資源簡介

高中學(xué)數(shù)學(xué)競賽決賽（自主招生）必備的高等數(shù)學(xué)知識
高中學(xué)數(shù)學(xué)競賽決賽（自主招生）必備的高等數(shù)學(xué)知識
集
合
集合的概念
：我們把所要研究的事物全體稱為集合，構(gòu)成集合的事物稱為元素，集合一般用大寫字母A、B、C……表示，元素一般用小寫字母a、b、c……表示。
如果元素是集合A中的元素，記，否則記
有限集：只有有限個元素的集合。
無限集：有無窮多個元素的集合。
空集：不含有任何元素的集合叫空集，記
集合的表示方法
列舉法：如
，
描述法：如
，
子集：如果集合A中的元素都是B的元素，稱A是B的子集（或稱A包含于B），記
如：,,則。
并集：集合A與集合B的元素放在一起構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集。記，即
如：
則:
交集：記集合A與集合B的公共元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，
記
。
如：，
則:
絕對值與絕對值不等式
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','2','0','0')"
\o
"第1章1節(jié)2點-絕對值與絕對值不等式
-
(時長:0時9分59秒)?)
幾何意義：點到原點的距離。
幾何意義：點到點的距離。
性質(zhì)：
1）
，
2）
，
3）
；
4）設(shè)
，
；
5）
；6）
7）
例1：解下列不等式
1）
，
2）
，
3）
4）
，
5）
解：1）
2）
3）
或
或
4）
5）
或
區(qū)間與鄰域
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','3','0','0')"
\o
"第1章1節(jié)3點-區(qū)間與鄰域
-
(時長:0時6分20秒)?)
設(shè)
為實數(shù)，
，
稱為以
、
為端點的開區(qū)間，
稱為以
、
為端點的閉區(qū)間，
?，
以上為有限區(qū)間
?，
?
以上為無窮區(qū)間
稱為
點的
鄰域，
為對稱中心，
為半徑。
稱為
點的去心鄰域。
函數(shù)的定義
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','4','0','0')"
\o
"第1章1節(jié)4點-函數(shù)的定義
-
(時長:0時19分51秒)?)
設(shè)有兩個變量
與
，當(dāng)變量在實數(shù)某范圍任取一值時，變量按確定的規(guī)則有確定的值與之對應(yīng)，那么稱是的函數(shù)，記。叫自變量，叫因變量，的取值范圍稱為函數(shù)的定義域，記。對稱為函數(shù)在點的函數(shù)值，所有函數(shù)值的集合稱為值域。記。
說明：
（1）定義中的記號
表示自變量與因變量的對應(yīng)法則。
（2）函數(shù)的兩要素：定義域與對應(yīng)法則。
與表示同一函數(shù)；
與表示同一函數(shù)；
與表示不同的函數(shù)；
與表示不同函數(shù)。
（3）單值函數(shù)與多值函數(shù)
對于函數(shù)
，如果對自變量
的一個取值，函數(shù)
只有一個數(shù)值與之對應(yīng)，則稱函數(shù)
是單值函數(shù)；如果對自變量
的一個取值，函數(shù)
有兩個或更多個數(shù)值與之對應(yīng)，則稱函數(shù)
是多值函數(shù)；如：
是單值函數(shù)，
是多值函數(shù)。
（4）定義域
實際問題中建立的函數(shù)關(guān)系，其定義域要根據(jù)實際問題來確定，而用數(shù)學(xué)式表達(dá)的函數(shù)，當(dāng)不表示任何實際意義時，其定義域由函數(shù)表達(dá)式來確定。
??定義域求法
（i）分母不能為零；
（ii）偶次根號內(nèi)部分不能小于零；
（iii）對數(shù)函數(shù)中，真數(shù)部分要大于零；
（iv）反三角函數(shù)
中要
。
??例2
求下列函數(shù)的定義域
1）
2)
3)
4）
解：（1）
定義域為：
（2）
定義域為：（2，3]
（3）定義域為：
（4）
所以定義域為：
例3
已知
的定義域為
，求
的定義域。
解
的定義域為（0，1）
例4
設(shè)
,求
。
解
例5
設(shè)
滿足
，求
。
解
設(shè)
，則
，
，即
。
例6
已知
，求
。
解
令
，則
，
?
函數(shù)的表示方法
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','5','0','0')"
\o
"第1章1節(jié)5點-函數(shù)的表示方法
-
(時長:0時12分52秒)?)
公式法，表格法，圖示法。
分段函數(shù)：在不同區(qū)間上用不同的解析式表示的函數(shù)
如：
符號函數(shù)：
?
?
例7設(shè)
求（1）
的定義域；
（2）
；（3）
時，
解
（1）定義域為：
（2）
，
，
?，
（3）
例8將函數(shù)
寫成分段函數(shù)的形式。
解
例9設(shè)
，
則
時，
的表達(dá)式為
。
函數(shù)的簡單性質(zhì)
(?javascript:onclick=gohref('129','1','1','6','0','0')"
\o
"第1章1節(jié)6點-函數(shù)的簡單性質(zhì)
-
(時長:0時39分26秒)?)
單調(diào)性
設(shè)
在
內(nèi)有定義,如果對于
且
，
有
,則稱
在
內(nèi)單調(diào)增加；
如果有
，則稱
在
內(nèi)單調(diào)減少。
單調(diào)增加、單調(diào)減少統(tǒng)稱單調(diào)。
如果
在整個定義域內(nèi)單調(diào)，稱
為單調(diào)函數(shù)。
如：
在
單調(diào)減，在
單調(diào)增，所以不是單調(diào)函數(shù)。
?都是單調(diào)函數(shù)。
有界性
設(shè)
在區(qū)間
有定義，如果存在數(shù)
，使對于一切
，有
成立，則稱
在區(qū)間
有上界，
是
在區(qū)間
的一個上界。如果存在數(shù)
，使對于一切
，有
，則稱
在區(qū)間
有下界，
是
在區(qū)間
的一個下界。
設(shè)
在區(qū)間
有定義，如果存在正數(shù)
，使對于一切
，有
成立，則稱
在區(qū)間
有界，否則稱在
為無界。
如果
在它的整個定義域內(nèi)有界，稱
為有界函數(shù)。
如：
在區(qū)間[1，2]有界，在（0，1）無界，它不是有界函數(shù)。
是有界函數(shù)，因為對一切
有
。
?是有界函數(shù)。
顯然，函數(shù)
在區(qū)間
有界的充分必要條件是：它在區(qū)間
既有上界又有下界。
奇偶性
設(shè)
的定義域關(guān)于原點對稱，如果對定義域中任何
，有
，稱
為偶函數(shù)，如果有
，稱
為奇函數(shù)。
偶函數(shù)的圖形關(guān)于
軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。
例10
判斷下列函數(shù)的奇偶性
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解（1）
所以是奇函數(shù)；
（2）是偶函數(shù)；
（3）是非奇非偶函數(shù)；
（4）
?
所以是奇函數(shù)；
（5）是偶函數(shù)
奇函數(shù)×奇函數(shù)為偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)為奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)為偶函數(shù)。
例11設(shè)
在
內(nèi)有定義，
，則
為奇函數(shù)，
為偶函數(shù)，
。
周期性
對函數(shù)
，如果存在正數(shù)
，使對于定義域中的
有
，稱
為周期函數(shù)，使此式成立的最小正數(shù)
，稱為最小正周期。
如：
是周期為
的周期函數(shù)，
?是周期為
的周期函數(shù)。
如果
是以T為最小正周期的函數(shù)，則
的最小正周期為
。
如：
的最小正周期是
。
反函數(shù)
給定函數(shù)
，如果變量
在值域內(nèi)每取定一值時，
在定義域內(nèi)有一值與之對應(yīng)，則得到一個定義域為
的值域，
為自變量，
為因變量的函數(shù)
，稱其為
的反函數(shù)，記
習(xí)慣上用
作自變量，
作因變量，所以
的反函數(shù)記作
圖形特點：
的圖形與其反函數(shù)
的圖形關(guān)于直線
對稱。
例12求下列函數(shù)的反函數(shù)
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）
，所以反函數(shù)為
。
（2）
，所以反函數(shù)為
。
（3）
，所以反函數(shù)為
。
（4）
，
，
，
所以反函數(shù)為
。
（5）
，
，
所以反函數(shù)為
。
基本初等函數(shù)
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','1','0','0')"
\o
"第1章2節(jié)1點-基本初等函數(shù)
-
(時長:0時19分38秒)?)
冪函數(shù)
(a為實數(shù))
要記住最常見的幾個冪函數(shù)的定義域及圖形
.
指數(shù)函數(shù)
定義域：
，
值域：
，
圖形過（0，1）點，a>1時，單調(diào)增加；a時，單調(diào)減少。今后
用的較多
對數(shù)函數(shù)
定義域：
，
值域：，
與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖形過（1，0）點，a>1時，單調(diào)增加；a<1時，單調(diào)減少。
三角函數(shù)
，奇函數(shù)、有界函數(shù)、周期函數(shù)
；
，偶函數(shù)、有界函數(shù)、周期函數(shù)
；
?，
的一切實數(shù)，奇函數(shù)、
周期函數(shù)
?，
的一切實數(shù)，奇函數(shù)、
周期函數(shù)
；
，
反三角函數(shù)
?；
；
；
以上是五種基本初等函數(shù)，關(guān)于它們的常用運算公式都應(yīng)掌握。
注：（1）指數(shù)式與對數(shù)式的性質(zhì)
?
?
?
?由此可知
，今后常用關(guān)系式
，
如：
（2）常用三角公式
?
?
?
?
復(fù)合函數(shù)
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','2','0','0')"
\o
"第1章2節(jié)2點-復(fù)合函數(shù)
-
(時長:0時10分4秒)?)
設(shè)y是u的函數(shù)
，
，而u是x的函數(shù)
，如果
，則
稱為由
和
復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，u叫中間變量。
注：（1）
的定義域或者和
的定義域相同，或者只是
的定義域的一部分，并且不是任何兩個函數(shù)都可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)
如：
,則
的定義域是
,是
的定義域的一部分，
不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。
例1設(shè)
的定義域是[0，1]，求
的定義域。
解
所以
的定義域為
（2）復(fù)合函數(shù)也可以由更多個函數(shù)復(fù)合而成
如：
，則
要求：能夠判斷一個復(fù)合函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)符合而成的，這一點對今后的學(xué)習(xí)非常重要，方法是：從外向里，層層剝皮。
例2判斷下列函數(shù)是由那些簡單函數(shù)復(fù)合而成的
（1）
（2）
（3）
（4）
解
（1）
（2）
（3）
（4）
初等函數(shù)
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','3','0','0')"
\o
"第1章2節(jié)3點-初等函數(shù)
-
(時長:0時2分19秒)?)
由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次復(fù)合構(gòu)成的能用一個解析式表出的函數(shù)叫初等函數(shù)。
說明：一般情況下，大多數(shù)分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但能用一個解析式表達(dá)的分段函數(shù)仍為初等函數(shù)。
雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','4','0','0')"
\o
"第1章2節(jié)4點-雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)
-
(時長:0時2分40秒)?)
雙曲正弦：
，奇函數(shù)，單調(diào)增函數(shù)；
雙曲余弦：
，偶函數(shù)，
時，單調(diào)減，
時，單調(diào)增；
雙曲正切：
，奇函數(shù)，單調(diào)增函數(shù)。
函數(shù)的圖形見書P27~P28。
下面公式成立
，
，
，
。
反雙曲正弦
反雙曲余弦
，
反雙曲正切
函數(shù)圖形的變換
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','5','0','0')"
\o
"第1章2節(jié)5點-函數(shù)圖形的變換
-
(時長:0時4分37秒)?)
平
移
①
由
的圖形，作
的圖形。
圖形右移，
，圖形左移。如：由
圖形作
的圖形。由
的圖形作
的圖形。
②
由
的圖形作
的圖形。
，圖形上移，
，圖形下移。如：由
的圖形作
的圖形
翻轉(zhuǎn)
①
由
圖形作
的圖形。（以
軸為對稱軸翻
）
如：由
的圖形作
的圖形
②
由
圖形作
的圖形。（以
軸為對稱軸翻
）
如：由
的圖形作
的圖形
迭加與放縮（略）
函數(shù)關(guān)系的建立
(?javascript:onclick=gohref('129','1','2','6','0','0')"
\o
"第1章2節(jié)6點-函數(shù)關(guān)系的建立
-
(時長:0時10分33秒)?)
例3把半徑為
的一圓形鐵片自中心處剪去中心角為
的一扇形后，圍成一無底圓錐，將這圓錐的體積表為
的函數(shù)。
解
設(shè)圓錐底面半徑為
，高為
，則
=
例4有一重量為G的物體放在水平的桌面上，用力F使它由靜止開始移動（見圖），已知物體與桌面間的摩擦系數(shù)是
，試將力F的大小表示為它與桌面所成的角度
的函數(shù)
解:
顯然，使物體開始移動所用的力F的大小隨著它與桌面所成的角度
的大小而定，因此F與
間存在函數(shù)關(guān)系。重量G與摩擦系數(shù)
是常數(shù)。
將力F分解成與桌面平行和垂直的的兩個分力
，則物體對桌面的壓力
。設(shè)摩擦力為R，由物理學(xué)知道：摩擦力=摩擦系數(shù)×壓力，所以
要使物體開始移動，水平分力必須與摩擦力相等，即
，
因此
所以，
（
）
第四節(jié)
矢量的數(shù)量積與矢量積
一、
數(shù)量積（點積）
設(shè)一物體在常力作用下沿直線從點O移動到點P，則物體的位移
，力所做的功
定義：兩個矢量
與的模與其夾角
的余弦之積稱為
與
的數(shù)量積（或稱內(nèi)積、點積），記作
既
或
運算性質(zhì)：
（1）交換律
（2）結(jié)合律
（3）分配律??
