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集合
一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合（或集），構成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）。
一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作。
一般地，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作，讀作“A包含于B”，或“B包含于A”。
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作，讀作“A真包含于B”，或“B真包含A”。
一般地，如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，記作A=B。
一般地，對于兩個給定的集合A，B，由屬于A又屬于B的所有元素構成的集合，叫做A，B的交集，記作，讀作“A交B”。
一般地，對于兩個給定的集合A，B，由兩個集合的所有元素構成的集合，叫做A與B的并集，記作，讀作“A并B”。
如果給定集合A是全集U的一個子集，由U中不屬于A的所有元素構成的集合，叫做A在U中補集，記作，讀作“A在U中的補集”。
1．對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。
如：集合中元素各表示什么？
2 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。
注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合，若，則實數的值構成的集合為 答： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3．注意下列性質：
（1）集合的所有子集的個數是
（2）若
4．你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）
如：已知關于的不等式的解集為，若且，求實數的取值范圍。
函數
函數是一種關系，在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個x值，相應地就確定唯一的一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。
定義 設A，B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，對A中的任意一個元素x，在B中有且僅有一個（唯一確定）元素y與x對應，則稱f是集合A到集合B的映射。這時，稱y是x在映射f的作用下的象，記作f(x)。于是y=f(x)，x稱作y的原象。映射f也可記為：f：A→B， x→f(x).其中A叫做映射f的定義域（函數定義域的推廣），由所有象f(x)構成的集合叫做映射f的值域，通常叫作f(A)。
注意：
“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示x對應的函數值，一個數，而不是f乘x。
集合A和B是有先后順序的，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中f表示具體的對應法則，可以用多種形式表示。
“有且僅有一個（唯一確定）”意思是：一是必有一個，二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。
構成函數的三要素是：定義域、對應關系和值域。
構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域。由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）。
兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。
區間的概念
區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
無窮區間
區間的數軸表示
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且對于集合B中的任意一個元素，在集合A中有且只有一個原象，這時我們說這兩個集合的元素之間存在一一對應關系，并把這個映射叫做從集合A到集合B的一一映射。
在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫作分段函數。
函數的單調性
定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,
（1）若當x1（2）若當x1f(x2)，則說f(x) 在這個區間上是減函數。
若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間。此時也說函數是這一區間上的單調函數。
判斷函數單調性的方法步驟：
利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：
任取x1，x2D，且x1作差f(x1)-f(x2)；
變形（通常是因式分解和配方）；
定號（即判斷差f(x1)-f(x2)的正負）；
下結論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）。
取值→作差→變形→定號→下結論
設函數y=f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有-xD，且f(-x)=-f(x)，則這個函數叫做奇函數。
設函數y=f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有-xD，且f(-x)=f(x)，則這個函數叫做偶函數。
如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖像是以坐標原點為對稱中心圖形；反之，如果一個函數的圖像是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數。
如果一個函數是偶函數，則它的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數的圖像關于y軸對稱，則這個函數是偶函數。
一、函數的定義域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；
2、偶次方根的被開方數大于等于零；
3、對數的真數大于零；
4、指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1；
5、三角函數正切函數中；余切函數中；
6、如果函數是由實際意義確定的解析式，應依據自變量的實際意義確定其取值范圍。
二、函數的解析式的常用求法：
1、定義法；2、換元法；3、待定系數法；4、函數方程法；5、參數法；6、配方法
三、函數的值域的常用求法：
1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調性法；7、直接法
四、函數的最值的常用求法：
1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調性法
五、函數單調性的常用結論：
1、若均為某區間上的增（減）函數，則在這個區間上也為增（減）函數
2、若為增（減）函數，則為減（增）函數
3、若與的單調性相同，則是增函數；若與的單調性不同，則是減函數。
4、奇函數在對稱區間上的單調性相同，偶函數在對稱區間上的單調性相反。
5、常用函數的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數圖象。
六、函數奇偶性的常用結論：
1、如果一個奇函數在處有定義，則，如果一個函數既是奇函數又是偶函數，則（反之不成立）
2、兩個奇（偶）函數之和（差）為奇（偶）函數；之積（商）為偶函數。
3、一個奇函數與一個偶函數的積（商）為奇函數。
4、兩個函數和復合而成的函數，只要其中有一個是偶函數，那么該復合函數就是偶函數；當兩個函數都是奇函數時，該復合函數是奇函數。
5、若函數的定義域關于原點對稱，則可以表示為，該式的特點是：右端為一個奇函數和一個偶函數的和。
函數y=kx+b（k0）叫做一次函數，它的定義域為R，值域為R。
一次函數y=kx+b（k0）的圖象是直線，以后簡寫為直線y=kx+b，其中k叫做該直線的斜率，b叫做該直線在y軸上的截距。
一次函數又叫做線性函數。
函數y=ax2+bx+c（a0）叫做二次函數，它的定義域是R。
函數的應用
基本初等函數
整數指數：
an叫做a的n次冪，a叫做冪的底數，n叫做冪的指數。并規定a1=a。n必須是正整數，所以這樣的冪叫做正整指數冪。正整指數冪的運算滿足如下法則：
分數指數：
正數的分數指數冪的意義
規定：
負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相同，同樣可以定義為：
0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪．
有理數指數冪：
運算性質
（1）·；
（2）；
（3）
根式的概念
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數．此時，的次方根用符號表示．
式子叫做根式（radical），這里叫做根指數（radical exponent），叫做被開方數（radicand）．
當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數．此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號－表示．正的次方根與負的次方根可以合并成±（>0）．
由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作．
表1 指數函數 對數數函數
定義域

