平面內的兩條相交線，不僅AB，CD的位置關系可以改變，交點O的位置也可以改變。在這些變化過程中，對頂角仍然相等嗎？你如何使人相信：如果兩個角具有對頂角的位置關系，那么它們就一定相等？你能把道理完整地寫出來嗎？
思考題
你認為教材為什么把平行線的研究內容安排在“三線八角”之后？
在“三線八角”的基礎上，如何引導學生發現平行線的判斷與性質？
進一步地：如何研究位置關系的性質？
兩條直線平行，從“同位角相等”、“內錯角相等”以及“同旁內角互補”可以想到，這時的“性質”是與“第三條直線”構成某種關系——平行、相交，相交時又形成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關系（條件）所決定的這些角之間有什么確定的關系。
體現核心素養的“大概念”
從方法論的高度看，研究兩個幾何元素的某種位置關系的性質，就是探索在這種位置關系下的兩個幾何元素與其他（同類）幾何元素所形成的圖形中出現的確定關系（不變性和不變量）。
具體方法是讓“其他幾何元素”動起來，看“變化中的不變性、不變量”——這是教學設計的源頭，需要采用單元設計，把“數學對象的抽象—組成元素的提取—相互關系的猜想—猜想的證明——性質的應用”等落實下來。
用到高中幾何基本元素的位置關系的研究
例如，直線平行于平面的性質
位置關系（大前提）：直線l ∥平面α；
探究性質的思路：直線l、平面α與其他直線、平面所形成的確定關系，可以得到命題：
（1）如果 a∥l （小前提） ，那么a ∥α ；
（2）如果 a ∥α，那么a ∥l；
（3）如果a ⊥l，那么a⊥α；
（4）如果a⊥α，那么a⊥ l；
（5）如果β∥l，那么β∥α；
（6）如果β∥α，那么β∥l；
（7）如果β⊥l，那么β⊥α ；
（8）如果 β ⊥ α ，那么β ⊥l。
（9）與“公理”相聯系，直線l與平面α 內任意一點A確定一個平面β ，α ∩ β=m ，那么 m∥l；
（10）l∥α ，所以l∩α =Φ。如果m在α 內，則或者m∥l，或者m與l是異面直線。
（11）直線m與直線l異面，則過直線m有且只有一個平面與直線l平行。
（12）l∥α ， β∩γ=l， α∩ β=l1， α∩γ=l2，那么l1∥l2。
兩個平面垂直的性質與判定的教材處理
研究對象是什么？
研究內容是什么？
如何定義兩個平面垂直？
如何判定兩個平面垂直？
如何引導學生發現性質？
一般地，什么叫“幾何圖形的性質”？幾何性質分為哪些類型？
教材的變化
2．數學育人要發揮數學的內在力量，數學育人要用數學的方式
數學是思維的科學，具有“追求最大限度的一般性模式特別是一般性算法的傾向”；
有一種研究的“基本套路”；
有一套具有普適性的思考結構和交流的符號形式，這種結構和符號形式是強大的，富有邏輯，簡明而且精確，是人們可以借助于理解和處理周圍環境的一種思維方式。
教材如何體現“數學的方式”
以發展學生數學素養為追求，根據學生的認知規律，螺旋上升地安排教學內容，特別是要讓重要的（往往也是難以一次完成的）數學概念、思想方法得到反復理解的機會。——心理性
以“事實——概念——性質（關系）——結構（聯系）——應用”為明線；
以“事實——方法——方法論——數學學科本質觀”為暗線。
從數學思維、思想或核心素養角度看
“事實——概念”主要是“抽象”（在各種典型實例中，涉及哪些量，它們之間的關系如何，可以用怎樣的數學方式表示）；
“概念——性質”主要是“推理”，包括通過歸納推理發現性質，通過（邏輯）演繹推理證明性質；
“性質——結構”主要也是“推理”，是建立相關知識之間的聯系而形成結構功能良好、遷移能力強大的數學認知結構的過程；
“概念、性質、結構——應用”主要是“模型”，是用數學知識解決數學內外的問題。
在整個教學內容的展開過程中，都要發揮“一般觀念”的作用，加強“如何思考”、“如何發現”的啟發和引導，特別是在概念的抽象要做什么、“幾何性質”“代數性質”“函數性質”指什么等問題上要及時引導，以使學生明確思考方向。
“不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然”；
“啟發學者，示以思維之道耳”。
當前的教學，主要問題是數學沒有講好，老師不知道如何“示以思維之道”。我們應當加強這方面的研究。
3．加強推理和運算
推理是數學的“命根子”（伍鴻熙），運算是數學的“童子功”。
陳建功：片段的推理，不但見諸任何學科，也可以從日常有條理的談話得之。但是，推理之成為說理的體系者，限于數學一科……忽視數學教育論理性的原則，無異于數學教育的自殺。
數學育人的基本途徑是對學生進行系統的（邏輯）思維訓練，訓練的基本載體是邏輯推理和數學運算。
代數運算
“代數學的根源在于代數運算”，有效有系統地運用運算律去解決問題是代數學的基本思想；