其中
為常數(shù)
兩個結(jié)論：（1）
（2）兩個非零矢量與相互垂直的充要條件是
既
注：規(guī)定零矢量與任何矢量垂直，所以兩矢量?與
垂直的充要條件是
.
數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式
設(shè)
；
則
兩矢量夾角的余弦為(
,
均為非零矢量)
或
其中
為
的方向角，
為
的方向角。
例1
設(shè)，
，求
。
解
例2
已知三點
求矢量
和
的夾角
。
解
???????
所以
例3
證明：矢量
垂直于矢量
解?
垂直于向量
例4
設(shè)
，求
的模。
解
?
例5
設(shè)
若
，則
？
解?
所以
二、
矢量積（叉積）
定義：兩個矢量
與
的矢量積仍是一個矢量，
記作
，其模為
，其方向由到
按右手法則決定，且
。
即?
，
且
注：矢量積的結(jié)果是矢量
運算性質(zhì)：（1）反交換律
（2）結(jié)合律
（3）分配律?
兩個結(jié)論：（1）
（2）兩個非零矢量與平行的充要條件是
即
注：
在幾何上表示以矢量
為鄰邊的平行四邊形的面積
?
?矢量積的坐標(biāo)表達(dá)式
設(shè)
，
則
?
?
??
??
所以
例6
設(shè)
求。
解
?
例7
設(shè)
求與
都垂直的單位矢量
解?
與
和都是垂直的，
例8
設(shè)
求
解
，
例9
設(shè)與的夾角為
，
，求
解
例10
設(shè)與的夾角為
，
，求
例11
求以
三點為頂點的三角形面積
解
，
所以，三角形面積為
增量：變量
從初值
變到終值
，則
稱為變量
的增量或
改變量，記為
，即?
對于函數(shù)
，當(dāng)自變量從
變到
時，
稱為自變量
的增量；
對應(yīng)的函數(shù)值從
變到
，
稱為函數(shù)
的增量。
注：增量可正可負(fù)。
圖3-1
定義
設(shè)函數(shù)
在點
的某一鄰域內(nèi)有定義，
如果當(dāng)自變量的增量
趨于零時，對應(yīng)函數(shù)的增量
也趨于零
即
，
那么就稱函數(shù)
在點
連續(xù)，?稱為函數(shù)
的連續(xù)點。
極限
可寫成
，
即
所以此定義也可改寫為
定義設(shè)函數(shù)
在點
的某一鄰域內(nèi)有定義，如果?
，
那么就稱函數(shù)?
在點
連續(xù)。
由定義可知，函數(shù)
在點
連續(xù)，必滿足三個條件
（1）
在點
有定義
（2）
存在（左、右極限存在且相等）
（3）
如果三條中有一條不滿足，則
在
點就不連續(xù)。
例1
設(shè)
討論
在
的連續(xù)性
解
是一分段函數(shù)，
∵?
????
???
???
所以
不存在，故在
處
不連續(xù)。
圖?3-2
例2
討論函數(shù)
在
，
及
處的連續(xù)性。
解
?在
處：
?不存在，所以不連續(xù)。
在
處：
，所以連續(xù)。
在
處：
且
所以連續(xù)。
左連續(xù)、右連續(xù)：
若
存在且等于
，即
，則稱
在
點左連續(xù)；
若
存在且等于
，即
，則稱
在
點右連續(xù)。
圖?3-3
如：上兩例中的函數(shù)均在
點左連續(xù)。
顯然
在
點連續(xù)，則
在
點左連續(xù)且右連續(xù)。
函數(shù)
在區(qū)間連續(xù)：
如果函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)
在區(qū)間
?
內(nèi)連續(xù)；
?如果
在區(qū)間
內(nèi)連續(xù)，在
點右連續(xù)，在
點左連續(xù)，
?則稱函數(shù)
在閉區(qū)間
上連續(xù)。
圖3-4
例3
當(dāng)
時，
且
在
連續(xù)，則
解??∵
在
連續(xù)，
?
例4
設(shè)函數(shù)
在
處連續(xù)，求
。
解
因為
在
處連續(xù)，所以
，
???而
，
如果函數(shù)
在
的去心鄰域內(nèi)有定義，但在
不連續(xù)，稱
為
的間斷點。
與連續(xù)的條件相對應(yīng)，有下列三種情形之一時，則
在
點就不連續(xù)，
點
就為間斷點。
(1)在點
沒有定義
(2)在點
有定義，但
不存在
(3)在點
有定義，且
存在，但
如：
在點
無定義，且
不存在，所以
是
的間斷點。
?是
的間斷點，
在
?有定義，
但
不存在
(條件2)
是
?的間斷點，因
在
有定義，
且?
，但
間斷點的分類
（1）
跳躍間斷點???????????????????????????????
若
在
的左右極限存在但不相等，
則稱
為跳躍間斷點。
如：
是
?的跳躍間斷點。????圖?3-5
（2）
可去間斷點
?存在但不等于
，則稱
為可
去間斷點。
補(bǔ)充或修改
在
的定義后，可使
在
連續(xù)。
如：
是?
的可去間斷點。
圖?3-6
（3）
無窮間斷點
當(dāng)
（或
，或
）時，
，則稱
為無窮間斷點。
如：
是
的無窮間斷點。
圖3-7
（4）
震蕩間斷點
當(dāng)??時，
無窮震蕩沒有極限。
如：
在
?處。
（1）、（2）稱為第一類間斷點，（3）、（4）稱為第二類間斷點。
定理（1）有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；
（2）有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；
（3）兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)（分母在該點不為零）
定理
如果函數(shù)
在區(qū)間
單調(diào)增加（減少）且連續(xù)，
則它的反函數(shù)
在對應(yīng)的區(qū)間
也單調(diào)增加（減少）且連續(xù)。
定理
設(shè)?
在
點連續(xù)，
且?
，而
在
連續(xù)，
則復(fù)合函數(shù)
也在
點連續(xù)。
定理一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。
例1
求函數(shù)
的連續(xù)區(qū)間。
解
函數(shù)
的定義區(qū)間是[-1，1]，所以連續(xù)區(qū)間也是[-1，1]。
例2
求函數(shù)
的間斷點。
解
函數(shù)
的定義區(qū)間是
，
所以間斷點是
（函數(shù)在這兩點沒定義）。
例3
求函數(shù)
的間斷點。
例4
設(shè)函數(shù)
?在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，求
。
解
的定義區(qū)間為
，所以當(dāng)
時，
連續(xù)，
有?
，
而
，
，
所以
，即
。
例5
設(shè)函數(shù)
，求
的連續(xù)區(qū)間和間斷點。
解
的定義區(qū)間為
，
當(dāng)?
時，
連續(xù)；
當(dāng)?
時，
也連續(xù)；
當(dāng)?
時，
，
，
所以?
時，
不連續(xù)。
所以?
的連續(xù)區(qū)間為
，
的間斷點為
。
設(shè)
在
處連續(xù)，則
。對復(fù)合函數(shù)有
定理
設(shè)?
在
處連續(xù)，又
且?
，
則?
?如?
例6
求下列極限
（1）
（2）
（3）
（
）
解（1）
=
=
（2）
（3）令
，則
，
時，
，
?
最大值、最小值的概念：
設(shè)
在區(qū)間
上有定義，
，如果對于一切
，有
則稱
為
在區(qū)間
上的最大值（最小值）。
定理
（最大值、最小值定理）
??
??????
?
閉區(qū)間
上連續(xù)的函數(shù)
必在該區(qū)間上取得最大值和最小值。
定理
（介值定理）
設(shè)
在閉區(qū)間
上連續(xù)，
分別為
在
上的
最小、最大值，則
必可取到
與
之間的任何值，既對任意的
則至少存在一點
使
如果?
使
，則?
稱為函數(shù)
的零點。
?
推論
（零點存在定理）設(shè)
在
上連續(xù)，且
，
則必存在?
使
。
圖3-11
例1
證明：方程
在?1?與?2?之間至少有一個根。
證
：
在?[1，2]?上連續(xù)，又
∴至少有一點
使
即
就是方程在?1?與?2?之間
的一個根。
定理
（有界性定理）設(shè)
在
上連續(xù)，則?
在
上有界
數(shù)列的概念
(?javascript:onclick=gohref('129','2','1','1','0','0')"
\o
"第2章1節(jié)1點-數(shù)列的概念
-
(時長:0時8分1秒)?)：設(shè)
是正整數(shù)
的函數(shù)，當(dāng)
按增大順序取值時，得到的一串函數(shù)值
稱為數(shù)列，記
，即
?
數(shù)列中的每個數(shù)叫數(shù)列的項，稱為通項（或一般項），數(shù)列記為
。
例如：
（1）
1，2，3，...，...
...?
（2）
1，2，3，...
...
?
（3）
1，2，3，...
?...
（4）
1,2，3，...
-1，
1，
-1
，
1，
-1，
1，...
（5）
1，2，3，...?
…?
單調(diào)數(shù)列：如果
?…
…
，稱數(shù)列
單調(diào)增；如果
?
…
…，稱數(shù)列
單調(diào)減；單調(diào)增與單調(diào)減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。
如：數(shù)列（2）、（5）單調(diào)增，數(shù)列（3）單調(diào)減。
有界數(shù)列：如果對任何正整數(shù)
，存在正數(shù)
，使
恒成立，稱數(shù)列
有界，否則稱為無界。
如：數(shù)列（1）、（2）、（3）、（4）有界，數(shù)列（5）無界。
數(shù)列的極限
(?javascript:onclick=gohref('129','2','1','2','0','0')"
\o
"第2章1節(jié)2點-數(shù)列的極限
-
(時長:0時23分18秒)?)
對于數(shù)列
，重要的是討論它當(dāng)項數(shù)n無限增大時（記
），
的變化趨勢，是否無限接近于某一個常數(shù)。如果
時，
無限接近于一個常數(shù)
，則稱
為
當(dāng)
時的極限，如前面數(shù)列中
考察數(shù)列
,
即
…
?，…
?
當(dāng)n趨于無窮時
的變化趨勢。由于
，顯然n
時，
1，即
無限接近于零。也就是說：對于任意預(yù)先給定的無論多小的正數(shù)
，當(dāng)
大到一定程度時，有
。如：對于
，要
，只要
，就有
對于
，要
，只要
，就有
對于
，要
，只要
，就有
對于
，要
，只要
，就有
一般地說，對于任意給定的正數(shù)
，存在著一個正整數(shù)
，對
時的一切
，有
成立。這樣就描述了
當(dāng)
時無限接近于1這一事實。1是
當(dāng)
時的極限。
定義：如果數(shù)列
與常數(shù)A有關(guān)系：對于任意給定的無論多小的正數(shù)
，總存在正整數(shù)N（ε），使對于n＞N時的一切
，不等式
都成立，則稱常數(shù)A是數(shù)列
當(dāng)
時的極限，或者稱數(shù)列
當(dāng)
時收斂于A,記為
?或
此時，稱
為收斂數(shù)列，如果
不收斂（沒有極限），稱
是發(fā)散的。
例?1??證明數(shù)列
的極限是1。
證
對于任意給定的無論多小的正數(shù)
，要使
只要
即可，取
，則當(dāng)
時，有
收斂數(shù)列的性質(zhì)
定理
收斂數(shù)列的極限是唯一的
證明
用反證法。假設(shè)
又
，且
。取
，
因
，存在正整數(shù)
，使
時，有
（1）
同理，因，存在正整數(shù)，使時，有（2）
取
，則時，（1）、（2）兩式應(yīng)同時成立，又由（1）式可得
，由（2）式可得
，矛盾。所以，數(shù)列的極限是唯一的。
定理
收斂的數(shù)列必定有界。
證明
設(shè)
，由極限定義，對
存在正整數(shù)
，使
時的一切
，有
成立，即
成立。取
，則對數(shù)列中的一切
，有
成立。所以，數(shù)列
有界。
子數(shù)列：在數(shù)列
中任意選出無窮多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，這樣抽得的數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列。
如：數(shù)列
中
?…
…為一個子數(shù)列
?…
?…也是一個子數(shù)列
任意一個子數(shù)列可記成
定理
如果數(shù)列
收斂于
，那么它的任意一個子數(shù)列也收斂于
如果數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，則數(shù)列是發(fā)散的。如：
。
?指：
無限變大。
型f(x)的極限
如果在
的過程中，
無限接近于某確定的數(shù)值
，則稱
為函數(shù)
當(dāng)
時的極限。
考察函數(shù)
，當(dāng)
時的變化趨勢，
?
顯然，當(dāng)
時，
，即
可任意小。也就是對于任意給定的無論多小的正數(shù)
，要
，只要
即可，取正數(shù)
，則
時，有
成立。這樣就描述了
時，
的極限過程。
定義
設(shè)函數(shù)
和常數(shù)
有關(guān)系：對于任意給定的無論多小的正數(shù)ε，總存在正數(shù)
，使當(dāng)
時的一切
，有
成立，則稱
為函數(shù)
當(dāng)
時的極限，或說
當(dāng)
時收斂于
，記作
?或
例1證明：
證
：設(shè)
?