值域

圖象



性質 過定點 過定點
減函數 增函數 減函數 增函數












底數越小越接近坐標軸 底數越大越接近坐標軸 底數越小越接近坐標軸 底數越大越接近坐標軸
表2 冪函數









奇函數









偶函數
第一象限性質 減函數 增函數 過定點
以10為底的對數叫做常用對數。
換底公式：
自然對數：以e為底的對數叫做自然對數。
積、商、冪的對數運算法則：
（1）loga(MN)=logaM+logaN
loga(N1 N2 N3…Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+…+logaNk
即正因數積的對數等于同一底數的各因數對數的和。
（2）loga()=logaM-logaN
即兩個正數商的對數等于同一底數的被除數的對數減去除數的對數。
（3）loga=logaM
即正數冪的對數等于冪指數乘以同一底數冪的底數的對數。
冪函數定義：一般地，函數y=xa叫做冪函數，x是自變量，a是常數。
冪函數的性質：
所有的冪函數在(0，+)都有定義，并且圖象都過點（1，1）（原因：1x=1）;
在(0，1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸（簡記為指大圖低）；在(1，+)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸。
冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，值域是否出現在第二、第三象限內，要看函數的奇偶性，冪函數的圖象最多只能同事出現在兩個象限內，如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點。
冪函數的定義域的求法可分五種情況，即：（1）為0；（2）為正整數；（3）為負整數；（4）為正分數；（5）為負分數。
作冪函數的圖象要聯系函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等，只要作出冪函數在第一象限的圖象，然后根據它的奇偶性就可作出冪函數在定義域內完整的圖象。
冪函數的圖象主要分為以下幾類：
當=0時，圖象是過(1，1)點平行于x軸但摳去(0，1)點的一條“斷”直線；
當為正偶數時，冪函數為偶函數，圖象過第一、第二象限及原點。
當為正奇數時，冪函數為奇函數，圖象過第一、第三象限及原點。
當為負偶數時，冪函數為偶函數，圖象過第一、第二象限，但不過原點。
當為負奇數時，冪函數為奇函數，圖象過第一、第二象限，但不過原點。
當>0時，冪函數圖象一些性質：
圖象都通過點(1，1)，(0，0)；
在第一象限內，函數值隨x的增大而增大；
在第一象限內，>1時，圖象是向下凸的；0<<1時，圖象是向上凸的。
當<0時，冪函數圖象一些性質：
圖象都通過點(1，1)；
在第一象限內，函數值隨x的增大而減小，圖象是向下凸的。
反函數：當一個函數是一一映射時，可以把這個函數的因變量作為一個新的函數的自變量，而把這個函數的自變量作為新的函數的因變量。我們稱這兩個函數互為反函數。
高中數學必修2知識點
數軸上的基本公式
如果數軸上的任意一點A沿著軸的正向或負向移動到另一點B，則說點在軸上作了一次位移，點不動則說點作了零位移。位移是一個既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，簡稱向量。
數軸上同向且等長的向量叫做相等的向量。
平面直角坐標系中的基本公式
1、兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，
則。
2、中點公式：設，M(x,y)是線段AB的中點，
直線與方程
（1）直線的傾斜角
定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°
（2）直線的斜率
①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當時，；
當時，；
當時，不存在。
②過兩點的直線的斜率公式：
注意下面四點：
(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；
(2)k與P1、P2的順序無關；
(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。
（3）直線方程的幾種形式
①點斜式：直線斜率k，且過點
注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。
當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b
③兩點式：（）直線兩點，
④截矩式：
其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。
⑤一般式：（A，B不全為0）
注意：各式的適用范圍
特殊的方程如：
平行于x軸的直線：（b為常數）；
平行于y軸的直線：（a為常數）；
（5）直線系方程：即具有某一共同性質的直線
（一）平行直線系
平行于已知直線（是不全為0的常數）的直線系：（C為常數）
（二）過定點的直線系
（ⅰ）斜率為k的直線系：，直線過定點；
（ⅱ）過兩條直線，的交點的直線系方程為
（為參數），其中直線不在直線系中。
（6）兩直線平行與垂直
當，時，
兩直線平行的充要條件：；
兩直線垂直的充要條件：
注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。
點到直線距離公式：一點到直線的距離
兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。
（7）兩條直線的交點
相交
交點坐標即方程組的一組解。
方程組無解 ；
方程組有無數解與重合
圓的方程
1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。
2、圓的方程
（1）標準方程，圓心，半徑為r；
特別的，如果圓心在坐標原點，這時a=0，b=0，圓的標準方程就是。
（2）一般方程
當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為
當時，表示一個點；
當時，方程不表示任何圖形。
（3）求圓方程的方法：
一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關系：
直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：
（1）設直線，圓，圓心到l的距離為，則有
；
；
（2）設直線，圓，先將方程聯立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有
；
；
注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標，r表示半徑。
(3)過圓上一點的切線方程：
①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為 (課本命題)．
②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)．
4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
設圓，
兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
當時兩圓外離，此時有公切線四條；
當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；
當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；
當時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；
當時，兩圓內含；
當時，為同心圓。
空間直角坐標系
（1）定義：如圖，是單位正方體.以A為原點，
分別以OD,OA1,OB的方向為正方向，建立三條數軸x軸、y軸、z軸。
這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.
1）O叫做坐標原點
2）x 軸，y軸，z軸叫做坐標軸.
3）過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。
（3）任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有序實數組來表示，有序實數組 叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標）
空間兩點的距離公式：
空間兩點的距離公式為

特別地，點到原點O的距離公式為

立體幾何初步
1、柱、錐、臺、球的結構特征
（1）棱柱：
定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱
幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
（2）棱錐
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點字母，如五棱錐
幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。
（3）棱臺：
定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點字母，如五棱臺
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側棱交于原棱錐的頂點
（4）圓柱：
定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。
（5）圓錐：
定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。
（6）圓臺：
定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。
（7）球體：
定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）
注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；
側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。
4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）



