資源簡介

核心素養統領下的
數學教學變革
一、如何理解數學核心素養
十八大提出的“教育的根本任務在于立德樹人”就是整個教育改革的核心任務。
如何落實“立德樹人”的根本任務？抓手在哪里？
教育部的頂層設計是“以學生發展核心素養為統領”，各學科教學都要為學生核心素養的發展作出獨特的貢獻，從而實現“立德樹人”根本任務。
數學教育中的“立德樹人”，以數學核心素養為統領。
數學核心素養是通過數學學習而逐步形成的具有數學特征的關鍵能力、必備品格與價值觀念。
高中課標修訂組提煉了六個數學學科核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。
理解數學核心素養的幾個角度
數學教育中“立德樹人”的內涵；
從數學學科特點出發；
從與學生發展核心素養關系的角度；
數學課程目標的發展角度。
——數學核心素養“是什么”？有什么“歷史淵源”？能否“舉例子”？
數學教育“立德樹人”的基本內涵
幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法；
提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界；
促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展；
在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發揮獨特作用。
數學的特點與核心素養
數學核心素養與學生發展核心素養
中國學生發展核心素養：文化基礎（人文底蘊、科學精神）、自主發展（學會學習、健康生活）、社會參與（責任擔當、實踐創新）
數學教育對發展學生核心素養的獨特貢獻，主要體現在科學精神（理性思維、批判質疑、勇于探究）、學會學習（樂學善學、勤于反思、信息意識）和實踐創新（勞動意識、問題解決、技術應用）上。
數學課程目標的發展
與“三維目標”的關系；
與義教的八個“核心概念”（ 數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想）的關系；
與“四基”“四能”的關系；
與“雙基”“三大能力”的關系。
——萬變不離其宗！雙基、三大能力是內核！
新一輪數學課改的核心任務是提升學生的數學學科核心素養，為學生發展核心素養作出獨特貢獻。
要有具體措施，要把數學學科核心素養落實在數學教育的各個環節。
二、關于落實核心素養的思考
“學科育人”要依靠學科的內在力量。
“數學育人”要用數學的方式，在數學內部挖掘育人資源，并使它們在數學教育的各個環節中發揮作用。
增強課程意識，把握教改方向，明確數學育人目標，提升數學育人的實效性，提高教育教學質量。
問題思考
一線教師該從哪些方面增強課程意識？
數學課程的育人力量是什么？
什么叫“數學的方式”？
一線教師的課程意識
（1）我教的是一門怎樣的課——課程性質
（2）這門課能發揮怎樣的育人功能，在學生發展中的不可替代作用是什么——課程目標
（3）如何教這門課——課程實施
（4）這樣教在多大程度上實現了它的育人功能——課程評價
數學是一門怎樣的課程？
數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等理解和表達現實世界中事物的本質、關系與規律。——課標如是說。
數學是思維的科學，具有“追求最大限度的一般性模式特別是一般性算法的傾向”，有一套具有普適性的思考結構和交流的符號形式，這種結構和符號形式是強大的，富有邏輯，簡明而且精確，是人們可以借助于理解和處理周圍環境的一種思維方式，包括：抽象化、運用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計算，不斷地改進、推廣，更深入地洞察內在的聯系，在更大范圍內進行概括，建立更為一般的統一理論等一整套嚴謹的、行之有效的科學方法，這是在獲得數學結論、建立數學知識體系的過程中必須使用的思維方式。
推理是數學的命根子，運算是數學的“童子功”。
陳建功：片段的推理，不但見諸任何學科，也可以從日常有條理的談話得之。但是，推理之成為說理的體系者，限于數學一科……忽視數學教育論理性的原則，無異于數學教育的自殺。
數學育人的基本途徑是對學生進行系統的（邏輯）思維訓練，訓練的基本載體是邏輯推理和數學運算。
數學是一門語言，與語文有相似的特性，它有自己的一套獨立的符號系統和嚴謹的表達方式——閱讀、表達、交流的工具。
數學學科的獨特育人功能
數學在形成人的理性思維、科學精神，促進人的智力發展中發揮著不可替代的作用。數學的獨特育人功能主要在培養學生的思維特別是邏輯思維上，要使學生學會思考，特別是學會“有邏輯地思考”、創造性思考，使學生成為善于認識問題、善于解決問題的人才。