要使
，只要
，
取
，當(dāng)
時，有
成立，
同理可證：
說明：當(dāng)
，
無限增加時，記作
，
當(dāng)
，
無限增加時記作
，
可以定義，
(或
)時函數(shù)
的極限，分別記作
如：
注意：
存在的充要條件是
都存在且相等。
?不存在。
型f(x)的極限
?指
以任何方式趨于
，也即
任意變小。
如果在
的變化過程中，函數(shù)值
無限接近于確定的數(shù)值
，則稱
為
當(dāng)
時的極限。即對于任意給定的無論多小的正數(shù)
，只要
與
充分接近（用
來描述），可有
成立。
如觀察函數(shù)
，當(dāng)
時，
的變化趨勢，
顯然，當(dāng)
時，
，既
可任意小。對于任意給定的
，只要
（取
），就有
成立。
定義
設(shè)函數(shù)
在
的某去心鄰域內(nèi)有定義，
與常數(shù)
有關(guān)系：對于任意給定的無論多小的正數(shù)ε，總存在著正數(shù)
，使對于一切滿足
的
，有
成立，則常數(shù)
稱為
當(dāng)
時的極限，或說
當(dāng)
時收斂于
，記作
?或
注意：
時，函數(shù)
有沒有極限與
在點
是否有定義無關(guān)，所以定義中要求
。
例?2??證明：
證：設(shè)
?
要使
，只要取
，則當(dāng)
時，就有
同樣可證明：
，
左、右極限
當(dāng)
從
的左側(cè)趨于
(記作
或
)時，
的極限稱為
趨于
時的左極限，記作
當(dāng)
從
的右側(cè)趨于
(記作
或
)時，
的極限稱為
趨于
時的右極限，記作
定理
函數(shù)
當(dāng)
時的極限存在的充分必要條件是
當(dāng)
時的左右極限都存在且相等。既
例?3??討論當(dāng)
時函數(shù)
的極限是否存在。
?解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
不存在。
????極限的性質(zhì)
定理
如果
,且
,則存在點
的某一去心鄰域，當(dāng)
在該鄰域內(nèi)時，有
。
定理
如果在點
的某一去心鄰域內(nèi)
，且
，則
(
)。
函數(shù)的極限形式有下面幾種情況：
總結(jié)上述極限，將其概括為：對于任意給定的無論多小的正數(shù)
，在
的某個變化過程中存在著一個時刻，當(dāng)
的變化過程超過這一時刻時，有
恒成立，則稱
是
在
的這一變化過程中的極限，記
無窮小
(?javascript:onclick=gohref('129','2','3','1','0','0')"
\o
"第2章3節(jié)1點-無窮小
-
(時長:0時5分39秒)?)與無窮大
(?javascript:onclick=gohref('129','2','3','1','0','0')"
\o
"第2章3節(jié)1點-無窮小
-
(時長:0時5分39秒)?)
如果在
的某個變化過程中，
以零為極限，則稱
在
的這個變化過程中為無窮小。
定義
當(dāng)
或
時，如果函數(shù)
的極限為零，則稱
當(dāng)
（或
）時為無窮小量。
如：
注：無窮小是一個極限為零的變量（即絕對值無限變小的函數(shù)），不是很小的常數(shù)，但零是可以作為無窮小的唯一常數(shù)。
無窮小與函數(shù)的極限有關(guān)系
定理?如果
或
，則當(dāng)
（或
）時，
是無窮小，反之也成立。
如：
?如果在
的某個變化過程中，
的絕對值
無限變大，則稱
在
的這個變化過程中為無窮大。
定義
如果對于任意給定的無論多么大的正數(shù)M，總存在正數(shù)
(或正數(shù)
)，使得對于適合不等式
(或
)的一切
恒有
成立，則稱
當(dāng)
(或
)時為無窮大，記作
（或
）
如：????????????
注：(1)無窮大是絕對值無限增大的變量，不是一個很大的常數(shù)。
(2)
當(dāng)
(或
)時，如果
取正值無限增大，則稱
當(dāng)
(或
)時為正無窮大，記作
（或
）；如果
取負(fù)值而絕對值無限增大，則稱
當(dāng)
(或
)時為負(fù)無窮大，記作
（或
）。
（3）
是無窮大還是無窮小與
的變化過程有關(guān)。
如：
，當(dāng)
時為無窮大，而當(dāng)
→∞時為無窮小。
定理
在自變量的同一變化過程中，如果
是無窮大，則
是無窮小；反過來，如果
是無窮小且
，則
是無窮大。
如：
時，
是無窮大，
是無窮小。
極限的運算法則
(?javascript:onclick=gohref('129','2','4','0','0','0')"
\o
"第2章4節(jié)-極限的運算法則
-
(時長:0時42分23秒)?)
定理
設(shè)
則
（1）
（2）
???????
（3）
（
）
（4）
（
為正整數(shù)）
（5）
（
為正整數(shù)，
為偶數(shù)時
）
說明：（1）
換成
的其他變化過程，定理仍成立。
（2）此法則對數(shù)列的極限同樣適用。
例?1??求極限
解
例2求極限
解
例3求極限
解?=
例4求極限
解
因為
，所以
注意：不能這樣寫
例5求極限
解??
關(guān)于這種極限有
?
如：
上式也可以用于數(shù)列極限的情形
如
存在且不為零，則
例6求極限
解
例7求極限
解
?
例8求極限
解
例9求極限
解
例10求極限
解
由于
，所以
例11求極限
解
例12求極限
定理：（1）有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小；
（2）有限個無窮小的乘積是無窮小；
（3）無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小。
如：
例13設(shè)
討論
時
的極限。
解?
不存在。
?
極限存在的準(zhǔn)則
(?javascript:onclick=gohref('129','2','5','1','0','0')"
\o
"第2章5節(jié)1點-極限存在的準(zhǔn)則
-
(時長:0時2分17秒)?)
定理
(夾逼準(zhǔn)則)設(shè)函數(shù)
在
點某鄰域內(nèi)（
可除外）滿足條件
，且
，則
。
注：此定理對
的其他變化過程也成立，將函數(shù)改為數(shù)列同樣成立。
定理
單調(diào)有界數(shù)列必有極限
兩個重要極限
(?javascript:onclick=gohref('129','2','5','2','0','0')"
\o
"第2章5節(jié)2點-兩個重要極限
-
(時長:0時17分34秒)?)
重要極限1
這個極限中
可以是任意的無窮小量
如：
，
重要極限?2
?
，
?
這個極限中
可以是任意的無窮大量
如：?
當(dāng)令
時，此極限可變形為
例1求極限
解
例2求極限
解
令
，則
時，
?
例3求極限
解
（用
）
例4求極限
解
例5求極限
解
令
，則
?
例6求極限
解
例7求極限
解
例
8求極限
解：
例1
求曲線
在曲線上的點
處切線的斜率。
?
圖4-1
在曲線
上點
的附近另取一點
，連接
和
得
割線
，當(dāng)
沿曲線趨于
時,割線
的極限位置稱為曲線在點
的切線。
令
，
，則
的斜率為
，如果
存在，則此極限值就是曲線的切線的斜率。
設(shè)切線的傾角為
，則
從另一角度，
表示
在區(qū)間
（或
）的平均變化率，極限
稱為函數(shù)
在
的變化率。
例2
求變速直線運動的物體的瞬時速度。物體產(chǎn)生的位移
是時間
的函數(shù)，設(shè)
運動方程為
，求在
時刻的速度。
定義
設(shè)函數(shù)
在點
的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量
從
變到
時，則函數(shù)得相應(yīng)的增量
，如果極限
存在，則稱函數(shù)
在點
可導(dǎo)，并稱此極限為函數(shù)
在點
的導(dǎo)數(shù)。記作
，或
，
，
，
即?
如果記
，則上式可寫為
或記
則?
如果上述極限不存在，則稱函數(shù)在點
不可導(dǎo)。
例3
設(shè)
在
處可導(dǎo)
（1）
（2）
則
？
解
（1）
（2）
??
例4
設(shè)?且?
則?
解
?
例5
證明：
在?
處不可導(dǎo)。
解
在
處不可導(dǎo)。
注意：函數(shù)
在（0，0）處的切線存在，斜率為
，所以函數(shù)
在
處有
或
時，有時?也稱
?在
處導(dǎo)數(shù)無窮大。
?
圖4-2左、右導(dǎo)數(shù)
左導(dǎo)數(shù)
?
右導(dǎo)數(shù)
?
顯然有，
在
處可導(dǎo)的充要條件是：
在
的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。
例6
討論函數(shù)
在
處的可導(dǎo)性。
解
在
可導(dǎo)且
如果函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)每一點都可導(dǎo)（閉區(qū)間時，左端點須右可導(dǎo)，右端點須左可導(dǎo)），則稱函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)可導(dǎo)，此時其導(dǎo)數(shù)值是隨
而變的函數(shù)，稱為
的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作
而
是
的導(dǎo)函數(shù)
在
處的函數(shù)值。
用定義求函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)（函數(shù)），可分三步進(jìn)行：
（1）求增量
（2）求比值
（3）求極限
例7
求
（
為正整數(shù)）
解
?
（應(yīng)用二項式定理）
，所以
一般地有
???
為任意實數(shù)。
例8
求
的導(dǎo)數(shù)。
解
?
所以
利用導(dǎo)數(shù)的定義和基本求導(dǎo)法則求出了常用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
請大家背下來。
如：
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
例9
設(shè)
，求
解
?
定理
如果函數(shù)
在點可導(dǎo)，則函數(shù)在點連續(xù)。
因為
在點
可導(dǎo)，
即
，
（增量公式）
即
所以
時，
。
在
處連續(xù)。
注
：定理的逆不一定成立。既函數(shù)
在點
連續(xù)，卻不一定可導(dǎo)。
例10
函數(shù)
，在點
連續(xù)，但不可導(dǎo)。
?
所以
在
連續(xù)。
在
處不可導(dǎo)。
例11
討論函數(shù)
在
處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。
解
在
處連續(xù)。
在
處可導(dǎo)，且
。
例12
設(shè)
問當(dāng)
為何值時，
在
連續(xù)且可導(dǎo)。
解
在
處連續(xù)，則
，
在
處可導(dǎo)，則
在點的導(dǎo)數(shù)是曲線在點處切線的斜率。
所以
在
處的切線方程為
?
法線方程為
例13
求
在(-1，1)處的切線方程和法線方程。
解
，
切線方程為
法線方程為
例14
設(shè)曲線
上的點
處的切線平行于直線
，
求點
的坐標(biāo)。
解
因為曲線在
點的切線平行于
，
解出
所以
點的坐標(biāo)為
。
定理
設(shè)函數(shù)
在點
可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）也均在
處可導(dǎo)，且
（1）
（2）
為常數(shù)）
推廣：?
（3）
例1
設(shè)
，求
。
解
?
例2
設(shè)
，求
。
解
?
例3
設(shè)
，求
。
解
?
例4
設(shè)
，求
。
解
?
例5
，求
。
解
例6
，求
。
解
既
,同樣方法可求出
的導(dǎo)數(shù)。
例7
例8
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
（1）
（2）
解
（1）
???（2）
?
前面我們講反函數(shù)的連續(xù)性時講過，區(qū)間I上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍然是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，現(xiàn)在我們假定它的導(dǎo)數(shù)存在來研究其反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的情況。
定理
：如果函數(shù)
在某區(qū)間
內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且
，那么它的反函數(shù)
在對應(yīng)區(qū)間
內(nèi)也可導(dǎo)，且?
????即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。
例9
求函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)。
解
是
的反函數(shù)，
在
內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且
所以
在(-1，1)內(nèi)可導(dǎo)，且
由
?????所以
同理可得
，
，
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法是一非常重要的方法，因為一個復(fù)雜的函數(shù)不僅可由一些簡單函數(shù)經(jīng)四則運算得到，也經(jīng)常由函數(shù)的復(fù)合運算而構(gòu)成，因此我們必須研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。
定理
如果
在點
可導(dǎo)，而
在點
可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)
在點
可導(dǎo)，且
證：由于
在
可導(dǎo)，因此
存在，因此
其中
時的無窮小，當(dāng)
時，用
乘上式兩端得
當(dāng)
=0時，規(guī)定
=0，則上式仍然成立，兩端除以
得
取極限得
即
例10
設(shè)
，求
。
解
設(shè)
，則
，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得
?
例11
，求
。
解
設(shè)
，則
，
?
例12
，求
。
解
?
利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式還可得
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個中間變量的情形，如設(shè)
，則
的導(dǎo)數(shù)為
或
例13
，求
。
解
求導(dǎo)熟練后，可不寫出中間變量，按復(fù)合順序?qū)訉忧髮?dǎo)即可，大家要能做到這一點。
如上例
注意
：
例14
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
（1）
（2）
（3）
解
（1）
（2）
?
（3）
?
注意
：符號
與
的區(qū)別。
如：
例15
下列寫法哪個正確
1．設(shè)
，則
（1）
（2）
（3）
2．設(shè)
，則
?
3．設(shè)
，則
例16
設(shè)下列函數(shù)可導(dǎo)，求它們的導(dǎo)數(shù)
（1）
（2）
（3）
解
（1）
（2）
（3）
例17
設(shè)
可導(dǎo)，且
，求
解
例18
已知
，求
解
，
，
，
所以
例19
設(shè)
是可導(dǎo)的偶函數(shù)，證明：
是奇函數(shù)。
證明
：因
是偶函數(shù)，
等號兩邊對
求導(dǎo)，
，即
所以
是奇函數(shù)。
此結(jié)論也可用導(dǎo)數(shù)的定義證明。
由方程
所確定的
與
間的函數(shù)關(guān)系稱為隱函數(shù)。
隱函數(shù)求導(dǎo)法：
兩邊對
求導(dǎo)（
是
的函數(shù)
）得到一個關(guān)于
的方程，解出
即可。
例20
求由方程
所確定的隱函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)。
解
方程兩邊對
求導(dǎo)
例21
求由方程
所確定的隱函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)并求
。
解
方程兩邊對
求導(dǎo)
?