（3）柱體、錐體、臺體的體積公式


（4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=
4、空間點、直線、平面的位置關系
（1）平面
① 平面的概念： A.描述性說明； B.平面是無限伸展的；
② 平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內）；
也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。
③ 點與平面的關系：點A在平面內，記作；點不在平面內，記作
點與直線的關系：點A的直線l上，記作：A∈l； 點A在直線l外，記作Al；
直線與平面的關系：直線l在平面α內，記作lα；直線l不在平面α內，記作lα。
（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。
（即直線在平面內，或者平面經過直線）
應用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是否在平面內
用符號語言表示公理1：
（3）公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。
推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據 ②它是證明平面重合的依據
（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線
符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
符號語言：
公理3的作用：
①它是判定兩個平面相交的方法。
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。
③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。
（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行
（6）空間直線與直線之間的位置關系
① 異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線
② 異面直線性質：既不平行，又不相交。
③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。
說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：
①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理
（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。
（3）求異面直線所成角步驟：
A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。
B、證明作出的角即為所求角
C、利用三角形來求角
（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。
（8）空間直線與平面之間的位置關系
直線在平面內——有無數個公共點．
三種位置關系的符號表示：aα a∩α＝A a∥α
（9）平面與平面之間的位置關系：平行——沒有公共點；α∥β
相交——有一條公共直線。α∩β＝b
5、空間中的平行問題
（1）直線與平面平行的判定及其性質
線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。
線線平行線面平行
線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，
那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行
（2）平面與平面平行的判定及其性質
兩個平面平行的判定定理
（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
（線面平行→面面平行），
（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。
（線線平行→面面平行），
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，
兩個平面平行的性質定理
（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）
（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）
6、空間中的垂直問題
（1）線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。
②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。
③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。
（2）垂直關系的判定和性質定理
①線面垂直判定定理和性質定理
判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。
性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。
②面面垂直的判定定理和性質定理
判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。
性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。
7、空間角問題
（1）直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規定為。
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
（2）直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角：規定為。 ②平面的垂線與平面所成的角：規定為。
③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。
