資源簡介

第三講　分類與整合思想
知識整合
一、分類與整合思想的含義
分類與整合思想就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，需要把研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答．實質上，分類與整合是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略．
二、分類與整合的常見類型
有關分類與整合的數學問題需要運用分類與整合思想來解決，引起分類與整合的原因大致可歸納為如下幾種：
1．由數學概念引起的分類與整合：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等．
2．由性質、定理、公式的限制引起的分類與整合：有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數列的前n項和公式、函數的單調性等．
3．由數學運算要求引起的分類與整合：如除法運算中除數不為零，偶次方根被開方數非負，對數真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式兩邊同乘以一個正數、負數，三角函數的定義域等．
4．由圖形的不確定性引起的分類與整合：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關系等．
5．由參數的變化引起的分類與整合：某些含有參數的問題，如含參數的方程、不等式，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法．
6．由實際意義引起的討論：此類問題常常出現在應用題中．
1.由概念、法則、公式引起的分類與整合
典題例析
例1　(1)已知函數f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝－　.
[解析]　當a>1時，函數f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為增函數，由題意得無解．
當0解得所以a＋b＝－.
(2)已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C所對的邊，且c＝2，C＝，若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，則A＝　或　.
[解析]　在△ABC中，由sinC＋sin(B－A)＝2sin2A可得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A，即sinAcosB＋cosAsinB＋cosAsinB－sinAcosB＝4sinAcosA，
∴cosAsinB＝2sinAcosA，
即cosA(sinB－2sinA)＝0，即cosA＝0或sinB＝2sinA，
①當cosA＝0時，A＝；
②當sinB＝2sinA時，根據正弦定理得b＝2a，
由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcosC，結合c＝2，C＝，得a2＋b2－ab＝4，
∴a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，
∴B＝，∴A＝.
綜上可得，A＝或.
規律總結
“四步”解決由概念、法則、公式引起的分類與整合問題
第一步：確定分類對象：一般把需要用到概念、法則、公式解決問題的對象作為分類目標．
第二步：確定分類標準：運用概念、法則、公式對分類對象進行區分．
第三步：分類解決“分目標”：對分類出來的“分目標”分別進行處理．
第四步：匯總“分目標”：將“分目標”問題進行匯總，并作進一步處理．
跟蹤訓練
1．(2019·廣東聯考)設函數f(x)＝若f[f(a)]≤3，則實數a的取值范圍是(　D　)
A．(－∞，－]　　　　　　
B．[－，＋∞)
C．[－，]
D．(－∞，]
[解析]　令f(a)＝t，則f(t)≤3?或解得t≥－3，則f(a)≥－3?或解得a<0或0≤a≤，則實數a的取值范圍是(－∞，]，故選D.
2．已知銳角△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b是，2的等比中項，c是1,5的等差中項，則a的取值范圍是　(2，)　.
[解析]　因為b是，2的等比中項，所以b＝＝1；
因為c是1,5的等差中項，所以c＝＝3.
因為△ABC為銳角三角形，
①當a為最大邊時，有解得3≤a<；
②當c為最大邊時，有解得2由①②得2所以實數a的取值范圍是(2，)．
2.由圖形位置或形狀引起的分類與整合
典題例析
例2　(1)在約束條件下，當3≤s≤5時，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是(　D　)
A．[6,15]　　　　
B．[7,15]
C．[6,8]
D．[7,8]
[解析]　由?取點A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．
①當3≤s<4時，可行域是四邊形OABC，如圖1所示，此時，7≤z<8.
②當4≤s≤5時，此時可行域是△OAC′，如圖2陰影部分所示，zmax＝8.
綜上可知，z＝3x＋2y最大值的變化范圍是[7,8]．
(2)設圓錐曲線T的兩個焦點分別為F1，F2，若曲線T上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線T的離心率為　或　.
[解析]　不妨設|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，
若該圓錐曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
若該圓錐曲線是雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝，
所以圓錐曲線T的離心率為或.
規律總結
圖形位置或形狀的變化中常見的分類
圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點的位置不同來分類討論；相關計算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論．
跟蹤訓練
1．設F1，F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點．已知P，F1，F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，則的值為　或2　.
[解析]　若∠PF2F1＝90°，則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.