當(dāng)
時，由方程解出
例22
設(shè)
求
。
解
原方程為
等號兩邊對
求導(dǎo)得
，
例23
求橢圓
在點
處的切線方程。
解
，
，
所以，切線方程為
注：
方程
中，變量
與
的地位是平等的，同樣可確定
的一個隱函數(shù)
，所以可求
。
?
先把函數(shù)
取自然對數(shù)化為隱函數(shù)然后求導(dǎo)，這種方法叫對數(shù)求導(dǎo)法。
例24
設(shè)
，求
解
時，
=
例25
設(shè)
，其中
，
均為可導(dǎo)函數(shù)，
且
，求
。
解
?注
：冪指函數(shù)也可寫成復(fù)合函數(shù)的形式求導(dǎo)
例26
求函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)
解
法一
取對數(shù)
，
法二
例27
設(shè)
求
。
解
例28
設(shè)由方程
確定
是
的函數(shù)，求
。
解
方程兩邊取對數(shù)
等號兩邊對
求導(dǎo)
注：分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如
求
解
在
不連續(xù)，所以不可導(dǎo)；
；
?所以
不存在。
高階導(dǎo)數(shù)
(?javascript:onclick=gohref('129','4','5','0','0','0')"
\o
"第4章5節(jié)-高階導(dǎo)數(shù)
-
(時長:0時18分2秒)?)
定義
設(shè)
在
的某鄰域可導(dǎo)，如果極限
存在，稱此極限值為
在
處的二階導(dǎo)數(shù)，也稱
在
處二階可導(dǎo)，記作
的導(dǎo)數(shù)
稱為一階導(dǎo)，
本身稱為零階導(dǎo)。
二階導(dǎo)
的導(dǎo)數(shù)為三階導(dǎo)，記作
一般
的n階導(dǎo)記作
或
例1
設(shè)
（n為正整數(shù)），求
。
解
，
，…，
例2
求下列函數(shù)的
階導(dǎo)
（1）
（2）
（3）
解
（1）
（2）
，
，
，…，
?
（3）
，
，…，
?
例3
設(shè)
，求
解
，
例4
設(shè)
存在二階導(dǎo)，求
的二階導(dǎo)。
解
，
例5
設(shè)
，求
解
代入
得
當(dāng)
時，
注
：書中幾個常用函數(shù)的n階導(dǎo)公式要記住，如：
參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)
由參數(shù)t表示的
與
的函數(shù)關(guān)系
稱為函數(shù)的參數(shù)方程。
定理
設(shè)有參數(shù)方程
，
，
與
都是可導(dǎo)函數(shù)且
，則
?當(dāng)
二階可導(dǎo)時，
?
例1
設(shè)
，求
解
，
也可求出
后，直接
套公式。
例2
設(shè)
，求
。
解
，
，
例3
已知橢圓的參數(shù)方程為
，求在
處的切線方程。
解
在
處的切線斜率為
當(dāng)
時，橢圓上相應(yīng)
點
切線方程為
即
?
許多實際問題中常常要求函數(shù)的增量。
例如：一塊正方形鐵板，受熱后邊長由
增加
到
，（見圖）問它的面積增加了多少？
設(shè)邊長為
，則正方形面積
，顯然，
鐵板受熱后增加的面積對應(yīng)函數(shù)的增量
，即
由兩部分組成，第一部分
是
的線性函數(shù)，它的系數(shù)
是函數(shù)
在
處的導(dǎo)數(shù)；第二部分
當(dāng)
時是
的高階無窮小，即
；這樣
當(dāng)
很小時，
問題：是否對于任一函數(shù)
都是如此呢？
第一節(jié)中提到的增量公式回答了這一問題。
如果函數(shù)
在
處可導(dǎo)，則有增量公式??
?
其中
稱為函數(shù)增量
的線性主部，也叫做函數(shù)
在點
處的微分，
是
的高階無窮小，當(dāng)
很小時，
。
定義
：設(shè)函數(shù)
在
處可導(dǎo)，則增量
的線性主部
稱為
在
處的微分，記作
或
，
即
?
。
注
：（1）規(guī)定
，所以
的微分記作
，所以
，因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。
（2）由定義知
在
處可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)也必可微。
（3）當(dāng)
很小時，有
。所以可用微分作近似計算
（
很小）
?
??
見圖，對曲線
上的點?
，當(dāng)變量
有增量
時，可得曲線上另一點
，
，
過點
作曲線的切線
，
它的傾角為
，則
??即
所以，當(dāng)
是曲線
上的點的縱坐標(biāo)的增量時，
就是曲線的
切線上點的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。
1.
由基本導(dǎo)數(shù)公式可得基本微分公式，書中168頁的表要背下來。
2.
函數(shù)和、差、積、商的微分法則
（C為常數(shù)）
3.復(fù)合函數(shù)微分法（微分形式的不變性）
設(shè)
可微
（1）當(dāng)u為自變量時，
（2）當(dāng)
時，
求
的微分
時，可先求出
再寫出微分，也可利用微分法則和微分形式的不變性。
例1
設(shè)
，求
解
法一
?
法二
例2
設(shè)
，求
解
法一
?
法二
?
例3
設(shè)
，求當(dāng)
時的微分。
解
?
例4
求下列函數(shù)的微分
（1）
（2）
可導(dǎo)
解
（1）
（2）
例5
填空
（1）
，（2）
解
?（1）因為
，即
填
。
（2）因為
，所以填
由微分的定義知，當(dāng)
很小時，有
，也即下面的近似計算公式
（1）
或
（
很小）
（2）
例6
有一批半徑為1cm的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，厚度為0.01cm，估計一下每只球需要用多少克銅（銅的比重是
）？
解
設(shè)球體積為
，半徑為
，則
，
現(xiàn)
，求體積的對應(yīng)改變量
，
，
所以每只球需要銅約為
例7
求
的近似值。
解
將
化成弧度，
，設(shè)
，則
，
取
，利用公式（2）
在（2）式中令
，則（2）成為
此式說明當(dāng)
在
的鄰域內(nèi)可導(dǎo)時，
可表示成
的線性函數(shù)。如果
，可得近似公式
（
很小）
利用上式可推出書中151頁的幾個近似公式。如：
；
；
；
。
例8
求
的近似值。
解
由于
，
，利用上面第一式，
???????
定理
設(shè)
在
上連續(xù)，在
內(nèi)可導(dǎo)，
（1）
在
內(nèi)，
，則
在
上單調(diào)增；
（2）?在
內(nèi)，
，則
在
上單調(diào)減。
對函數(shù)
，如何求出
的單調(diào)增減區(qū)間呢？
?
從圖中可看出，應(yīng)先找出
單調(diào)增減區(qū)間的分界點，哪些點可能成為分界點呢？
如果
在
可導(dǎo)且
是
單調(diào)增減的分界點，則
，所以，
使
的點可能是單調(diào)增減分界點；
定義
使
的點
稱為
的駐點。
另外，
不可導(dǎo)的點也可能成為分界點，
如：
在
處不可導(dǎo)，但
時，
單調(diào)減，
時，
單調(diào)增。
所以，
可能的單調(diào)增減分界點有：駐點和不可導(dǎo)的點。
求
的單調(diào)增減區(qū)間的方法：
（1）確定
的定義域；圖5-5
??
（2）找出
的駐點和不可導(dǎo)的點，用這些點將定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；
（3）在每個小區(qū)間上用
的符號判定。
例1
求
的單調(diào)區(qū)間。
解：定義域
?
駐點：
（沒有不可導(dǎo)的點）
列表
－
所以，
在
和
內(nèi)單調(diào)增，在
內(nèi)單調(diào)減。
例2
討論函數(shù)
的單調(diào)性。
解：定義域
?
駐點：
，
不可導(dǎo)的點：
列表
－
例3
利用單調(diào)性證明：
時，有
?
證：設(shè)
?
??????
當(dāng)
時，
在
內(nèi)單調(diào)增，又
既
時，有
?
例4
證明：方程
只有一個正根。
證明：設(shè)
因
，又
在?[0，1]?上連續(xù)，由零點存在
定理，
?在（0，1）內(nèi)至少有一點
，使
，即
是方程的一個正根。
因
時，
，
單調(diào)增，所以，
時，
只有一個零點，即方程只有一個正根。
??
定義
設(shè)
在
的鄰域內(nèi)有定義，對鄰域內(nèi)任意異于
的點
（1）如果有
，則稱
為
的一個極大值，
為極大值點；
（2）如果有
，則稱
為
的一個極小值，
為極小值點。
極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。
定理（極值存在的必要條件）
設(shè)
在
可導(dǎo)且在
取得極值，則
。
如何求函數(shù)
的極值，首先要找出
可能取得極值的點，由上面定理知，駐點是可能取得極值的點，另外，
不可導(dǎo)的點也是可能取得極值的點，如：
在
處。
所以，
可能取得極值的點為：駐點和不可導(dǎo)的點。
對于上述點還要做出判斷，是否取得極值，如：
在
處，
，但
不是極值。下面給出極值
存在的充分條件。
?
定理（極值存在的充分條件）
設(shè)
在
的鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（
點可除外）
（1）如果
時，
，而
時，
，則
為極大值；
（2）如果
時，
，而
時，
，則
為極小值；
（3）
時與
時，
不變號，則
不是極值。
極值的求法：
（1）求出
的駐點和不可導(dǎo)的點；
（2）逐點用充分條件判定；
（3）求出極值。
例1
求
的單調(diào)區(qū)間。
解：定義域
駐點：
（沒有不可導(dǎo)的點）
列表
－
所以，
在
和
內(nèi)單調(diào)增，在
內(nèi)單調(diào)減。
例2
討論函數(shù)
的單調(diào)性。
解：定義域
?
駐點：
，
不可導(dǎo)的點：
列表
－
例5
求函數(shù)
的單調(diào)增減區(qū)間和極值。
解?
定義域
駐點：
不可導(dǎo)的點：
列表討論
?
－
－
?在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)增，在區(qū)間
和
內(nèi)單調(diào)減，
為極小值，
為極大值。
我們也可用二階導(dǎo)來判斷
在
取得極大值還是極小值。
定理
設(shè)
在
點二階可導(dǎo)，且
，則
（1）
時，
為極小值；
（2）
時，
為極大值。
注：如果
在
不可導(dǎo)或
且
，則
是否為
極值要用前一種方法判定。
例6
求
的極值。
解?
?
令?
得駐點
為極小值。
最大、最小值的求法
在區(qū)間
上的最大、最小值的求法：
（1）找出
在區(qū)間
內(nèi)的所有駐點和不可導(dǎo)的點，
（2）求出所有駐點和不可導(dǎo)的點以及區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，找出最大、最小值。注：如果
在區(qū)間
上單調(diào)增，則
最小，
最大；
如果
在區(qū)間
上單調(diào)減，則
最大，
最小。
?
如果
在區(qū)間的內(nèi)部只有一個極大值而沒有極小值，則這個極大值就是最大值；
同樣，如果
在區(qū)間的內(nèi)部只有一個極小值而沒有極大值，則這個極小值就是最小值。應(yīng)用問題中一般屬于這種情況。
例1
求
在指定區(qū)間上的最大、最小值
（1）
在
上；
（2）
在
上。
解：（1）
區(qū)間
內(nèi)的駐點：
，（沒有不可導(dǎo)的點）
所以最大值是
最小值是
。
（2）
當(dāng)
時
所以最大值是
最小值是
。
例2
欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料
最省？
解：設(shè)底邊長為
米，高為
米，表面積為
，則
?
?
令
得駐點
，
，
時，函數(shù)有極小值且只有這一個極小值，
是最小值點，此時，
所以，當(dāng)?shù)走呴L為?6?米，高為?3?米時，所用材料最省。
例3
鐵路線上
段的距離為?100km，工廠
距
處為?20km，（見圖），為了運輸需要，要在
線上選定一點
向工廠修筑一條公路。已知鐵路
每公里貨運的運費與公路上每公里運費之比為
。為了使貨物從
運到工廠
的
運費最省，問
點應(yīng)選在何處？
?
解
設(shè)
（km），則
，
，
設(shè)總運費為
，鐵路每公里運費為
公路每公里運費為
，則有
，令
，得唯一駐點
，所以，（km）時，總運費
有唯一極小值即
最小值，此時，運費最省。
曲線的凹向與拐點
(?javascript:onclick=gohref('129','5','6','0','0','0')"
\o
"第5章6節(jié)-
曲線的凹向與拐點
-
(時長:0時30分25秒)?)
前面，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性與極值，?對于描繪函數(shù)的圖形，這是很重要的，但只有這些是不夠的，如圖：
?
兩條曲線均單調(diào)增，但曲線的彎曲狀況不同，我們稱為曲線的凹凸性。
定義
：設(shè)
在區(qū)間
上連續(xù)，如果對
上任意兩點
恒有
?