求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。
在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，
在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角
④求二面角的方法
定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角
垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角
高一數學必修3公式總結
§1 算法初步
秦九韶算法是一種將一元n次多項式的求值問題轉化為n個一次式的算法。
一般地，一元n次多項式的求值需要經過[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。
對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法
表達式如下：
例題：秦九韶算法計算多項式
答案： 6 ， 6

理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機械的、統一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調說明書是空調使用的算法(algorithm)
1. 描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設計語言（本書指偽代碼）.
2. 算法的特征：
①有限性：算法執行的步驟總是有限的，不能無休止的進行下去
②確定性：算法的每一步操作內容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個或多個。沒有輸出的算法是無意義的。
③可行性：算法的每一步都必須是可執行的，即每一步都可以通過手工或者機器在一定時間內可以完成，在時間上有一個合理的限度
3. 算法含有兩大要素：①操作：算術運算，邏輯運算，函數運算，關系運算等②控制結構:順序結構，選擇結構，循環結構。
流程圖：（flow chart）: 是用一些規定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結構的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。
注意：
1. 畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養成有開始和結束的好習慣。
2. 拿不準的時候可以先根據結構特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。
3. 在輸出結果時，如果有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結到一起，一起終結到結束框。
算法結構：
順序結構， 選擇結構， 循環結構
Ⅰ.順序結構（sequence structure ）：是一種最簡單最基本的結構它不存在條件判斷、控制轉移和重復執行的操作，一個順序結構的各部分是按照語句出現的先后順序執行的。
Ⅱ.選擇結構（selection structure ）：或者稱為分支結構。其中的判斷框，書寫時主要是注意臨界條件的確定。它有一個入口，兩個出口，執行時只能執行一個語句，不能同時執行，其中的A,B兩語句可以有一個為空，既不執行任何操作，只是表明在某條件成立時，執行某語句，至于不成立時，不執行該語句，也不執行其它語句。
Ⅲ.循環結構（cycle structure）：它用來解決現實生活中的重復操作問題，分直到型（until）和當型(while)兩種結構(見上圖)。當事先不知道是否至少執行一次循環體時（即不知道循環次數時）用當型循環。
基本算法語句：本書中指的是偽代碼（pseudo code），且是使用 BASIC語言編寫的，是介自然語言和機器語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用 ，也可以用，表示兩變量相乘時可以用“*”，也可以用“”
Ⅰ. 賦值語句（assignment statement）：用 表示， 如：，表示將y的值賦給x，其中x是一個變量，y是一個與x同類型的變量或者表達式。
一般格式：“”，有時在偽代碼的書寫時也可以用“”，但此時的“=”不是數學運算中的等號，而應理解為一個賦值號。
注：
1. 賦值號左邊只能是變量，不能是常數或者表達式，右邊可以是常數或者表達式。“= ”具有計算功能。
如：3=a，b+6=a，都是錯誤的，而a=3*5–1，a=2a +3都是正確的。
2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。
如：a=b=c=2，a，b，c =2都是錯誤的，而a=3是正確的。
例題：將x和y的值交換
同樣的如果交換三個變量x，y，z的值：
Ⅱ.輸入語句（input statement）：Read a，b表示輸入的數一次送給a，b
輸出語句（out statement）：Print x，y表示一次輸出運算結果x，y
注：
1.支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！
2.Read 語句輸入的只能是變量而不是表達式
3.Print 語句不能起賦值語句，意旨不能在Print 語句中用“=”
4.Print語句可以輸出常量和表達式的值
5.有多個語句在一行書寫時用“；”隔開
例題：當x等于5時，Print“x= ”；x在屏幕上輸出的結果是x=5
Ⅲ.條件語句（conditional statement）：
1.行If語句: If A Then B 注：沒有 End If
2.塊If語句：
注：
①不要忘記結束語句End If ，當有If語句嵌套使用時，有幾個If，就必須要有幾個End If
②. Else If 是對上一個條件的否定，即已經不屬于上面的條件，另外Else If 后面也要有End If
③注意每個條件的臨界性，即某個值是屬于上一個條件里，還是屬于下一個條件。④為了使得書寫清晰易懂，應縮進書寫。格式如下：
例題：用條件語句寫出求三個數種最大數的一個算法。