學會嚴格的邏輯推理，學會運算的方法和技巧。
學會使用數學語言，能用數學的方式閱讀、表達和交流。
例1 怎樣閱讀這段教材
人教版七年級上冊4.3 角
（1）對一個幾何圖形——角的完整研究。
一般而言，研究一個幾何圖形的基本結構是：背景——抽象概念——研究性質（判定）——建構體系（聯系與綜合）
從定性到定量，與線段、面積、體積等一樣，需要解決角的度量與計算問題。
數學抽象素養的滲透
（2）定義一個幾何對象需要做哪些事？
觀察與分析：典型、豐富的具體事例的共同特征；
歸納與概括：本質特征、概念內涵、要素等，下定義；
表示：圖形表示、符號表示、語言表示；
分類——思考：為何要分類？如何分類？
分類——理解數學結構的關鍵一環
一個數學結構的具體例子不勝枚舉，按照某種條件（如何找到這個條件？）對它們分類，可以確定一種研究這個結構的邏輯順序（按類各個擊破），形成一個新方法來證明關于這個結構的結果。
有時，某種結果就是通過分類來證明的，例如正多面體只有五類：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
（3）關于角的度量
認識幾何度量的五個階段
①量的初步認識（直觀感知“量”，直觀或直接比較“量”的大小）；
②量的間接比較（用非標準單位或用另一個量為“中介”比較）；
③認識國際通用單位并用其描述大小；
④國際通用單位體系的認識與換算；
⑤利用公式求量的大小（只有面積和體積有此階段）。
之所以有相同的認識過程，是因為這些幾何量的數學結構相同，核心要素是：
①度量單位（從不標準單位到標準單位，并形成單位體系）；
②單位的個數就是量的大小。
度量的性質是：
①運動不變性；
②疊合性；
③有限可加（減）性；
④不可公度性。
在這些“量”中，“長度”（一維空間的延展）是最基本也是最簡單的，其次就是面積（二維空間的延展）。因此，解決幾何度量問題，核心思想是把研究對象看成一個“量”，并用一個數來描述它。而學習的五個階段， 就是從定性到定量，最終用一個數來描述幾何量，或建立一個公式來求幾何量的數值。
這里是銜接小學階段，完善角度制，同時提及弧度制；介紹角的測量工具。
（4）關于角的性質
思考：什么叫角的性質？如何研究角的性質？
幾何學研究幾何圖形的形狀、大小和位置關系，大小關系是最基本的性質；特殊的大小關系也是性質；等。于是有：
角的大小關系——如何比大小？定性、定量
角的特殊關系——相等，引申出角的平分線、三等分線，如何作圖？（尺規作圖不能問題）
特殊的大小關系：余角、補角。
對于特殊的圖形、關系，一般有兩個互逆問題：性質、判定。所以，這里有進一步的問題是：
角平分線的性質與判定，余角、補角的性質與判定。
（5）關于角的計算
主要是兩類：
和、差、倍、半等的作圖問題，注意：作圖也屬于計算；
度分秒的換算問題。
教好數學就是落實數學核心素養
其內涵是：引導學生通過對現實問題的數學抽象獲得數學對象，構建研究數學對象的基本路徑，發現值得研究的數學問題，探尋解決問題的數學方法，獲得有價值的數學結論，建立數學模型解決現實問題。
要把如何抽象數學對象、如何發現和提出數學問題作為教學的關鍵任務，以實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。
以數學知識為載體發展學生的核心素養
離開了知識載體，任何育人目標都會落空。
在完整的數學學習過程中落實數學核心素養：
*數學研究對象的獲得
*研究數學對象
*應用數學知識解決問題
數學對象的獲得，要注重數學與現實之間的聯系，也要注重數學內在的前后一致、邏輯連貫性，從“事實”出發，讓學生經歷歸納、概括事物本質的過程，提升數學抽象、直觀想象等素養；
對數學對象的研究，要注重以“一般觀念”為引導發現規律、獲得猜想，通過數學的推理、論證證明結論（定理、性質等）的過程，提升推理、運算等素養；
應用數學知識解決問題，要注重利用數學概念原理分析問題，體現建模的全過程，學會分析數據，從數據中挖掘信息等。
例2 有理數加法法則的獲得過程
——推理、抽象、運算、直觀
加法法則中的“事實”有哪些（類型）？
如何發現和提出需要研究的問題？
如何引導學生歸納運算法則？
從“事實”到“法則”是一個“數學化”的過程：賦予實際問題數學意義——借助實際意義列算式（需要多少算式？）——歸納共性（從哪些角度歸納？如何安排歸納過程？）——給出法則。
“兩個過程”的合理性
從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養的關鍵點。
前一個的核心是數學的學科思想問題，后一個是學生的思維規律、認知特點問題。