則稱
在
上的圖形是（向上）凹的；如果恒有
則稱
在
上的圖形是（向上）凸的（或稱向下凹）。
如何判斷曲線
在區(qū)間
上的凹凸性呢？從圖中可看出
定理
設(shè)
在
上連續(xù)，在
內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)
（1）若在
內(nèi)
則
在
上的圖形是向上凹的；
（2）若在
內(nèi)
則
在
上的圖形是向上凸的（向下凹的）。
定義
處處具有切線的連續(xù)曲線
上，上凹與上凸（下凹）的分界點稱為曲線的拐點。
如何求曲線
的凹向區(qū)間和拐點，應(yīng)先找出可能取得拐點的點，顯然
可能取得拐點的點是：
的點和
不存在的點。
曲線
的凹向區(qū)間和拐點的求法：
（1）確定
的定義域；
（2）找出
的點和
不存在的點；
（3）用上述點將定義域分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用
的符號判斷凹向；
（4）在上述點（如
）的兩側(cè)鄰近，如果
的符號相反，則曲線在該點（如
）取得拐點（
）。
例1
求曲線
的凹向區(qū)間和拐點。
解
：定義域為
令
，得
列表討論
－
所以，函數(shù)在
內(nèi)下凹，在
和
內(nèi)上凹，拐點為：
和
。
注：
設(shè)
在點
三階可導(dǎo)，
則
是曲線
的拐點。
例2
已知點
為曲線
的拐點，求
的值。
解
：因為點
為曲線的拐點，所以滿足曲線的方程且
，由此得
解之
例3
利用曲線的凹向證明不等式
?其中
。
證
：設(shè)
時，
向上凹，
時，
即
?
函數(shù)作圖法
（1）確定
的定義域；
（2）討論對稱性和周期性；
（3）求單調(diào)區(qū)間和極值；
（4）求凹向區(qū)間與拐點；
（5）求漸進(jìn)線
漸進(jìn)線的求法
：
水平漸進(jìn)線
如果
或
（
為常數(shù)），
則
為水平漸進(jìn)線。
垂直漸進(jìn)線
如果
在
處間斷，且
或
則
為垂直漸進(jìn)線。
斜漸進(jìn)線
如果
則
為斜漸進(jìn)線。
例1
求下列曲線的漸進(jìn)線
（1）
，
（2）
（3）
解
（1）
，所以
為水平漸進(jìn)線；
是間斷點，
，所以
是垂直漸進(jìn)線；
，沒有斜漸進(jìn)線。
（2）所以
為水平漸進(jìn)線；
是間斷點，
，所以
是垂直漸進(jìn)線；
，
沒有斜漸進(jìn)線
（3），沒有水平漸進(jìn)線；
是間斷點，
，所以
是垂直漸進(jìn)線；
，
，有斜漸進(jìn)線
。
例2
作函數(shù)
的圖形。
解
定義域為
?無對稱性、周期性
令
得駐點
，無
的點。
列表討論
－
?
－
－
－
－
?
?
極大值?
極小值
，無拐點。
?
?為垂直漸進(jìn)線，
為
斜漸進(jìn)線，無水平漸進(jìn)線。
作出圖形。
例3
作函數(shù)
的圖形。
解
定義域為
，是偶函數(shù)，圖形關(guān)于
軸對稱，只討論
上該函數(shù)的圖形即可。
令
，得駐點
，令
，得
，
列表討論
0
（0，1）
1
0
－
－
－
－
－
0
+
?的圖形
極大
?下凹
拐點
?上凹
，有水平漸進(jìn)線
。無垂直和斜漸進(jìn)線。
為極大值，
，拐點
，
，
?
通過三點
，
，
作出函數(shù)在
部分的圖形。再由對稱性作出
部分的圖形。
微分方程
含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，叫微分方程。
當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)時，叫常微分方程，當(dāng)未知函數(shù)是多元函數(shù)時，叫偏微分方程。
如?
（三階）
（一階）
（一階）
（二階）
微分方程的階：
微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫微分方程的階。
一般地，n?階微分方程的形式是???
微分方程的解：
滿足微分方程的函數(shù)叫做微分方程的解，當(dāng)解中含有獨立的任意常數(shù)，
且其個數(shù)恰好是方程的階數(shù)時，這種解叫通解。
例1
某曲線的切線斜率為
且過點（1，2），求此曲線的方程。
解：設(shè)曲線方程為
，由題意
????
，（一階微分方程）且
（
）
兩邊積分
（
為任意常數(shù)?）（
）
又
即
，
所求曲線方程為
（
）
（
）式是方程的通解（積分曲線族）；（
）可以用來確定通解中的任意常數(shù)，從而得到所求的特定解（曲線），（
）式稱為初始條件，（
）稱為特解。
初始條件與特解：用以確定通解中任意常數(shù)的條件，如：
等稱為初始條件。
任意常數(shù)取得定值后的確定的解叫特解。
例2
設(shè)一物體，自某一固定高度鉛直下落，在時間
內(nèi)，物體經(jīng)過的路程為
，由導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義
（重力加速度）
（二階方程）
兩邊積分得
???兩邊再積分得
（通解）
如果已知
時刻的速度為
，從開始到
所經(jīng)過的路程為
，即
（初始條件）
從上面條件可確定
的值，從而得到一個特定的解
（特解）
例3
證明：
是方程
的通解，其中
為任意常數(shù)，并求滿足初始條件
的特解。
解：?
所以，
是方程的通解。代入初始條件
??
所求特解為
形如
或
的方程叫
可分離變量的一階方程。
解法：
分離變量，兩邊積分
例1
求
的通解。
解
分離變量
時，
兩邊積分得
即
所以通解為
（其中
為任意常數(shù)）
也是方程的解，當(dāng)任意常數(shù)
可取零時，此解含在通解中。
例2
求方程
的通解。
解
當(dāng)
時，
，兩邊積分得
（
為任意常數(shù)）
此為方程的通解，顯然
也是方程的解，但它不包含在通解之中。
說明
：
1
.如果由方程
（
）確定的隱函數(shù)
是一個微分方程的解（通解），則（
）式叫微分方程的隱式解（隱式通解），如上例。
2
.在求解微分方程時，由于方程的變形，常使某些解不在所求得的通解中。一般說，這種解容易從方程中直接觀察出，有時，適當(dāng)擴(kuò)大通解中任意常數(shù)的取值范圍，可把這些解包含進(jìn)去（如例1）。另一方面，實際問題中求解微分方程的主要目的是尋找滿足初始條件的特解，這樣的特解大都可以從通解中定出，例外的情況也不難直接從方程得出。所以今后將不再指出這些不屬于通解中的解。
3
.解微分方程中，遇到取對數(shù)時，在不影響微分方程的解的情況下，可以略去絕對值記號。
例3
解
原式為
分離變量：
兩邊積分得通解
例4
求方程
滿足初始條件
的特解。
解
先求通解，原式化為
分離變量
兩邊積分（在對數(shù)內(nèi)略去絕對值記號得）
即
求得通解為
代入初始條件
，
所以滿足初始條件的特解為
例5
求方程
的通解。
有些不能分離變量的一階方程，通過適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q可以化為可分離變量的方程。
例6
證明：利用變量置換
可將方程
化為變量
與
可分離的方程。
證明
：
兩邊對
求導(dǎo)得
（這是變量已分離的方程）
例7
求方程
的通解。
解
設(shè)
，則
分離變量
，積分
所以，通解為
形如
或
（1）
的方程叫一階線性微分方程，當(dāng)
時，
（2）
（2）稱為與（1）相應(yīng)的線性齊次方程，而（1）稱為線性非齊次方程。
解法
：（1）先求出線性齊次方程（2）的通解，
分離變量
兩邊積分
得齊次方程的通解
（
）
（2）再用常數(shù)變易法來求非齊次線性方程（1）的通解。
設(shè)
則
將其代入非齊次方程（1）
????
將
代回得非齊次方程通解
（3）
注
：將通解公式（3）右邊寫成兩項之和可看出：
一階線性非齊次方程的通解等于它的一個特解加上對應(yīng)的齊次方程的通解。
一階線性微分方程的解法，可用常數(shù)變易法，也可直接套用通解公式（3）。
例8
求方程
滿足初始條件
的特解。
解
法一、常數(shù)變易法，先求
的通解，
分離變量
，兩邊積分得
，所以通解為
，
令
，將
代入原方程
，
所以原方程的通解為
代入初始條件
，
所求特解為
法二、直接套用通解公式，方程變形為
其中
，由通解公式
代入初始條件后，得特解
例9
求方程
的通解。
解
：原方程為
，
令
，
則原方程化為一階線性方程
其通解為
。
于是原方程的通解為
。
例10
求方程
的通解。
解
容易看出，這方程既不能分離變量也不是一階線性方程，但是，如果把
看作
的函數(shù)，
當(dāng)作自變量，方程化為
這是一階線性方程，由通解公式
例11
求方程
滿足初始條件
的特解。
形如
（
為常數(shù)）的方程稱為伯努利方程。
?時，它是一階線性方程；
時，它是變量可分離方程。
當(dāng)
或1時，方程兩邊同乘
，有
即
令
，則伯努利方程化為一階線性微分方程
例12
求方程
的通解。
解
這是伯努利方程，兩邊同乘
即
令
，得
，由一階線性微分方程通解公式
所以，原方程的通解為
下面再介紹幾個微分方程應(yīng)用的例子。
例13
一平面曲線，其上任一點處的切線夾于兩坐標(biāo)軸之間的那一段切線的長為切點所等分，求曲線的方程。
解
設(shè)曲線的方程為
，
為曲線上任一點（見圖8-1），
由于兩坐標(biāo)軸間切線段被切點所等分，
所以切線與
軸交點為
，
與
軸交點為
，故有
，分離變量，
兩邊積分得
，所求曲線方程為
例14
設(shè)有一質(zhì)量為
（常數(shù)）的物體，從高空以豎直方向上的初速度
開始下落，假定空氣的阻力與速度成正比，求物體運動速度與時間的關(guān)系。
解
取物體下落路徑作一坐標(biāo)軸，正向向下，原點為運動的起點。在運動過程中，物體受到兩個力的作用：重力
向下，空氣阻力
向上，由牛頓第二定律得，
或
其中
這是一階線性方程（也是變量可分離方程），通解為
代入初始條件
，
得滿足條件的特解是
例15
設(shè)
具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足方程
，求
解
已知
，方程兩邊對
求導(dǎo)得
分離變量得
，兩邊積分后得
。因
，故c=1
因此所求函數(shù)
解法：
逐次積分
例1
求微分方程
的通解。
解
兩邊積分
?
再積分得通解
解法
：令
則
代入方程降階
這是一階方程，設(shè)通解為
即
，所以，原方程通解為
例2
求方程
的通解。
解
方程不含y，令
，故
，代入原方程得到
，或
它是p的一階線性方程，其通解為
再由方程
積分后得到原方程的通解為
例3
求微分方程
滿足初始條件
的特解。
解
設(shè)
，故
，代入原方程得到
，這是變量可分離方程，分離變量，積分
，再積分得通解
代入初始條件
，
所求特解為
解法
：令
則
代入方程降階
這是一階方程，設(shè)通解為
即
，所以，原方程的通解為
例4
求方程
的通解。
解
令
代入原方程得
，
當(dāng)
時，得
為原方程的解；
當(dāng)
時，
，分離變量后得
，
兩邊積分后得
即
，
從而得
分離變量，再兩邊積分，得原方程所求通解為
例5
求方程
的通解。
定理1
如果函數(shù)
與
是二階線性齊次方程（
）的兩個解，那末
也是方程（
）的解（
為任意常數(shù)）。
注：1
.這條性質(zhì)說明齊次方程（
）的解滿足疊加原理。
2
.函數(shù)
是否方程（
）的通解呢？這要看
與
是否獨立，如果
，則?
，
式中只有一個獨立常數(shù)，顯然，此時不是（
）的通解。
下面給出兩個函數(shù)線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念：
設(shè)函數(shù)
與
在區(qū)間I有定義，且其中之一是另一個的常數(shù)倍（即
），則稱函數(shù)
與
線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)或線性獨立。
如：
與
相關(guān)；
與
無關(guān)；
與
當(dāng)
時無關(guān)。
定理2
如果函數(shù)
與
是齊次方程（
）的兩個線性無關(guān)的特解，則
（
是任意常數(shù)）是齊次方程（
）的通解。
定理3
設(shè)
是二階非齊次方程（
）的一個特解，
是與（
）對應(yīng)的
齊次方程（
）的通解，則
是二階非齊次線性方程
（
）的通解。
定理4
設(shè)
與
分別是方程
與
的特解，則
?
是方程
的特解。
二階常系數(shù)齊次線性微分方程
形如
為常數(shù)）????（1）
或
??
都是常數(shù)）的方程稱為
二階常系數(shù)齊次線性微分方程。
下面求它的通解設(shè)
為方程（1）的解，將其代入方程得
（
）
此稱為齊次方程（1）的特征方程，其根叫特征根，記
稱為齊次
方程（1）的特征多項式。顯然，如果
是特征方程的根，則函數(shù)
一定是齊次方程（1）的解，下面根據(jù)特征方程根的不同情況，討論齊次方程（1）的通解形式
（1）特征方程有兩個不等的實根
與
由解的結(jié)構(gòu)知方程（1）的通解為
（2）特征方程有兩個相等的實根
此時只得到方程（1）的一個解
，現(xiàn)找出與
線性無關(guān)的另一個解，
設(shè)
，將
代入方程（1）得
即
所以
取
得方程（1）的另一解
，
方程（1）的通解為
（3）特征方程有一對共軛復(fù)根
此時，方程（1）的兩個解為
，
由齊次方程（1）的解的性質(zhì)（疊加原理）知
，
仍為方程（1）的解，且
與
線性無關(guān)，
方程（1）的通解為
綜上所述，求二階齊次常系數(shù)線性微分方程的通解的方法是：
（1）寫出特征方程，（2）求出特征根，（3）根據(jù)特征根的不同情況寫出通解。
通解公式：
?特征方程
的根
?通解公式（其中
為任意常數(shù)）
有兩個不等的實根
?
有兩個相等的實根
?
有一對共軛復(fù)根
?