或者
注：1. 同樣的你可以寫出求三個數中最小的數。
2. 也可以類似的求出四個數中最小、大的數
Ⅳ.循環語句（cycle statement）：
當事先知道循環次數時用 For 循環 ，即使是 N次也是已知次數的循環
當循環次數不確定時用While循環
Do 循環有兩種表達形式，與循環結構的兩種循環相對應.
說明：
1. While循環是前測試型的，即滿足什么條件才進入循環，其實質是當型循環，一般在解決有關問題時，可以寫成While循環，較為簡單，因為它的條件相對好判斷.
2. 凡是能用While循環書寫的循環都能用For 循環書寫
3. While循環和Do循環可以相互轉化
4. Do循環的兩種形式也可以相互轉化，轉化時條件要相應變化
5. 注意臨界條件的判定.
高中數學必修4知識點
角的概念
各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和。
2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在坐標軸上的角的集合為
3、與角終邊相同的角的集合為
4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應的標號即為終邊所落在的區域。
弧度制和弧度制與角度制的換算
5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度的角。
6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數的絕對值是。
7、弧度制與角度制的換算公式：
， rad0.01745 rad，
1 rad= 180°= rad
rad= rad
8、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，
任意角的三角函數
三角函數的定義
9、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，則
叫做角的正弦，記作sin，即，
叫做角的余弦，記作cos，即，
叫做角的正切，記作tan，即
還有三個函數：
角的正割：sec=；
角的余割：csc=；
角的余切：cot=；
這就是說，sec，csc，cot分別是的余弦、正弦和正切的倒數。
一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓。
角的余弦和正弦分別等于角的終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標。
10、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正。
11、三角函數線：，，
12、同角三角函數的基本關系：
；，．
13、三角函數的誘導公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口訣：函數名稱不變，符號看象限．
，．
，．
口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．
角與+（2k+1）(kZ)的三角函數間的關系
(7) cos[+(2k+1)]=-cos
(8) sin[+(2k+1)]=-sin
(9) tan[+(2k+1)]=tan
三角函數的圖象與性質
14、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：