又因為|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，
所以＝.
若∠F1PF2＝90°，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
綜上可知，＝或2.
2．如圖，M，N是焦點為F的拋物線y2＝4x上的兩個不同的點，且線段MN的中點A的橫坐標為3，直線MN與x軸交于B點，則點B的橫坐標的取值范圍是(　A　)
A．(－3,3]　　　　　　　
B．(－∞，3]
C．(－6，－3)
D．(－6，－3)∪(－3,3]
[解析]　①若直線MN的斜率不存在，則點B的坐標為(3,0)．
②若直線MN的斜率存在，設A(3，t)(t≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由得y－y＝4(x1－x2)，
∴(y1＋y2)＝4，即kMN＝，
∴直線MN的方程為y－t＝(x－3)，
∴點B的橫坐標xB＝3－，由消去x，得y2－2ty＋2t2－12＝0，
由Δ>0得t2<12，又t≠0，∴xB＝3－∈(－3,3)．
綜上，點B的橫坐標的取值范圍為(－3,3]．
3.由變量或參數引起的分類與整合
典題例析
(文)
例3　設函數f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的單調區間．
[思路探究]　看到求f(x)＝x3－ax－b的單調區間，想到對參數a進行分類整合，分為a≤0和a>0兩種情況．
[解析]　由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.
下面分兩種情況討論：
①當a≤0時，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，
所以f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞)．
②當a＞0時，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
單調遞增
極大值
單調遞減
極小值
單調遞增
所以f(x)的單調遞減區間為(－，)，單調遞增區間為(－∞，－)，(，＋∞)．
規律總結
幾種常見的由參數變化引起的分類與整合
(1)含有參數的不等式的求解．
(2)含有參數的方程的求解．
(3)對于解析式系數是參數的函數，求最值與單調性問題．
(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等．
(5)直線與圓錐曲線位置關系的分類．
典題例析
(理)
例3　已知函數g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x)．
(1)若函數g(x)過點(1,1)，求函數f(x)的圖象在x＝0處的切線方程；
(2)判斷函數f(x)的單調性．
[解析]　(1)因為函數g(x)過點(1,1)，所以1＝，
解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.
所以f
′(x)＝＋＝.
所以f
′(0)＝3.所以所求的切線的斜率為3.
又f(0)＝0，所以切點為(0,0)．
故所求的切線方程為y＝3x.
(2)因為f(x)＝ln(x＋1)＋(x>－1)，
所以f
′(x)＝＋＝.
①當a≥0時，因為x>－1，所以f
′(x)>0.
②當a<0時，由得－1由得x>－1－a.
綜上可知，當a≥0時，函數f(x)在(－1，＋∞)內單調遞增；當a<0時，函數f(x)在(－1，－1－a)內單調遞減，在(－1－a，＋∞)內單調遞增．
規律總結
1．幾種常見的由參數變化引起的分類討論
(1)含有參數的不等式的求解．
(2)含有參數的方程的求解．
(3)對于解析式系數是參數的函數，求最值與單調性問題．
(4)二元一次方程表示曲線類型的判定等．
2．利用分類討論思想的注意點
(1)分類討論要標準統一，層次分明，分類要做到“不重不漏”．
(2)分類討論時要根據題設條件確定討論的級別，再確定每級討論的對象與標準，每級討論中所分類別應做到與前面所述不重不漏．
(3)討論結果歸類合并，最后整合時要注意是取交集、并集，還是既不取交集也不取并集只是分條列出．
跟蹤訓練
　當實數x，y滿足時，ax＋y≤4恒成立，則實數a的取值范圍是　(－∞，]　.
[解析]　由約束條件作可行域如圖中陰影部分，
聯立解得C(1，)．
聯立解得B(2,1)．
在x－y－1＝0中取y＝0，得A(1,0)．
由ax＋y≤4得y≤－ax＋4，
要使ax＋y≤4恒成立，
則平面區域在直線y＝－ax＋4的下方．
若a＝0，則不等式等價于y≤4，此時滿足條件；
若－a>0，即a<0，平面區域滿足條件；
若－a<0，即a>0時，要使平面區域在直線y＝－ax＋4的下方，則只要B在直線上或直線下方即可，
即2a＋1≤4，得0

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