例1
求下列微分方程的通解
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）特征方程為
特征根為
故原微分方程的通解為
（2）特征方程為
特征根為
故原方程的通解為
（3）特征方程為
，
?特征根為
故原方程的通解為
（4）特征方程為
，特征根為
故原方程的通解為
例2
求方程
滿足條件
的特解。
解
特征方程
，特征根
所以方程通解為
代入初始條件
，
，
，
所求特解為
二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一般形式
（
為常數(shù)）
（1）
根據(jù)非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)定理（定理3），只要找出其一個特解
和對應(yīng)的齊次方程
?（2）
的通解
，則可得到非齊次方程的通解
。而齊次方程的通解求法上一
節(jié)已介紹，本節(jié)主要介紹非齊次方程的特解求法。下面分別介紹
為兩種特殊形式時其特解
的求法（待定系數(shù)法）。
?
型
其中
是常數(shù)，
是
的?m?次多項式：
。
由函數(shù)
的形式，可設(shè)特解為
，（
是
的多項式）
則?
，
，
將其代入方程（1）得
（
）
即
（
為對應(yīng)的齊次方程的特征多
項式）
（1）當(dāng)
不是齊次方程（2）的特征方程的根時，
，要（
）式兩端恒等，
應(yīng)是一個?m?次多項式
：
將
代入（
）式，比較等號兩邊
同次冪的系數(shù)，得到一個以
為未知數(shù)的方程組，解出
，得到方程（1）的特解?。
（2）當(dāng)
是（2）的特征方程的單根時，
但
，要（
）式兩邊相等，則
應(yīng)是?m?次多項式，此時可令
，得到方程（1）的特解?。
（3）當(dāng)
是（2）的特征方程的重根時，
且
，要（
）式兩邊恒等，
應(yīng)是?m?次多項式，此時可令
，得到方程（1）的特解?。
綜上所述，當(dāng)
時，非齊次方程（1）的特解求法：
?特征方程
的根
?特解形式（
是
次多項式）
?不是特征方程的根
?
?是特征方程的單根
?
?是特征方程的重根
?
例1
寫出下列方程的特解形式
（1）
（2）
（3）
解（1）對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
；
不是特征方程的根，所以，設(shè)特解
。
（2）對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
是特征方程的單根，所以，設(shè)特解
。
（3）對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
；
是特征方程的重根，所以，設(shè)特解
。
例2
求方程
的通解。
解
對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
；
齊次方程的通解為
，
是特征方程的單根，設(shè)特解
，
，
，
，
特征多項式
將其代入（
）式
得
（或?qū)?br/>代入原方程也得此結(jié)果），
有
，所以特解為
；故所求通解為
例3
求方程
的一個特解。
解
先求出方程
的特解
，再求出方程
的特解
，則原方程的特解為
。
例4
求方程
滿足初始條件
的特解。
解（1）先求齊次方程的通解：
對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，其特征根：
故齊次方程的通解為
（2）設(shè)非齊次方程的特解，并求出待定系數(shù)：
不是特征方程的根，故設(shè)非齊次方程的特解：
，
代入原方程，得：
，解得：
.
從而：
（3）寫出原方程的通解：所以原方程的通解
（4）由初始條件求原方程的特解：
，把初始條件
代入
：
得：
，解方程得：
（5）結(jié)論：所以所求特解為：
用歐拉公式將
寫成復(fù)指數(shù)形式
?
?
?
其中
是
的
次多項式，用中
方法先求出方程
的特解
的特解
由解的結(jié)構(gòu)定理?4?知，原方程的通解為
其中
是
的
次多項式，
按
不是或是特征方程的根依次取0
或1。
由上述推導(dǎo)過程知：如果方程（1）右端
可設(shè)方程的特解為
代入原方程，比較等號兩邊同類項的系數(shù)得一方程組，可確定
中的
系數(shù)。
特殊情況：
，
為常數(shù)，不同時為零
（Ⅰ）
不是特征方程的根，設(shè)特解
（Ⅱ）
是特征方程的根，設(shè)特解??
為待定系數(shù)。
例5
寫出下列方程的特解形式
（1）
（2）
（3）
解（1）對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
，
?不是特征方程的根，設(shè)特解
（2）對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
，
是特征方程的根，設(shè)特解
（3）對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
，
是特征方程的根，設(shè)特解
例6
求方程
的通解。
解
對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
，
齊次方程的通解為
下面求特解，將原方程寫成
先求出方程
的特解
因
是特征方程的根，設(shè)特解
，
，特征多項式
，將上面結(jié)果代入（
）式
得
所以特解
，
顯然方程
的特解
，
所以原方程的特解為
?
故原方程的通解為
注
：此方程特解也可這樣求，設(shè)
，將
代入原方程，
可得
。
例7
求方程
滿足初始條件
的特解。
解
對應(yīng)齊次方程的特征方程為
，特征根
，
齊次方程的通解為
，
不是特征方程的根，設(shè)特解
，
將
代入原方程，化簡得
比較兩邊同類項的系數(shù)，有
，解得
，
所以
，則原方程的通解為
而
將初始條件
代入上面兩式，有
，
解得
，
所以滿足初始條件的特解為
定義1設(shè)??為某區(qū)間?I?上的函數(shù)，如果存在函數(shù)?
，使在該區(qū)間上有
或
，則稱
為
在區(qū)間?I?上的一個原函數(shù)。
如：
，則
是
的一個原函數(shù)；
，則
是
的一個原函數(shù)；
例1
設(shè)
的一個原函數(shù)是
，則
_________.
原函數(shù)存在定理
如果
在區(qū)間?I?上連續(xù)，則在區(qū)間?I?上
的原函數(shù)一定
存在。
說明：如果
是
在區(qū)間?I?的一個原函數(shù)，顯然
（
為任意
常數(shù)）也是
的原函數(shù)，這說明
如果存在原函數(shù)，應(yīng)有無窮多個，
的
全體原函數(shù)是一個函數(shù)族。
為
全體原函數(shù)的一般表達(dá)式。
定義2??設(shè)
是
在區(qū)間?I?的一個原函數(shù)，則
的全體原函數(shù)
稱為
在區(qū)間?I?的不定積分，記
其中?叫積分號，
叫被積函數(shù)，
叫被積表達(dá)式，
叫積分變量，
?為任意常數(shù)叫積分常數(shù)。
例2
∵?
例3
∵
時，
性質(zhì)1
?或
?
或
性質(zhì)2
（
是常數(shù)，）
性質(zhì)3
例4
解
原式=
?
例5
?
例6
解
原式=
?
例7
?
解
原式=
例8
解
原式=
?
例9
解
原式=
?
例10
有一通過原點的曲線
，其上任一點
處的切線斜率為
，
為常數(shù)，且知其拐點的橫坐標(biāo)為?-1/3，求曲線方程。
解
由題意：
故：
因曲線通過原點，得：c=0，又：
，而拐點的橫坐標(biāo)為?-1/3，故：
從而
所以所求曲線方程為：
例11
已知
求
.
解法一
解法二
令
，則：
。于是
1.曲邊梯形的面積
設(shè)在區(qū)間
上
，則由直線
、
、
及曲線
所圍成的圖形稱為曲邊梯形，下面求這個曲邊梯形的面積
?
分割求近似：在區(qū)間
中任意插入若干個分點將
分成?n?個小區(qū)間
，小區(qū)間的長度
在每個小區(qū)間
上任取一點
作乘積
，
求和取極限：則面積
取極限
其中
，即小區(qū)間長度最大者趨于零。
2.
變速直線運動的路程
設(shè)某物體作變速直線運動，速度
是
上
的連續(xù)函數(shù)，且
，求在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程。
分割求近似：在
內(nèi)插入若干分點
將其分成
n?個小區(qū)間
，小區(qū)間長度
，
。任取
，
做
求和取極限：則路程
取極限
定義
設(shè)函數(shù)
在
上有界，在
中任意插入若干個分點
將
分成
n
個小區(qū)間
，其長度為
，在每個小區(qū)間
上任取一點
，作乘積
，并求和
，記?
，如果不論對
怎樣分法，也不論小區(qū)間
上的點
怎樣取法，只要當(dāng)
時，和
總趨于確定的極限，則稱這個極限
為函數(shù)
在區(qū)間
上的定積分，記作
，即
，
（
）
其中
叫被積函數(shù)，
叫被積表達(dá)式，
叫積分變量，
叫積分下限，
叫積分上限，
叫積分區(qū)間。
叫積分和式。
說明：
1.如果（
）式右邊極限存在，稱
在區(qū)間
可積，下面兩類函數(shù)在區(qū)間
可積，（1）
在區(qū)間
上連續(xù)，則
在
可積。（2）
在區(qū)間
上有界且只有有限個間斷點，則
在
上可積。
2.由定義可知，定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量無關(guān)，所以
3.規(guī)定
?
時
,
在
上
時,
表示曲線
、兩條直線
、
與
軸所圍成的曲邊梯形的面積；
在
上
時,
表示曲線
、兩條直線
、
與
軸所圍成的曲邊梯形的面積（此時，曲邊梯形在
軸的下方）；
????
?
例1
利用定積分的幾何意義寫出下列積分值
（1）
（三角形面積）
（2）
（半圓面積）
?????????
設(shè)
可積
性質(zhì)1
性質(zhì)2
性質(zhì)3
（定積分對區(qū)間的可加性）
對任何三個不同的數(shù)
，有
?
性質(zhì)4
性質(zhì)5
如果在區(qū)間
上，
，則
推論
性質(zhì)6
（定積分的估值）
設(shè)?M?及?m?分別是函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值及最小值，則
??
性質(zhì)7
（定積分中值定理）
如果函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)，則在
上至少有一點
，使??
成立?
例2
比較下面兩個積分的大小
?
與
解
設(shè)
，
在（0，1）內(nèi)，
單調(diào)增
當(dāng)
時，有
，即
由性質(zhì)5，
例3
估計積分
的值
解
只需求出
在區(qū)間
上的最大值、最小值即可。設(shè)
，
，令
，得
，
所以，在區(qū)間
上
由性質(zhì)6，
設(shè)
在區(qū)間
上連續(xù)，
，則定積分
一定存在，
當(dāng)
在
上變動時，它構(gòu)成了一個
的函數(shù)，稱為
的變上限積分函數(shù)，
記作
即
?
定理
如果函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)
在
上具有導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)數(shù)是
，即
說明：
1.由原函數(shù)的定義知,
是連續(xù)函數(shù)
的一個原函數(shù)，因此，此公式
揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。
2.當(dāng)積分上限的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)時，有
更一般的有
例1
（1）
，
則：
=
（2）
，則：
?
（4）
，則：
?
（5）設(shè)
，求:
此題中
為函數(shù)的自變量，
為定積分的積分變量，因而是兩個函數(shù)乘積的形式
由求導(dǎo)法則
=
=
+
（6）
=0（因定積分的結(jié)果為一常數(shù)，故導(dǎo)數(shù)為零）
（7）設(shè)
是方程
所確定的函數(shù)，求
解
利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則和變限積分求導(dǎo)法則有
?
????則
=
例2
設(shè)
，求
。
例3
設(shè)
為連續(xù)函數(shù)，（1）若
，則
______
___
（2）
例4
求
解
這是
型不定式，用羅必塔法則
????????????????
定理
（牛頓——萊公式）如果函數(shù)
是連續(xù)函數(shù)
在區(qū)間
上的一個原函數(shù)，則
此公式表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間
上的定積分等于它的任一個原函數(shù)在該區(qū)間上的增量，此公式也稱為微積分基本公式。
例5
解
原式
例6
解
原式
例7
求
解
利用定積分的可加性分段積分，
=
+
=2
例8
解
被積函數(shù)是分段函數(shù)，分段點
在積分區(qū)間
內(nèi)，
=
+
=1/4
例9
解
原式
注意：
是分段函數(shù)
例1
解
先求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，令
，則
=
下面用另一種方法求解，令
，
當(dāng)
時，
，
時，
，有
=
顯然，后一種方法比第一種方法更簡便，下面給出定積分的換元積分法。
定理
設(shè)函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)，函數(shù)
滿足
（1）
；
（2）
在
（或
）上單值單調(diào)，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，
則有
例2
解
令
則
；當(dāng)
時，
，
時，
，于是
原式=
換元公式也可反過來使用，由
引入新變量
，
?
看下例
例3
解
令
，
，當(dāng)
時，
；
時，
?
?
注意：1.?用定積分換元法時,在變換積分變量的同時也要變積分限；但對應(yīng)于不定積分中的第一類換元法（湊微分法），當(dāng)代換沒有具體寫出新變量時，積分限不用變，
如
2.使用換元法時要注意條件，
如
?
（
令
）
錯，因
時，
不是單值的。
例4
設(shè)
在
上連續(xù)，證明：
證明：
為偶函數(shù)時，
為奇函數(shù)時，
這個公式要記住。
如（1）
=0
（2）
在
上連續(xù)，且
，則?
例5
計算
（為對稱區(qū)間，被積函數(shù)第一項為奇函數(shù)）
解
原式
?
例6
設(shè)
是以
為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：
證明：
而?
（）?
所以
例7
?
此題利用了周期性，
的周期為
。
例8
設(shè)
為連續(xù)函數(shù)，證明：
證明：令
，
?
和
取法同不定積分
例9
解
原式
例10
解
例11
解
原式
?
所以，原式
例12
設(shè)
，證明：
。
證明：設(shè)
例13
證明：
，其中
在所考慮的區(qū)間上
連續(xù)。
分析：所要證明的等式左端，其被積函數(shù)是一個變上限積分函數(shù)
，而
，所以等式左端應(yīng)用分部積分公式后就可化掉一個積分號。
證明
用分部積分法有
?