圖象


定義域


值域


最值 當時，；當
時，． 當時，
；當
時，． 既無最大值也無最小值
周期性


奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
單調性 在
上是增函數；在
上是減函數． 在上是增函數；在
上是減函數． 在
上是增函數．
對稱性 對稱中心
對稱軸 對稱中心
對稱軸 對稱中心
無對稱軸
15、函數的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．
函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數
的圖象；再將函數的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．
函數的性質：
①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：．
函數，當時，取得最小值為 ；當時，取得最大值為，則，，
平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
數量：只有大小，沒有方向的量．
有向線段的三要素：起點、方向、長度．
零向量：長度為0的向量．
單位向量：長度等于1個單位的向量．
平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。零向量與任一向量平行。
相等向量：長度相等且方向相同的向量。
17、向量加法運算：
⑴三角形法則的特點：首尾相連。
⑵平行四邊形法則的特點：共起點．
⑶三角形不等式：．
⑷運算性質：
①交換律：；
②結合律：；
③．
⑸坐標運算：設，，則
18、向量減法運算：
⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量。
⑵坐標運算：設，，則。
設、兩點的坐標分別為，，則，。
19、向量數乘運算：
⑴實數與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作．
①；
②當時，的方向與的方向相同；
當時，的方向與的方向相反；
當時，．
⑵運算律：
①；
②；
③（分配律）．
⑶坐標運算：設，則．
向量的加法、減法和數乘向量的綜合運算，通常叫做向量的線性運算。
20、向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數，使．
設，，其中，則當且僅當時，向量、共線。
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使．（不共線的向量、作為這一平面內所有向量的一組基底）
22、分點坐標公式：設點是線段上的一點，、的坐標分別是，，當時，點的坐標是
23、平面向量的數量積：
⑴．零向量與任一向量的數量積為．
⑵性質：設和都是非零向量，則
①．
②當與同向時，；
當與反向時，；
或．
③．
⑶運算律：
①；
②；
③．
⑷坐標運算：設兩個非零向量，，則．
若，則，或．
設，，則．
設、都是非零向量，，，是與的夾角，則．，夾角范圍是[0，]。
向量的應用
三角恒等變換
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸（）；
⑹（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、，其中．
高中數學必修5知識點
解三角形
1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，為的外接圓的半徑，則有．
2、正弦定理的變形公式：①，，；
②，，；
③；
④．
3、三角形面積公式：．
4、余弦定理：在中，有
，
，
．
5、余弦定理的推論：，，
6、設、、是的角、、的對邊，則：
①若，則；
②若，則；
③若，則．
應用舉例
數列
7、數列：按照一定順序排列著的一列數叫做數列。
8、數列的項：數列中的每一個數叫做這個數列的項。
9、有窮數列：項數有限的數列．
10、無窮數列：項數無限的數列．
11、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列．
12、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列．
13、常數列：各項相等的數列．
14、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列．
15、數列的通項公式：表示數列的第項與序號之間的關系的公式．
16、數列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系的公式．
17、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．
18、由三個數，，組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為與的等差中項．若，則稱為與的等差中項．
19、若等差數列的首項是，公差是，則．
20、通項公式的變形：
①；
②；
③；
④；
⑤．
21、若是等差數列，且（、、、），則；若是等差數列，且（、、），則．
22、等差數列的前項和的公式：
①；
②．
23、等差數列的前項和的性質：
①若項數為，則，且，．
②若項數為，則，且，（其中，）．
24、如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比。
25、在與中間插入一個數，使，，成等比數列，則稱為與的等比中項．若，則稱為與的等比中項。
26、若等比數列的首項是，公比是，則。
27、通項公式的變形：
①；
②；
③；
④．
28、若是等比數列，且（、、、），則；若是等比數列，且（、、），則．
29、等比數列的前項和的公式：．
30、等比數列的前項和的性質：
①若項數為，則．
②．
③，，成等比數列．
不等式
含有不等號的式子，叫做不等式。
31、 ；
；
．
32、不等式的性質：
①；
②；
③；
④，；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
均值不等式
均值定理 如果，那么，當且僅當a=b時，等號成立。通常稱為均值不等式。
對任意兩個正實數、，數叫做、的算術平均值，數叫做、的幾何平均值。
均值定理可以表述為：兩個正實數的算術平均值大于或等于它的幾何平均值。
規律：
（1）兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；
（2）兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值。
常用的基本不等式：
①；
②；
③；
④．
極值定理：設、都為正數，則有
⑴若（和為定值），則當時，積取得最大值．
⑵若（積為定值），則當時，和取得最小值．
不等式
33、一元二次不等式：一般地，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的整式不等式，叫做一元二次不等式。
34、二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：
判別式