以發展學生數學素養為追求，根據學生的認知規律，螺旋上升地安排教學內容，特別是要讓重要的（往往也是難以一次完成的）數學概念、思想方法得到反復理解的機會。
以“事實——概念——性質（關系）——結構（聯系）——應用”為明線；
以“事實——方法——方法論——數學學科本質觀”為暗線。
從數學思維、思想或核心素養角度看
“事實——概念”主要是“抽象”（對典型而豐富的具體事例進行觀察、比較、分析，歸納共性，抽象出共同本質特征，并推廣到同類事物中去而得出概念）；
“概念——性質”主要是“推理”，包括通過歸納推理發現性質，通過（邏輯）演繹推理證明性質；
“性質——結構”主要也是“推理”，是建立相關知識之間的聯系而形成結構功能良好、遷移能力強大的數學認知結構的過程；
“概念、性質、結構——應用”主要是“建模”，是用數學知識解決數學內外的問題。
強調獲得“事實”的教育價值
“數學事實”是數學學習的“原材料”，也是數學育人的首要素材；
真正的學習必須經歷“感知—感悟—知識”的過程；
以“事實”為支撐的概念理解才是真理解，才能形成對概念本質的深刻體悟，教學應從讓學生獲得數學事實開始。
增加概括概念、發現性質所需的素材，提供豐富的、真實的應用問題；
調動所有感官參與學習，安排動眼觀察、動手操作、動腦思考的實踐活動，使學生通過自主活動獲取理解概念所需的“事實”；
增加“悟”的時間，長時間的“悟”，然后是有所體驗、有所心得、有所發現。
在整個教學過程中，都要發揮“一般觀念”的作用，加強“如何思考”、“如何發現”的啟發和引導，特別是在概念的抽象要做什么、“幾何性質”“代數性質”“函數性質”指什么等問題上要及時引導，以使學生明確思考方向。
小結
無論數學課改如何發展，其核心問題都不會改變，即：數學、學生，教學研究和實踐總是在反映這兩者的規律上不斷前行，沒有最好只有更好。當前還要關注教學手段問題。
符合時代要求的形式變化要為內容的改革服務，改革是為了讓學生享受更好的數學教育，讓學生把數學學得更好。
把數學教好就是落實核心素養的教學！
教師的專業發展水平和育人能力
是落實核心素養的關鍵
理解數學
理解學生
理解教學
當前的主要問題是教師在“理解數學”上不用功，數學水平不高導致數學課教不好數學，甚至數學課不教數學，機械解題訓練成為課堂主旋律，而大量題目又不能反映數學內容和思維的本質，使數學學習越來越枯燥無趣、艱澀難學，大量學生的感受是“數學不好玩”，越學越糊涂。
三、在理解數學上狠下功夫
理解數學知識的三重境界
知其然
知其所以然
何由以知其所以然
——啟發學生，示以思維之道耳！
在“本源性問題”上加強思考
對中學數學中的本源性問題加強思考是提高理解數學的水平、提升教師專業化水平和教學能力的有效途徑。
中學數學的研究對象有哪些？
刻畫數學對象的基本方法是什么？
數學研究對象的邏輯關系（哪個更基本）？
研究數學對象的基本套路是什么？
……
例3 一些“簡單”、基本而重要的問題
空間中的“位置”差異用什么表示？
空間中的“方向”差異用什么表示？
如何刻畫直線的“直”？
如何刻畫平面的“平”？
你認為平面幾何中哪個圖形最重要？
如果讓你選一個平面幾何的定理，你會選哪一條？為什么？
為什么只學平行四邊形而不學梯形？
哪幾類三角形最重要，為什么？
圓的性質中，最重要的是什么？
四、如何“示以學生思維之道”
使學生明白數學思維之道的關鍵點：
（1）明確研究對象；
（2）明確研究目標（性質、判定、公式、法則等等）；
（3）明確到達目標的思路概要——發揮一般觀念的引領作用。
例4 幾何教材呈現的“研究之道”
一般按“背景（實際背景、數學背景）——定義（內含、表示）——分類（為什么要分類？如何分類？）——性質——特例（性質和判定）——聯系和應用”的邏輯展開，在定性研究的基礎上進行定量研究。這個系統具有一般意義，是科學研究的“基本之道”。
以此為基本依據設計課堂教學，并讓學生反復經歷這個邏輯過程，是“使學生學會思考”的關鍵。
如何讓學生明確研究對象？
“明確研究對象”的重要性：明確研究對象是“數學化”的關鍵一步，是后續一切學習的基礎，對數學學習具有基本的重要性。
要讓學生在具體情境中展開認識活動，在“什么是幾何對象的基本要素”、“如何觀察”、“如何歸納”等方面加強引導，使學生經歷完整的數學抽象過程獲得研究對象。
例5 定義三角形要做哪些事？
觀察三角形的具體例子——如何觀察？
觀察組成幾何圖形的元素的特征，三角形是平面圖形，所以從組成它的點、線的特征入手。
“特征”指什么？
組成元素的形狀、大小、位置關系。
如何分析“不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形”？
接下來做什么？