所以
從上一章求曲邊梯形的面積及變速直線運動物體的距離問題中看到，可利用定積分來計算幾何、物理等問題中的某些待求量。
一般，設(shè)實際問題中的所求量?U?是一個與變量
的變化區(qū)間
有關(guān)的量，且量
U對區(qū)間
具有可加性，即
，部分量
可表示成
，則可考慮用定積分來求量
U
。
具體做法是：
（1）根據(jù)具體問題選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)和積分變量
，并確定它的變化區(qū)間
；
（2）將
分割成若干個小區(qū)間，任取一個代表區(qū)間
，求出這個區(qū)間上?△U?的近似表達(dá)式：構(gòu)造一個在
連續(xù)的函數(shù)
使?△
，把
稱為?U?的元素記為：
；
（3）所求量?U?等于?U?的元素在
上的積分?
這種方法稱為元素法或微元法。
1.
直角坐標(biāo)情形
（1）由曲線
與
軸在區(qū)間
段所圍圖形的面積為
?
（2）設(shè)
在區(qū)間
連續(xù)，由曲線
、
與
所圍圖形的面積為
（3）設(shè)
在
上連續(xù)，由曲線
、
與
所圍圖形的面積為
（上面公式不用背，可用定積分的元素法推出）
例1
計算由兩條拋物線：
所圍成的圖形的面積。
解法一
用定積分幾何意義
（1）畫草圖，定出圖形的范圍。
??
（2）求曲線的交點。解
得
選
為積分變量
（3）用定積分表達(dá)所求面積。
所求面積等于兩曲邊梯形面積之差：
解法二
元素法
（1）作圖、求曲線交點（同上），取
為積分變量，
（2）求面積元素
（3）積分
例2
求由曲線
及
所圍成的面積。
解法一
作圖，求出兩曲線交點是（2，-2），（8，4）取
為積分變量，
。
時，
，
時，
注意：在不同的區(qū)間內(nèi)面積元素不同，要分區(qū)間積分。
解法二
選
為積分變量，
，在
上，
?
（選
為積分變量時被積函數(shù)的自變量為
）
可見，適當(dāng)?shù)倪x取積分變量可以簡化計算。
例3
求由曲線
及
軸所圍圖形的面積。
??
解?畫草圖，曲線
與
的交點是
，取
為積分變量，
?時，
，
?時，
，
所以，
例4
求由圓
與直線
及曲線
所圍圖形的面積。
解
畫草圖，取
為積分變量，
?
例5
求拋物線
與其在點
處的法線所圍成圖形的面積。
解
先求出法線方程
，畫出草圖，再求出法線與拋物線的兩個交點
?
，所以，
例6
求曲線
的一條切線，使得該切線與直線
及曲線
所圍成的圖形的面積?A?為最小。
解（1）關(guān)鍵是找出目標(biāo)函數(shù)，即所圍面積與切點
??
坐標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)
為曲線
上
任一點，則此點處的切線方程為?
,
于是所求面積
=
（2）下面求?A?的最小值：
令
得
。又當(dāng)
，時
；當(dāng)
時，
。
故當(dāng)
時，A?取極小值，也是最小值，從而得到切線方程
參數(shù)方程的情形
按直角坐標(biāo)情形分析，參數(shù)方程相當(dāng)于積分時把積分變量做了變換。不用記公式。
由連續(xù)曲線
，
軸及直線
、
所圍圖形的面積為?????????????
其中
例7
求擺線
的一拱
與
軸所圍成的平面圖形的面積。
解
如圖，對應(yīng)與圖中擺線的一拱，
的變化范圍為
，參數(shù)?t?的變化
范圍為
。故所求面積為
?
=
2.
極坐標(biāo)情形
設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為
??
?
連續(xù)，由曲線
及射線
?所圍曲邊扇形的面積
為?
（記住）
例8
求雙紐線
所圍成的平面圖形的面積。?
解
由于雙紐線的圖形和極軸與極點都對稱，因此只需求出區(qū)間
上部分面積再?4?倍即可
1.
平行截面面積已知的立體體積
設(shè)空間立體
被垂直于
軸的平面所截，截面面積為
，且立體在
之間，則體積元素
，立體體積
?
例9
一平面經(jīng)過半徑為
的圓柱體的底圓中心，并與底面成交角
，計算這平面截圓柱體所得立體的體積。
?解
取這平面與圓柱體的底面的交線
??
為
軸，底面上過圓中心、且垂直于
軸的直線為
軸。
（見圖）則底圓的方程為
。
立體中過點
且垂直于
軸的截面是一個直角三角形。它的兩條直角邊的
長分別為
及
，即
及
。
因而截面積
，所求體積為
?
2.
旋轉(zhuǎn)體的體積
（1）由連續(xù)曲線
??
軸所圍曲邊梯形繞
軸旋轉(zhuǎn)一周所成
旋轉(zhuǎn)體，其體積：取
為積分變量，
對應(yīng)于?
，體積元素
故：
（2）由連續(xù)曲線
軸所圍曲邊梯形繞
軸旋轉(zhuǎn)一周所?
成旋轉(zhuǎn)體，其體積：取
為積分變
量，對應(yīng)于?
，體積元素
故：
?
例10
設(shè)曲線
所圍成的平面圖形為?D。試求
D
繞
旋轉(zhuǎn)
而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。
解
所求為?D?繞?y?軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積,
由公式
?
?
例11
求擺線
,
的一拱與
圍成的圖形分別繞
軸、
軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積。
解
?
（1）?繞
軸：
（2）?繞
軸：為如圖兩部分體積之差
?
例12
設(shè)由曲線
與直線
圍成平面圖形
求（1）此平面圖形的面積；（2）此平面圖形繞
軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積。
解作圖，求交點：解
；
??
解
（1）面積：
（2）體積：
1.?直角坐標(biāo)的情形?
設(shè)
具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求此曲線對應(yīng)于
之間弧長：
取
為積分變量，對應(yīng)于
，弧長元素（弧微分）為
???
故：
（注：
,
弧長為正，所以積分中
參數(shù)大的做為上限值，小的作為下限
值）以下同。
2.參數(shù)方程的情形
設(shè)
具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求曲線
對應(yīng)于
?
之間的弧長：弧長元素（弧微分）
故：
直角方程是參數(shù)方程的特殊情況，即：
，
,
為參數(shù)。
3.?極坐標(biāo)的情形
設(shè)曲線方程為
具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求此曲線對
應(yīng)于
之間的弧長：弧長元素（弧微分）
,
故：
例13
求拋物線
由頂點到點
的一段弧的長度。
解
直接用公式
???
，
令
例14
計算擺線
的一拱
的長度。
?
解
由公式：
例15
求心形線
的全長，其中
。
??
解?
，由公式：
?
由對稱性：
?
定義
設(shè)函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)，
，極限
稱為
在無窮區(qū)間
上的廣義積分，記作
，
即
如果上式右邊極限存在，稱廣義積分收斂；如果極限不存在，稱廣義積分發(fā)散。
同樣，設(shè)函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)，定義
如果上式右邊極限存在，稱廣義積分
收斂；如果極限不存在，稱廣義積分發(fā)散。
設(shè)?
在
上連續(xù)，定義廣義積分
（
為任意實數(shù)?）
???
當(dāng)上式右邊兩個極限同時存在時，稱廣義積分
收斂；否則，
稱廣義積分發(fā)散。
例1
證明廣義積分
，當(dāng)
時收斂，
時發(fā)散。
解
當(dāng)
時，
?
當(dāng)
時,
所以，
時，這廣義積分收斂；
時發(fā)散。
例2
設(shè)
，則
_____.
解
?
?
所以，
例3
解
原式
?
定義?設(shè)函數(shù)
在區(qū)間
連續(xù)，而當(dāng)
時，
，取
，則極限
稱為
在區(qū)間
的廣義積分，仍記作
，
即
如果上式右端極限存在，稱廣義積分收斂；如果極限不存在，稱廣義積分發(fā)散。
同樣，當(dāng)
在區(qū)間
連續(xù)，而
時，
，定義廣義積分
（
）
如果右邊極限存在，稱廣義積分收斂，否則，稱廣義積分發(fā)散。
設(shè)函數(shù)
在
上除點
外連續(xù)，
為無窮間斷點，
定義廣義積分
??
當(dāng)右邊兩個極限都存在時，稱廣義積分收斂，否則，稱為發(fā)散。
例4
解
是被積函數(shù)的無窮間斷點，
被積函數(shù)連續(xù)，
原式
例5
討論廣義積分
的收斂性.
解
被積函數(shù)在積分區(qū)間上除無窮間斷點
外連續(xù)，由于
所以，廣義積分
發(fā)散。
設(shè)
可導(dǎo)，
連續(xù)，則
?
其中
。
例1
?
解
令
（
）
原式=
例2
?
解
?令
（
）
原式=
例3
解
?令
（
）
原式=
用湊微分法積分時常用的公式有：
；
；
；
?；
；
；
；
?；
；
；
；
；
?；
；
；
等。
例4
解
原式=
例5
解
原式=
?
例6
解
原式=
例7
解
原式=
例8
解
原式=
?
例9
解
原式=
例10
解
原式=
例11
解
原式=
例12
解法一
=
解法二
=
注：兩種積分方法計算結(jié)果表現(xiàn)形式不同，由不定積分的概念，它們只相差一個常數(shù)。
要驗證積分結(jié)果是否正確，可驗證
。
同樣方法可求出
例13
解
原式=
例14
解
原式=
例15
解
原式=
例16
解
原式=
例17
解
原式=
例18
解
原式=
例19
解
原式=
?
例20
解
原式=
例21
解
原式=
例22
例23
1．
，?
表示對自變量
求導(dǎo)。
2．
，
表示對中間變量
求導(dǎo)。
3．
；
。
設(shè)
是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且
；又
具有原函數(shù)
，則有
其中
為
的反函數(shù)。
例24
解
采用三角代換
，（），則
原式=
?
（因為
?）
?
例25
解
作三角代換
原式=
為了將
化成
的函數(shù)，作一直角三角形，使它的一個銳角為
，根據(jù)所用代換
找出對邊
與鄰邊
，則斜邊為
（見圖），
??
所以
原式=
（其中
）
例26
解
時（
時可得同樣結(jié)果），
?
作三角代換
原式=
=
例27
解
用倒代換，令
，則
原式=
從上面例題可看出：如果被積函數(shù)中含有因子
、
、
時，可分別采用三角代換
、
、
化去根號后再積分。根據(jù)去根號的思想也可得到簡單無理函數(shù)的積分方法，看下面例題
例28
解
去根號，令
，
，
原式=
?
例29
解
令
，
原式
=
分部積分法
設(shè)函數(shù)
、
具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由
?移項
兩邊積分得分部積分公式
?或
例1
解
使用分部積分公式時，正確的選擇
和
十分重要
設(shè)
，得
原式=
如果設(shè)
，
，得
原式=
上式右端積分比左端更不易算出，一般
和
的選擇要考慮兩點：
（1）
要容易求出；
（2）
要比
容易積出。
例2
解
設(shè)
原式=
?
例3
解
設(shè)
原式=
（再用一次分部積分公式）
例4
解
設(shè)
原式=
?
例5
解
設(shè)
原式=
例6
解
設(shè)
原式=
將右邊積分移到左邊
注：由上面例子可看出下面三種類型的積分要用分步積分法
類型
，
為多項式，
，
?
選
類型Ⅱ：
，
；
選
等。
類型Ⅲ：
，
和
任選均可。
分步積分法使用熟練后，
和
不必寫出。分步積分法也可以用來計算其他某些積分。
例7
求
（其中
為正整數(shù)）
解
而
?
（遞推公式）
?
例8
?
例9
已知：
是
的一個原函數(shù)，求：
解
因
是
的一個原函數(shù)
下面再舉幾個換元法與分步積分法結(jié)合使用的例子
例10
解
?
例11
解
?
例12
（令
）
函數(shù)
（
）
（其中m和n為非負(fù)整數(shù)，
及
是實數(shù)）稱為有理分式函數(shù)，
時，叫真分式，
時，叫假分式，一個假分式可化成一個多項式和一個真分式之和，如：
，
與
沒有公因子時，稱為既約分式，
一個既約有理真分式可分解成部分分式之和（最簡分式之和），如：
定理
如果
在實數(shù)范圍內(nèi)能分解成一次因式和兩次質(zhì)因式的乘積:
則真分式
可以分解成部分分式之和:
????
其中
等都是常數(shù)。
關(guān)于有理分式函數(shù)的積分，可將其化為多項式及部分分式之和后再積分，從上面定理可看出，有理函數(shù)分解后可能出現(xiàn)三類函數(shù)：多項式、
、
。前兩類積分很簡單，第三類可做代換
，則
上式中的第二個積分可用第三節(jié)中的遞推公式。下面通過例題講解如何將有理函數(shù)化為部分分式。
例1
解
（1）化為真分式：
（2）
（
為待定常數(shù)）
（
）
令
，令
由：
（
也可用待定系數(shù)法計算，（
）式化為
?
，
比較等號兩邊
同次冪的系數(shù)得
）
（3）
而
故：原式
例2
積分方法：用“萬能代換
”將其化為關(guān)于?t?的有理函數(shù)的積分。
代入積分得
例3
解：令
萬能代換是一般的方法，但不一定是最簡單的方法，可根據(jù)題目選擇較簡的方法。請看：
例4
法一：
法二：
法三：
?
例5
（
）
?
積分方法：用換元法去掉根號，將其化成有理函數(shù)的積分。
例6
解：
令
?
例7
解：直接去根號較繁，先化簡再去根號，原式
令
則有
原式=
也可令
，于是有
例8
（?令
）
例9
（?令
）
例10
（?令
）
第一節(jié)
空間直角坐標(biāo)系?