數及其運算是一切運算系統的模范，與它類比而發現需研究的問題和方法，是基本而重要的數學思維方式；
代數運算的過程和方法可以容易地發展成高層次函數觀點。
4．教好數學就是落實數學學科核心素養
構建系列的數學活動，引導學生通過對現實問題的數學抽象獲得數學對象，構建研究數學對象的基本路徑，發現值得研究的數學問題，探尋解決問題的數學方法，獲得有價值的數學結論，建立數學模型解決現實問題。
要把如何抽象數學對象、如何發現和提出數學問題作為教學的關鍵任務，以實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。
做到“兩個過程”的合理性
從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養的關鍵點。
前一個的核心是數學的學科思想問題，后一個是學生的思維規律、認知特點問題。
系列數學活動的育人價值
數學知識、數學活動與核心素養的關系：
核心素養就是在復雜情境中解決問題的能力和品質。
核心素養所蘊含的學習觀認為，核心素養是個體在與情境的持續互動中，不斷解決問題、創生意義的過程中形成的。
數學核心素養的形成是以數學知識為載體，以數學活動為路徑而逐步實現的。情境化是數學知識轉化為數學素養的重要途徑。
構建系列數學活動，要注重創設與現實生活緊密關聯的、真實性的問題情境（這樣的情境必然具有一定的復雜性），設計基于問題的、基于項目的活動方式（如典型實例的共同特征的抽象與概括，數學對象的要素之間關系的探索，相關概念之間聯系性的研究等），引導學生開展體驗學習、合作學習、建構學習，通過有結構、有邏輯的系統學習，逐步形成數學學科觀念、數學思維方式和探究技能，促進數學知識和技能的持續結構化，使學生的理性思維不斷走向成熟。
例2 三角函數教材的系列數學活動設計
背景引入，通過典型而豐富的周而復始的變化現象，著重解決研究三角函數的必要性，要發揮信息技術的力量。
預備概念，任意角與弧度制，通過生產、生活中的實際問題，使學生體會引入任意角概念的必要性；通過類比長度的度量單位的多樣性，提出用長度度量角的方法。
三角函數的定義
研究對象的獲得，從事實到概念。注重數學化的過程，通過數學抽象，從勻速圓周運動到單位圓上點以單位速率運動時運動規律的刻畫。
概念及其表示，注重認知過程的完整性，認真解決四個問題：
（1）函數的現實背景是什么？刻畫了哪類運動變化現象？
（2）決定這類運動變化現象的要素是什么？
（3）要素之間的依賴關系是什么？
（4）可以用什么數學模型來刻畫？
通過對運動過程涉及的量及其關系的分析，析出點的坐標隨任意角的變化而變化的規律；數與形的表示。
三角函數的性質
要素間的關系，概念間的聯系，結構——有層次地研究
（1）誘導公式一、同角三角函數的關系，直接從定義出發，考察函數之間的關系，注意數形結合，代數關系的轉化。
（2）圖像與周期性、奇偶性、單調性。借助直觀想象就可得出周期性（“旋轉整數周”的代數表示），從定義就可以直接得出奇偶性，要發揮信息技術的力量；三角函數在一個單調區間的單調性。
（3）三角函數的對稱性與誘導公式，單位圓上關于坐標軸、原點和y=x，y=－x對稱的點的坐標之間的關系。
（4）三角恒等變換，單位圓的旋轉對稱性（旋轉任意角的誘導公式）。
從旋轉變換的觀點看：角 的終邊，旋轉整數周（2k????+????）——旋轉特殊角（????±????，????????±????）——旋轉任意角（????+????）
三角恒等變換公式：代數變換的過程與幾何解釋相結合。
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三角函數的應用
（1）函數y = A sin (ωx+φ)，從實際問題出發，利用正弦函數，建立函數模型，再研究它的性質（從函數變換的角度，注意參數的實際意義的解釋）。這里要體現一個完整的應用過程。
（2）用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型。
5.教師的專業水平和育人能力
是落實核心素養的關鍵
理解數學
理解學生
理解技術
理解教學
當前的主要問題是教師在“理解數學”上不用功，數學水平不高導致數學課教不好數學，甚至數學課不教數學，機械解題訓練成為課堂主旋律，而大量題目又不能反映數學內容和思維的本質，使數學學習越來越枯燥無趣、艱澀難學，大量學生的感受是“數學不好玩”，越學越糊涂。
理解數學知識的三重境界
知其然
知其所以然
何由以知其所以然
——啟發學生，示以思維之道耳！
結束語
數學育人——使學生在數學學習中
樹立自信，堅定正念，
增強定力，激勵精進，
啟迪智慧，凈化心靈。
謝謝傾聽
請提寶貴意見

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