二次函數 的圖象


一元二次方程 的根 有兩個相異實數根
有兩個相等實數根 沒有實數根
一元二次不等式的解集







35、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1，這樣的不等式叫做二元一次不等式。
36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．
37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構成有序數對，所有這樣的有序數對構成的集合．
簡單線性規劃
38、在平面直角坐標系中，已知直線，坐標平面內的點．
①若，，則點在直線的上方．
②若，，則點在直線的下方．
39、在平面直角坐標系中，已知直線．
①若，則表示直線上方的區域；表示直線下方的區域．
②若，則表示直線下方的區域；表示直線上方的區域．
40、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件．
目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式．
線性目標函數：目標函數為，的一次解析式．
線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．
可行解：滿足線性約束條件的解．
可行域：所有可行解組成的集合．
最優解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．
命題
1. 命題的定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，能判斷真假的語句叫命題（proposition）。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。
2、命題的四種形式及其相互關系：
若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若﹁p 則﹁q”；逆否命題為“若﹁q 則﹁p”。互為逆否關系的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；當一個命題的真假不易判斷時，可考慮判斷其等價命題的真假；
由上圖知逆命題與否命題也互為逆否命題，因此這四種命題的真假之間的關系如下：
（1）兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性。
（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系。
四種命題的真假性：（真值表）
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
常見結論的否定形式
原結論 反設詞 原結論 反設詞
是 不是 至少有一個 一個也沒有
都是 不都是 至多有一個 至少有兩個
大于 不大于 至少有個 至多有（）個
小于 不小于 至多有個 至少有（）個
對所有，成立 存在某，不成立 或 且
對任何，不成立 存在某，成立 且 或
3、充要條件：
① 若A=>B且B推不出A，則A是B的充分非必要條件；
② 若A推不出B且B=>A，則A是B的必要非充分條件
③ 若A=>B且B=>A，則A是B的充要條件
④ 若A推不出B且B推不出A，則A既不是B的充分條件，也不是B的必要條件。
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
4、邏輯聯結詞：或、且、非；含邏輯聯結詞的命題真假的判斷；
5、全稱量詞與存在量詞；全稱命題與存在性命題；命題的否定。
全稱命題:,它的否定┓:┓
特稱命題:,它的否定┓:┓
圓錐曲線與方程
橢圓
第一定義：平面內與兩個定點的距離和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩定點的距離叫做橢圓的焦距，即。 第二定義：平面內與一定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做橢圓。定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線，常數是橢圓的離心率。即（為到得距離）。
標準方程及其性質：
焦點在軸上 焦點在軸上
標準方程

圖形

焦點坐標 、 、
頂點坐標

范圍

對稱軸 軸，長軸為；
軸，短軸為。 軸，短軸為；
軸，長軸為。
準線方程

離心率 ，
焦半徑 公式： （1）設點為橢圓上一點，分別橢圓的左、右焦點，則，；
（2）設點為橢圓上一點，分別橢圓的下、上焦點，則，；
雙曲線
第一定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值是常數（小于）的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點的距離叫做橢圓的焦距，即。 第二定義：平面內與一定點的距離和它到一條定直線的距離的比等于常數（）的點的軌跡叫做雙曲線。定點是雙曲線的焦點，定直線是橢圓的準線，常數是橢圓的離心率。即（為到得距離）。
雙曲線的標準方程及其幾何性質：
焦點在軸上 焦點在軸上
標準方程

圖形

焦點坐標 、
、
頂點坐標

范圍

對稱軸 軸，實軸為；
軸，虛軸為。 軸，虛軸為；
軸，實軸為。
準線方程

離心率 ，
漸近線方程

等軸雙曲線 1、實軸和虛軸相等的雙曲線叫做等軸雙曲線；
2、等軸雙曲線的離心率，兩條漸近線方程為
焦半徑公式
設點為雙曲線上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則①在右支上時，，；②在左支上時，，；
設點為雙曲線上一點，分別為雙曲線的上、下焦點，則①在上支上時，，；②在下支上時，，
拋物線
定義（幾何條件）：平面上，到定直線與該定直線外一定點的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。
標準方程



圖形



對稱軸 軸 軸 軸 軸
頂點坐標



焦點坐標



離心率



準線方程



焦半徑公式



范圍



焦點弦（以拋物線）為例 設是過焦點的弦，，，則，；
，；
以為直徑的圓與準線相切；以為直徑的圓與軸相切。

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