要素的定義和表示：邊—頂點—內角—三角形。
三角形的分類——為什么要分類？如何分類？
三角形的基本性質：組成要素的相互關系
三角形的其他性質：高、中線、角平分線，外角等相關要素的關系，與要素的相互關系。
兩個三角形的關系：大小關系——相等最重要；形狀關系——相似。
特例：等腰三角形、等邊三角形——性質、判定。
從定性到定量：邊長、角度、面積等之間的定量關系。
例6 關于幾何圖形的性質
什么叫“幾何圖形的性質”？
只有明白了這個問題，才能使學生在獨立面對一個數學對象時知道從哪里下手研究性質，才能使學生自主探究，才能使發現問題、提出問題的能力的培養落在實處。這樣，核心素養的落實也就自然而然、水到渠成。
“性質就是一類事物共有的特性”之類的說法過于宏觀，在具體思考中沒有可操作性，需要針對具體內容進行歸納。例如：
要素和要素之間確定的關系就是性質——觀察幾何圖形的構成要素之間的相互關系（位置關系、大小關系等）是研究幾何性質的基本方法；
運算中的不變性（規律性）就是性質——研究代數性質，“算算看”是基本方法；
變化中的不變性（規律性）就是性質——研究函數的性質，在運動變化中進行觀察是基本方法；
……
幾何性質的分類
幾何學的基本研究對象可分為兩類：物體的形狀、物體的位置，它們的特征就是性質。
物體的形狀：反映在結構特征上，是一類幾何圖形的組成要素及其相互之間確定的關系（定性、定量）；
物體的位置：點、直線、平面的位置關系是基礎，核心是平行（空間的平直性）、垂直（空間的對稱性），距離、角度等可以把位置關系定量化。
三角形性質的研究思路和方法
以三角形的要素（三條邊、三個內角）、相關要素（高、中線、角平分線、外角等）以及幾何量（邊長、角度、面積等）之間的相互關系為基本問題，從“形狀、大小和位置關系”等角度展開研究。
“形狀”中，“特例”是重點——等腰三角形和直角三角形，凡事“特例”都有性質和判定兩個基本問題。
顯然，這是一般觀念指導下的研究。
如何讓學生發現三角形的性質
問題1：什么叫三角形的性質？
問題2：“三條邊的關系”指什么？“三個角的關系”又指什么？
問題3：邊和角之間有確定的關系嗎？
問題4：高、角平分線、中線的性質是怎么表現的？外角呢？
……
從三角形的“內角和為180°”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對大角”、“等邊對等角”等你想到了什么？
抽象：三角形的角、邊之間的穩定的聯系、確定的關系就是性質。
某一類幾何對象組成要素之間確定的關系（任意一個對象都具有的關系）就是性質。
從“外角等于不相鄰兩內角的和”、“三條高交于一點”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？
把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關要素，這些“相關要素”之間的位置關系就是性質。
要素、相關要素之間確定的關系（不隨具體事物的變化而變化）也是性質。
位置關系的性質如何表現？
例如：兩條直線平行，從“同位角相等”、“內錯角相等”以及“同旁內角互補”可以想到，這時的“性質”是與“第三條直線”構成某種關系——平行、相交，相交時又形成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關系所決定的這些角之間有什么確定的關系。
從方法論的高度，研究兩個幾何元素（兩條直線）的某種位置關系（平行）的性質，就是探索在這種位置關系下的兩個幾何元素與同類幾何元素之間是否形成確定的關系。
具體方法是讓“同類元素”動起來，看“變化中的不變性”。——這就是教學設計的源頭
五、教之道在于“度”學之道在于“悟”
為了發展學生創新智慧，需要思考一些基本問題，例如：
如何用有趣的問題引發學生興趣，用恰時恰點、直擊要害反映本質、簡明易懂的問題引發學生思考、討論？
如何不急不躁，給學生充分的時間思考、討論，自然而然地為學生構建數學研究路徑？
如何提高解題的層次，使學生通過解題認識一般的數學原理，并且讓學生體會“如何做研究”，使思維的訓練、創造力的培養蘊涵其中？
教學中應多問“你是怎么想的？”“你是怎么想到的？”“還有別的想法嗎？”少問“是不是？”“對不對？”更不要“我已經給大家準備好了，下面開始算吧！”
通過技巧訓練迅速提高分數，與通過思維訓練全面提升能力，是兩個完全不同的追求！
結束語
數學育人——使學生在數學學習中
樹立自信，堅定正念，
增強定力，激勵精進，
啟迪智慧，凈化心靈。
謝謝傾聽
請提寶貴意見

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