一、空間直角坐標(biāo)系
由三條相互垂直相交的數(shù)軸x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）按右手法則構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為空間直角坐標(biāo)系，三個數(shù)軸的公共交點O為坐標(biāo)原點。
????
其中任兩個數(shù)軸確定一個平面，稱為坐標(biāo)面，三個坐標(biāo)面：XOY面,XOZ面,YOZ面。三個坐標(biāo)面將空間分成了八個部分，稱為八個卦限，記為：Ⅰ～Ⅷ。（見圖）
?
?
空間中的點P與坐標(biāo)
一一對應(yīng)，特殊點的坐標(biāo)的特點：坐標(biāo)面上的點，坐標(biāo)軸上的點。（見圖）
???
二、兩點間距離公式
????
設(shè)
，則兩點間距離為??
?第二節(jié)
矢量的概念及其運算
一、矢量的概念
即有大小又有方向的量叫矢量（向量）。記作：
等，A為起點B為終點的矢量記為
。
矢量的模：矢量的大小稱為模，記
。
單位矢量：模為1的矢量叫單位矢量，與
方向相同的單位矢量記作
。
零矢量：模為0的矢量叫零矢量，記作
，其方向不定。
矢量相等：模相等，方向相同的兩個矢量
與
稱為相等，記作：
?
=
。
負(fù)矢量：與
的模相等，方向相反的矢量稱為
的負(fù)矢量記作：–
。
自由矢量：與起點無關(guān)的矢量叫自由矢量。
兩個非零矢量
與
的夾角記為?
，
，當(dāng)
或
時，稱為
與
平行，記作
，當(dāng)
時稱
與
垂直記為
。
二、矢量的運算
1.加減法（平行四邊形法則，三角形法則）
?
運算律：（1）交換律：
（2）結(jié)合律：
?
減法
?
2.數(shù)與矢量的乘法
數(shù)
與矢量
的乘積仍為矢量,其模
，其方向為：
時，
與
的方向相同；
時，
與
的方向相反；
。
運算性質(zhì)：（1）
??（2）
??（3）
其中，
為常數(shù)。
結(jié)論：（1）對任何非零矢量
，有
或
（2）設(shè)
、
是兩個非零矢量，則
的充要條件是：存在唯一的數(shù)
，使
。
第三節(jié)
矢量的坐標(biāo)表示
一、矢量在軸上的投影
有向線段
的值：
設(shè)
是數(shù)軸u上的有向線段（見圖）
?
數(shù)
滿足
，且
與u同向，
取正；
與u反向，
取負(fù)；稱
為u軸上有向線段
的值，記為AB。設(shè)
是與u軸同方向的單位矢量，則
?
矢量
在數(shù)軸u上的投影：
設(shè)矢量
的起點A和終點B在數(shù)軸u上的投影分別為
和
，則u軸上有向線段
的值
叫矢量
在數(shù)軸u上的投影，記作
或
?
投影定理：矢量
在軸u上的投影為
注：
時，
；
時，
；
時，
。
定理：
，（
為常數(shù)）
定理：
二、矢量的坐標(biāo)表達(dá)式
在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點
,作矢量
（矢徑），則
在
軸，
軸，
軸上的投影分別為
，又設(shè)
分別是與
軸，
軸，
軸同方向的單位矢量（叫基本單位矢量），則
?
?
設(shè)點
，作矢量
，顯然
??
?
由以上討論知：空間中任一矢量
，可寫成
上式稱為
的坐標(biāo)表達(dá)式，
稱為
的坐標(biāo)，它們分別是
在
軸，
軸，
軸上的投影，所以
也可簡記為
?、
、
分別稱為矢量
在x軸、y軸、z軸上的分矢量。顯然有
?
設(shè)
，
，
則
，
即
即
前面講過?∥
的充要條件是
,即
，所以
∥
的充要條件是：
三、矢量的方向角與方向余弦
?
矢量
與
軸，
軸，
軸正向間夾角
稱為
的方向角。它們的余弦
稱為方向余弦。
由投影定理有：
，
，???
，
?
例1
設(shè)
為空間兩點，求
的方向余弦。
解
例2
設(shè)
求
解
，
例3（定比分點坐標(biāo)）設(shè)
為兩已知點，在連接
兩點的直線上另有一點
，使有向線段
與
的長度之比為
，求p點坐標(biāo)。
解
由題意
而
，即
即
當(dāng)
時，得中點坐標(biāo)公式：?
?第八節(jié)
空間曲面與它的方程
一、空間曲線的一般方程
空間曲線可以看成是兩個曲面的交線，因此，兩個相交曲面的方程構(gòu)成的方程組表示空間曲線，方程組
（兩個曲面的交線）稱為空間曲線的一般方程。
如：
表示平面
上的一個圓，圓心在
，半徑
。
注：空間曲線的一般方程形式不唯一。如上面的圓也可用方程組
來表示。
例1
方程組
表示怎樣的曲線？?
解
表示球心在原點，半徑為
的上半球面，
表示母線平行于
軸的圓柱面，其交線見圖。
二、空間曲線的參數(shù)方程
空間曲線除了可用一般式方程表示外，也可用參數(shù)方程來表示，在一般式方程中，令
，解出
，則可得到空間曲線的參數(shù)方程。
空間曲線的參數(shù)方程為
（隨著t的變動可得到曲線C上的全部點）。
例2
將曲線的一般方程
化為參數(shù)方程。
解
令
，得曲線的參數(shù)方程為
三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線
通過空間曲線
作母線平行于z軸(x軸，y軸)的柱面，這柱面稱為
在xoy(yoz,zox)坐標(biāo)面上的投影柱面，投影柱面與xoy坐標(biāo)面的交線c稱為
在xoy坐標(biāo)面上的投影曲線。
?
曲線
在xoy坐標(biāo)面上的投影曲線方程為
，
是由曲線方程消去變量z后得到的。
同樣可得，在yoz坐標(biāo)面上的投影曲線方程為
，在zox坐標(biāo)面上的投影曲線方程為
。
例3
求曲線
在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程。
解
消去z，得到在xoy面上的投影曲線為
消去x，得到在yoz面上的投影曲線為
消去y，得到在xoz面上的投影曲線為
。
?
一、平面方程
垂直于某平面的非零矢量稱為該平面的法線矢量，記作。
?
?
點法式方程：已知平面過點，且與非零矢量垂直(法矢量)，求平面方程。
在平面上任取一點，作矢量，則，所以有
此稱為平面的點法式方程。
一般式方程：
其中：法矢量，
截矩式方程：
?
注:三元一次方程表示一個平面。
特殊位置的平面方程：
（1）過原點
（）
（2）平行于坐標(biāo)軸
平行于x軸（）??過X軸（）
平行于y軸（）??過Y軸（）
平行于z軸（）??過Z軸（）
（3）垂直于坐標(biāo)軸
垂直于x軸（平行于YOZ坐標(biāo)面）
垂直于y軸（平行于XOZ坐標(biāo)面）
垂直于z軸（平行于XOY坐標(biāo)面）
例1?求過點（6，2，-2）且與平面平行的平面方程。
解?所求平面方程法矢量為
由點法式得
即
例2?求過三點的平面方程。
?
解?作矢量
取法矢量
由點法式
即。
此題也可用下面的方法求解：
設(shè)平面方程為
因平面過、、三點，將三點的坐標(biāo)代入方程，得
解出、、、即可。
例3?求過三點的平面方程。
例4?過點作垂直于兩平面和的平面，求此平面方程。
解?設(shè)為所求平面法向量
可取
由點法式得
即
例5?求過點（1，-2，1）且與平面都垂直的平面方程。
例6?求平面外一點到該平面的距離。
解?在平面上任取一點，作矢量
?
則
如：點（1，-1，2）到平面的距離為
二、
直線方程
平行于某直線L的非零矢量稱為該直線的方向矢量，記為
對稱式方程：已知直線L過點且方向矢量，求此直線方程。
??
在直線上任取一點，作矢量則∥，所以有,此稱為直線的對稱式方程。
注：當(dāng)中有零時，直線仍可寫成對稱式形式如應(yīng)理解為兩個平面的交線，即。
參數(shù)式方程：其中為直線上一點。
一般式方程：
其中
例7?求平行于直線且過點?的直線方程。
解?所求直線方向矢量所求直線方程為
例8?化直線?
為對稱式方程。
解?令z=-5，解方程組得?
,點在直線上。
對稱式方程為
三、兩平面、兩直線、平面與直線的交角及平行與垂直的條件
兩平面的夾角：指它們的法矢量間的夾角（取銳角）
設(shè)?：?
?：?
?
的充要條件：，即
∥的充要條件：∥，即
例9?研究下列各組平面的位置關(guān)系
（1）與；
（2）與；
（3）與。
解?（1）
，所以相交，夾角
（2）
∥平行，但不重合。（因為點在第一個平面上，但不在第二個平面上）。
（3）
∥平行，且重合。
例10?設(shè)有兩平面，求這兩平面的夾角。
解?
?
?所以
例11?設(shè)有兩平面，如果兩平面垂直，則？
解?
?，
兩直線的夾角：指它們的方向矢量間的夾角（取銳角）
設(shè)：?
：?
充要條件：，即
充要條件：∥，即
例12?求兩條直線與的夾角。
解?，
所以
平面與直線的夾角：指直線與它在平面上的投影直線間的夾角(取銳角)
設(shè)平面:
直線L：
?
的充要條件：∥，即
∥的充要條件：,即
例13?求直線與平面?
的交點和夾角。
解?直線的參數(shù)方程為
代入平面方程
解得
t=-1
，代入直線的參數(shù)方程中得交點(1，2，2）
例14?求過平面的交線，且與第二個平面垂直的平面方程。
解?法一：設(shè)所求平面的法線矢量為，由題意過直線
將其化為對稱式
令z=2，解得直線過點(-1，-1，2）
直線對稱式方程為
又因為的法線垂直于的法矢量且垂直于
點在所求平面上，由點法式得
即
法二：設(shè)所求平面的方程為
即
注：這是過兩平面交線的平面束方程。
又垂直于平面，由兩平面垂直的充要條件
解出，代入上面方程得
即
例15?求過直線且與平面垂直的平面方程。
解?設(shè)所求平面方程為
即
因所求平面方程與垂直，所以
所求平面方程為
即
例16?求過點且與平面都平行的直線方程。
解?
所求直線為
例17?求過點及直線的平面方程。
解?點在所求平面上，作
直線的方向矢量?
所求平面方程法矢量
所求平面方程為
即。
例18?求過兩條直線與的平面方程。
解?上的點，上的點均在所求平面上，
作所求平面法矢量為，有且
可取
所求平面方程為
即
第9節(jié)
幾種二次曲面及其標(biāo)準(zhǔn)方程
我們把三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面，平面叫一次曲面。怎樣了解三元二次方程
所表示的曲面的形狀呢？方法之一是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌，這種方法叫做截痕法。利用截痕法我們討論了幾種特殊的二次曲面。
一、橢球面
?
當(dāng)
時，
表示球心在原點的球面。
二、
拋物面
，
（橢圓拋物面）
當(dāng)
時，開口朝上；
時，開口朝下。
當(dāng)
時，方程
表示
面上的拋物線
繞
軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)拋物面。
，
（雙曲拋物面，又稱馬鞍面）
???????
?
三、雙曲面
單葉雙曲面
雙葉雙曲面
?
?
四、錐面
橢圓錐面
當(dāng)
時，方程
表示圓錐面.
例1
指出下列方程在空間表示什么曲面？
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）橢球面，半軸分別為
。
（2）頂點在
，開口朝下的拋物面。
（3）頂點在原點，開口朝上的上半個圓錐。
（4）頂點在
，開口朝下的下半個圓錐。?
中值定理
羅爾定理：如果函數(shù)
滿足???
?
?
（1）在閉區(qū)間
上連續(xù)；
（2）在開區(qū)間
內(nèi)可導(dǎo)；
（3）
；
則在
內(nèi)至少有一點
，使
。
例1
在區(qū)間
上滿足羅爾定理條件的函數(shù)是（?3?）。
（1）
（2）
（3）
（4）
答：（3）
例2
證明方程
在?0?與?1?之間至少有一個實根。
證明：易知，方程的左端
是函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)：??
。由于
在?[0,1]?上連續(xù)，在?(0,1)?內(nèi)可導(dǎo)，且
，由羅爾定理知，在?0?與?1?之間至少有一點
，使?
，
即有
。
換句話說：方程
在?0?與?1?之間至少有一實根。
拉格朗日中值定理：如果函數(shù)
滿足
（1）在閉區(qū)間
上連續(xù)；
?
（2）在開區(qū)間
內(nèi)可導(dǎo)；
則在
內(nèi)至少有一點
，
使?
或
?
例3
用拉格朗日定理證明不等式
證明：設(shè)
?在
（或
）上連續(xù)，
在
（?或
）上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理有
其中
在
與
之間。因為
，所以
例4
用拉格朗日定理證明：當(dāng)
時，有
。
證明：設(shè)
，因
，
在
上連續(xù)，在
內(nèi)
可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，有
即
又
，
既有
所以，當(dāng)
時，有
推論1
如果
在
內(nèi)任意一點的導(dǎo)數(shù)
，則
在
內(nèi)是一個常數(shù)。
證明：設(shè)
是
內(nèi)任意兩點，
，因為
在
內(nèi)可導(dǎo)，所以
在
上連續(xù)且可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理
因為
，所以
，即
，
所以
在
內(nèi)是一個常數(shù)。
推論2
如果在
內(nèi)每一點都有
，則在
內(nèi)
為常數(shù)
。
證明：

展開更多......

收起↑